2023年人教版高考数学总复习第二部分考点培优训练考点三十六数列求和

三十六数列求和"基础落实练- 3()分钟60分一、单选题(每小题5分，共20分).己知a=(-1)〃，数列｛4｝的前〃项和为S，则$与$。的值分别是()A.1,1 B.-1,—1C.1,0 D.-1,0【解析】选口.$=—1+1—1+1—1+1—1+1—1=一1,S10=5)+a10=-1+1=0.2.数列｛(一1)"(2〃-1)｝的前2020项和S侬等于()A.-2018 B.2018C.-2020 D.2020【解析】选D.£。20=-1+3—5+7 (2X2019—1)+(2X2020-1)=2X1010=2020.3.已知数列｛a.｝,句=2,a〃+i—2a〃=0,bn=\og2an,则数列｛6〃｝的前10项和等于( )A.130 B.120C.55 D.50【解析】选C.在数列｛a〃｝中,a、=2,a〃+i—2a„—0>即‘二=2,所以数列｛4｝是以2为首项，2为公比的等比数列.4所以&=2X2"|=2".所以bn=log2^n=n.教师专用则数列伉｝的前10项和为1+2+…+10教师专用【加练备选】（2021•济南模拟）已知数列｛4｝的前〃项和为S,a=l,Sn=2a„+i,则S=()3A.(- B.2厂1乙2 1「1C.(-尸 D.- (-)i-i*j j乙【解析】选A.由S=2a〃+i可得S=2(S,+i—S)>可得3s=2S+”即兴=|TOC\o"1-5"\h\z3 3所以数列｛$｝是以S=d=1为首项，-为公比的等比数列，即S=(7；)i.已知数列｛a.｝满足国=1,且对任意的〃GN*都有为+|=团+4+〃，则••,的前100项和为()100 99 101 200a—r— 「—n—101 100 100 101【解析】选D.因为a〃+i=ai+a0+〃，国=1,所以1—1+〃.所以3n—4一］=〃(，22).所以an=(4—di)+(&_】—a«-2)H F(a2-5i)+aI=n+(〃—1)+…+2+1=^~~.所以5'"11)=2七一岩)•所以今的前100项和为2(1-尹5-1+…+而一面)=2。—而)=而.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分).(2022•中山模拟)已知等差数列｛a｝的前〃项和为S,若a=31,5,0=210,则下列结论正确的是()A.若儿=(一»•a“,则数列0｝的前2020项和为4040B.数列｛2%｝是公比为8的等比数列C.$9=19^9D.若A=-L,则数列｛4｝的前2020项和为9例24249【解析】选AD.等差数列｛4｝的前〃项和为S,若a=31,5,0=210,设｛a』的公差为d,则有］in一一…，［So=10a+45d=210解得a1=3,d=4,故4=4〃-1,若bn=(-l)n•a„=(―l)n•(4/7—1),则｛4｝的前2020项和石。2。=-3+7—11+15 1-8079=4X1010=4040,故A正确；由a=4〃一19得2&〃=2"I

令4=2""',C|=2',则当“22时，=98<„-d-1=2',Cn-\z则数列｛2aJ是首项为2,，公比为2H的等比数列，故B错误;由等差数列的性质可知(句+加)(句+加)X19519= Q(句o+40)X19= 2=19囱o，故C错误;右bn右bn-]

(4/7—1)(4/7+3)（kI—访运），则㈤的前2020项和1 、1 、 2020 .十.8083=24249'故D正确.D.Sn=73〃+72"^020=4X(3~7+7-TT+…+.6.（2022•济南模拟）已知数列｛4｝满足2国+23+…+2%,=包#,数列｛4｝的前〃项和为S,则下列结论正确的是（）6.A.团的值为2B.数列｛4｝的通项公式为4=（3〃+1）X2〃C.数列｛4｝为递减数列【解析】选ACD.当〃=1时，2al=4,所以且=2,所以A正确;当时,2a+22a当时,2a+22a2+…+2"1aLi=3(a—1)'+5(〃-1)2所以2"a〃所以2"a〃=34+5〃2一3(77-1)2+5(77-1) =3/?+1,因为上式对n因为上式对n=1也成立，所以a„――7；-（nGN*）,所以B错误;3〃+4 3/7+1 3n+4-677-2 —3〃+21i1//a+1 3,n 2"+| 2〃 2"+' 2什I *^0,所以数列｛4｝为递减数列，所以c正确；Ld4,7,10, ,3n+l因为Sn=~+^7+—rH 1-2„ ,所以3 +学-I 卜，两式相减得，S—3S=gS„

=2+3仗+彳-1 1-m3〃+12"+1=2+32-2-=2+3仗+彳-1 1-m3〃+12"+1=2+32-2-3〃+1_7 3/7+72n+l=2__2n+,所以S=7-.所以D正确.三、填空题（每小题5分，共10分）7.已知数列｛aj满足4=1,a.+i•a〃=2"（〃GN*）,则£020=.【解析】因为数列⑷满足4=1,a„+i*an=2",①所以当〃=1时，a2=2,当时，an*a„-i=2"'',②由①+②得—=2,

1所以数列｛4｝的奇数项、偶数项分别成等比数列,1-210'0 2(1-2101°)所以S020~~[ 2-I] 2=3X210,0-3答案：3X21010-38.已知数列｛4｝的通项公式为&=（一1尸常设a=a.+a+,则数列｛cj的前200项和为【解析】记数列｛c.｝的前200项和为&北=。+乙2H Fci99+c2oo=a+a?+4+&+…+S199+3200+3200+a20l=21(a[+及)+(as+a)H F(al9g-ba2oo)]-3]+a20i=2[(4-l)+(16-9)4 1-(2002-1992)]+1-2012=2X[3+7+11+…+399]+1-201=2X100X(3=2X100X(3+399)2+1-2012=40200-40401+1=-200.答案：一200【加练备选】｛4｝是公差不为0的等差数列，伍｝是公比为正数的等比数列，a=A=l,

a、=bi，&=b”则数列｛a.4｝的前〃项和等于.【解析】设等差数列的公差为d(。字0),等比数列的公比为q(q>0)l+3d=</1+7l+3d=</1+7d=q'解得d=\q=2d=Qg=l(舍去),所以a„=n,况=2"一',则anb„=n'2"’,设数列｛a.6.｝的前n项和为S,„则S„=1X2°+2X2*4-3X22H FnX2"_1®.所以25'=1X21+2X22+3X2j4 F(/?-1)•2Tl+n*2"②;①一②得：-S=l+2'+2z+…+2“t—a・2",所以一~n•2",1-乙整理得S=(〃-D•2"+l.答案：(n-l)-2Z,+1四、解答题(每小题10分，共20分)(2021•大同模拟)在数列｛4｝中，a=3,a.=2a〃T+〃-2(〃22,且〃GN*).(1)求及和a3的值；(2)证明数列｛a+〃｝是等比数列，并求｛4｝的通项公式；⑶求数列｛4｝的前〃项和S.【解析】⑴因为句=3,所以az=2ai+2—2=6,所以a3=2a?+3—2=13.⑵因为a〃=2a“_i+〃-2,所以4+〃=2(&_1+〃-1),〃22.又科+1=4,324-2=8=2(3)+1),所以｛a“+〃｝是以4为首项，2为公比的等比数列.所以&+a=4X2"T=2"+i,所以a=2e一〃.(3)5；=22-l+23-2H F2n-(/7-1)+2"+,-??=22(2n-l) =2^-n+^+8.(2022•烟台模拟)已知数列｛a,,｝是递增的等差数列，a=7,且a,是a与铀的等比中项.⑴求数列｛4｝的通项公式；(2)①1(2)①1

y[a„+y[a^i②4=a4+2"；@b„=an•2".从上面三个条件中任选一个，求数列｛4｝的前〃项和％.【解析】(D因为｛a｝是递增的等差数列，所以数列｛4｝的公差力>0,

&+2d=7(Si+3(/)由题意得:2=at&+2d=7(Si+3(/)由题意得:a=3,d—2,所以a〃=3+2(A—1)=2a+1.(2)选①时，a〃+i=2(〃+l)+l=2〃+3.b 1 1 )2〃+372〃+1TOC\o"1-5"\h\zny[an+y[a^+i^2/?+1+^2/?+3 2=—1(=2〃+l_、2〃+3),所以T0=b、+庆+从~\ 1-b„=—1•[(^3—4)+(乖一小)+(巾—^9)H F(k-低而)]=低可f.选②时，4=a〃+2"=(2〃+l)+2",2•(1-2”)1-2=rf+2n+2"+'-2.n(2a+4)所以3=b、+&+/%+…+6〃=(3+5+7+…+2〃+1)+(2'+22+23+2•(1-2”)1-2=rf+2n+2"+'-2.选③时，a=&・2"=(2a+1)•2",7；=A+Z%+M •214-5•22+7•23H F(2n+1)-2",则22=3•22+5•23+7•2'+-+(2/j+I)-2n+1,两式作差得：8.(1—2"-')一北=3•2'+2•22+2・23H F2•2”—(2a+1)•2,,+1=6+ ;~7 一(2〃+l)1-z•2n+l=(-2n+l)•2n+,-2.所以Tn=(2/7-1)•2"'+2.素养提升练20分钟40分.（能力挑战题）定义 为〃个正数a,m,如”,的“快乐数”.若已知正项数列{4}i=l的前〃项的“快乐数”为，则数列丁〜逆4一T7T的前3/7।1 （4十2） （a〃+i十2）019项的和为（）2018 2019 2019 2019A，2019 2020C2018D,1010

【解析】选B.设数列｛4｝的前〃项和为S，则根据题意卷，2=3万+〃，所以a尸5n3〃十1〃=1时也适合，所以&=6〃-2,所以（&+2〃=1时也适合，所以&=6〃-2,所以（&+2）«田十2）11nn+136]6/7(6〃+6)n11nn+1所以'(a“+2)(a.+i+2)|的刖2019项的和为1一万+2-3 卜201912020=11 2019―2020=2020,22.(多选题)(2022•汕头模拟)已知正项数列｛4｝的前〃项和为S,且句=1,a=2S+〃"+I+1(〃GN*),设数列」一的前〃项和为北，则北的可能取值44+1,为()1 1 4A.~B.~C.7D.1o Z □2【解析】选BC.因为a=2S+〃+l(〃GN*),n+12TOC\o"1-5"\h\z所以时，a=25^+(〃-l)+l(〃£N*),n2 2两式相减，得—a=2$—221+1(〃22),/r+l n2 2即a—a=2a“+l(〃22),/H-l n2 2所以a=a+2a“+1(〃22),"+1 n2即a=(4+1)2(〃22),/rrl因为数列｛4｝为正项数列，所以a〃+i=a〃+l(〃22),即S,74-i—a=1(〃22).2又因为句=1且数列｛4｝为正项数列，a=2S+1+1=4,即&=2,所以&一@=1,所以数列｛4｝是首项为1,公差为1的等差数列,所以a所以a产n,所以£=n（4i）11n〃+1'+…+€当〃=1当〃=1时，北；当〃=4时,4Tn=S-3.设数列｛4｝的前n项和为Sn,已知ai=l,a?=2,且3.设数列｛4｝的前n项和为Sn,2logz&.，则数列｛（一D"・b｝的前10项和为n【解析】因为句=1,及=2,且a〃+2=2S—S+i+3,所以4=2—3+3=2.因为4+2=2$—S+i+3,所以422时，&+i=2St—S+3,两式相减可得4+2-4+i=2(S—S—J—(S+i—S)(〃22),即，22时，区+2-4+i=2a〃一品+1,即a+2=24.因为a=24所以数列｛4｝的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2,所以&〃=2X2"।=2",421=1X2"|=2"19所以bn=log2a2,,-i+log2^=n—1+n=2n—1,2则(-l)Jb=(一1)(2〃-1)2,口2则数列｛(一1)7｝的前10项和为T„=(32-12)+(72-52)+-••+(192-172)n=2X(4+12+20+28+36)=200.答案：200.已知数列｛a』的前〃项和S=10〃一#,数歹满足6〃=|a/,设数列｛4｝的前〃项和为Tn,则T\—,4o=.【解析】当〃=1时，团=5=9,当〃22时，a“=S—St=10〃一;/—[10(〃-1)— =—2〃+11,当〃=1时也满足，所以为=-2〃+11(〃GN*),所以当〃〈5时，a„>0,b„=an,当〃>5时，an<0,b„=—a„,所以3=5=10X4-42=24,九=戈一&一a a3O=25-So=2X(10X5-52)-(10X30-302)=650.答案：24650

.(2022•八省联考)设等差数列｛4｝的前〃项和为S，已知团=3,S=5苗.(1)求数列｛4｝的通项公式；⑵设A=l+w,数列上｝的前〃项和为&定义［切为不超过X的最大整数，例如［0.3］=0,［1.5］=1.当［；；］+"］+•••+［北］=63时,求〃的值.【解析】(1)设等差数列｛4｝的公差为&因为a=3,则S=34+3d=9+3d因为£=54=15,贝Ij9+3d=15,得d=2.所以数列｛a〃｝的通项公式是a.=3+2(〃-1