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文档简介

第7节多元函数的Taylor公式与极值一.二元函数的Taylor公式记号：定理1定义1设f(M)在点

M0的某邻域

N(M0)上满足：定理2（极值的必要条件）

设可微函数z=f(x,y)在点

M0

(x0,y0)处有极值，则必有

二.多元函数的极值2.Th1说明可微函数的极值点必为驻点；反之，驻点不一定是极值点。驻点与一阶偏导数不存在的点只是可能的极值点。如：注

1.定理3（二元函数极值的充分条件）例1例2在实际问题中，如果能判断出函数的最大（小）值必在D的内部取得，而在D内只有一个驻点，则可以肯定该驻点就是要求的最大（小）值点。求出f(x,y)在D内的可能极值点（驻点和偏导数不存在的点）处的函数值及在D的边界上的最大（小）值，则其中最大（小）者即为f(x,y)在D上的最大（小）值。设f(x,y),D为有界闭域，则f(x,y)在D上必有最大,小值。三.最大值和最小值例2例3（湿周问题）要挖掘一条灌溉渠道，横断面为一梯形，对流量大小有一定的要求，即断面面积一定，问应如何选择两边的倾斜角及高度，使用料最省？解：设面积为S，底边长为a四.条件极值——拉格朗日乘数法如例3亦可作为求三元函数条件极值：对自变量有附加条件的极值问题.目标函数约束条件拉格朗日乘数法：

由上可得如下的拉格朗日乘数法：要求函数u=f(x，y，z)在条件

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