中考复习-几何定值和极值+不分版本

几何定值和极值一.本周教学内容：几何定值和极值.几何定值问题定值问题大致分为两类：一类是定量问题（如定长度、定角、定弧、定比……）；一类是定形问题（如定点、定线、定圆或弧、定方向…）解决这类问题要通过题目中元素动静结合，特殊与一般结合，数形结合的特点去分析，把定值找出来，再有的放矢地进行论证。（1）定量问题：解决定量问题的关键在探求定值，一旦定值被找出，就转化为熟悉的几何证明题了。探求定值的方法一般有运动法、特殊值法及计算法。（2）定形问题：定形问题是指定直线、定角、定向等问题。在直角坐标平面上，定点可对应于有序数对，定向直线可以看作斜率一定的直线，实质上这些问题是轨迹问题。.几何极值问题：最常见的几何极值问题大体包括：有关线段的最大最小问题；三角形面积的最大最小问题；角的最大最小问题等。二.重点、难点：（一）重点：重点是几何的定值问题和极值问题，证几何定值问题时要运用一定的猜想、联想、推理、计算等手段探求定值。几何中的极值问题大量的是利用几何图形的性质，作各种几何变换及利用几何中的不等量关系来求解。（二）难点：难点是通过题目中元素动静结合，特殊与一般结合，数形结合的特点进行分析，从而提高分析问题和解决问题的能力。【例题分析】例1.已知ABC的两边的中点分别为M、N,P为MN上的任一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于D、E,求ADAE证：————为定值。DCEB分析：用运动法探求定值，先考虑特殊情况，令P在MN上向M运动，此时D点向A分析：用运动法探求定值，先考虑特殊情况，令P在MN上向M运动，此时D点向A运动,P点运动到M时，D点将与A点重合，而AM=MB,于ADAEDCEB0ACAM八.01MB1,于是转入一般证明。证明：连结APAEEBSAECSBECAEEBSAECSBECSAPCSBPCSAEPSBEP同理:SAECSBECADDCSAEPSBEPSAPBSBPCAEEBAD SapcDC SBPCSAPBSBPCSABCSBPCSBPCSABCAEEBAD SapcDC SBPCSAPBSBPCSABCSBPCSBPCSABC1八 cBCh,S2BPC1c—BC2SABCAEEB2sADDCBPCSBPCSBPC例2.两圆相交于P、Q两点,过点P任作两直线AA'与BB'交一圆于A、B,交另一圆于A'、B',AB与A'B'交于点C,求证： C为定值。分析：设两圆为。O、OO',现从运动极端分析，因为直线AA'与BB'都是以P为固定点运动的。当AA'与BB'重合时，便成了左图的情况，而AC和A'C分别成了两圆的切线。且PQAA'(BB'),QA、QA'分别为直径。容易求得C180AQA'QAPQA'P1 ，一-(QOPQO'P)这就是所求的定值。证明：如右图，连结PQ、BQ、A'Q则有CPB'A'PBA180PQA'PBAQA'PQPA'PBAQA'PQBAPBAQA'PQBP1-(QOPQO'P)为定值例3.在定角XOY的角平分线上，任取一点P,以P为圆心，任作一圆与OX相交，靠近。点的交点为A,与OY相交，远离O点的交点为B,则APB为定角。分析：先探求定值,根据特殊化求定值，一般证明的原则,先看图(2),如果以角平分线上任意一点 P分析：先探求定值,根据特殊化求定值，一般证明的原则,先看图(2),如果以角平分线上任意一点 P为圆心，以OP为半径作圆，此时，A点与O点重合， APBOPB1POBPBO-XOY2APB180XOY为定值证明：如图(1),作PMOX于M,PNOY于NOPMOPN(AAS)PMPN又PAPB,RtPMARtPNBPAMPBNO、B、P、A四点共圆APB180XOY为定值例4.已知E、F分别是四边形ABCD的AB、CD边上的中点，、 1， 、求证：EF-(ADBC)

… ，…，一，…，1 - 一，一，，"，一一分析：本题即证EF的最大值为-(ADBC),因此可先考虑特殊情况，以找出等号成立的条件，再证一般情况。证明：(1)当四边形中AD//BC时，如左图EF是梯形ABCD的中位线1, 八EF-(ADBC)(2)当AD不平行BC时，如右图连结AC,取AC的中点G,再连结EG、FG,一，一1_在ACD中，GF-AD2〜 - 1在ABC中，EG-BC2一一1， 八EGGF-(ADBC)又在EFG中，EFFGGEEF(ADBC)… m一1 _ 一综合(1)(2),得EF-(ADBC)【考点解析】例1.如图，AD是。。的直径，B是AD延长线上一点，BE切。O于点E,ACBE交BE延长线于点C,若ED弦EG交AD于点F。求证：CEFG。证明：连结AE、EDAD是。。直径AED90ACBCTOC\o"1-5"\h\z3 490BC切。O于点E\o"CurrentDocument"2 31 4EDDG,AD是。。直径EFAD,EFFGEFAD,ECAC, 1 4ECEFCEFG点评：本题用到了垂径定理的推论，圆周角、弦切角、直径所对的圆周角、直角三角形两锐角互余，角平分线的性质等知识。例2.如图，在ABC中，ABC90,。是AB上一点，以。为圆心，OB为半径的半圆与AC切于点D,与AB交于点E,若AD=2,AE=1,求tgADE的值和四边形BCDE的面积。FAE O BFAE O B分析：求tgADE的值，需要用转化的思想，因为 ADE不是直角三角形，所以要转化到直角三角形中解决问题。

因为ADE DBA,所以可以把问题转化到RtDBE中解决问题。求四边形可以用割补的方法，把四边形分割成RtDBE和等腰DCB两个三角形分别求解。解：连结BD,过D点作DFBC于点F半径OBBC于点BBC切。。于点BAC切。。于点DCDCBAC切。。于点D,BE是直径1 2,BDE90tg21tg21BD2,AA,AD2,AE1ADE〜ABDDEAE1BDAD2tgADEtg2EDJBD2设CDCBx(x0)tgADEtg2EDJBD2设CDCBx(x0)又得AD2AEABABAD2

AEABC902 2 2AB2BC2AC2即42x2 (2x)2BCx3DFBC,ABBCDF//ABCF:FBCD:AD3:2BF5bc6,tg3BF5bc6,tg35BE1DF2DF2BF一DF2BF一5c1- 1Sbcd-BCDF—2 23.6又BD 5BF6又BD 5BF6,5ED-BD5 25v5TOC\o"1-5"\h\z1 16 3SBDEBDED 5 、SBDE2 25 5S四边形BCDE 54（平方单位）点评：本题主要运用了转化的思想，把求tgADE转化到了RtDBE点评：本题主要运用了转化的思想，把求tg周角、勾股定理等知识。【模拟试题】.几何定值问题1.求证：正三角形内一点到三边距离之和为定值。2.在正方形ABCD的外接圆的AD上任取一点P,则(PC+PA):PB为定值。3.在正方形ABCD内，以A点为顶点作EAF45EAC FAC,设这个角的两边分别交正方形的边BC、CD于E、F,自E、F分别作正方形对角线AC的垂线，垂足为P、Q。求证：过B、P、Q所作圆的圆心在BC上。2 2 …4.已知CD是半径为R的。O的直径,AB是动弦，AB与CD相交于4.已知CD是半径为R的。O的直径,ACAC.几何极值问题.在ABC中，D是AB的中点，E、F分别是AC、BC上的点，试证明DEF的面积不超过ADE与BDF的面积之和。.如图，ABC中，D、E分别是BC、AB上的点，且1 2 3,如果ABC、EBD、ADC的周长依次是mim2m「m2,证明： .已知P为平行四边形ABCD的AB边上的一个动点，DP的延长线与CB的延长线相交于Q,问P点在什么位置时,使得APBQ的值最小?.设AB是OO的动切线，与通过圆心O而互相垂直的两直线相交于 A、B,。0的半径为r,求OA+OB的最小值。【疑难解答】A.教师自己设计问题：.本周的模拟试题为什么没有选择题和填空题？.解答题的8个题各属于几何定值和极值的哪种类型？它们的解题思路是什么？B.对问题的解答：.本周的几何定值和极值问题综合性较强，而且一般都在解答题中出现，选择题和填空题出现极少，因此本周的模拟试题都是解答题。.答：解答题的第1题、第2题和第4题是几何定值中的定量问题；第 3题是几何定值中的定形问题；第5到第8题是几何极值问题。下面就这 8个题的解题思路分别作以下的说明。第1题：已知P为正ABC内任意一点，它到BC、CA、AB的距离分别为PE、PF、PD,求证：PD+PE+PF为定值。PD+分析：点P可以在三角形内任意运动，当P点运动到正三角形的一个顶点时，显然就是正三角形的高，因此,PD+PE+PF必取定值，这个定值，就是ABC的高ho证明：连结PA、PB、PC显然有:SABCSPABSPBCSPAC1八1 1- 1八-BCh-ABPD-BCPE-ACPFABBCCAPDPEPFh

A第2题：分析：用运动法令P与D重合，则（PC+PA）:PBA第2题：分析：用运动法令P与D重合，则（PC+PA）:PB变为（DA+DC）:DB,显然其定值为后。由于图中直角比较多，所以可做垂线构造相似形证明。证明：由A引AEPB,APCAEB90且ABEACPABEsacpPAPCAC(1)AEBEABAPBACB45AEP90AEPE,代入(1)式得：PAPCPAPCACPEBEPBAB(PAPC):PB为定值上2AB第3题：本题属于定形问题，要证B、P、Q三点所确定的圆的圆心在BC上，若命题正确，则第3题：本题属于定形问题，要证2 .且ABBC,AB就是圆的切线， APQ是割线，那么必有ABAPAQ,证明即可。证明：如图，BAE CAF45 EAC又B AQFRtABE"AQF幽士（1）同理AEP"AFDAQAFAPADAEAF(2)由⑴(2)AQAPAPADAEAF(2)由⑴(2)AQAPAD又ADAB_2 — —ABAPAQAB是过B、P、Q三点所作圆的切线,BC过切点B垂直于AB,它必通过圆心，也就是过 B、P、Q所作圆的圆心在BC边上。第4题：这是定值问题，既然AB是。O的动弦，而且与。O的定直径CD保持夹角为45,则可把这些动弦视为一2 __2 _2 _2 2组平行移动的弦，显然，做一条过圆心且平行于AB的弦AiBi,则E点与。点重合，这时A1E B〔E RR2R,于是探求到定值为2R2,这里的AB^,是特殊位置，一般情况就比较好证了。第5题：分析：因为DA=DB,所以ADE分析：因为DA=DB,所以ADE与BDF就可以拼合成一个四边形，然后再去与DEF比较面积的大小。证明：⑴如图（1）,证明：⑴如图（1）,以D为对称中心，把DAE旋转180HDBE',易知四边形BFDE'是凸四边形，连结FE',而且DEDE'SDEFS而且DEDE'SDEFSDE'F，SDE'F S四边形DE'BFSDEFS四边形DE'BF SBDE'SBDFSDEFSADESBDF(2)当E运动到与A重合时，Sade0,则SDEFSadf⑶当F运动到与(2)当E运动到与A重合时，Sade0,则SDEFSadf⑶当F运动到与B重合时,SBDF0,则SDEFSBDESBDF如图(2)SADE如图⑶综合⑴、(2)、⑶SDEFSADESBDF总能成立。第6题：分析：初看本题不好下手，但仔细想来有两条路可走，一是把m1、m2、m分别用同一个三角形的边长的代数式表示，将m1m2转化为二次函数求极值;另一是将m视为ml与m2的和，分别求其代数式再求极值。mm证明：设BC=a,AC=b,AB=c,贝Um=a+b+c1 2 3,则ED//AC,由ADC"BAC得————bcbm2DCADAC—(abaEDBE由EBDsABC得：————aca2b2m1EDBEBDa-2