电路第五版课件第7章一阶电路和二阶电路的时域分析

第七章一阶电路和二阶电路的时域分析1.换路定则和电路初始值的求法；2.掌握一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应的概念和物理意义；3.会计算和分析一阶动态电路(重点是三要素法)；4.了解二阶电路零状态响应、零输入响应、全响应的概念和物理意义；5.会分析简单的二阶电路；6.会计算一阶电路的阶跃响应、冲激响应；7.会用系统法列写简单的状态方程。内容提要与基本要求12/21/20221第七章一阶电路和二阶电路的时域分析1.换路定则和电路初始值重点(1)动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定；(2)一阶电路时间常数的概念与计算；(3)一阶电路的零输入响应和零状态响应；(4)求解一阶电路的三要素法；(5)暂态分量(自由分量)和(稳态分量)强制分量概念；(6)二阶电路的零输入、零状态和全响应的概念；(7)二阶电路的方程和特征根、过渡过程的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼的概念及分析；(8)二阶电路的阶跃响应。12/21/20222重点(1)动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定；12/1难点(1)应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建立动态电路方程；(2)电路初始条件的概念和确定方法；(3)二阶电路的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼放电过程分析方法和基本物理概念。与其它章节的联系本章讨论的仍是线性电路，因此前面讨论的线性电路的分析方法和定理全部可以用于本章的分析中。第9章讨论的线性电路的正弦稳态响应就是动态电路在正弦激励下的稳态分量的求解。12/21/20223难点(1)应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建立动态电路§7-1动态电路的方程及其初始条件SUS+-(t=0)+-uCRC+-uRi引言自然界事物的运动，在一定的条件下有一定的稳定状态。当条件发生变化时，就要过渡到新的稳定状态。从一种稳定状态转到另一种新稳定状态时，往往不能跃变，而是需要一定时间，或者说需要一个过程，在工程上称过渡过程。接通电源，C被充电，C两端的电压逐渐增长到稳态值Us，即要经历一段时间。电路中的过渡过程虽然短暂，在实践中却很重要。12/21/20224§7-1动态电路的方程及其初始条件SUS+-(t=0)+一、动态电路的基本概念含有动态元件(L、C)的电路称为动态电路。描述动态电路的方程是微分方程。全部由线性非时变元件构成的动态电路，其描述方程是线性常系数微分方程。只含一个动态元件(L或C)的电路，其描述方程是一阶线性常系数微分方程，称一阶电路。一阶电路有3种分析方法：1.经典法列写电路的微分方程，求解电流和电压。是一种在时间域中进行的分析方法。12/21/20225一、动态电路的基本概念含有动态元件(L、C)的电路称为动态电2.典型电路分析法记住一些典型电路(RC串联、RL串联、RC并联、RL并联等)的分析结果，在分析非典型电路时可以设法套用。3.三要素法只要知道一阶电路的三个要素，代入一个公式就可以直接得到结果，这是分析一阶电路的最有效方法。任意NSuCC+-iS(t=0)SUS+-(t=0)+-uCRCi典型电路重点掌握3，1、2两种方法可掌握其中之一。12/21/202262.典型电路分析法记住一些典型电路(RC串联、RL二、换路及换路定则1.换路电路结构或元件参数的改变称为换路。换路是在t=0(或t=t0)时刻进行的。含有动态元件的电路换路时存在过渡过程，过渡过程产生的原因是由于储能元件L、C，在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放需要S24V+-(t=0)+LiL4W14W22W3W6H6W-uL12V+-i8W4Wt=0S纯电阻电路在换路时没有过渡期。一定的时间来完成。12/21/20227二、换路及换路定则1.换路含有动态元件的电路换路时存在过渡过2.换路定则在换路前后：q(t)

=q(t0)

+∫tt0iC(x)dxq(0+)=q(0-)

+∫0+0-iC(x)dx以t

=

t0

=0作为换路的计时起点：换路前最终时刻记为t=0-，换路后最初时刻记为t=0+。线性电容C的电荷0-到0+瞬间，iC(t)为有限值时，积分为0。q(0+)

=q(0-)C上的电荷不能跃变！由q(t)

=

CuC(t)可知，当换路前后C不变时uC(0+)

=uC(0-)

C两端的电压也不能跃变！12/21/202282.换路定则在换路前后：q(t)=q(t0)+∫ttY(0+)

=Y(0-)L中的磁链不能跃变！由Y(t)=LiL(t)

可知，当换路前后L不变时iL(0+)

=iL(0-)L中的电流也不能跃变！同理可得：q(0+)

=q(0-)uC(0+)

=uC(0-)换路定则表明(1)换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）在换路前后保持不变，这是电荷守恒定律的体现。(2)换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）在换路前后保持不变。这是磁链守恒定律的体现。12/21/20229Y(0+)=Y(0-)L中三、初始值的计算解：换路前的“旧电路”求图示电路在开关闭合瞬间各支路电流和电感电压。1.由换路前的“旧电路”计算uC(0-)和iL(0-)。iC(0-)=0，C视为开路。uL(0-)=0，L视为短路。iL(0-)=12AuC(0-)=24V=iL(0+)=uC(0+)R1+-U0SR2iLiCCL+-uL+-uCR33W2W2W48ViR1+-U0SR2iLiCCL+-uL+-uCR33W2W2W48Vi由等效电路算出12/21/202210三、初始值的计算解：换路前的“旧电路”求图示电路在开关闭合瞬2.画出t=0+等效电路：

电感用电流源替代，电容用电压源替代。

iC(0+)=48-243=8AuL(0+)=48-2×12=24VR1+-U0SR2iLiC12A+-uL+-R33W2W2W48V24ViR1+-U0SR2iLiCCL+-uL+-uCR33W2W2W48ViiL(0-)=12A=iL(0+)uC(0-)=24V=uC(0+)i(0+)=iL(0+)+

iC(0+)

=12

+8=20At=0+时刻的等效电路12/21/2022112.画出t=0+等效电路：

电感用电流源替代，电容用电压源替§7-2一阶电路的零输入响应零输入响应：在电源激励为零的情况下，由动态元件的初始值(≠0)引起的响应。1.RC电路SR+-uC(t=0)i+-uRU0SR+-uC(t≥0+)i+-uRU0换路后的“新电路”i=ducdt-

C=Riducdt=-RC由KVL得：ducdtRC+

uC=0uR分析RC电路的零输入响应，实际上是分析其放电过程。一阶齐次微分方程12/21/202212§7-2一阶电路的零输入响应零输入响应：在电源激励为零t=

RC

称RC电路的时间常数。若R取W，C取F，则t为s。t的大小，反映uC的变化快慢：t

越大，uC衰减越慢。SR+-uC(t≥0+)i+-uRU0p=-RC1通解uC=A

e1RC-t由初始条件uC(0+)=uC(0-)=U0得：uC=U0

e=U0

et-t1RC-t，t≥0touC

t2t3tU0t的图解ducdtRC+

uC=0特征方程特征根RCp+1=012/21/202213t=RC称RC电路的时间常数。SR+-uC(t≥0+t=0，uC=U0t=t，uC=U0e-1≈0.638U0在理论上，要经过无限长时间，uC才能衰减到0。在工程上，认为经过3t～5t

时间，过渡过程即告结束。touC

t2t3tU00.368U00.05U0uC=U0et-tt=3t，uC=U0e-3≈0.05U0t=5t，uC=U0e-5≈0.007U0uR=uC=U0et-tSR+-uC(t≥0+)i+-uRU0,uRi=ducdt-

C=RU0t-teWR=∫∞0i2(t)Rdt=∫∞0RU022RC-tedt=21CU02C储存的能量全被R吸收，并转换成热能消耗掉。RU0i12/21/202214t=0，uC=U0t=t，uC=U0e-1≈0.638例：试求t≥0时的i(t)。换路后，C通过(R1//R2)放电，Req=

R1//R2=2W。所以t=ReqC=2s引用典型电路结果：uC(0-)=2+4+410×4=4V根据换路定则：

uC(0-)=uC(0+)=4VR2+-uC4W4WC1Fit≥0SR1uC=uC(0+)

et-t=4e-0.5tVi=-21RequC=

-e-0.5tA解：(t≥0)(t≥0)2WSR2+-(t=0)+-uC4WR14WC1F12R10Vi12/21/202215例：试求t≥0时的i(t)。换路后，C通过(R1//2.RL电路由KVLuL+

uR

=0SR+-(t=0)R0L12uL+-iU0R(t≥0)LuL+-iS2+-uRdiLdt+

Ri=0didtL+

i=0Ri(0+)=

i(0-)=R0U0i(t)=i(0+)e=R0U0t=RL为RL电路的时间常数。t-te[s]

=[W][H]t-t得i(t)

解之

代入初试条件

基本形式：i(t)=I0et-t(t≥0)12/21/2022162.RL电路由KVLSR+-(t=0)R0L12uL+-i电阻和电感上的电压分别为：R(t≥0)LuL+-iS2+-uRRI0uRtoi,

uR

,

uL

iI0uL-RI0uR=Ri=RI0euL=-uR=-RI0

edidtL或者：uL==-RI0

ei(t)=I0et-tt-tt-tt-t，(t≥0)，(t≥0)，(t≥0)12/21/202217电阻和电感上的电压分别为：R(t≥0)LuL+-iS2+-u3.例题分析P144例7-2试求：t；i(0+)和i(0-)；i(t)和uV(t)；uV(0+)。VS+-RL+-URVuVi0.189W0.398H5kW35V某300kW汽轮发电机励磁回路的电路模型电压表的量程才50V。t=R+RVL=0.189+5×1030.398=79.6(ms)i(0-)≈RU=0.18935=185.2

Ai(t)=185.2

e-12560t

AuV(t)=-RVi(t)=-926e-12560t

kVuV(0+)=926kV!t≥0+实践中，要切断L的电流，必须考虑磁场能量的释放问题解：=i(0+)12/21/2022183.例题分析P144例7-2试求：t；i(0+)和i§7-3一阶电路的零状态响应零状态响应：在动态元件初值为0的状态下，外施激励引起的响应。1.RC电路由KVL：uR+

uC=USSUS+-(t=0)+-uCRC+-uRiuR=Riducdt

=RCducdtRC+

uC=

US常系数非齐次线性方程对应的齐次方程：其解为：uC=u'C+u"C

通解：u"C=Ae1RC-t特解：u'C=

US

所以：uC=US+

AeducdtRC+

uC=01RC-t12/21/202219§7-3一阶电路的零状态响应零状态响应：在动态元件初值为代入初值：uC(0+)=uC(0-)=0求得：A=-US所以零状态响应为uC=US(1-e)，t-tuC''稳态分量uC'瞬态分量ducdti=C=RUSet-tiSUS+-(t≥0+)+-uCRC+-uRiducdtRC+

uC=

USuC=US+

Ae1RC-tt=RCuC=uC

+

uCUStouC,

iRUS-US'''uC=US-USe

t-t12/21/202220代入初值：uC(0+)=uC(0-)=0求得：A=-电源提供的能量：电阻吸收的能量：W=∫∞0USi

(t)dt=

CUS2WR=∫∞0i2(t)

Rdt=21CUS2t=RCducdtRC+

uC=

USuC=US+

Ae1RC-tducdti=C=RUSet-tSUS+-(t≥0+)+-uCRC+-uRi结果表明：电源提供的能量只有一半转换为电场能量存储于C中，另一半在充电过程中被R消耗掉。不论RC的值是多少，充电效率总是50%。12/21/202221电源提供的能量：电阻吸收的能量：W=∫∞0USi(t2.RL电路的零状态响应(1)激励是恒定直流换路前：iL(0+)=iL(0-)=0换路后：iR+iL=

ISSRL+-ISuLt=0iRiL(t≥0+)iR=uLR=LRdiLdtLRdiLdt+iL=

ISLRt=解得：iL=IS(1-e)t-t代入式中：12/21/2022222.RL电路的零状态响应(1)激励是恒定直流换路后：(2)激励是正弦电压设us=Umcos(wt+yu)则LdiLdt+RiL=Umcos(wt+yu)通解：i"L=Aet-t特解的形式：i'L=

Imcos(wt+q

)把i'L代入微分方程：Im、q为待定系数。RImcos(wt+q)-wLImsin(wt+q)=Umcos(wt+yu)Im|Z|cos(wt+q+j)=Umcos(wt+yu)式中R2|Z|

=+(wL)2tgj=RwLLRt=t≥0+us+-+-uLRLi+-uR12/21/202223(2)激励是正弦电压设us=Umcos(wt+yu)则比较得：q=yu-j

，|Z|Um特解：i'L=Imcos(wt+q

)=cos(wt+yu-j)上述常系数非齐次线性微分方程的全解为：|Z|UmiL=cos(wt+yu-j)+Ae-tt由iL(0+)=iL(0-)=0定出：A=-|Z|Umcos(yu-j)|Z|UmiL=cos(wt+yu-j)-

cos(yu-j)eIm=Um|Z|Im|Z|cos(wt+q+j)=Umcos(wt+yu)式中R2|Z|

=+(wL)2tgj=RwL|Z|Um-tt12/21/202224比较得：q=yu-j，|Z|Um特解：i'L=Im讨论(1)若S闭合时yu-j

=±90o，toi

i

=

i'稳态分量i'L是与外施激励同频率的正弦量暂态分量i"L随时间的增长衰减为零。(2)若S闭合时yu=j

，则：iL

=|Z|Umcoswt

e-tt|Z|Um-|Z|UmiL=cos(wt+yu-j)-

cos(yu-j)e|Z|Um-tt则i"L

=0。说明电路不发生过渡过程而立即进入稳态。R上的电压uR=RiLL上的电压uL=LdiLdt12/21/202225讨论(1)若S闭合时yu-j=±90o，toiRL串联电路与正弦电压接通后，在一定初值条件下，电路的过渡过程与S动作时刻有关。i'Li''LtoiL

|Z|Um|Z|Um-此时闭合S，约过半个周期，iL的最大瞬时值(绝对值)将接近稳态振幅的两倍。当t

很大时，

i"L衰减极其缓慢。稳态振幅过渡中的最大瞬时值iL

=|Z|Umcoswt

e-tt|Z|Um-12/21/202226RL串联电路与正弦电压接通后，在一定初值条件下，电路的过渡全响应稳态解暂态解§7-4一阶电路的全响应1.全响应：外施激励和动态元件初值都不为零时的响应。SUS+-(t=0)+-uCRC+-uRi+-U0uC(0+)=uC(0-)=

U0uC=US

+(U0

-

US)educdtRC+

uC=

US-tt(1)一阶电路的全响应可以看成是稳态分量(强制分量)与暂态分量(自由分量)之和。=+2.全响应的两种分解方式强制分量自由分量12/21/202227全响应稳态解暂态解§7-4一阶电路的全响应1.全响应：零输入响应(2)把上式改写成下列形式：零状态响应全响应此种分解方式便于叠加计算，体现了线性电路的叠加性质。uC=US

+(U0

-

US)e-ttSUS+-(t=0)+-uCRC+-uRi+-U0uC=U0

e-tt+US(1

-e)-tt=+12/21/202228零输入响应(2)把上式改写成下列形式：零状态响应全响应此种分3.三要素法(1)在恒定激励下f(t)=

f(∞)

+[

f(0+)-f(∞)]-tte由初始值、稳态值和时间常数三个要素决定。全响应=稳态分量+暂态分量uC=US

+(U0

-

US)e-tt(2)在正弦电源激励下f(t)=

f∞(t)

+[

f(0+)

-f∞(0+)]-tte的正弦量；f∞(t)是换路后的稳态响应(特解)，是与激励同频率f∞(0+)是稳态响应f∞(t)的初始值。f(0+)和t

的含义与恒定激励下相同。说明一阶电路的响应求f∞(t)的方法是待定系数法或相量法。12/21/2022293.三要素法(1)在恒定激励下f(t)=f(∞)+4.解题指导例1换路前：iL(0-)=

-IS=

-2A求换路后的戴维宁电路SUs+-(t=0)iLRLiIsab10V4H2W2A??Uoc+-(t≥0+)iLReqLab=10-2×2=6VUoc=Us-RisReq=R=2W求iL的三个要素：iL(0+)=iL(0-)=-2AiL(∞)=

Uoc

/

Req=6/2=3(A)t=L/Req=4/2=2(s)f(t)=f(∞)+[f(0+)-f(∞)]e-ttiL(t)3-232iL(t)=3-5e-0.5tAi(t)=IS+iL(t)=5-5e-0.5tA12/21/2022304.解题指导例1换路前：iL(0-)=-IS=例2：电路如图，求uL。SiL+-2AuL4W2W4W12-+8Vi1+-2i10.1HUoc=4i1+2i1Req==10WUi解：iL(0-)=

-

4A=

iL(0+)SiL+-2AuL4W2W4W12-+8Vi1+-2i10.1H(t≥0)求换路后的戴维宁电路=12VReqUi=(4+4)i1+2i1i1uL(0+)

=Uoc-ReqiL(0+)=12-10×(-4)=52ViLUoc+-(t≥0+)ReqL+-uL0.1H12/21/202231例2：电路如图，求uL。SiL+-2AuL4W2W4W12-也可以先求iL：uL=LdtdiLuL(∞)=0t=ReqL==

0.01s100.1得

uL=52e-100t

V例2：电路如图，求uL。解：iL(0-)=-4A=

iL(0+)代入三要素公式f(t)=

f(∞)+[f(0+)-f(∞)]-ttet=0.01siL(0-)=-4A=

iL(0+)iL(∞)=Uoc/Req=1.2AiL=1.2-5.2e-100tA再由求出uL。Uoc=4i1+2i1Req=Ui求换路后的戴维宁电路=12VuL(0+)

=Uoc-ReqiL(0+)=52V=10WiLUoc+-(t≥0+)ReqL+-uL0.1H12/21/202232也可以先求iL：uL=LdtdiLuL(∞)=0t=R例3：图示电路原本处于稳定状态，t=0时开关S闭合，求换路后的电流i(t)。iU=10V+-R1=2WSL=1HR2=5WC=0.25FS闭合前C开路L短路iL(0-)=0，uC(0-)=10V，换路后变为两个独立的单回路iL(0-)+-uC(0-)iU=10V+-R1=2WSL=1HR2=5WC=0.25F+-uCiLiC解：电容电路的三要素为iC(0+)=

uC(0+)／R1

=5At1

=R1C

=0.5s,iC(∞)=0电感电路的三要素为iL(0+)=

iL(0-)=0t2

=L／R2

=0.2s,iL(∞)=

U／R2

=10／5=2Ai(t)=iL(t)+

iC(t)

求出iC(t)、iL(t)后(t≥0)12/21/202233例3：图示电路原本处于稳定状态，t=0时开关S闭合，求换路例4：电路如图。t=0时S1从位置1拨向位置2，经0.12s后S2打开，求uC(t)并绘波形图。U1+-R210mFS250VR1=20kWCS121U2-+30kW10V+-uC解：先求初始值uC(0-)=

-10V再分阶段用三要素法求解。(1)0≤t＜0.12sU1+-R210mFS250VR1=20kWCS1230kW+-uCuC(0+)=

uC(0-)=

-10VuC(∞)=

30+2030×50=30Vt1

=(20//30)×103×10×10-6=0.12suC(t)=30-40e-8.33t

V(0≤t＜0.12s)12/21/202234例4：电路如图。t=0时S1从位置1拨向位置2，经0.12s(2)t＞0.12sU1+-R210mFS250VR1=20kWCS1230kW+-uCuC(0.12-)=30-40e-8.33×0.12=15.28VuC(t)=30-40e-8.33t

V(0≤t＜0.12s)uC(0.12+)=

uC(0.12-)=15.28Vt2

=

R2

C

=30×103×10×10-6=0.3s,uC(∞)=0uC(t)=15.28e-3.33(t-0.12)

Vt＞0.12s00.10.20.30.40.5t/suC(t)

/V-1010200.12s15.2812/21/202235(2)t＞0.12sU1+-R210mFS250VR1=§7－5二阶电路的零输入响应二阶电路的动态分析，原则上与一阶电路相似，那就是列方程、解方程。由于二阶线性微分方程有两个特征根，对于不同的二阶电路，它们可能是实数、虚数或共轭复数。因此动态过程将呈现不同的变化规律。分析时由特征方程求出特征根，并判断电路是处于衰减放电，还是振荡放电，还是临界放电状态。12/21/202236§7－5二阶电路的零输入响应二阶电路的动态分析，原则上与一C+-uC+-S(t=0)+-uLRL+-uRiU0I0典型电路分析(RLC串联)1.列写方程i=duCdt-CRi=-RCuL=Ldidt=-LCd2uCdt2由KVL：-uC+Ri

+uL

=0LCd2uCdt2duCdt+RC+uC=0代入上式得二阶齐次微分方程duCdt若以电容电压为变量则有uC(0+)=U0，i(0+)=0初始条件为或duCdt=-Ct=0+i(0+)=0(t≥0+)12/21/202237C+-uC+-S(t=0)+-uLRL+-uRiU0I0典2.解方程特征方程的根特征方程

LCp2+RCp+1=0p1=2LR-+2LR2-LC1C+-uC+-(t≥0+)+-uLRL+-uRiU0I0uC(0+)=U0，LCd2uCdt2duCdt+RC+uC=0duCdt=0t=0+p2=2LR--2LR2-LC1(1)特征根只与电路参数和结构有关，与激励和初始值无关。(2)当R、L、C的参数不同时，特征根有不同的形式。12/21/2022382.解方程特征方程的根特征方程LCp2+RCp+1=0uC=

A1ep1t+

A2ep2t解的形式为(1)R＞23.分析三种情况p1、p2是两个不相等的负实根。A1=p2-p1p2U0A2=p2-p1p1U0由初始条件求得uC=p2-p1U0(p2ep1t-p1ep2t)所以LCp1,2

=2LR-±2LR2-LC1LCd2uCdt2duCdt+RC+uC=0uC(0+)=U0，duCdt=0t=0+12/21/202239uC=A1ep1t+A2ep2t解的形式为(1)duCdti=-CuL=didt

L=-(p2-p1)U0(p1ep1t-p2ep2t)p1p2

=LC1考虑到

=

-L(p2-p1)U0(ep1t-ep2t)tm2tmuCuLiotuC

,uL,U0i|p2|>|p1|uC

第1项较大，且衰减较慢。故占主导地位。①总有uC≥0、i≥0

，说明C一直在释放电能。称非振荡放电或过阻尼放电。uC=p2-p1U0(p2ep1t-p1ep2t)分析12/21/202240duCdti=-CuL=didtL=-(p2-pC+-uC+-+-uLRL+-uRiU0tm2tmuCuLiotuC

,uL,U0i|p2|>|p1|tm=p1-p2ln(p2∕p1)②

i从0开始，到0结束，有极值。令(di/dt)=0

得i达到imax的时刻为：③0～tm：C的电场能转化为L的磁场能和R的热能。④tm～∞：uL变负，C的电场能和L的磁场能都转化为R的热能。能量释放完毕，过渡过程结束。12/21/202241C+-uC+-+-uLRL+-uRiU0tm2tmuCuLi(2)令2LRd=LC1w2

=-22LRbwdw0则p1=-d

+jw

，p2=-d

-jwR<2LC特征方程有一对共扼复根，其解的形式为：uC

=e-dt(A1coswt+A2sinwt)或uC

=e-dt

B

sin(wt+b

)由初始条件uC(0+)=U0duCdt=0t=0+→B(-d)sinb

+Bwcosb=0p1,2

=2LR-±2LR2-LC1解得→Bsinb

=U0B=U0sinbb=arctgwd令d2+w2=w0则d、w、w0、b构成一直角三角形。B=U0w0w12/21/202242(2)令2LRd=LC1w2=-22LRbwdw0则i=-duCdtC=wLU0e-dtsinwtuL=Ldidt=-wU0w0e-dtsin(wt-b)owtuC

,uL,iU0p2pbU0w0e-d

tsin(wt+b)uC=wp-b①②③能量交换情况：①C释放，L和R吸收。②C和L释放，R吸收。③L释放，C和R吸收。R≠0，振荡是衰减的。C+-uC+-+-uLRL+-uRiU0……若R=0，则振荡是等幅的。12/21/202243i=-duCdtC=wLU0e-dtsinwtuL若R=0放电过程中无损耗，所以振荡是等幅的。实际电路总是有损耗的，当我们只关心在很短范围发生的过程时，按等幅振荡处理不会引起太大的误差。则2LRd==

0=w0b=arctgdw=

90o=

U0sin(w0t+90o)sinw0tuL=uCi=wLU0e-dtsinwtU0w0e-d

tsin(wt+b)uC=ww

=2LR2-LC1LC=1C=U0LC+-uC+-+-uLRL+-uRiU012/21/202244若R=0放电过程中无损耗，所以振荡是等幅的。实际电路总P161例7-7为RLC放电电路，已知：U0=15kV，本例说明：利用RLC，可以获得强大的脉冲电流。属于振荡放电情况。C=1700mF，L=6×10-9H，R=6×10-4W。试求：i(t)=?何时i=imax?imax=?d=2LR=2×6×10-96×10-4=5×104s-1=3.09×105rad/s=8.09×106e-50000t×sin(3.09×105)

tAt=tm=wb=4.56(ms)时

i

=6.36×106A=

imax解：根据已知条件有w

=2LR2-LC1i=wLU0e-d

tsinwtb=arctgdw=

1.41

rad代入得12/21/202245P161例7-7为RLC放电电路，已知：U0=15kV(3)临界情况p1=p2=-2LR=-duC(0+)=U0uC=U0(1+d

t)e-dti=LU0te-dtuL=U0e-dt(1-d

t)放电过程具有非振荡性质，是振荡和非振荡过程的分界线，这种情况下的R称为临界电阻。R>临界电阻,为过阻尼电路。R<临界电阻,为欠阻尼电路。R=2LCp1,2

=2LR-±2LR2-LC1特征方程具有重根。微分方程解的形式为：uC=(A1+A2t)e-dt根据初始条件duCdt=0t=0+求得A1=U0A2=d

U012/21/202246(3)临界情况p1=p2=-2LR=-duC(0+)§7-6二阶电路的零状态响应和全响应SLISiLt=0CG+-uC+-uLiCiRuC(0-)=

0，iL(0-)=

0iR=GuL=GLdiLdtiC=CduCdt=CduLdt=LCd2iLdt2LCd2iLdt2+GLdiLdt+iL若以电感电流为变量则有由KCL求解方程的过程同7-5(通解)和7-3(特解)。二阶电路的全响应也=零状态响应+零输入响应。全解=通解+特解

=IS12/21/202247§7-6二阶电路的零状态响应和全响应SLISiLt=0C§7-7

一阶电路和二阶电路的阶跃响应1.单位阶跃函数(2)

延迟的单位阶跃函数e(t)=0t≤0-1t≥0+(1)定义toe(t)1①奇异函数，在t=0时发生了阶跃；②开关的数学模型，也称为开关函数。e(t-t0)=0t≤t0-1t≥t0+S(t=0)+-u(t)RC211V+-e(t)to1t012/21/202248§7-7一阶电路和二阶电路的阶跃响应1.单位阶跃函数2.阶跃函数的性质(1)用来起始任意一个函数(2)合成矩形脉冲f(t)e(t-t0)=0t≤t0-f(t)t≥t0+t0f(t)tot0to-e(t-t0)f(t)=e(t)-e(t-t0)f

(t)tot0，f(t)e

(t-t0)t0toe(t)12/21/2022492.阶跃函数的性质(1)用来起始任意一个函数(2)合成例：用阶跃函数表示下列波形f1(t)=2e(t)t0tof1(t)2t03t0+2-2t0tof2(t)2t021-

4e(t-t0)+4e(t-2t0)-4e(t-3t0)+

f2(t)=

e(t)+

e(t-t0)-

2e(t-2t0)分段常量信号可以表示成一系列阶跃信号之和。…12/21/202250例：用阶跃函数表示下列波形f1(t)=2e(t)t0t3.阶跃响应单位阶跃输入的零状态响应称为电路的单位阶跃响应，记作s(t)。通过例题说明一些概念。+-uCRC+-e(t)iC例1：求uC(t)

、iC(t)。根据阶跃函数的性质得uC(0-)=0，解：uC(∞)=1V单位阶跃响应为uC=

(1-e

RC-tiC=R1ee(t)AtouC11/RiCt-tf(t)

=ee(t)t-tf(t)

=et≥0初值为零。注意初值可以不为零。)e(t)VRC-t12/21/2022513.阶跃响应单位阶跃输入的零状态响应称为电路的单位若激励在t

=

t0时加入，则响应从t

=

t0开始。+-uCRC+-e(t-t0)iC延迟的阶跃响应为uC=

(1-e

RC-t-t0iC=R1e)e(t-t0)VRC-t-t0e(t-t0)A注意：uC=

(1-e

RC-t)e(t-t0)V阶跃响应的求法与恒定激励下的零状态响应的求法本质相同。用

f(t)e(t-t0)表示。延迟的阶跃响应不要写为12/21/202252若激励在t=t0时加入，则响应从t=t0开始。例2：S在位置1时电路处于稳态。t=0时S由位置1合向位置2，在t=t时，S又从位置2合向位置1。求t≥0时的uC

。S(t=t)+-uCRC21US+-t=0解法1：把电路的工作过程分段求解(1)0≤t≤t：为典型RC串联电路的零状态响应。(2)t≤t＜∞：为典型RC串联电路的零输入响应。uC=US(1-e)t-tt=

RCuC=0.632USe

t-t-t0≤t≤tt≤t＜∞初始值：uC(t+)=uC(t-)=

US(1-e-1)=0.632US

12/21/202253例2：S在位置1时电路处于稳态。t=0时S由位置1合向位置解法2：用阶跃函数表示激励，求阶跃响应。uS(t)=

USe(t)-USe(t-t)RC电路的单位阶跃响应为tuS(t)toUSs(t)=(1-et-tt-t-ts(t-t)=(1-e利用线性电路的叠加性质可得uC(t)=阶跃响应延迟的阶跃响应S(t=t)+-uCRC21US+-t=0)e(t))e(t-t)uc(t)tot0.632UsUsUS(1-e)e(t)t-t+US

(1-e)e(t-t)t-t-t12/21/202254解法2：用阶跃函数表示激励，求阶跃响应。uS(t)=USuc(t)toD1DD→0D1→∞uc(t)uc(t)uc(t)=?DD112/21/202255uc(t)toD1DD→0D1→∞uc(t)uc(t)uc(§7-8

一阶电路和二阶电路的冲击响应1.冲击函数的定义(1)单位冲击函数(2)延时的单位冲击函数pD(t)to1/DDD0D1/DlimpD(t)=d(t)d(t)ot1d(t)=0，t>0+和t

<0-∫-∞+∞d(t)dt=1d(t-t0)=0，t>t0+和t

<t0-∫-∞+∞d(t-t0)dt=1∫0-0+d(t)dt=1由于t>0+和t

<0-时d(t)=0，所以：12/21/202256§7-8一阶电路和二阶电路的冲击响应1.冲击函数的定义(2.冲击函数的性质(1)d(t)与e(t)的关系(2)“筛分”性质

f(t)

d(t-t0)=

f(t0)

d(t-t0)d(t)=de(t)dte(t)=∫-∞td(x)dx∫-∞+∞f(t0)

d(t-t0)dt=

f(t0)把t0时刻的函数值“筛”出来，也称取样性质。(3)冲击强度定义中的积分值称为冲击强度。kd(t)的冲击强度为k。d(t)otkt0-k-kd(t-t0)12/21/2022572.冲击函数的性质(1)d(t)与e(t)的关系(23.冲击响应的分析②对上式取积分求uC(0+)；di(t)RC+-uC在冲击电流激励下的RC并联电路duCdtC+R=

di(t)uCuC(0-)=0∫0+0-duCdtCdt+∫0+0-RuCdt=∫0+0-di(t)dtC[uC(0+)-uC(0-)]因uC是有限值，故此项积分为0。uC(0+)=C1+

uC(0-)电路在单位冲击函数激励下的零状态响应称为冲击响应。记作h(t)。(1)分析过程①列t≥0-时电路的微分方程；根据di(t)的定义，故此项积分为1。=112/21/2022583.冲击响应的分析②对上式取积分求uC(0+)；di(t(3)t≥0+时，di(t)=0。用同样的方法，可求得RL串联电路在单位冲击电压作用下的响应。di(t)RC+-uCduCdtC+R=

di(t)uC变为=

0duCdtC+RuCuC(0+)=C1+

uC(0-)du(t)RL+-uL+-iLdiLdtL+RiL=

0iL(0+)=L1+

iL(0-)方程t≥0+di(t)uC(0+)已变成了零输入响应的求解问题(t≥0+)。iL(0+)du(t)+-t≥0+12/21/202259(3)t≥0+时，di(t)=0。用同样的方法，可求得综上，冲击响应分两个过程：若d(t)的强度为kuC(0+)=Ck+

uC(0-)iL(0+)=Lk+iL(0-)过程1：t从0-→0+

uC(t)从uC(0-)→uC(0+)iL(t)从iL(0-)→iL(0+)建立初始值的过程。uC或iL产生跃变，已不满足换路定则。过程2

：t从0+→∞d(t)已不起作用。第1个过程中留下的能量开始释放。这是以uC(0+)[或iL(0+)]为初始值的零输入响应。可用三要素法求解。则12/21/202260综上，冲击响应分两个过程：若d(t)的强度为kuC(0+)4.

解题指导du(t)RC+-uC+-iC①列t≥0-时的微分方程RCduCdt+uC=

di(t)uC(0-)=0②对方程两边从0-到0+积分得

C[uC(0+)-uC(0-)]=1uC(0+)=RC1③求零输入响应t≥0+t=

RC，uC(t)=RC1e(t)-RCtedu(t)+-uC(0+)初始条件为uC(∞)=0代入三要素公式得e(t)的“起始性”表示uC(t)从t≥0+开始。解：题1：求RC串联电路的单位冲击响应。12/21/2022614.解题指导du(t)RC+-uC+-iC①列t≥0-时18du(t)R1L+-uL-

+iL+-90iiR260W30W0.1Hi=30+6018du(t)=0.2du(t)uoc=90i

-60i=30i=

6du(t)i=-30+6030i'=-31i'u=90i-60i=30i=-10i'Req=题2：电路如图，试求iL。18du(t)R1+-uOC-

++-90iiR260W30W解：求戴维宁等效电路18du(t)R1+-u-

++-90iiR260W30Wi'=-10Wui'有CCVC12/21/20226218du(t)R1L+-uL-+iL+-90iiR260W戴维宁等效电路如图。iL(0+)=L6=60A，t=ReqL=-100.1=-0.01siL(t)=60e100t

e(t)A6du(t)-10WL+-uL-

+iL0.1HRequOCiL(0+)=L1+

iL(0-)单位冲击电压作用于RL串联电路的初始值为所以此类响应称为无限响应。当元件毁坏或进入饱和状态时，响应达到一个限定值。引用典型(RL串联)电路结果得dtdiLL+RiL=

0iL(0+)=L1+iL(0-)考虑无限响应时，终值变得有些混淆。用三要素法求解不如通过微分方程求解：12/21/202263戴维宁等效电路如图。iL(0+)=L6=60A，t=R5.单位冲击响应与单位阶跃响应的关系h(t)

=ds(t)dts(t)=∫h(t)dt-∞tG=LiLd(t)R1

iL=∫-∞tiL(x)dx求在e(t)作用下的iL=？-txetd-x=-∫

0t

=

1-ee(t)-tt对同一电路同一变量，若单位阶跃响应为s(t)，单位冲击响应为h(t)，则两者的关系为iL=LR-ttee(t)t=RL例如：已知RL并联电路在d

(t)作用下的解：=--txe0t12/21/2022645.单位冲击响应与单位阶跃响应的关系h(t)=ds(t)P199题7-35，试求i。i+-u'S5W0.1Hu'S=[25e(t)+d(t)]Vi+-uS10W10W0.1HuS=[50e(t)+2d(t)]V？ds(t)dti(2)==10e-50tA

=5+5e-50te(t)A解：求戴维宁等效电路求单位阶跃响应uOC=[25e(t)+d(t)]V，Req=5Wt

=0.1/5(s)，i(∞)=1/5(A)s(t)

=0.2(1-e-50t)A由齐性定理得阶跃响应i(1)=25s(t)

=5(1-e-50t)Ad(t)单独作用时的响应由叠加定理得

i=i(1)+i(2)=5(1-e-50t)+10e-50t12/21/202265P199题7-35，试求i。i+-u'S5W0.1Hu'S6.二阶电路的冲击响应先求单位阶跃响应，再对时间求导数得单位冲击响应。最后乘以冲击强度k。从冲击函数的定义出发直接求结果：LCd2uCdt2duCdt+RC+uC=

d(t)

uC(0-)=

0，iL(0-)=

0冲击函数作用后有t≥0+有两种求解方法：C+uR

-+

-RL+uL

-id(t)t≥0-uC+

-LCd2uCdt2duCdt+RC+uC=

0

此法的关键是求初始值，具体方法与一阶电路相似。变成求零输入响应问题。12/21/2022666.二阶电路的冲击响应先求单位阶跃响应，再对时间求导数得单uC不是d(t)函数，即uC不能跃变，这两项也是0。由零状态条件知该项为0。先求uC(0+)和iL(0+)方程两边从0-到0+积分LCduCdtt=0+++RC[uC(0+)-uC(0-)]duCdtt=0-uCdt∫0-0++=1LCLCd2uCdt2duCdt+RC+uC=

d(t)uC(0-)=

0，iL(0-)=

0所以：duCdt=1t=0+C+uR

-+

-RL+uL

-id(t)t≥0+uC+

-电路中的电流产生了跃变，即电感电流发生跃变。12/21/202267uC不是d(t)函数，即uC不能跃变，这两项也是0。由零状态可见二阶电路的冲击响应也有两个过程：duCdtt=0+=LC1uC(0+)=

0LCd2uCdt2duCdt+RC+uC=

0

①t=0-→0+②t≥0+这一阶段的分析和解答与§7-5相同。C+uR

-+

-RL+uL

-id(t)t≥0+uC+

-冲击过后，电感中储存的磁场能量要释放，引起了过渡过程。LCduCdt=1t=0+始值：duCdtt=0+=LC1即：在d(t)的作用下建立初由初始条件iL(0+)引起的零输入响应过程。12/21/202268可见二阶电路的冲击响应也有两个过程：duCdtt=0+=LC对RLC并联电路，冲击电流作用后，电容两端的电压产生了跃变:uC(0+)

=uL(0+)

Ldi(t)iLCG+-uC+-uLiCiRt≥0-diLdtt=0+=LC1LCd2iLdt2diLdt+GL+iL=0iL(0+)=

0=C1电场能量释放引起过渡过程。duCdtt=0+=LC1uC(0+)=

0,LCd2uCdt2duCdt+RC+uC=

0

C+uR

-+

-RL+uL

-id(t)t≥0+uC+

-分析过程相同，也可用对偶原理12/21/202269对RLC并联电路，冲击电流作用后，电容两端的电压产生了跃变:*7-9卷积积分略12/21/202270*7-9卷积积分略12/18/202270*§7-10状态方程1.关于状态变量若干元素为了某种目的有机地相互组合成一个总体就称为系统。状态是系统理论中的一个基本概念。引入系统状态的概念后，对系统的描述就不仅停留所以，在理论上，状态变量不要求一定是可观察或可测量的变量。但是在实践中，总是尽量选择一些易观察和易测的量作为状态变量。例如，在自动控制系统中，需要将状态变量作为反①状态是用来描述系统的一组最少数目的变量，这组独立的变量称为状态变量。在外部(输入输出)，而是深入到了内部。馈量，以完成某种控制。12/21/202271*§7-10状态方程1.关于状态变量若干元素为了某种②以RLC串联