2023年高考数学复习讲稿之第17讲 直线的斜率问题（原卷版）

第17讲直线的斜率问题一．解答题（共18小题）1．已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若垂直于轴，求直线的斜率；（Ⅲ）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．2．设椭圆的焦距为，且经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．3．如图，，分别是椭圆的左右顶点，为其右焦点，2是与的等差中项，是与的等比中项．（1）求椭圆的方程；（2）已知点是椭圆上异于，的动点，直线过点且垂直于轴，若过作直线垂直于，并交直线于点．证明：，，三点共线．4．已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，．（Ⅰ）当，时，求的面积；（Ⅱ）当时，求的取值范围．5．已知椭圆的右焦点为，左顶点为．（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于（不同于点的），两点．试判断直线与轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．6．已知椭圆过点，为椭圆的半焦距，且．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点作两条相互垂直的直线，与椭圆分别交于另两点，，若线段的中点在轴上，求此时直线的方程．7．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知双曲线的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为．（1）求双曲线的方程；（2）如图，过圆上一点作圆的切线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，以为直径的圆经过双曲线的右顶点，求直线的方程．8．已知双曲线的右顶点为，右焦点为，点为坐标原点，直线与轴交于点，且与一条渐近线交于点，又，过点的直线与双曲线右支交于点，，点为点关于轴的对称点．（1）求双曲线的方程；（2）判断，，三点是否共线，并说明理由；（3）求三角形面积的最小值．9．设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：．10．在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点．（Ⅰ）当时，分别求在点和处的切线方程．（Ⅱ）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？（说明理由）11．在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点．（1）当时，分别求在点和处的切线方程；（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．12．已知椭圆的左、右焦点分别为、，且也是抛物线的焦点，为椭圆与抛物线在第一象限的交点，且．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，问是否在轴上存在一点，使得当变动时，总有？说明理由．13．一个圆经过点，且和直线相切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点、，若轴是的角平分线，证明直线过定点．14．设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点．（1）若过点，且，求的斜率；（2）若，且的斜率为，当时，求在轴上的截距的取值范围（用表示），并证明的平分线始终与轴平行．15．如图，若是抛物线上的一定点不是顶点），动弦、分别交轴于、两点，且．证明：直线的斜率为定值．16．已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于、两点，且．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）过点的两条直线、分别交抛物线于点、和、，线段和的中点分别为、．如果直线与的倾斜角互余，求证：直线经过一定点．17．已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到的平行四边形的面积为．（1）设，，，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；（2）设与的斜率之积为，求面积的值．18．设椭圆的左、右焦点分别为