导数压轴题双变量问题题型归纳总结

1111导数应用之双变量问题（一）构造齐次式，换元【例】已知函数/3=/+6+0lnx,曲线y=〃x）在点（1J⑴）处的切线方程为y=2x.（1）求实数〃的值：（2）设尸a）="x）一炉+雁叩〃£夫）,不々（0＜武。2）分别是函数尸（力的两个零点,求证:尸（斤）＜。.【解析】⑴a=l,b=T：(2)f(x)=x2+x—Inx,F(x)=(14-/n)x-lnx,Fr(A)=/??+l-—,因为ME因为ME分别是函数F（x）的两个零点，所以(l+/n)jj=In%) 一1，iInx.-Inx^[a+M.z两式相减，得仙=学丁产'(衣E)=〃?+l意，要证明%斤）只需证号等＜忘・Inx一加岛产'(衣E)=〃?+l意，要证明%斤）只需证号等＜忘・Inx一加岛思路一：因为只需证। 2令/=心80,1),即证21n1+；>0.令力(。=2廿/+；(0々<1),Ijll]//(；)=?_1_l=_IiZ!L<0,所以函数人（1）在（0,1）上单调递减，M，）＞M1）=O,即证2hWT+；＞0.由上述分析可知仪历T）＜o.【规律总结】这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把4超转化为I的函数，常把公&的关系变形为齐次式，设，=?」=皿?・，=.*-8,"八一三等，构造函数来解决，可称之为构造比较函数法.入2 人2思路二:因为0<X]<x2,只需证-始不设。(x)=mn.思路二:因为0<X]<x2,只需证-始不设。(x)=mn.则所以函数Q（x）在（。，&）上单调递减，。（力＞。（&）=（）,即证lnxTn±＞R.\!X2X由上述分析可知/（斤）＜0.【规律总结】极值点偏移问题中，由于两个变量的地位相同，将待证不等式进行变形，可以构造关于M（或公）的一元函数来处理.应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明.此乃主元法.【变式训练】已知函数f（x）=Jx2-axlnx+ax+2（aeR）有两个不同的极值点X,,左,且也＜9（1）求实数a的取值范围；（2）求证：x区V/.【分析】（1）先求导数，再根据导函数有两个不同的零点，确定实数a所需满足的条件，解得结果，（2）先根据极值点解得再代入化简不等式治右＜£,设）1二乙构造一元函数，利用导数研究X]函数单调性，最后构造单调性证明不等式.【解析】（1）略(2)f'(x)=x-alnx,g(x)=x-alnx,由x,，x：是g(x)=x-alnx=O的两个根,"Inx)=x,(Xq-Xif(In卫)2

X|则〈t:两式相减，得a(lnx「lnxj)=x^xi)(Xq-Xif(In卫)2

X|即证(In也)2<上上二包-2+%,X, X2XjX]X2TOC\o"1-5"\h\zX) 1 1由XiVx门得；•二t>l,只需证Irft-t--+2<0,设g(t)=ln-t-t--+2»X] t t2 11 1、)贝ijg'(t)二一Int-l+r=-21nt-t+-,

1 2 1 1令h(t)=21nt-t+-,：.hf(t)二一一1--(--1)2<0,Ah(t)在(1,+8)上单调递减，Ah(t)<h(1)=0,.•・g' (t)<0,即g(t)在(1,+8)上是减函数，.・.g(t)<g(1)=0,即In,tVt-2+工在(1,+°0)上恒成立，/.XiX：<^\【变式训练】已知函数/（x）=——x+2/Inx.（1）讨论了（X）的单调性：（2）设g（x）=lnx-Z?x-cf,若函数的两个极值点玉,々（不<々）恰为函数8（刈的两个零点，且y=(x1-w)・g的范惘是In2——,+oojy=(x1-w)・g的范惘是In2——,+ooj,求实数a的取值范同xx2-2ax+\【解析】（1）/（X）的定义域为（0,+8）,广（x）=U—l+心若则r（x）〈o,当且仅当〃=i,工=1时，r（x）=o（ii）若a>1,令/'（X）=0得％=a—_l,x2=4+>Ja2—1.当xe（0,a--l）U（a+Ja--1,+°°）时，/'（1）<0；当x —l,a+—1）时,/'（x）>0,所以，当时，“X）单调递减区间为（0,+引，无单调递增区间；当“>1时，f（X）单调递减区间为（0,a—d。--1）,（a+yja'—1,-+<o）；单调递增区间为（a-—i,a+2-i）

(2)由(1)知：4>1且X[+工2 =1•又g'(x)=,一人一2cx,X内+勺I由8（%）=8（工2）=。得111'="（内—，2）+。（灯一X；）,，=『）《亨卜号〃（玉一毛卜虫；一。，=『）《亨卜号〃（玉一毛卜虫；一。2%一1=2(1-乜)__=」--InA,令上=fw((M),.・.y=^L±—in/,

x[+x2x2%+]X2*2 /+1X2・•.）/=.；：♦：¥<0,所以）'在（0』）上单调递减.2由2由y的取值范围是ln2--,+co得下的取值范围是°,彳,Vx}+x2=2a9A(2a)2=(玉+My=x；+2x^+x；= 一"士=%+土+2,TOC\o"1-5"\h\zxxx2 x2一2XMc1c「9 '/. =—+—+2=f+-+2e；,*c,又••,“>1,故a的取值范围是X?Xt\_2 J(二)各自构造一元函数【例】己知函数£(x)=lnx-(a£1).(1)求f(x)的单调区间；x3(2)设g(x)=7/?-y——+—，若对任意的石£(0,+8),存在*二£(1,+8),使得f(xjV§(*)44x成立，求实数a的取值范围.【分析】(1)函数求导得/'(工)=，一。=匕丝，然后分aWO和a>0两种情况分类求解.X X(2)根据对任意的石£(0,+8),存在济£(1,+8),使得/"(乂)<§(%)成立，等价于f(x) (.y)3,然后分别求最大值求解即可.【详解】(1)略+以―3=(").3),Vx44x24x2 4x2在区间(1,3)上，/(x)>0,g(X)单调递增，在区间(3,+8)上，gf(x)VO,g(jv)单调递减，所以g(x)皿=g(3)=7n3--,2因为对任意的%£(0,+8),存在济£(1,+8),使得f(石)Vg(正)成立，等价于f(X)aVg(x)X由(1)知当aWO时，f(x)无最值，当a>0时，r(x)«,=/(-)=-Ina.所以-1加<］小—!，所以lna>ln正，解得。 2 3 3【变式训练】【广东省2020届高三期末】设函数/(幻=(。+这-。)0-”仅£11).(I)当，=0时，求曲线y=/(x)在点1))处的切线方程：⑵设g(x)=/7—1,若对任意的，e［0,2］,存在se［0,2］使得"s)lg(f)成立,求。的取值范围.【解析】⑴当〃=0时，因为〃力=£・于、，所以广3=(一/+24//(—1)=—3«，又因为/(一1)=6,所以曲线>=/(力在点(一1,/(一1))处的切线方程为了一6=-36(工+1),即3ex+y+2c=0.(2)“对任意的，40,2］,存在se［0,2］使得”s)Ng(/)成立”等价于“在区间［0,2］上，/(工)的最大1 C值大于或等于g(x)的最大值”.因为g3=/7-l=x-1 所以g(x)在［。,2］上的最大< 2)4值为g(2)=l./'(x)=(2x+4>eT +ax-aye~x=—e~x|^x2+(i/-2)x-2r/J=-e~x(x-2)(x+a),令/(工厂。，得1=2或%=-".①当—〃<0,即时，尸(力之0在［。,2］上恒成立，/(X)在［0,2］上为单调递增函数，“X)的最大值大为〃2)=(4+a),L，由(4+〃)・」21,得az/-4：②当0<—。<2,即一2<〃<0时，当/式0,一。)时，f(X)为单调递减函数，当其<—。,2)时，6(x)>0J(x)为单调递增函数，所以〃x)的最大值大为/(0)=—。或〃2)=(4+a)」.由T/21，得〃<—1；由(4+4)♦-1r21,得4之/—4，又因为一2<4<:0,所以一2<。<一1：③当—〃之2,即a«—2时，/。)<0在［0,2］上恒成立，“X)在［0,2］上为单调递减函数，所以/(X)的最大值大为/(0)=一。，由一。之1,得。V—1,又因为。工一2,所以。工一2,综上所述，实数。的取值范围是或〃2/一4.(三)消元构造一元函数【例】已知函数()=｛：；」' :，函数=(()+-0-(g)恰有两个零点/和2,(1)求函数()的值域和实数的最小值：(2)若7<力且」+2恒成立，求实数的取值范围.【解析】(1)当工。4，()=e-+1>2.当>如寸，()=3广>0. ()的值域为(0,+8).令(()+/)=»"()+2> (()+/)>2.•• >2.又()的单调减区间为(—8,。，增区间为(。+8).设()+1=1， ()+2=少且1<0, 2>L：.()=/—1无解.从而（）=要有两个不同的根，应满足2-122,2>3.・・• （2）=（（）+0之2。即>2s[3.的最小值为⑵ =（（）+1）~有两个零点八 2且X2,设（）=，€[2+8）,：•£2+1= ,・•・ /=-ln（—t）. _5= ,・•・ 2=—.•••一ln（一/）+丁之1对W[Z+8）恒成立设（）=-1M~2）+-- （）=—+-=.1.€[2+8）, 2— €[2+8）恒成立..・.当2<2,即<1时，’（）之0，（）在[2+8）上单调递增.二（）>（0=-lnl+l-l=0成立.当时，设（）=2— —2.由（2）=4-2—2=2-2<0.•••306（2+8）,使得（。）=。.且当W（Z.）时，（）V0，G（。+8）时，（）>0..•.当6（2°）时，（）单调递减，此时（）V（0=0不符合题意.综上，<1.【变式训练】（）='+ -In.（1）若函数（）在[2司上单调递增，求实数的取值范围;（2）当=制，若方程（）=?+2有两个不等实数根P2,求实数的取值范围，并证明2VL【解析】（1） '（）=2+―一，•.•函数（）在[2,可上单调递增，.•・'（）20在€[2,5]恒成立，即2+一-之匆€[2,5]恒成立，.・.之匚」对€[2,5]恒成立，即 >（—）,G[2,5],令（）==（€[2,5]）,则'（G[2,5]）,.,・()在［2,5］上单调递减，.,・()在［2,5］上的最大值为(0=-&的取值范围是［一$+8).2)•・•当=刎，方程()=?+2=-In- =0，令()=—In—(>①贝IJ'()=2--,当6(0,1)时，'()V0,故()单调递减，当6(1,+〜)时，'()>。，故()单调递增，•••()min=⑺=1一•若方程()=2+2有两个不等实根，则有(猫nV。，即>九TOC\o"1-5"\h\z当>I时，0<-<1< , (■)=->0, ( )=一2,令()= -2(>。则'()= -2>0,()单调递增，()>(/)= -2>0,•.()>0，・••原方程有两个不等实根，，实数的取值范围是(1,+8).不妨设1< 2，则0V1<1< 2，0<--<1,J2Vl= (D>(D=(》=O, (1)-(+)=(2)-(”(2-lnL)-(七一In一)，=2---21n冬令()=一三一0n(>/),贝ljz()=1+:一£=(_L_［J>0,••()在(1,+8)上单调递增，，当 时，()>(2)=0,即2-工一0n2>0,・.(1)>(+),.,•/(四)独立双变量，化为两边同函数形式【例】已知函数f(x)=，(l-Inx),其中I为非零实数.(1)求的极值；(2)当0=4时,在函数g(x)=/(x)+V+2x的图象上任取两个不同的点M(x，y)、N(4,丁2)•若当。＜玉 ＜，时，总有不等式g(xj-g(x2)之4(%—々)成立，求正实数/的取值范围：【详解】(1)略；(2)当〃=4时，f'(x)=Ylnx,g(x)=x2+2x-4\nx,当0＜再＜看＜，时，总有不等式g(A)—g(w)之4(王一々)成立，即g(xj—4x之8(々)一4々，构造函数F(x)=g(x)-4x=x2-2x-41nx,由于。＜的＜々＜，，F(^)＞F(x2),则函数y=/(x)在区间(0/)上为减函数或常函数，F(x)=2x-2--=2tV-2)( 解不等式尸'(x)〈O,解得0cx42.X X由题意可知(0」)q(0,2], 因此，正实数，的取值范围是(0,2]；【变式训练】设函数/'(x)=lnx+g,keR.(1)若曲线y=/(x)在点(ej(e))处的切线与直线1一2=0垂直，求/")的单调递减区间和极小值(其中“为自然对数的底数)：(2)若对任何%＞々＞°，/(%)一/(々)＜％一々恒成立，求k的取值范围.【解析】(2)条件等价于对任意用 ＞0，/(%)—内(々)一々恒成立，k设〃(x)=/(x)-x=lnx+——x(x＞0).则力(x)在(。,+O0)上单调递减，

1k则〃（x）=——F—IWO在（0,e）上恒成立，得上之一/xxI2)+；（x>0）恒成立,1k则〃（x）=——F—IWO在（0,e）上恒成立，得上之一/xxI2)+；（x>0）恒成立,；・kN：（对女=（,"（%）=0仅在x=g时成立）,故k的取值范围是打力【变式训练】已知函数（）= +In.（I）求函数（）的图象在点（L1）处的切线方程;（n）若e，且（一1）v（）对任意>1恒成立，求的最大值;（III）当》之丽，证明：（【解析】(【),.・ ()=In+Z・•. (=2,函数（）的图象在点处的切线方程=2一1：（1【）由（I）知，（）=+In-2）<（），对任意>1恒成立,即〈丹/对任意 恒成立.令（）==h，则'（）=三令（）=-In—4>7）,则（）=1 = >0，所以函数（）在（1,+叼上单调递增.V（3）=ln3{0f（0=2—21np0,••・方程（）=0在（1,+8）上存在唯一实根»且满足oW（3,4）.当IV< 0时，（）V0，即'（）V0，当>0时，（）>0,即,（）>0,所以函数（）=—三二在（1,。）上单调递减，在（0+8）上单调递增."［（）lmin=（0）=-：J=」-+_；-=QG（3,4）, <［（）］min=oE{3,4）,01 01故整数的最大值是3.

是［4+8)上的增函数,是［4+8)上的增函数,(Ill)由(II)知，()=...当> > 即(-2)(2+In)>(-/)(/+ln).整理，得In+In>In+In+(—). >，:.In+In>In+In.BPIn+ln>In+In,即ln( )>ln( )..•・( )>( )(五)把其中一个看作自变量，另一个看作参数【例】已知GER,函数f(x)=ln(x+l)-+ax+2(I)若函数/(X)在［2,+oc)上为减函数，求实数。的取值范围：(II)设正实数叫+〃A=1，求证：对/(X)之/⑴上的任意两个实数为，X2,总有/(见玉+)之m\f(%)+mif(々)成立【分析】(I)将问题转化为了'(X)4。在xe［2,*o)上恒成立，可得-令/?3=2x--L,x+1 X+1可判断出〃(M在［2,一)上单调递增，即力(1)1Tlin=/z(2),从而可得。的范围；(H)构造函数F(x)=f(mvx+m2x2)-mj(x)-m2f(x2),xg(-1,x2］,且一1<占〈占：利用导数可判断出外”在xw(—1,七］上是减函数，得到F(x)之尸(々)，经验算可知?(々)=0,从而可得/(〃?/+m2x2)>mj(x)+m2f(x2),从而可证得结论.【解析】(I)由题意知：r(x)=——一21+〃X+1•••函数/(X)在［2,一)上为减函数，即/'(X)<0在X£［2,上恒成立即a<2X一一!一在［2,*c)上恒成立，设/7(x)=2x———X+l X+1单调递减，y=2a-单调递增・・・/?(x)在［2,+8)上单调递增：.h(x),=/7(2)=4--=—>\/nun：.h(x),=/7(2)=4--=—>\/nun\/ 3 3(II)设一1<七《&，令：/(力=/(见工+/巧&)一""(工)一，巧/(无2)，/£(一1，毛]则F(X2)=/[(明+吗)W]-的+m2)f(X2)=0...尸'(X)=〃"'(，〃/.+m2x2)-mj,(<x)=叫[/'(叫x+吗W)一/'3]\*m{x+m2x2-x=x(m1-\)+m2x2=-m2x+m2x2=/n2(x2-x)>0.?.m}x+m2x2>x•.•/(1)=1-2%+明令g(x)=r(x),5liJ^W=-7—r-2<0X+1 l.'十iJr(x)在Xe(—1,y)上为减函数，.•/)</'(x)「・,1l\[/+,n2x2)-ff(x)]<0,HPFz(x)<0.,.F(x)在reQI,9]上是减函数，••・F(x)NF(R2)=0，即F(x)之0:'f(见X+吗&)一叫/(X)一〃h/(r2)20「・X£(-1,&]时，f("?/+加2々)之见f(x)+tnif(x2)v-l<X{<X2,：.f(班X]+〃/2毛)2,n\f(玉)+m2f(^2)【变式训练】已知函数()=一，()=(+)ln(+)—・(1)若=1, ()= ()，求实数的值.⑵若，€+， ()+()>(。+(劣+ ，求正实数的取值范围.【解析】(1)由题意，得‘()=一1， '()=ln(+)，由=1， ，()=，()…①，得 -ln(+1)-1=0.令()=-ln(+1)-1,则'()=一告，因为()= +―示>。所以‘()在(一1，+8)单调递增，又‘(4=0，所以当一1< 时，’()>。，()单调递增：当忖，’()V0,()单调递减；所以()<(6=0,当且仅当=。时等号成立.故方程①有且仅有唯一解=o,实数的值为0.(2)解法一：令()=()- +()-(0-(0( >0),则'()= -(+》所以当>ln(+2)时，'()>0，()单调递增；当0V<ln(+/)时，()V0, ()单调递减；故()之(ln(+2))= (ln( +/))+ ()- (0- ⑼-ln(+2)=(+)ln(+)-(+2)ln(+2)-In.令()=(+)ln(+ )-( +J)ln( +/)- In( >0),则z()= ln(+)-ln(+/).(i)若时，'()>0，()在(4+8)单调递增，所以()>(0=0,满足题意.(ii)若=1时，()=«满足题意.(iii)若0VVI时，'()V0，()在(。+由单调递减，所以()<(0=0.不满足题意.综上述：>1.(六)利用根与系数的关系，把两变量用另一变量表示

【例】(2020山西高三期末)设函数/(x)=x—1—alnx(aeR)X(1)讨论f(x)的单调性；(2)若/(若有两个极值点再和与，记过点4M,/(。)),8(吃,/(/))的直线的斜率为3问：是否存在“，使得攵=2-〃若存在，求出。的值，若不存在，请说明理由.【解析】(1)/(x)定义域为(0,+s),/7a)=14-4--=V-T+1-rX厂令g(力=工2-公+必=/_4,①当一2«4«2时，△«()，/'W>0,故/(x)在(0,+勿)上单调递增，②当〃<—2时，/>0,g(x)=O的两根都小于零，在(0,+s)上，/")>0,故“X)在(0,+8)上单调递增，③当。>2时，/>0,g(x)=O的两根为$=色二正三房="也三，2 2当。<X<X］时，/'(x)>0：当为<工<w时，/'(x)<。；当x>&时，6(x)>。;故/(X)分别在(。，%)，(王，”)上单调递增，在(3，%)上单调递减.(2)由(1)知，4>2,因为/(内)一/(々)=($一&)+^1^-4(1叫一1叫).所以k=J(\)]/(2)=]+所以k=J(\)]/(2)=]+11ILV1一busLI， ，十口7c瓜！一liu;——・a一! 又由(1)知，再为=1,于是A=2—。 x,x2X,-x2 X1-x2Inx.-lnx7, . 1若存在。，使得A=2-4，则 -=1,即1nAi-hus=』一/，亦即々一一一21nx2=。(超>1)X{-X2 * x2再由(1)知，函数〃")=/一；—21m在(0,+s)上单调递增，而4>1,所以々一一一21皿2> =°,这与上式矛盾，故不存在。，使得攵=2-4.【变式训练】已知函数2x+ainx,其中。>0.2(1)讨论f(x)的单调性;(2)若〃x)有两个极值点看，七，证明：一3</(%)+/(/)<—2.【解析】(1)解：由题得/'(幻=x_2+q='1_2V+",其中x>0,X X考察g(x)=x?-2x+a，x>0,其中对称轴为x=L△=4-4a.若。21,则A40,此时g(x)N0,则/*)之0,所以f(x)在(0,+8)上单调递增;若0<4<1,则/>0,此时/一2工+〃=0在/T上有两个根A=l—J匚w=l+J匚£,且0<X<1<x2,所以当xw(0e)时，g(x)>0,则/(x)>0,/(X)单调递增；当xe(内,公)时，g(x)vO,则/'(x)vO,.f(x)单调递减：当xe(/,+⑹时，g(x)>0,则/‘")>0, 单调递增，综上，当。21时，"X)在(0,长。)上单调递增：当0<。<1时，在(0,1—J匚G)上单调递增，在(1一JPG』+JP7)上单调递减，在(1+ +8)上单调递增.(2)证明：由(1)知，当时，f(x)有两个极值点再，X2，且内+占=2,x{x2=a,所以/(%)+/(占)=-2Xj+aInx]+—x1-2x2+aInx22 2=—(玉2+x；)-2(x}+x2)+a(In/]+Inx2)2]-2(3+±)+aIn(x}x2)=；(22—2a)—4+6/Ina=aIna—a—2.令〃(x)=xlnx-x—2,0<x<b则只需证明一3v/?(x)〈一2,由于"x)=lnxvO,故〃(x)在(0,1)上单调递减，所以⑴=一3.又当0cxe1时，x(lnx-l)v0,故〃(x)=xlnx-x-2=x(lnx-l)-2v-2,所以，对任意的0cxe1,-3<h(x)<-2.综上，可得一3</(%)+/(&)<-2.【变式训练】已知函数/(x)=ln--ax-2+x(a>0).2x(1)讨论函数f(x)的极值点的个数：(2)若f(X)有两个极值点修，与，证明：/(2)+/(々)>3-4出2.【解析】(1)由题意，函数/(x)=ln」--a¥2+x=-ln2x-ax2+x,2x1 —9/Jv-4-X—1得/，(工)=一2一24二+1="'十II,X£(0,+8),X X(i)若a=O时：//(x)=-~~-.x当xe(o,d时，r(x)<。，函数/(x)单调递减；当xw(i,+s)时，/(外>。,

函数,f（x）单调递增，所以当X=l，函数”X）取得极小值，x=l是/（X）的一个极小值点;（ii）若。＞0时，则△=1一&740,即■时，此时r（x）40,7（%）在（0,+s）是减函数，;（X）无8极值点，当。时，则—令3）=。，解得VE”令当X£（0,X1）和工£（知+8）时，/'（x）vO,当X£（X],々）时，/'（X）＞0,•••/（X）在阳取得极小值，在当取得极大值，所以/（x）有两个极值点,综上可知：（i）"=0时，/（X）仅有一个极值点；（ii）.当时，/（上）无极值点:8（iii）当Ovav』，/（X）有两个极值点.8（2）由（1）知，当且仅当“e（0-）时，/（X）有极小值点M和极大值点看，8且为,占是方程2ax2—x+1=0的两根，/•%+X)=-―,不片=--2a-2a则/（巧）+/（电）=ln则/（巧）+/（电）=lnax；+M+In-ax?+x2]+;2a1al.1 . 1.i324a2a=In-- F1H ina- 24a2aTOC\o"1-5"\h\z1 1 1 1 4〃一1设g(。)=In4+—+1—In2,ae(0,一)，则g'(a)=————-= —<0,4a 8 a4cr4(r，“e(0-)时，g(a)是减函数，g(a)>g(—),Ag(«)>ln-+3-ln2=3-41n2,8 8 8j/(X])+/(&)>3-41n2.三、跟踪训练

1.已知函数f(x)=x--+aInx(aeR).x(1)讨论函数)，=/3)的单调性;(2)若OSvl,g(x)=fM+--bx,且存在不相等的实数再,x2,使得g&)=g(%),求证：”0A/7-1>/7-1>x2xr【解析】(1)由题意，函数/(x)=x—L+alnMaeR)，可得/<x)=1+-^+3=匚”土！*>0),X rXJC当〃之0时，因为戈〉0,所以/+您+1>0,所以/'(乃>。，故函数.f(X)在(。，+8)上单调递增;当一244co时，Anl-dWO,x2+O¥+1>0t所以/'(x)>。,故函数/*)在(0,+8)单调递增；当。<一2时，/'(x)>0，TOC\o"1-5"\h\z解得0<\・<一4一木工或X>—"+"T赢'/'W<0,解得F— +2 2 2 2所以函数f(x)在区间|二匕:二4二7：二,上单调递减，2 2\/Z / 、 / \—CI-yj《厂—4 —CI+JCI~—4在区间0,——3 和区间——3 ,+s上单调递增.2 2\ 7 \ /综上所述，当。之一2时，函数/(X)在(0,+8)上单调递增，—J(1-4—a/+Jci~—4当。<—2时，函数/3)在区间——\ .——三 上单调递减，2 2\ ZZ / \ / I \-CI-yj(厂—4 —Cl+yjCl~-4在区间°，——[ 和区间——、 ，+s上单调递增.2 2X / \ /(2)由题知g(x)=(l—〃)x+〃lnx,则g'(x)=1—8+2.x

当心0时,g'（x）>o,所以g（x）在（0,+8）上单调递增,与存在不相等的实数为，为，使得g（$）=g（X2）矛盾，所以〃<0.由g（X]）=g（乙），得（1-b）X]+a\nxA=（1-b）x2+aInx2,所以一〃（11）毛一111%）=（l-/?）（x2-Xj）,不妨设。<%<&，aX）aX）一x1八因为。<2，所以二只需证人一\＞为八,IInx2-Inx,）只需证；“二：->标7,令，=*，/>1,等价于证明口>〃，即证Inf-^vO,Inx2-InXj X] Inr 也令h⑴—宁q>1）,h'（t）=」W?-<0,所以〃（1）在区间（1,2）上单调递减，所以/?（0</2（1）=0,从而Inf一?<。得证，于是]>x,x2.【2020河北省衡水市高三期末】已知函数（）=In—Z（1）令（）=（）+，若=（）在区间上不单调，求的取值范围：（2）当=刎，函数（）=（）-的图象与轴交于两点（1,0）,（乡。，且0V7<2,又‘（）是（）的导函数.若正常数，满足条件+=1，>.试比较‘（1+8与0的关系，并给出理由【解析】（1）因为（）=5--+，所以'（）=一一2+ ,因为（）在区间（。5）上不单调，所以‘（）=旌（。弓上有实数解，且无重根，由（）=0，有=三=2（+1+三）-4, €（。3，令t=x+l>4则行2代」）-4在1:>4单调递增，故式吟(2)V'()=三一2一，又()一 =0有两个实根」，2,，———=〃； i 1-n两式相减，得式InLin2)-( 2)=(L2)，z 少一一)=UTOC\o"1-5"\h\zJ u J•••=’工—"-(1+ 2)，♦-C▲“于是‘(/+ 2)=—£——X ；+I-七"F"+(481+ 2 「2=-f——“…了"+(2-2)(2-1)•I十， 12•/>,：.2<L，(2—1)(2-D<Q要证：'( ；+ 3V0，只需证：一三一一为二5板V0,只需证：一L二一 (*)J . j. 4 .一令―2=W(QI),，(*)化为上j—+in<0,只需证()=]n+上「V。()=--(-i—p>0-()在("2)上单调递增，()V(1)=0,•••In+上丁V0，即r+i-v°・•** ( 1+ 2)VQ2.(2020•江苏金陵中学高三开学考试)己知函数f(X)^ax:+lnx,g(x)二-bx,其中a,b£R,设h(x)=f(x)-g(x),(1)若f(X)在x±?处取得极值，且f'(1)=g(-1)-2.求函数h(x)的单调区间：一(2)若a=0时，函数h(x)有两个不同的零点x,,必①求b的取值范围；②求证：管>1.【答案】(1)在区间(0,1)上单调增：在区间(1,+®)上单调减.(2)①(一」，0)②详见解析【解析】【解析】11【解析】【解析】11试题分析:⑴先确定参数：由'⑺=（-/）-殉得a=b-3.由函数极值定义知‘（3=号+V>=0所以a二"-2,b=l”.再根据导函数求单调区间（2）①当=/寸，（）=ln+ ，原题转化为函数（）=一工与直线=有两个交点，先研究函数（）=一4—图像，再确定b的取值范围是（一上，0）.②一M>[=12>2=In12>2,由题意得Ini+J=aIn，+ 2=0,所以产十一=上二，因此须证Inr-lnZ=；.）,构造函数（）=In-三3即可证明试题解析：（1）因为'（）= +三，所以'（/）= +1,由‘（/）=（一2）—2可得”13-3.又因为（）在=芋处取得极值，所以，（鸟=咚+涯=0,所以a="-2,b=l〃.所以（）=-2+ln+，其定义域为（0,+8）， …"-2'+ +/一（2+2）（-1）（）=-2+—+1= = 令'（）=第1=-3,2=I，当6（0,1）时，'（）〉。，当G（1,+QO） '（）<0，所以函数h（X）在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+2C）上单调减.（2）当=渊，（）=In+ ,其定义域为（0,+3）.①由（）=阳=_—»记（）=-—»则，（）=/丁,所以（）=一也一在（“）单调减，在（，+叼单调增，所以当=时（）=一工取得最小值一,又（今=0,所以6（0,2）时（）>0,而W（I,+8）时（）V0,所以b的取值范围是（一丁，0）.②由题意得In/+j=0,In2+ 2=0，1111所以In1三+（i+2）=，lnIn2+ （?-q=0,所以'：二=上二,不妨设xl〈x2,ln jLN要证1>2,只需要证In12=上士4,-lnD>2即证In「In；>J；->设=-（>1），则（）=ln-^p=ln+-—2,所以'（）='一厂干=5=9>0,所以函数（）在（1,+8）上单调增，而（2）=0,所以（）>戊5In 所以」2>2.考点：函数极值，构造函数利用导数证明不等式3.【福建省2020高三期中】已知函数（）= （ - +）有两个极值点」，？（1）求的取值范围：（2）求证：212V 42【解析】（1）因为（）=（一+）,所以（）= （- +）+ （ -）= （2 - ），令'（）=0，则2当=。忖，不成立：当w4时，三=一•令（）=一,e所以（）=土一，当VI时，’（）>0,当>1时，'（）V0，所以（）在（一8,2）上单调递增，在（Z+8）上单调递减，又因为（■（）=三，当7—8（时，（）T_8,当T+8n寸，（）T0,因此，当0V三<」时，（）有2个极值点，即的取值范围为（2,+8）.（2）由（1）不妨设0V：＜1＜多且｛；: 1,所以（: I所以2-j=In2—Inj,l/十2- 十 2要证明212V1+2,只要证明21/In「In]）Vf,即证明0n（U）V-^-三，设子=（＞0,即要证明0n-+-＜0/£€（4+8）上恒成立，记（）=0n- +-（＞f）, ，（）=二—---：7=—（[J＜0、所以（）在区间（4+叩上单调递减，所以（）v（2）=0,即21n- +三V0,即2j2Vj+2・4.【安徽省示范高中皖北协作区2020届高三模拟】已知函数（）=一;"—2In.一（1）讨论函数（）的单调性：（2）设（）='（）,方程（）=（其中为常数）的两根分别为，（v）,证明：’（一二）＜。・注：‘（），’（）分别为（），（）的导函数.【解析】（1）函数（）的定义域为（。+8）, '（）=-+2-二=一二2一：令（）=—2， =4—8,①当工而，即知时，恒有（）40,即‘（”0,•・函数（）在（0,+河上单调减区间.②当＞册，即V纲，由（）=0,解得1=1一«1-2,2=1+J1-2，⑴当0V〈加，当 。,（/8）时，（）＜0,即’（）V0,当€（/，2）时，（）＞0，即（）＞0，•・函数（）在（0,）（》+叼单调递减，在（.白上单调递增.

（ii）当< （。=-2NO,当G（9+8）时，（）vo,即‘（）v0,当6（"8时，（）>0，即（）>0，•・函数（）在（乡+叼单调递减，在（0,“上单调递增.证明（2）由条件可得（）=一+2—>0,•.’（）=-I+J,・•方程（）=（其中为常数）的两根分别为，（V）,・・{,J：可得=2,（4_）=--z+rrT=-7+rrT=_7+=f=^'：0< <,：.0<-<1,・.一+—>2,••（!）=-+士<一+1=。..（2020江苏徐州一中高三期中）设函数/（x）=x"+〃"n1-1,其中〃eN・，〃22,且阳WR.（1）当〃=2,加=一1时，求函数/（x）的单调区间；（2）当〃=2时，令g（x）=/（x）—2x+2,若函数g（x）有两个极值点演，x”且王<々，求g（^）的取值范闱；【答案】（1）见解析：（2）【答案】（1）见解析：（2）l-21n2,0：（3）见解析1111【解析】【解析】2121【分析】⑴将〃=2，〃2=-1代入解析式，求出函数的导数，从而即可得到函数/(X)的单调区间：(2)由题意知g(x)=G-2x+l+minx,求导,从而可得2/一2工+〃7=0，由方程2/一2%+〃?=0有两个不相等的正数根再，占(不＜七)可得。＜〃?〈：，由方程得±=二''I""，且由此分析整理即可得到答案：(3)求出函数的导数，得到了(X)的单调性，求出了(X)的最小值，通过构造函数结合零点存在性定理判断函数的零点即可.【详解】(1)依题意得，/(x)=x2-lnv-l,xg(O,-kx＞), /,(x)=2x--=2a—1.XX令/'(x)>0,得x>乎：令/'(x)<。，得o<x<芋.2 2则函数在0,上单调递减，在上单调递增.则函数在0,上单调递减，在上单调递增.(2)由题意知：g(x)=x?—2x+l+〃zhu.则g，(x)=2x_2+3=2入―2十〃，X X令g'(x)=。,得2/一2工+〃?=0,故方程2/-2工+〃2=0有两个不相等的正数根为，士(内＜々)，则，△=4(1-2〃?)>0,m 则，△=4(1-2〃?)>0,m 解得->0, 2由方程得行可，且3-由2与一2羽+由2与一2羽+m=0,得〃？=-2*+ .8（x2）=x2-2占+1+（-2X；+2x2）lav2,—<%>><1.2，㈤=_41「；辰>0,即函数g(w)是(：，1)上的增函数，所以匕含<8(修)<0,故g(w)的取值范围是|匕产,0)..(2019•江苏徐州一中高三月考)已知函数/(x)=［竺，g(x)=6(x-1),其中aHO,6W0(1)若a=b,讨论尸(x)=f(x)-g(x)的单调区间：(2)已知函数f(X)的曲线与函数§(x)的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为乂，%,证明:±±g(M+X2)>2.a【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】TOC\o"1-5"\h\z।hix «(1)求导得尸(x)=a二=g(l-/一/几T),按照40、a<0讨论尸'(x)的正负即可得解:X X(2)设如转化条件得±上±8(2+巧)=」上,/〃土，令f=上>l,p^=lnt-2--,只。 玉一々々 工2 Z+1需证明p(1)>o即可得证.【详解】(1)由已知得F(x)=/(x)-g(x)=a---V+1LAF\x)=a-1='0一/一/心)，\x) x/x当0<xVl时，VI-A;>0,--d-1ax>0,：当x>1时，V1-x<Ot-ZnxVO,.*.1-X--lnx<Q.故若a>0,尸（x）在（0,1）上单调递增，在（1,+8）上单调递减：故若aVO,尸（x）在（0,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增.（2）不妨设如依题意。-L=Z?（A!-1）,耳；•a/叫=b（x；_%）・,•①,同理得=/乂42_4）…②由①-②得，，R"—= -X]-石+/）="为一々）（内+々T）,・・.〃 加E (x,+x2)=(A-,+A-,)---(x,+x2-1)= -InAtTOC\o"1-5"\h\z/一)二诟石'' " …々故只需证上上土,/〃上>2,取，”上>1,即只需证明上！・/加>2,成立，玉一々 X1 x2 /-I即只需证〃。）=历/-2•冷>0,V1>1成立，1 40一V//（/）=-- -=-^——二>0,•“（力在区间[1,+8）上单调递增，（力>p（1）=0,Vt,（，+1）-（+1）一>1成立，故原命题得证.【点睛】本题考查了导数的综合运用，考查了转化化归思想与计算能力，属于难题..（2020•广西南宁二中高三（文））己知函数/（工）=111（工+1）+曲2一大，g（x）=〃Inx--In（x+1）-ax2+2x（I）若〃>0,讨论函数〃工）的单调性:

（II）设/7（x）=/（x）+g（x）,且力（X）有两个极值点X，%，其中X£（。」］，求力（%）—力（电）的最小值.e（注：其中-为自然对数的底数）4【答案】（【）见解析；（II）最小值为一.【解析】【分析】（I）对函数/（x）求导，对a分情况讨论即可确定/（X）的单调区间:（II）先对力（X）求导，令导数式等于0由韦达定理求出两个极值点不々的关系苔+々=-4，入内=1，所以£=_1,“=一内一_1,整理力（石）一/?（%）,构造关于』的函数e（x）,求导根据单调性确定最值即x\x\可。【详解】（I）〃力的定义域是（-1,+8）,（I）〃力的定义域是（-1,+8）,f\x）=lax1+(2〃-l)xx[2“x-(l-2。)x+\①当0<“vg①当0<“vg时，/（X）在（一1,0）,,、f1单调递增：/（X）在0s-—1单调递减.

乙a1 丫2②当时，r（x）=±zo,/（X）在（一1,一）单调递增.1 1A （1③当a、时，/“）在-1,--1I，（0,讨）单调递增：--1,0单调递减.\ 1 1 、• 1cia-+ax+1(II)h(x)=x--+a\nx,h(x)=l+—+-= ； x rx厂由题意得方程/+如+1=0的两根分别为,且=一〃,为占=111【解析】【解析】111 1所以G=一二一七一一* 内则力（玉）一力（9）=〃（玉）一/?—x\2-x,--1g则力（玉）一力（9）=〃（玉）一/?—x\2-x,--1g+芭」Xx)XA设0(x)=2X），则/'(X)=2—;—1Iliiv—2(1-vXl+V)hu-当时，°'（x）＜0恒成立，所以p（x）在上单调递减,\A 4=9一-=丁即〃（%）—力（々）的最小值为一=9一【点睛】本题考查导数的应用，根据导数求单调区间，函数的零点，以及构造函数求最值，考查学生的运算推理能力，属于难题。.（2020•云南高三（理））已知函数+ar（a为常数）.（1）讨论了（X）的单调性:（2）是/（X）的导函数，若/（X）存在两个极值点不々（为V引，求证：./（[）,（士）〈尸（0）X]一占【答案】（1）当。42时，函数在实数集上的减函数:当。＞2时，当"五三时，函数/（X）单调递减;2时，函数/“）单调递增;]ci—\jcr—4a+\]cr—41In <x<In 时，函数/“）单调递增;当cln"*三时，/（x）＜0,函数“X）单调递减：（2）证明见解析过程.【分析】(1)对函数进行求导，结合基本不等式进行分类讨论即可：(2)计算出了'(0)的值，根据已知和所要证明的不等式，构造新函数，再对新函数进行求导，结合基本不等式可以判断出新函数的单调性，利用新函数的单调性证明即可.【详解】f(x)=-ex+ax=>f(x)=—I-ex+a