实验七 数据拟合

实验7：数据拟合一、实验目的及意义了解最小二乘拟合的基本原理和方法；掌握用MATLAB作最小二乘多项式拟合和曲线拟合的方法；通过实例学习如何用拟合方法解决实际问题。了解各种参数辨识的原理和方法；通过范例展现由机理分析确定模型结构，拟合方法辨识参数，误差分析等求解实际问题的过程；通过该实验的学习，掌握几种基本的参数辨识方法，了解拟合的几种典型应用，观察不同方法得出的模型的准确程度，学习参数的误差分析，进一步了解数学建模过程。这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。二、实验内容用MATLAB中的函数作一元函数的多项式拟合与曲线拟合，作出误差图；用MATLAB中的函数作二元函数的最小二乘拟合，作出误差图；针对预测和确定参数的实际问题，建立数学模型，并求解。三、实验步骤开启软件平台——MATLAB,开启MATLAB编辑窗口；根据各种数值解法步骤编写M文件3.保存文件并运行；观察运行结果(数值或图形)；根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会。四、实验任务1、线性最小二乘拟合命令：a=polyfit(x,y,rn)，其中x,y为要拟合的数据，m为拟合多项式的次数，输出参数a为拟合多项式y=axm+axm-1+...+ax+a的系数12mm+1a=[a「a2,…,a『.多项式在x处的值y可由下面的程序得到：y^olyval(a,x)非线性最小二乘拟合命令：Isqcurvefit设已知xdata=(xdataj,xdata2,...,xdata),ydata=(ydata,ydata*...,ydata),Isqcurvefit用以求含参量x(向量)的向量值函数F(x,data)=(F(x,xdata1),...,F(x,xdatan))T中的参变量x(向量)，使得*(F(x,xdata)-ydata)2最小.i=1输入格式：x=lsqcurvefit('fun’，x0,xdata,ydata)，其中'fun’为事先建立的定义函数F(x,data)的m文件，自变量为x和xdata.x0为迭代初值，xdata,ydata为已知数据点。输出目标函数值的格式为：f=fun(x,xdata)例1有一只对温度敏感的电阻，已经测得了一组温度t和电阻R的数据:试建立R和t关系。t(0C)20.532.751.073.095.7R(C)7658268739421032解：先看一下温度与电阻大概存在什么关系：输入如下命令:t=[20.532.7517395.7];R=[7658268739421032];plot(t,R,'r*')xlabel('t'),ylabel('R')aa=polyfit(t,R,1)R1=polyval(aa,t);plot(t,R,’r.’,t,R1,’-‘)吒（千册）123吒（千册）12345678910yi（元）10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15所得关系方程：R=3.3987t+702.0968例2一册书的成本费y与印刷的册数x有关，统计数据如下试用y=a+b/x去拟合以上数据。Matlab程序：x=1:10;x1=1./x;y=[10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15];A=polyfit(x1,y,1)z=polyval(A,x1);iii=1(1)输入以下命令：x=0:0.1:1;y=[-0.4471.9783.286.167.087.347.669.569.489.3011.2];A=polyfit(x,y,2)z=polyval(A,x);plot(x,y,’k+’，x,z,’r’)％做出数据点和拟合曲线的图形(2)计算结果：A=-9.810820.1293-0.0317即f(x)=-9.8108X2+20.1293X-0.0317例4设一发射源强度公式为I=仲，观测数据如下：ti0.20.30.40.50.60.70.8Ii3.162.381.751.341.000.740.56试用最小二乘法确定I与t的关系式。解：/=10e-atnlnI=In10一at将观测数据化为ti0.20.30.40.50.60.70.8lnI.i1.15060.86710.55960.28270.0000-0.3011-0.5798用Matlab编程如下：x=[0.2:0.1:0.8];y=[1.1060.86710.55960.28270.0000-0.3011-0.5789];a=polyfit(x,y,1)运行程序得结果：a(1)=-2.89,a(2)=1.73所以lnI=1.73-2.89t于是I(t)=exp(1.73-2.89t)=5.64exp(-2.89t).

例5用下面一组数据拟合c(t)=a+be。皿如中的参数a,b,ktj1002003004005006007008009001000cX10-34.544.995.355.655.906.106.266.396.506.59该问题即解最优化问题:minF(tj1002003004005006007008009001000cX10-34.544.995.355.655.906.106.266.396.506.59该问题即解最优化问题:j=i解法.用命令IsqcurvefitF(x，tdata)=(a+be-0.02kt1,,a+be-0.02kti0)t，x=(a，b，k)1)编写M-文件curvefunl.mfunctionf=curvefun1(x,tdata)f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)%其中x(1)=a;x(2)=b；x(3)=k;2)输入命令tdata=100:100:1000cdata=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];x0=[0.2,0.05,0.05];x=lsqcurvefit('curvefun1',x0,tdata,cdata)f=curvefun1(x,tdata)3）运算结果为：f=0.00430.00510.00560.00590.00610.00620.00620.00630.00630.0063x=0.0063-0.00340.25424）结论:a=0.0063,b=-0.0034,k=0.2542五、实验作业1.数据拟合Malthus人口指数增长模型中参数从1790—1980年间美国每隔10年的人口记录如下表:年份1790180018101820183018401850人口(X106)3.95.37.29.612.917.123.2年份1860187018801890190019101920人口(X106)31.438.650.262.976.092.0106.5年份193019401950196019701980人口(X106)123.2131.7150.7179.3204.0226.5用以上数据检验马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进。提示：Malthus模型的基本假设是：人口的增长率为常数，记为r。记时刻t的人口为x(t)，(即x(t)为模型的状态变量)且初始时刻的人口为x0于是得到如下微分方程:'虹n]dt[x(0)=x0需要先求微分方程的解，再用数据拟合模型中的参数。2.旧车价格预测某年美国旧车价格的调查资料如下表，其中xi表示轿车的使用年数，y.表示相应的平均价格。试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据，并预测使用4.5年后轿车的平均价格大致为多少？X.12345678910y.2615194314941087765538484290226204经济增长模型增加生产、发展经济所依靠的主要因素有增加投资、增加劳动力以及技术革新等，在研究国民经济产值与这些因素的数量关系时，由于技术水平不像资金、劳动力那样容易定量化，作为初步的模型，可认为技术水平不变，只讨论产值和资金、劳动力之间的关系。在科学技术发展不快时，如资本主义经济发展的前期，这种模型是有意义的。用Q，K，L分别表示产值、资金、劳动力，要寻求的数量关系Q（K,L）。经过简化假设与分析，在经济学中，推导出一个著名的Cobb-Douglas生产函数：Q（K,L）=aKL&，0<a,你1（*）式中a,6，a要由经济统计数据确定。现有美国马萨诸塞州1900—1926年上述三个经济指数的统计数据，如下表，试用数据拟合的方法，求出式（*）中的参数a,6，a。tQKLtQKL19001.051.041.0519142.013.241.6519011.181.061.0819152.003.241.6219021.291.161.1819162.093.611.8619031.301.221.2219171.964.101.9319041.301.271.1719182.204.361.9619051.421.371.3019192.124.771.9519061.501.441.3919202.164.751.9019071.521.531.4719212.084.541.5819081.461.571.3119222.244.541.6719091.602.051.4319232.564.581.821