量子力学课件1-2章-波函数-定态薛定谔方程

参考书：量子力学概论贾瑜译本D.J.Griffith,IntroductiontoQuantumMechanics,机械工业出版社参考书：量子力学概论贾瑜译本

第1章波函数

§1Schrödinger方程§2波函数的统计诠释§3概率§4归一化§5动量§6不确定原理第1章波函数§1Schrödinger§1Schrödinger方程

宏观物体，经典力学：（1）求出任意时刻物体的位置

（2）求出速度，动量，动能等等，方法:

牛顿方程,

初始条件

微观粒子,量子力学:

求出粒子的波函数方法:

薛定谔方程初始条件普朗克(Planck)常数经典物理描述物体运动的范式和途径：§1Schrödinger方程宏观物体，经典力学：微§2波函数的统计诠释

波函数的物理意义

波恩（Born）的统计诠释:

=t时刻,x点附近单位体积内发现这个粒子的概率.

（机率密度）

t时刻发现粒子在区间内的概率.

微观粒子的不确定性

波函数给出的是粒子位置的统计信息,不能预言某一时刻粒子在哪个位置.

实验测量结果进行一次测量,所得结果是粒子在某一确定位置,比如c点.紧接着第一次测量进行第二次测量，发现粒子仍在c点。另一个实验，对同样的体系、同样的状态进行同样的测量，所得结果可能不同，比如A点。§2波函数的统计诠释波函数的物理意义t时刻发现粒子在(在t时刻发现粒子处于a和b之间的概率)(在t时刻发现粒子处于a和b之间的概率)这种不确定性是事物的本质，还是理论的缺陷？问题：在测量之前的瞬间，粒子在哪里？三种学派：

1、现实主义学派：粒子还是在c点。以爱因斯坦（Einstein）为代表。“粒子的位置从来就不是不可确定的，而仅是试验者不知道而已。”量子力学是一个不完备的理论。

2、正统学派：粒子哪也不在。以波尔（Bohr）为代表。“观测者不仅扰动了被观测量，强迫(粒子)出现在特定的位置.”

测量的作用将非常独特对其争论了半个世纪但少有进展。

3、不可知论学派：拒绝回答。回答是否正确的唯一途径是进行一个精确的测量，对测量前粒子的状态进行论断没有什么意义？

现在定论：正统观点（实验证实）。一个粒子在测量前没有一个确定的位置，是测量的过程给出了一个具体数量。这种不确定性是事物的本质，还是理论的缺陷？波函数的坍塌:在测量发现粒子处于

C点后瞬时的

图形波函数的坍塌:在测量发现粒子处于C点后瞬时的图形

微观粒子的基本属性–光波粒二象性光:1）是电磁波,具有干涉、衍射现象，波动光学。

2）是粒子，称为光子(Einstein的光量子论，光电效应，

Compton散射实验)。电子：1）是粒子，有质量、电荷，有颗粒性。

2）是波(deBroglie假设，Davisson和Germer电子衍射实验)。经典粒子概念：1）有一定质量、电荷等，和“颗粒性”的属性;2）有确定的运动轨道，每一时刻有确定的位置和速度。经典波概念：1）实在的物理量的空间分布作周期性的变化;2）干涉、衍射现象，即相干叠加性。微观粒子的基本属性–光波粒二象性光:1）是电磁波,具1、电子衍射实验

1.

入射电子流强度小，电子一个一个发射，开始显示电子的微粒性,长时间亦显示衍射图样;2.入射电子流强度大，很快显示衍射图样电子源接收屏OPPQQO微观粒子究竟是粒子还是波呢？粒电子既有子性又有波动性1、电子衍射实验1.入射电子流强度小，电子一个一个发2、电子双缝干涉实验PS1S2电子源感光屏实验结果表明：

1）在计数器上接收的电子是一个一个的，电子枪发出一个电子，接收器上从来没有在两个以上地方同时接收到电子的一部分。电子表现出“粒子性”。

2）电子表现出的干涉是自己与自己的干涉，不是不同电子之间的干涉，“波动性”是单个电子的行为。问题：一个电子怎样通过双缝产生干涉现象呢？结论：微观粒子与物质相互作用时，表现粒子性；运动过程中体现波动性。2、电子双缝干涉实验PS1S2电子源感光屏实验结果表明：问题

§

3概率假设一个屋子中有14个人，他们的年龄分布为：

14岁1人，

15岁1人，

16岁3人，

22岁2人，

24岁2人，

25岁5人.

表示年龄为j的人数，则

§3概率假设一个屋子中有14个人，他们的年龄分布为：屋子中的总人数为

如果P(j)是选出年龄为j的概率,则如果不限定选出人的年龄,所有概率之和为1屋子中的总人数为如果P(j)是选出年龄为j的概率,则如果不最可几（或最概然）年龄是那个年龄?中值年龄是多大?平均年龄是多大?在量子力学中平均值又被称为期待值。年龄平方的平均是多少？注意：一般情况下平方的平均是不等于平均的平方的。最可几（或最概然）年龄是那个年龄?中值年龄是多大?平均年龄是普遍地,可以给出j的函数的平均值

显然，两个图具有同样的中值、平均值、最可几值和同等数目的元素，如何表示出分布对平均值“弥散”程度的不同？普遍地,可以给出j的函数的平均值显然，两个分布方差称为标准差。它是对平均值偏差平方的平均的平方根，简称方均根。仅对没有弥散的分布分布方差称为标准差。它是对平均值偏差平方的平均的平方根，简称量子力学课件1-2章-波函数-定态薛定谔方程以上结果属于分立变量的情况，可以非常简单地推广到连续的分布：以上结果属于分立变量的情况，可以非常简单地推广到连续的分布：§4归一化概率解释的要求:在任一时刻,粒子一定在空间某处。和量子力学本身无关；波函数归一化如何与薛定谔方程协调?

波函数是由薛定谔方程所决定,而波函数归一化是概率解释强加的,二者是否协调.

如果是薛定谔方程的解,那么也是薛定谔方程的解,这里是一个任意的(复)常数。所以通过选择这个乘子使薛定谔方程的解满足归一化条件。§4归一化概率解释的要求:在任一时刻,粒子一定在空间某处假定在时刻波函数归一化,随时间演化时它能否保持归一化？答案：薛定谔方程自动保持波函数的归一化.证明:假定在时刻波函数归一化,随时间演化时它能否保持归§5动量

对处于态的一个粒子，其的期待值(平均值)是期待值:对含有相同体系的一个系综中所有体系,同时进行测量的平均值,而不是对同一个体系的重复测量的平均值。当时间演化时,将发生变化,如果粒子没有一个确定的位置(在测量之前)，那么也没有确定的速度。假如知道了粒子的波函数,我们还可以做什么?

粒子的平均位置:

粒子的平均速度:分部积分得到：§5动量对处于态的一个粒子，其的期待值(平均值

动量的平均值:粒子位置和动量的平均值公式可写成统一的形式:量子力学中用算符“表示”位置，用算符“表示”动量.动量的平均值:粒子位置和动量的平均值公几个常用力学量的算符表示形式坐标算符：动量算符：动能算符：哈密顿算符：经典力学的力学量对应量子力学的算符：对应关系！！角动量算符：几个常用力学量的算符表示形式坐标算符：动量算符：动能算符：哈

力学量平均值的一般公式所有经典力学量都是坐标和动量的函数.任一力学量的平均值:如动能:力学量平均值的一般公式所有经典力学量都是坐标和动量的函数.§6不确定原理握着一根长绳的一端，有节奏地上下摆动产生一个波:突然抖动一下绳子,可以得到一个沿绳子传播的孤峰:问题:(1)波在哪里?(2)波长是多少?第一种情况:问题(1)无法回答,波分布在一定的空间范围内;

问题(2)可以准确回答。第二种情况:问题(1)可以回答;

问题(2)无法回答,它没有明确的周期。结论：任何波动现象，波的位置越精确，波长就越不精确，反之亦然。§6不确定原理握着一根长绳的一端，有节奏地上下摆动产生一个海森伯(Heisenberg)不确定原理

量子力学中，微观粒子有波动性，状态用波函数描述，粒子的位置与波函数的波长有同样的“排斥性”。按照德布罗意（deBroglie）公式，粒子的动量与波长的关系为：所以，波长的弥散对应动量的弥散。粒子的位置越精确,它的动量就越不精确。定量上有

是的标准差,是的标准差。也称为粒子位置和动量的测不准关系。粒子的位置和动量不能同时准确测定。或者说不存在粒子的位置和动量同时取确定值的状态。

测不准关系是一个基本规律，它是微观粒子波粒二象性的反映。由此可知，经典的轨道概念将不复存在，用描述状态的方式失效。海森伯(Heisenberg)不确定原理量子力学中小结1、微观粒子的运动方程：薛定谔方程2、微观粒子的运动状态：用波函数描述3、波函数的物理意义：波恩（Born）的统计诠释4、波函数的归一化5、力学量平均值、标准差的计算6、海森伯(Heisenberg)不确定原理、测不准关系

研究报告：量子力学的测量问题？测量对波函数有何影响？参考书：玻姆,《量子理论原理》小结1、微观粒子的运动方程：薛定谔方程研究报告：量子力学的测习题：1.41.9习题：1.41.9第二章定态Schrödinger方程§1.定态§2.一维无限深方势阱§3.谐振子

§4.自由粒子§5.函数势§6.有限深方势阱第二章定态Schrödinger方程§1.定态§1.定态

定态定态Schrödinger方程一个质量为m的粒子,在势场中运动,运动方程为:给定初始条件,边界条件,如何求出任意时刻的波函数?问题:假设势场不随时间变化,用分离变量法找一类特殊解:代入薛定谔方程,得预备问题：势和能§1.定态定态定态Schrödinger方程一个两边同时除以得到两个方程:定态Schrödinger方程定态(stationarystates)

:两边同时除以得到两个方程:定态Schrödinge2任何动力学变量的平均值不随时间变化3它们是具有确定总能量的态定态的性质:1概率密度不随时间变化2任何动力学变量的平均值不随时间变化3它们是具有确定总3它们是具有确定总能量的态粒子的总能量（动能+势能）称为哈密顿量（Hamiltonian）：对应的哈密顿算符（通过标准的的替换规则）：定态薛定谔方程可以写为哈密顿算符的本征方程3它们是具有确定总能量的态粒子的总能量（动能+势能）称为总能量的平均值是

的标准差：总能量的每次测量结果是确定的值（分布没有弥散）

。所以是具有确定总能量的态总能量的平均值是的标准差：总能量的每次测量结果

含时Schrödinger方程的一般解

求解定态薛定谔方程,一般会得到一个无限解集，每个解有对应的能量,对应每个允许的能量有不同的定态波函数：

含时薛定谔方程的一般解可表示为:常数由初始条件决定:一般解是分离变量解的线性组合含时Schrödinger方程的一般解求解例题2.1假设一个粒子的初始状态是两个定态的线性叠加：(假设常数和是实数）那么任意时刻的波函数是什么？求出概率密度并描述其运动形式。解:其中是相应的能量。粒子的空间概率密度：概率密度以余弦形式振动，角频率是。例题2.1假设一个粒子的初始状态是两个定态的线性叠加：处理定态问题的一般方法(1)根据体系的物理条件，写出势能函数，进而写出体系的哈密顿算符和定态薛定谔方程；(2)解定态薛定谔方程。确定能量本征值和能量算符的本征函数；(3)由可以写出概率密度的表达式，可分别描绘出波函数和概率密度分布等相应图形，由图形讨论其分布特点；(4)通过波函数可求出不同力学量的期待值，了解体系的性质；(5)联系实际问题，应用所得结果。处理定态问题的一般方法(1)根据体系的物理条件，写出势能函（1）列出各区域的定态Schrödinger方程0axV(x)IIIIII§2.一维无限深方势阱一个质量m为的粒子在0和a之间运动。

粒子可能的定态（1）列出各区域的定态Schrödinger方程（2）解方程通解：

的边界条件是什么？一般来说，和都是连续的，但是，当势函数是无穷大，只能用第一个边界条件。

的连续性要求：在处的边界条件没有确定常数A，却确定了常数（2）解方程通解：的边界条件是什么？一般来说，和由此，得到的可能值是：与经典情况完全不同，一个微观粒子在一维无限深势阱中运动，其能量不能是任意的，它只是这些特殊的许可值。（4）确定归一化系数A的相位没有任何意义，取其正实根:（5）定态Schrödinger方程的解（6）粒子可能的定态由此，得到的可能值是：与经典情况完全不同，一个讨论：

1、解定态薛定谔方程得到一个无限的解集。前三个函数：

像在一个长度为a的弦上的驻波,态粒子的能量最低，称为基态，其它态粒子的能量正比于，称为激发态。

2、函数的性质（1）它们相对于势阱的中心是奇偶交替的；（2）随着能量的增加，态的节点（与x轴交点）数逐次增1；讨论：像在一个长度为a的弦上的驻波,态粒子(3)正交性,即证明：把正交性和归一性写在一起：(3)正交性,即证明：把正交性和归一性写在一起：（4）完备性，即任意一个函数，都可以用它们的线性迭加来表示：展开系数可以用的正交归一性得到：

含时薛定谔方程的解通解：用定态解线性迭加

迭加系数：由初始波函数确定：从而可计算任何时刻任何一个感兴趣的力学量的平均值。（4）完备性，即任意一个函数，都可以用它们的线性迭

迭加系数的物理意义：是对能量的一次测量得到结果为的几率。

得到所有能量可能值的几率之和一定为1。证明：能量的期望值：按计算平均值的一般公式，有能量的平均值不依赖时间，这是能量守恒在量子力学中的体现。迭加系数的物理意义：是对能量的一次测量得作业习题：2.3，2.4,2.5,2.7,2.8小结：1、定态，定态的性质2、定态薛定谔方程3、含时薛定谔方程的求解4、一维无限深方势阱，定态薛定谔方程的求解作业习题：2.3，2.4,2.5,2.7,2.8小结§3谐振子

（一）引言 （1）谐振子 （2）为什么研究谐振子（二）代数法求解谐振子（三）幂级数法求解谐振子 （1）方程 （2）求解 （3）应用标准条件 （4）厄密多项式 （5）求归一化系数 （6）讨论（四）例题§3谐振子（一）引言（一）引言（1）谐振子

量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子。

在经典力学中，当质量为的粒子，受弹性力F=-kx作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：其解为x=Asin(ωt+δ)。这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子。若取V0=0，即平衡位置处于势V=0点，则（一）引言（1）谐振子量子力学中的线性谐振子就是指在（2）为什么研究线性谐振子

自然界广泛存在简谐振动,在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等都可分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动还可作为复杂运动的初步近似。例如双原子分子，两原子间的势V是二者相对距离x的函数，如图所示。在x=a处，V有一极小值V0。在x=a附近势可以展开成泰勒级数：axV(x)0V0

取新坐标原点为(a,V0)，则势可表示为标准谐振子势的形式：

可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。（2）为什么研究线性谐振子自然界广泛存在简谐振动,在（二）代数法求解谐振子

谐振子的Hamilton算符：

定态薛定谔方程：

分解哈密顿算符：按照形式引入算符（二）代数法求解谐振子谐振子的Hamilton算符：

称为与的对易式

正则对易关系同样可以验证：正则对易关系同样可以验证：利用算符，定态薛定谔方程可表示为：

如果是能量为的解（即），则是能量为的解，是能量为的解。证明：利用算符，定态薛定谔方程可表示为：如果是

称为升降阶算符谐振子的能态“梯子”

有一个最低的阶梯（称为）使得

由此确定：归一化，代入薛定谔方程以确定相应的能量称为升降阶算符谐振子的能态“梯子”有一个最低的

谐振子定态薛定谔方程的解:从谐振子的基态出发，反复应用升阶算符生成激发态。每一步增加能量。

确定归一化常数：证明：正比于

证毕谐振子定态薛定谔方程的解:从谐振子的基态出发，反复应用升阶依此类推，有谐振子的定态具有正交归一化性质：证明：依此类推，有谐振子的定态具有正交归一化性质：证明：例题2.5求出谐振子第态势能的平均值。解：利用升降阶算符，势能的期待值正好是总能量的一半。例题2.5求出谐振子第态势能的平均值。解：利用作业习题：2.12，2.13,2.14,2.15,2.17作业习题：2.12，2.13,2.14,2.15（二）幂级数法解谐振子（1）方程的建立（2）求解（3）应用标准条件（4）厄密多项式（5）求归一化系数（6）讨论（二）幂级数法解谐振子（1）方程的建立（1）方程的建立线性谐振子的Hamilton算符：定态Schrödinger方程：为简单起见，引入无量纲变量ξ代替x，此式是一变系数二阶常微分方程。（1）方程的建立线性谐振子的Hamilton算符：定态S（2）求通解为求解方程，先研究它的渐近行为，即当ξ→±∞时波函数ψ的行为。在此情况下，λ<<ξ2其解为：ψ∞=exp[±ξ2/2]，1.渐近解波函数有限性条件：当ξ→±∞时，应有c2=0，因整个波函数尚未归一化，所以可以令c1等于1。最后渐近波函数为：ξ2>>±1（2）求通解为求解方程，先研究它的渐近行为，其解为：ψ∞=H(ξ)必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即：①当ξ有限时，H(ξ)有限；②当ξ→∞时，H(ξ)的行为要保证(ξ)→0。将ψ(ξ)表达式代入方程得关于待求函数H(ξ)所满足的方程：2.H(ξ)满足的方程此方程称为Hermite方程。令H(ξ)必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即3.Hermite方程的级数解以级数形式来求解，令：用k代替k’任何有理无奇异行为的函数都可以展开为幂级数3.Hermite方程的级数解以级数形式来求解，令：用k由上式可以看出：

b0决定所有角标k为偶数的系数；

b1决定所有角标k为奇数的系数。因为方程是二阶微分方程，应有两个线性独立解。可分别令：b0≠0,b1=0.→Heven(ξ);b1≠0,b0=0.→Hodd(ξ).由bk+2(k+2)(k+1)-bk2k+bk(λ-1)=0导出系数bk的递推公式：只含偶次幂项只含奇次幂项则通解可记为：

H=coHodd+ceHeven

ψ=(coHodd+ceHeven)exp[-ξ2/2]由上式可以看出：b0≠0,b1=0.→Heve（3）用标准条件定解(I)ξ=0exp[-ξ2/2]|ξ=0=1Heven(ξ)|ξ=0=b0

Hodd(ξ)|ξ=0=0皆有限(II)ξ→±∞无穷级数H(ξ)的收敛性考察相邻两项之比：考察幂级数exp[ξ2]的展开式的收敛性比较二级数可知：当ξ→±∞时，H(ξ)的渐近行为与exp[ξ2]相同。单值性和连续性条件自然满足，有限性条件需要进行讨论。

因为H(ξ)是一个幂级数，故应考虑他的收敛性。考虑一些特殊点，即势场有跳跃的地方以及x=0,x→±∞或ξ=0,ξ→±∞。（3）用标准条件定解(I)ξ=0(II)ξ→±∞所以，总波函数有如下发散行为：

为了满足波函数有限性要求，幂级数H(ξ)必须从某一项截断变成一个多项式。换言之，要求H(ξ)从某一项（比如第n项）起以后各项的系数均为零，即bn≠0,bn+2=0.由递推关系结论

基于波函数在无穷远处的有限性条件导致了能量必须取分立值。所以，总波函数有如下发散行为：为了满足波函数有限性要（4）厄密多项式由上式可以看出，Hn(ξ)的最高次幂是n，其系数是2n。Hn(ξ)也可写成封闭形式：λ=2n+1

前几个厄密多项式具体表达式：

H0=1；H2=4ξ2-2；H4=16ξ4-48ξ2+12

H1=2ξ；H3=8ξ3-12ξ；H5=32ξ5-160ξ3+120ξ

从有限性条件得到H(ξ)是多项式，该多项式称为厄密多项式，记为Hn(ξ)，总波函数可表示为：（4）厄密多项式由上式可以看出，Hn(ξ)的最高次幂是n厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：从上式出发，可导出厄密多项式的递推关系：

应用实例例：已知H0=1,H1=2ξ，则根据上述递推关系得出：H2=2ξH1-2nH0

=4ξ2-2基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数Ψ(x)的递推关系：厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：从上式出发，可导出应（5）求归一化常数

分步积分该式第一项是一个多项式与exp[-ξ2]的乘积，当代入上下限ξ=±∞后，该项为零。继续分步积分到底因为Hn的最高次项ξn的系数是2n，所以dnHn/dξn=2nn!。则谐振子波函数为：（5）求归一化常数分步积分该式第一项是一个多项式与（6）讨论3.对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的。基态能量E0={1/2}ħω≠0，称为零点能。1.上式表明，Hn(ξ)的最高次项是(2ξ)n。所以,

当n=偶，则厄密多项式只含ξ的偶次项；当n=奇，则厄密多项式只含ξ的奇次项。2.ψn具有n宇称

上式描写的谐振子波函数所包含的exp[-ξ2/2]是ξ的偶函数，所以ψn的宇称由厄密多项式Hn(ξ)决定。（6）讨论3.对应一个谐振子能级只有一个本征函数，n=0n=1n=24.波函数

量子情况与此不同,对于基态，其几率密度是：ω0(ξ)=|ψ0(ξ)|2

=N02exp[-ξ2](1)在ξ=0处找到粒子的几率最大；

(2)在|ξ|≧1处，即在阱外找到粒子的几率不为零,与经典情况完全不同。

以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在|αx|<1范围中运动。这是因为振子在这一点(|αx|=1)处，其势能V(x)=(1/2)μω2x2={1/2}ħω=E0，即势能等于总能量，动能为零，粒子被限制在阱内。-3-2-10123E0E1E2n=0n=1n=24.波函数量子情况与

分析波函数可知，，量子谐振子波函数ψn有n个节点，在节点处找到粒子的几率为零。而经典力学的谐振子在[-a,a]区间每一点上都能找到粒子，没有节点。-101ω0(ξ)ωn(ξ)n=2n=1n=0-11-22-44|10|2

5.几率分布

当线性谐振子处在前几个量子态时,几率分布与经典情况差别很大。当量子数增大时，相似性随之增加。分析波函数可知，，量子谐振子波函数ψn有n个节点解：（1）三维谐振子Hamilton算符例1.求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况。解：例1.求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况。（2）本征方程及其能量本征值解得能量本征值为：则波函数三方向的分量分别满足如下三个方程：因此，设能量本征方程的解为：如果系统Hamilton量可以写成则必有：（2）本征方程及其能量本征值解得能量本征值为：则波函数三方向（3）简并度

当N确定后，能量本征值确定，但是对应同一N值的n1,n2,n3有多种不同组合，相应于若干不同量子状态，这称为简并。其简并度可决定如下：

当n1,n2确定后，n3=N-n1-n2，也就确定了，不增加不同组合的数目。故对给定N，{n1,n2,n3}可能组合数即简并度为：（3）简并度当N确定后，能量本征值确定，但是对应解：Schrödinger方程：求能量本征值和本征函数。例2.荷电为q的谐振子，受到沿x向外电场的作用，其势场为：（1）解题思路

势V(x)是在谐振子势上叠加上-qx项，该项是x的一次项，而振子势是二次项。如果我们能把这样的势场重新整理成坐标变量平方形式，就有可能利用已知的线性谐振子的结果。解：求能量本征值和本征函数。例2.荷电为q的谐振子，受（2）改写V(x)（3）Hamilton算符进行坐标变换：则Hamilton量变为：（2）改写V(x)（3）Hamilton算符进行坐标变换：（4）Schrödinger方程该式是新坐标下一维线性谐振子Schrödinger方程，于是可以利用已有结果得：新坐标下Schrodinger方程改写为：能量本征值：本征函数：（4）Schrödinger方程该式是新坐标下一维线性新坐标§4.自由粒子定态薛定谔方程：一般解：没有边界条件去限制的取值（的取值）；自由粒子可以具有任何（正的）能量值。加上标准的时间因子，，第一项代表一个向右转播的波，而第二项代表一个向左的波(能量相同)。§4.自由粒子定态薛定谔方程：一般解：没有边界条件去限制可以写作：自由粒子的“定态”是传播着的平面波；它们的波长是。讨论：1、波函数不能归一化。

不代表一个物理上可实现的态，不存在自由粒子的定态，或者说，平面波描述的自由粒子的状态，粒子在空间各个点的几率是一样的。这些波的速度：按照德布罗意公式,它们具有动量如何解释？一个动能为的经典自由粒子的速度:可以写作：自由粒子的“定态”是传播着的平面波；它们的波长是2、含时薛定鄂方程的一般解对适当的，这个波函数可以归一化，称这样的波为波包。

类比动量分布2、含时薛定鄂方程的一般解对适当的，这个波函数可以波包包含有速度的什么信息？

一个波包是正弦函数的迭加，其振幅由调制；在“包络线”内含有“波纹”。对应粒子速度的不是个别波纹的速度（相速度），而是包络线的速度（群速度）。波包包含有速度的什么信息？一个波包是正弦函数的迭加确定波包的群速度：

假定是在某个处的一个狭窄分布。做变量变换除了前面的一个相因子外，这个波包以速度运动：对比确定波包的群速度：假定是在某个处的波的相速度:自由粒子：群速度正好是相速度的2倍。与经典粒子速度相匹配的是波包的群速度而不是定态的相速度。色散关系相速度群速度波的相速度:自由粒子：群速度正好是相速度的2倍。与经典粒子例题2.6一个自由粒子初始时刻是局域在区间，然后在释放,式中和是正的实数。求

解：(1)归一化(2)方程的通解(3)由初始条件确定例题2.6一个自由粒子初始时刻是局域在取a=1取a=1讨论:(1)a非常小的情况坐标的弥散很小，动量的弥散很大。（2）a非常大的情况有较确定的动量，但是坐标很不确定。讨论:(1)a非常小的情况坐标的弥散很小，动量的（2）作业习题:2.21,2.22作业习题:2.21,2.22§5.函数势

束缚态和散射态

经典力学中，一维不含时的不同的势，给出两种非常不同的运动。（a）束缚态。（b）散射态。（c）一个经典的束缚态，但是是量子的散射态。§5.函数势束缚态和散射态经典力学中，一维不含时（量子力学中，束缚态和散射态的条件：在“真实世界”大多数势在无限远处趋于零，在这种情况下条件可简化为：量子力学中，束缚态和散射态的条件：在“真实世界”大多数势在无

函数性质：定义：函数性质：定义：

函数势阱

为正常数。定态薛定鄂方程为：既存在束缚态，又存在散射态。1、束缚态在的区域，方程的一般解是当时第一项趋于无限大，所以必须令函数势阱为正常数。定态薛定鄂方程为：在区域，同样为零，一般解的形式：当时第二项趋于无限大，所以由边界条件确定积分常数

应满足的标准边界条件：由第一个边界条件，得在区域，同样为零，一般解第二个边界条件的证明及应用：对薛定鄂方程从到积分，然后取的极限应用到函数势阱，一般的，右边的极限也是零，这就是为什么在通常情况下是连续的。但是，当在边界上是无穷大时，波函数的微分不再连续。第二个边界条件的证明及应用：对薛定鄂方程从到允许的能量值是最后,利用归一化条件允许的能量值是最后,利用归一化条件对函数势阱，无论它的“强度”如何，仅有一个束缚态：对函数势阱，无论它的“强度”如何，仅有一个束缚态导数为：2、散射态区域薛定鄂方程为一般解是区域

在处的连续性要求,得导数为：2、散射态区域薛定鄂方程为一般解是区域利用第二个边界条件,得有5个未知数,两个方程,无法求解。分析一下解的性质：如果把含时间的因子结合起来，解是向右传播的平面波和向左传播的平面波的迭加。在通常的散射实验中，粒子是由一个方向入射的比如说，从左边。在这种情况下，从右边来的波的振幅将为零：

是入射波的振幅，是反射波的振幅，是透射波的振幅。利用第二个边界条件,得有5个未知数由方程(1)和(2)可解得:在一个特定区域发现粒子的几率是，所以入射粒子将被反射回的相对几率为-----反射系数透射几率的相对几率为-----透射系数这两个几率之和应当为1能量越高，透射几率就越大。由方程(1)和(2)可解得:在一个特定区域发现粒子的几率是隧道效应

考虑函数势垒情况（1）不存在束缚态（2）散射态的求解过程与函数势阱情况一样，只需把前的-号变为+号。反射和透射系数仅依赖于,它们不改变。

在情况下，粒子也有越过势垒的几率。这种现象称为隧道效应。即使，也存在粒子被反射的几率。

隧道效应是许多现代电子学技术的基础隧道二极管、电子显微镜等。隧道效应考虑函数势垒情况（1）不存在束缚态反射和透作业习题：2.24，2.26,2.27作业习题：2.24，2.26,2.27§6.有限深方势阱这个势允许有束缚态和散射态。1、束缚态定态薛定鄂方程：区域：区域：区域：方程与区域相同。§6.有限深方势阱这个势允许有束缚态和散射态。1、束缚态方程的一般解：考虑波函数有限性的要求，则方程的一般解：考虑波函数有限性的要求，则加上边界条件：和在和处连续。

注意到势能是一个偶函数，不失一般性，可以假设解要么是奇函数要么是偶函数来简化问题。这样做的优点是仅需要考虑一侧的边界条件（比如说在处）即可；由于，另一侧自动满足边界条件。下面仅讨论偶函数解，解可以写为：在处，连续，得连续，得加上边界条件：和两式相除，得---------关于所允许能量的公式令由于所以决定能量可能值的公式可写为：-----关于z（或E）的超越方程，可以用计算机求出数值解，或用作图法求解。

的情况：两式相除，得---------关于所允许能量的公式令由于所继续求出波函数，作为习题。2、散射态留作自学内容作业习题：2.29,2.30,2.33,2.34,2.35继续求出波函数，作为习题。2、散射态留作自学内容作参考书：量子力学概论贾瑜译本D.J.Griffith,IntroductiontoQuantumMechanics,机械工业出版社参考书：量子力学概论贾瑜译本

第1章波函数

§1Schrödinger方程§2波函数的统计诠释§3概率§4归一化§5动量§6不确定原理第1章波函数§1Schrödinger§1Schrödinger方程

宏观物体，经典力学：（1）求出任意时刻物体的位置

（2）求出速度，动量，动能等等，方法:

牛顿方程,

初始条件

微观粒子,量子力学:

求出粒子的波函数方法:

薛定谔方程初始条件普朗克(Planck)常数经典物理描述物体运动的范式和途径：§1Schrödinger方程宏观物体，经典力学：微§2波函数的统计诠释

波函数的物理意义

波恩（Born）的统计诠释:

=t时刻,x点附近单位体积内发现这个粒子的概率.

（机率密度）

t时刻发现粒子在区间内的概率.

微观粒子的不确定性

波函数给出的是粒子位置的统计信息,不能预言某一时刻粒子在哪个位置.

实验测量结果进行一次测量,所得结果是粒子在某一确定位置,比如c点.紧接着第一次测量进行第二次测量，发现粒子仍在c点。另一个实验，对同样的体系、同样的状态进行同样的测量，所得结果可能不同，比如A点。§2波函数的统计诠释波函数的物理意义t时刻发现粒子在(在t时刻发现粒子处于a和b之间的概率)(在t时刻发现粒子处于a和b之间的概率)这种不确定性是事物的本质，还是理论的缺陷？问题：在测量之前的瞬间，粒子在哪里？三种学派：

1、现实主义学派：粒子还是在c点。以爱因斯坦（Einstein）为代表。“粒子的位置从来就不是不可确定的，而仅是试验者不知道而已。”量子力学是一个不完备的理论。

2、正统学派：粒子哪也不在。以波尔（Bohr）为代表。“观测者不仅扰动了被观测量，强迫(粒子)出现在特定的位置.”

测量的作用将非常独特对其争论了半个世纪但少有进展。

3、不可知论学派：拒绝回答。回答是否正确的唯一途径是进行一个精确的测量，对测量前粒子的状态进行论断没有什么意义？

现在定论：正统观点（实验证实）。一个粒子在测量前没有一个确定的位置，是测量的过程给出了一个具体数量。这种不确定性是事物的本质，还是理论的缺陷？波函数的坍塌:在测量发现粒子处于

C点后瞬时的

图形波函数的坍塌:在测量发现粒子处于C点后瞬时的图形

微观粒子的基本属性–光波粒二象性光:1）是电磁波,具有干涉、衍射现象，波动光学。

2）是粒子，称为光子(Einstein的光量子论，光电效应，

Compton散射实验)。电子：1）是粒子，有质量、电荷，有颗粒性。

2）是波(deBroglie假设，Davisson和Germer电子衍射实验)。经典粒子概念：1）有一定质量、电荷等，和“颗粒性”的属性;2）有确定的运动轨道，每一时刻有确定的位置和速度。经典波概念：1）实在的物理量的空间分布作周期性的变化;2）干涉、衍射现象，即相干叠加性。微观粒子的基本属性–光波粒二象性光:1）是电磁波,具1、电子衍射实验

1.

入射电子流强度小，电子一个一个发射，开始显示电子的微粒性,长时间亦显示衍射图样;2.入射电子流强度大，很快显示衍射图样电子源接收屏OPPQQO微观粒子究竟是粒子还是波呢？粒电子既有子性又有波动性1、电子衍射实验1.入射电子流强度小，电子一个一个发2、电子双缝干涉实验PS1S2电子源感光屏实验结果表明：

1）在计数器上接收的电子是一个一个的，电子枪发出一个电子，接收器上从来没有在两个以上地方同时接收到电子的一部分。电子表现出“粒子性”。

2）电子表现出的干涉是自己与自己的干涉，不是不同电子之间的干涉，“波动性”是单个电子的行为。问题：一个电子怎样通过双缝产生干涉现象呢？结论：微观粒子与物质相互作用时，表现粒子性；运动过程中体现波动性。2、电子双缝干涉实验PS1S2电子源感光屏实验结果表明：问题

§

3概率假设一个屋子中有14个人，他们的年龄分布为：

14岁1人，

15岁1人，

16岁3人，

22岁2人，

24岁2人，

25岁5人.

表示年龄为j的人数，则

§3概率假设一个屋子中有14个人，他们的年龄分布为：屋子中的总人数为

如果P(j)是选出年龄为j的概率,则如果不限定选出人的年龄,所有概率之和为1屋子中的总人数为如果P(j)是选出年龄为j的概率,则如果不最可几（或最概然）年龄是那个年龄?中值年龄是多大?平均年龄是多大?在量子力学中平均值又被称为期待值。年龄平方的平均是多少？注意：一般情况下平方的平均是不等于平均的平方的。最可几（或最概然）年龄是那个年龄?中值年龄是多大?平均年龄是普遍地,可以给出j的函数的平均值

显然，两个图具有同样的中值、平均值、最可几值和同等数目的元素，如何表示出分布对平均值“弥散”程度的不同？普遍地,可以给出j的函数的平均值显然，两个分布方差称为标准差。它是对平均值偏差平方的平均的平方根，简称方均根。仅对没有弥散的分布分布方差称为标准差。它是对平均值偏差平方的平均的平方根，简称量子力学课件1-2章-波函数-定态薛定谔方程以上结果属于分立变量的情况，可以非常简单地推广到连续的分布：以上结果属于分立变量的情况，可以非常简单地推广到连续的分布：§4归一化概率解释的要求:在任一时刻,粒子一定在空间某处。和量子力学本身无关；波函数归一化如何与薛定谔方程协调?

波函数是由薛定谔方程所决定,而波函数归一化是概率解释强加的,二者是否协调.

如果是薛定谔方程的解,那么也是薛定谔方程的解,这里是一个任意的(复)常数。所以通过选择这个乘子使薛定谔方程的解满足归一化条件。§4归一化概率解释的要求:在任一时刻,粒子一定在空间某处假定在时刻波函数归一化,随时间演化时它能否保持归一化？答案：薛定谔方程自动保持波函数的归一化.证明:假定在时刻波函数归一化,随时间演化时它能否保持归§5动量

对处于态的一个粒子，其的期待值(平均值)是期待值:对含有相同体系的一个系综中所有体系,同时进行测量的平均值,而不是对同一个体系的重复测量的平均值。当时间演化时,将发生变化,如果粒子没有一个确定的位置(在测量之前)，那么也没有确定的速度。假如知道了粒子的波函数,我们还可以做什么?

粒子的平均位置:

粒子的平均速度:分部积分得到：§5动量对处于态的一个粒子，其的期待值(平均值

动量的平均值:粒子位置和动量的平均值公式可写成统一的形式:量子力学中用算符“表示”位置，用算符“表示”动量.动量的平均值:粒子位置和动量的平均值公几个常用力学量的算符表示形式坐标算符：动量算符：动能算符：哈密顿算符：经典力学的力学量对应量子力学的算符：对应关系！！角动量算符：几个常用力学量的算符表示形式坐标算符：动量算符：动能算符：哈

力学量平均值的一般公式所有经典力学量都是坐标和动量的函数.任一力学量的平均值:如动能:力学量平均值的一般公式所有经典力学量都是坐标和动量的函数.§6不确定原理握着一根长绳的一端，有节奏地上下摆动产生一个波:突然抖动一下绳子,可以得到一个沿绳子传播的孤峰:问题:(1)波在哪里?(2)波长是多少?第一种情况:问题(1)无法回答,波分布在一定的空间范围内;

问题(2)可以准确回答。第二种情况:问题(1)可以回答;

问题(2)无法回答,它没有明确的周期。结论：任何波动现象，波的位置越精确，波长就越不精确，反之亦然。§6不确定原理握着一根长绳的一端，有节奏地上下摆动产生一个海森伯(Heisenberg)不确定原理

量子力学中，微观粒子有波动性，状态用波函数描述，粒子的位置与波函数的波长有同样的“排斥性”。按照德布罗意（deBroglie）公式，粒子的动量与波长的关系为：所以，波长的弥散对应动量的弥散。粒子的位置越精确,它的动量就越不精确。定量上有

是的标准差,是的标准差。也称为粒子位置和动量的测不准关系。粒子的位置和动量不能同时准确测定。或者说不存在粒子的位置和动量同时取确定值的状态。

测不准关系是一个基本规律，它是微观粒子波粒二象性的反映。由此可知，经典的轨道概念将不复存在，用描述状态的方式失效。海森伯(Heisenberg)不确定原理量子力学中小结1、微观粒子的运动方程：薛定谔方程2、微观粒子的运动状态：用波函数描述3、波函数的物理意义：波恩（Born）的统计诠释4、波函数的归一化5、力学量平均值、标准差的计算6、海森伯(Heisenberg)不确定原理、测不准关系

研究报告：量子力学的测量问题？测量对波函数有何影响？参考书：玻姆,《量子理论原理》小结1、微观粒子的运动方程：薛定谔方程研究报告：量子力学的测习题：1.41.9习题：1.41.9第二章定态Schrödinger方程§1.定态§2.一维无限深方势阱§3.谐振子

§4.自由粒子§5.函数势§6.有限深方势阱第二章定态Schrödinger方程§1.定态§1.定态

定态定态Schrödinger方程一个质量为m的粒子,在势场中运动,运动方程为:给定初始条件,边界条件,如何求出任意时刻的波函数?问题:假设势场不随时间变化,用分离变量法找一类特殊解:代入薛定谔方程,得预备问题：势和能§1.定态定态定态Schrödinger方程一个两边同时除以得到两个方程:定态Schrödinger方程定态(stationarystates)

:两边同时除以得到两个方程:定态Schrödinge2任何动力学变量的平均值不随时间变化3它们是具有确定总能量的态定态的性质:1概率密度不随时间变化2任何动力学变量的平均值不随时间变化3它们是具有确定总3它们是具有确定总能量的态粒子的总能量（动能+势能）称为哈密顿量（Hamiltonian）：对应的哈密顿算符（通过标准的的替换规则）：定态薛定谔方程可以写为哈密顿算符的本征方程3它们是具有确定总能量的态粒子的总能量（动能+势能）称为总能量的平均值是

的标准差：总能量的每次测量结果是确定的值（分布没有弥散）

。所以是具有确定总能量的态总能量的平均值是的标准差：总能量的每次测量结果

含时Schrödinger方程的一般解

求解定态薛定谔方程,一般会得到一个无限解集，每个解有对应的能量,对应每个允许的能量有不同的定态波函数：

含时薛定谔方程的一般解可表示为:常数由初始条件决定:一般解是分离变量解的线性组合含时Schrödinger方程的一般解求解例题2.1假设一个粒子的初始状态是两个定态的线性叠加：(假设常数和是实数）那么任意时刻的波函数是什么？求出概率密度并描述其运动形式。解:其中是相应的能量。粒子的空间概率密度：概率密度以余弦形式振动，角频率是。例题2.1假设一个粒子的初始状态是两个定态的线性叠加：处理定态问题的一般方法(1)根据体系的物理条件，写出势能函数，进而写出体系的哈密顿算符和定态薛定谔方程；(2)解定态薛定谔方程。确定能量本征值和能量算符的本征函数；(3)由可以写出概率密度的表达式，可分别描绘出波函数和概率密度分布等相应图形，由图形讨论其分布特点；(4)通过波函数可求出不同力学量的期待值，了解体系的性质；(5)联系实际问题，应用所得结果。处理定态问题的一般方法(1)根据体系的物理条件，写出势能函（1）列出各区域的定态Schrödinger方程0axV(x)IIIIII§2.一维无限深方势阱一个质量m为的粒子在0和a之间运动。

粒子可能的定态（1）列出各区域的定态Schrödinger方程（2）解方程通解：

的边界条件是什么？一般来说，和都是连续的，但是，当势函数是无穷大，只能用第一个边界条件。

的连续性要求：在处的边界条件没有确定常数A，却确定了常数（2）解方程通解：的边界条件是什么？一般来说，和由此，得到的可能值是：与经典情况完全不同，一个微观粒子在一维无限深势阱中运动，其能量不能是任意的，它只是这些特殊的许可值。（4）确定归一化系数A的相位没有任何意义，取其正实根:（5）定态Schrödinger方程的解（6）粒子可能的定态由此，得到的可能值是：与经典情况完全不同，一个讨论：

1、解定态薛定谔方程得到一个无限的解集。前三个函数：

像在一个长度为a的弦上的驻波,态粒子的能量最低，称为基态，其它态粒子的能量正比于，称为激发态。

2、函数的性质（1）它们相对于势阱的中心是奇偶交替的；（2）随着能量的增加，态的节点（与x轴交点）数逐次增1；讨论：像在一个长度为a的弦上的驻波,态粒子(3)正交性,即证明：把正交性和归一性写在一起：(3)正交性,即证明：把正交性和归一性写在一起：（4）完备性，即任意一个函数，都可以用它们的线性迭加来表示：展开系数可以用的正交归一性得到：

含时薛定谔方程的解通解：用定态解线性迭加

迭加系数：由初始波函数确定：从而可计算任何时刻任何一个感兴趣的力学量的平均值。（4）完备性，即任意一个函数，都可以用它们的线性迭

迭加系数的物理意义：是对能量的一次测量得到结果为的几率。

得到所有能量可能值的几率之和一定为1。证明：能量的期望值：按计算平均值的一般公式，有能量的平均值不依赖时间，这是能量守恒在量子力学中的体现。迭加系数的物理意义：是对能量的一次测量得作业习题：2.3，2.4,2.5,2.7,2.8小结：1、定态，定态的性质2、定态薛定谔方程3、含时薛定谔方程的求解4、一维无限深方势阱，定态薛定谔方程的求解作业习题：2.3，2.4,2.5,2.7,2.8小结§3谐振子

（一）引言 （1）谐振子 （2）为什么研究谐振子（二）代数法求解谐振子（三）幂级数法求解谐振子 （1）方程 （2）求解 （3）应用标准条件 （4）厄密多项式 （5）求归一化系数 （6）讨论（四）例题§3谐振子（一）引言（一）引言（1）谐振子

量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子。

在经典力学中，当质量为的粒子，受弹性力F=-kx作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：其解为x=Asin(ωt+δ)。这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子。若取V0=0，即平衡位置处于势V=0点，则（一）引言（1）谐振子量子力学中的线性谐振子就是指在（2）为什么研究线性谐振子

自然界广泛存在简谐振动,在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等都可分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动还可作为复杂运动的初步近似。例如双原子分子，两原子间的势V是二者相对距离x的函数，如图所示。在x=a处，V有一极小值V0。在x=a附近势可以展开成泰勒级数：axV(x)0V0

取新坐标原点为(a,V0)，则势可表示为标准谐振子势的形式：

可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。（2）为什么研究线性谐振子自然界广泛存在简谐振动,在（二）代数法求解谐振子

谐振子的Hamilton算符：

定态薛定谔方程：

分解哈密顿算符：按照形式引入算符（二）代数法求解谐振子谐振子的Hamilton算符：

称为与的对易式

正则对易关系同样可以验证：正则对易关系同样可以验证：利用算符，定态薛定谔方程可表示为：

如果是能量为的解（即），则是能量为的解，是能量为的解。证明：利用算符，定态薛定谔方程可表示为：如果是

称为升降阶算符谐振子的能态“梯子”

有一个最低的阶梯（称为）使得

由此确定：归一化，代入薛定谔方程以确定相应的能量称为升降阶算符谐振子的能态“梯子”有一个最低的

谐振子定态薛定谔方程的解:从谐振子的基态出发，反复应用升阶算符生成激发态。每一步增加能量。

确定归一化常数：证明：正比于

证毕谐振子定态薛定谔方程的解:从谐振子的基态出发，反复应用升阶依此类推，有谐振子的定态具有正交归一化性质：证明：依此类推，有谐振子的定态具有正交归一化性质：证明：例题2.5求出谐振子第态势能的平均值。解：利用升降阶算符，势能的期待值正好是总能量的一半。例题2.5求出谐振子第态势能的平均值。解：利用作业习题：2.12，2.13,2.14,2.15,2.17作业习题：2.12，2.13,2.14,2.15（二）幂级数法解谐振子（1）方程的建立（2）求解（3）应用标准条件（4）厄密多项式（5）求归一化系数（6）讨论（二）幂级数法解谐振子（1）方程的建立（1）方程的建立线性谐振子的Hamilton算符：定态Schrödinger方程：为简单起见，引入无量纲变量ξ代替x，此式是一变系数二阶常微分方程。（1）方程的建立线性谐振子的Hamilton算符：定态S（2）求通解为求解方程，先研究它的渐近行为，即当ξ→±∞时波函数ψ的行为。在此情况下，λ<<ξ2其解为：ψ∞=exp[±ξ2/2]，1.渐近解波函数有限性条件：当ξ→±∞时，应有c2=0，因整个波函数尚未归一化，所以可以令c1等于1。最后渐近波函数为：ξ2>>±1（2）求通解为求解方程，先研究它的渐近行为，其解为：ψ∞=H(ξ)必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即：①当ξ有限时，H(ξ)有限；②当ξ→∞时，H(ξ)的行为要保证(ξ)→0。将ψ(ξ)表达式代入方程得关于待求函数H(ξ)所满足的方程：2.H(ξ)满足的方程此方程称为Hermite方程。令H(ξ)必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即3.Hermite方程的级数解以级数形式来求解，令：用k代替k’任何有理无奇异行为的函数都可以展开为幂级数3.Hermite方程的级数解以级数形式来求解，令：用k由上式可以看出：

b0决定所有角标k为偶数的系数；

b1决定所有角标k为奇数的系数。因为方程是二阶微分方程，应有两个线性独立解。可分别令：b0≠0,b1=0.→Heven(ξ);b1≠0,b0=0.→Hodd(ξ).由bk+2(k+2)(k+1)-bk2k+bk(λ-1)=0导出系数bk的递推公式：只含偶次幂项只含奇次幂项则通解可记为：

H=coHodd+ceHeven

ψ=(coHodd+ceHeven)exp[-ξ2/2]由上式可以看出：b0≠0,b1=0.→Heve