几何与代数：4- 线性方程组的求解

定理(Cramer法则)x1=D1D,x2=D2D,…,xn

=DnD

若行列式D0,则线性方程组(1)有唯一解:

第1章行列式和线性方程组的求解

§1.4线性方程组的求解局限性:

①方程的个数与未知量的个数相等;

②系数行列式D

0.a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=b2

…an1x1+an2x2+…+annxn=bn(1)Gauss消元法设含有n个未知量,s个方程的线性方程组的一般形式如下:a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…as1x1+as2x2+…+asnxn=bs(1.12)(非)齐次线性方程组,解,(不)相容,

解集,

通解,同解第1章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解一.基本概念二.线性方程组的初等变换

2x13x2+4x3=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2x1+2x2

x3=

32x13x2+4x3=4

x1+x2

3x3=1x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

x22x3=22(1)x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=01/21换法变换倍法变换消法变换阶梯形方程组第1章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解x1

5x3=1x2+2x3=

2

0=0x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=0阶梯形方程组(2)x1=5x3+1x2

=

2x32

x3

=

x3最简形方程组由此可得原方程组的通解第1章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解上述求方程组解的方法---Gauss消元法

1.线性方程组的换法变换,倍法变换和消法变

换统称为线性方程组的初等变换.2.阶梯形线性方程组的有三中基本类型.例如2x1+3x2x3=1

2x2+x3=2

0=1x1x2+2x3=8

2x2+x3=

1

x3=5x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4=

3第1章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

注:

倍法变换必须用非零的常数去乘某一个方程.第1章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………as1

as2…asn

定义.由一些数排成的矩形表格称为s×n型矩阵,其中aij称为这个矩阵的元素,i和j分别表示该矩阵的第i行和第j列.n阶方阵,n维行向量,

n维列向量矩阵通常用A,B,C来表示,或记成As×n,…n阶方阵A的行列式常记为detA或|A|.三.矩阵及其初等行变换A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………as1

as2…asn为方程组(1.12)的系数矩阵,[A,b]=a11

a12…a1nb1a21

a22…a2nb2

……………as1

as2…asnbs为(1.12)的增广矩阵.第1章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…as1x1+as2x2+…+asnxn=bs(1.12)矩阵的初等变换

2x13x2+4x3=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2x1+2x2x3=

32x13x2+4x3=4

x1+x23x3=1x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

x22x3=22(1)x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=01/212

34

4121

32262轻装上阵

121

32

34

411311/2121

30

12

201

222(1)121

3012200001增广矩阵的初等变换第1章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解1.下面三种变换称为矩阵的初等行变换.把上述定义中的“行”换成“列”,即得到初等列变换的定义(相应的记号是把“r”换成“c”).初等行变换与初等列变换统称为初等变换.(1)对调两行(对调i,j两行记为ri

rj),(2)以非零的数k乘某一行中的所有元素

(第i行乘以k记为kri),(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去(第j行的k倍加到第i行记为ri+krj).第1章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解2.阶梯形矩阵与行简化阶梯阵则称A为阶梯形矩阵(简称阶梯阵).这时称A

中非零行的行数为A的阶梯数.例如如果矩阵A满足如下条件若A有零行(元素全为零的行),则零行位于最下方,非零行的非零首元(自左至右第一个不为零的元)的列标随行标的递增而递增,1100401022000230000411204013220002300000,第1章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解则称A为行简化阶梯形矩阵.例如如果阶梯阵A还满足如下条件各非零首元全为1,非零行的非零首元所在列的其余元素全为0,1

0

201013020001000000注:

用数学归纳法可以证明:任何一个矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行简化阶梯阵.第1章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解3.阶梯阵的形状与线性方程组的解.2x1+3x2x3=1

2x2+x3=2

0=1

x1x2+2x3=8

2x2+x3=

1

x3=5

x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4=

30=0无解

有唯一解

有无穷多解

2

128

021

1001512

1

1

2

0014300000解的数目

r=r′=3

r=r′<4

2

3

41

021

20001第1章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解r=r′+1

第1章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解例1.求解线性方程组x1+2x2+x3+x4=-1

2x1

-x2+2x3+x4=2x1+x2+2x3+2x4=0总结:

当r=r′+1时,方程组无解;

当r=r′=n时,方程组有唯一解;

当r=r′<n时,方程组有无穷多解.§3.1消元法第三章矩阵的相抵变换和秩·线性方程组

例2.设线性方程组问为何值时,此方程组(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.四.齐次线性方程组有非零解的充分条件

定理1.4若方程的个数小于未知量的个数,则齐次线性方程组一定有非零解.例3.解齐次线性方程组x1

x23x3+x4

=02x12x2+x3

x4

=0

4x14x2

5x3+x4

=0x1

x2+4x3

2x