高中数学圆与直线知识点与各类提高习题(附答案)

圆与直线圆心〔-2,-2丨半径2E圆心〔-2,-2丨半径2E24F点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离d与r在大小关系判断知识点圆的方程：〔1〕标准方程：(xa)(yb) r〔圆心为A(a,b),半径为r〕〔2〕圆的一般方程:x2y2DxEyF0〔D2E2〔2〕圆的一般方程:直线与圆的位置关系判断方法〔1〕几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。 d=r为相切，d>r为相交，d<r为相离。适用于直线和圆的方程判断二者关系，也适用于其中有参数，对参数谈论的问题。禾U用这种方法，可以简单的算出直线与圆相交时的相交弦的长，以及当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最远、最近距离等。〔2〕代数法：由直线与圆的方程联立得到关于 x或y的一元二次方程，然后由判别式△来判断。△=0为相切，△>0为相交，△<0为相离。利用这种方法，可以很简单的求出直线与圆有交点时的交点坐标。4•圆与圆的位置关系判断方法〔1〕几何法：两圆的连心线长为I，那么判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:1〕当1r1「2时，圆C1与圆C2相离；2〕当1r1「2时，圆C1与圆C2外切；3〕当|r1r211r1r2时，圆C1与圆C2相交；4〕当1|r1r21时，圆C1与圆C2内切；5〕当11r1r21时，圆C1与圆C2内含；〔2〕代数法：由两圆的方程联立得到关于 x或y的一元二次方程，然后由判别式△来判断。△=0为外切或内切，△>0为相交，△<0为相离或内含。假设两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在直线方程。直线与圆的方程的应用：利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系选择题1.圆(x1)2(y 3)21的切线方程中有'个是〔〕A.x—y=0B.x+y=0C.x=0D.y=02.假设直线ax2y10与直线xy20互相垂直，那么a的值等于〔〕12A.1B. -C.D. 2333.设直线过点(0,a),其斜率为1，且与圆x22y2相切，贝Ua的值为〔〕A. 4B.22C2D.2平面的斜线AB交于点B，过定点A的动直线1与AB垂直，且交于点C，那么动点C的轨迹是〔〕A.一条直线B.一个圆C.一个椭圆D.双曲线的一支参数方程x2〔为参数〕所表示的曲线是〔〕ytancotA.圆B.直线C.两条射线D.线段如果直线l1,l2的斜率分别为二次方程x24x1 0的两个根，那么l1与l2的夹角为〔 〕A.-B.—C.D.3468M{(x,y)|y9x2,y0},N{(x,y)|yxb}，假设M门N ，那么b4.5.6.7.〔〕3.2,^.2)[33.2,^.2)8.9.C.(3,3、一2]一束光线从点A(1,1)出发，经x轴反射到圆C.假设直线ax2by2O(a,b8.9.C.(3,3、一2]一束光线从点A(1,1)出发，经x轴反射到圆C.假设直线ax2by2O(a,b33,2]C:(x3,220)始终平分圆x2)2(y4x3)2 1上的最短路径是2,62y8 0的周长，那么的最小值为10.平面区域D由以A1,3、B5,2、C3,1为顶点的三角形内部和边界组成•假设在区域D上有12、10.平面区域D由以A1,3、B5,2、C3,1为顶点的三角形内部和边界组成•假设在区域D上有12、my取得最小值，那么mA.2B. 1C.1设M1020001N1020011,P1020001020011,N1020021102001系为A.MN,PQB.MN,PC.MN,PQD.MN,P无穷多个点x,y可使目标函数两圆相交于点11、9100,Q102001 9102002 100，那么与N、P与Q的大小关A(1,3和口点B(m,1),两圆圆心都在直线l:xy0上，那么mc的值等于.-1B.213、三边均为整数且最大边的长为 11的三角形的个数为填空题1、直线2x-y-4=0上有一点P,2、设不等式2x1m(x2 1)填空题1、直线2x-y-4=0上有一点P,2、设不等式2x1m(x2 1)对一切满足m2的值均成立，贝Ux的范围为3、直线l:xy4 0与圆C:2y1 2，那么C上各点到I的距离的最大值与最小值之差为x4、直线22(t为参数)被圆124截得的弦长为5、圆M:(xcos)2(ysin)2直线l:y kx，以下命题成立的有对任意实数对任意实数对任意实数对任意实数k与k与，必存在实数k，使得直线I和圆k，必存在实数 ，使得直线I和圆，直线I和圆M相切；，直线I和圆M有公共点;M相切M相切A.15B.30C.36D.以上都不对14、设m0,那么直线,2(xy)m10与圆x22ym的位置关系为 〔〕A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切15、向量m(2cos,2sin),n(3cos,3sin)，假设m与n的夹角为60,那么直线I:xcosysin120与圆C:(x、2cos)(ysin21)2 的位置关系是〔2〕A.相交但不过圆心B .相交过圆心C.相切D .相离16、圆0:(x3)2(y5)236和点A(2,2),B(1,2),假设点C在圆上且ABC的面积为那么2满足条件的点C的个数是 〔 〕A.1 B.2 C.3 D.4217、假设圆C1:(xa)(yb)2b21始终平分圆C2:(x221)(y1)4的周长，那么实数a,b应满足的关系是()A.a22a2b3 0B.a22a2b50C.a22b22a2b10D.3a22b22a2b1 018、在平面内,与点A(1,2)距离为1,与点B(3,1)距离为2的直线共有 ()A.1条B.2 条C.3条D.4条它与两定点A(4，-1),B(3,4)的距离之差最大，贝U P点坐标是0相切,0相切,0对称,226、点A(-3,3)发出的光线I射到x轴上被x轴反射，反射光线与圆C:xy4x4y7那么光线I所在直线方程为_rm 2 27、直线yx与圆xymxny4 0交于M、N两点，且M、N关于直线xy2那么弦MN的长为&过圆x2y2 4内一点A(1,1)作一弦交圆于B、C两点，过点B、C分别作圆的切线PB、

解答题1、设数列an的前n项和Snnan(n1)b,(n1,2,…),a、b是常数且b0。〔1〕证明：an是等差数列；S〔2〕证明：以an，亠1为坐标的点巳，(n1,2,•」)落在同一直线上，并求直线方程。n1〔3〕设a1,b-，C是以(r,r)为圆心，r为半径的圆(r0)，求使得点P1、P2、P3都落在圆C2外时，r的取值范围。2、求与圆x2寸5外切于点P(1,2)，且半径为25的圆的方程3、如图，圆心坐标为M(.、3,1)的圆M与X轴及直线y 3x均相切，切点分别为A、B，另一圆N与圆MX轴及直线y3x均相切，切点分别为C、D。〔1〕求圆M和圆N的方程；〔2〕过B点作MN的平行线I，求直线I被圆N24、如果实数X、24、如果实数X、y满足(X2)y3，求—的最大值、x2yx的最小值。225、圆C:(x1)(y2) 25，直线l:(2m1)x(m1)y7m4 0，(mR)。〔1〕证明：不管m取什么实数，直线I与圆恒交于两点；〔2〕求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.7、如下列图，过圆0:7、如下列图，过圆0:x24与y轴正半轴的交点A作圆的切线I,M为|上任意一点，再过M作圆的6、0为原点，定点Q(4,0)，点P是圆x2寸4上一动点。〔1〕求线段PQ中点的轨迹方程；〔2〕设POQ的平分线交PQ于R，求R点的轨迹方程。QA,QBQA,QB分0 Qx另一切线，切点为Q当点M在直线I上移动时，求三角形MAQ勺垂心的轨迹方程。22&圆M:x(y2) 1,Q是x轴上的动点,别切圆M于A,B两点，求动弦AB的中点P的轨迹方程。1.C.圆心为〔1, 73〕，半径为1，故此圆必与y轴〔x=0丨相切，选C.D.由A1A2B1B2 0可解得.C.直线和圆相切的条件应用， xya0,込宣，a2,选C;'J2'A.过点A且垂直于直线AB的平面与平面 的交线就是点C的轨迹，故是一条直线x2|y|26.A•由夹角公式和韦达定理求得.c.数形结合法，注意 y9 x2,y 0等价于 x2 y2 9〔y 0〕.A•先作出圆C关于x轴对称的圆C'，问题转化为求点A到圆C'上的点的最短路径，即|AC'|1 4.D.直线过圆的圆心〔 2,1〕，即卩ab1.1所以丄aa2-)(b1所以丄aa2-)(b羽一b

b-a10.C.由A1,3、B5,2、C3,1的坐标位置知，ABC所在的区域在第-象限，故x0,y0.由zxmy得yz匕表示斜率为1mmm〔1〕假设m0,那么要使zxmy取得最小值，必须使兰最小，此时需丄kAC13，即m1；mm31〔2〕假设m0，那么要使zxmy取得最小值，必须使-最小，此时需1kBC1 2，即m2，mm35与m0矛盾.综上可知,m1.11解：设点A(1,1)、点B(102OO1,102000)、点C(102002,102001)，那么M、N分别表示直线AB、AC1的斜率，BC的方程为yx，点A在直线的下方，•••KabKac，即M>N;10同理，得PQ。答案选B。 仔细体会题中4个代数式的特点和“数形结合〞的好处12解：由题设得：点A,B关于直线xy12解：由题设得：点A,B关于直线xy线段AB的中点〔3,1〕在直线xycc0对称,kAB0上，c21ki3，答案选Co0x110y11；注意“号，等于0x110y11；注意“号，等于11的边可以多于一条。xy1113解：设三角形的另外两边长为 x,y,那么点〔x,y〕应在如右图所示区域内：|m||n|6(coscossinsin)23cos(1)cos6002，当x=1时,y=11;当x=2时,y=10,11;当x=3时,y=9,10,11;当x=4时，y=8,9,10,11;当x=5时，y=7,8,9,10,11。以上共有15个，x,y对调又有15个。再加〔6,6〕，〔7,7〕，〔8,8〕，〔9,9〕，〔10,10〕、〔11, 11〕，共36个，答案选Co14解：圆心〔0,0〕到直线的距离为d ，圆半径r.mo2•••dr1m.m1〔.m1〕2 0,22圆心C〔cos,sin〕到直线l的距离圆心C〔cos,sin〕到直线l的距离d|cos〔2|1直线与圆相离，答案选 Do复习向量点乘积和夹角余弦的计算及三角函数公式16解：由题设得：5AB5，叮Sabc-,点C到直线AB的距离d1,2直线AB的方程为4x3y20,与直线AB平行且距离为1的直线为ll：4x3y3°l2:4x3y7 0得：圆心0(3,5)到直线li的的距离di6r,到直线l2的距离为d2 4r,圆0与直线h相切；与直线I?相交， 满足条件的点C的个数是3,答案选C17解：公共弦所在的直线l方程为：2(x1)(y1)2-4222-(xa)(yb)七-1=0,即:2(1a)x2(12b)ya10,圆G始终平分圆C2的周长，圆C2的圆心1,1在直线l上，2(1a)2(1b)a210,即a22a2b50，答案选Bo18解：直线l与点A(1,2)距离为1，所以直线l是以A为圆心1为半径的圆的切线,同理直线l也是以B为圆心2为半径的圆的切线，即两圆的公切线,TAB<5 3，两圆相交，公切线有2条，答案选Bo2解：原不等式变换为(x21)m(12x)0,设：f(m)(x21)m(12x),(2m2)，按题意得旳 2x22解：原不等式变换为(x21)m(12x)0,设：f(m)(x21)m(12x),(2m2)，按题意得旳 2x22x即:30J71x31 Po2x22x1022想一下，如果两圆相切或相离，各有几条公切线？填空题1解：A关于I的对称点A',A'B与直线l的交点即为所求的P点。得P(5,6〕想一想，为什么，AB与直线l的交点即为所求的P点?如果A、B两点在直线的同一边，情况又如何？3解：圆心CAA)°,f(2) °oB1141,1到直线的距离='nVllC上各点到l的距离的最大值与最小值之差 =2r=22o22r2,直线与圆相离,4解：直线方程消去参数 t得：xy10,圆心到直线的距离d 上2，弦长的一半为22\22(2)5解：圆心坐标为M^2'2 ，得弦长为14o2cos,sinJ什k2|sin(+)|—kcos—sinJ1+k2仔细体会命题③④的区别。6解：光线I所在的直线与圆C关于x轴对称的圆直线过点A(—3,3)，设I的方程为：y32k23k3

xk2 1圆心C到直线l的距离dsin() 1r，所以命题②④成立。C相切。圆心C坐标为k(x3)，即：kxy2,2，半径r1,3k3 0212k 25K 124 3解得：k4或k ；，得直线l的方程:7解：由直线y7解：由直线yx与直线xy0垂直m2，由圆心在直线xy0上n2,2 2 1 1 0L圆万程为〔X1〕〔y1〕6，圆心为1,1，圆心到直线的距离d—-^-342,弦MN的长=2.r2d22、厂248解：设P〔xo,y。〕，根据题设条件，线段BC为点P对应圆上的切点弦，直线BC的方程为XoXy°y4,tA点在BC上， x°y°4,即P的轨迹方程为：xy4。 注意掌握切点弦的证明方法。1、设数列an的前n项和Snnan〔n1〕b，〔n1,2，…〕，a、b是常数且b0。〔1〕证明：an是等差数列；S〔2〕证明：以an,亠1为坐标的点巳，〔n1,2,•」〕落在同一直线上，并求直线方程。n

10〕，求使得点P1、P2、P3都落在圆C〔3〕设0〕，求使得点P1、P2、P3都落在圆C2外时，r的取值范围。1解：〔1〕证明：由题设得a1S1a；当n?2时,an SnSn1an SnSn1nan(n1)bananan1a2(n1)ba2(n2)b2b。所以a所以an是以a为首项,2b为公差的等差数列。证毕;〔2〕证明：•••b0,对于n?2,an a1nan(n1)b〔2〕证明：•••b0,对于n?2,an a1nan(n1)baaa2(n1)ba(n1)b 12(n1)b 2S•••以an,亠1为坐标的点R,〔nn11,2，…〕落在过点R〔a,a1〕，斜率为一的同一直线上,2此直线方程为:y(a1)a〕，即x2y解:1,b1,0、P2、P33,1，都落在圆C外的条件是(r1)22r2r(r1)20(r1)2(r1、22)r2r5r17024(r3)2(r2 21)r2r8r100由不等式①，得r工1由不等式②，得rv5—.2或r>2_2由不等式③，得rv4—.6或r>4+.6再注意到r>0, 1v5—.2v4—.6=5+.2v4+622使P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围是(0,1)U(1,-—、•2)U(4+.、6,+r)。222

(a2解一：设所求圆的圆心为C(a,b)，贝Ub1)2 (b2)2 (2、、.5)2—(1)a所求圆的方程为(X3)2(y6)2120。解二：设所求圆的圆心为C(a,b)，由条件知OP注：因为两圆心及切点共线得〔1 1-OC(1,2) -(a,b)(a2解一：设所求圆的圆心为C(a,b)，贝Ub1)2 (b2)2 (2、、.5)2—(1)a所求圆的方程为(X3)2(y6)2120。解二：设所求圆的圆心为C(a,b)，由条件知OP注：因为两圆心及切点共线得〔1 1-OC(1,2) -(a,b)3 31〕式a3 2，所求圆的方程为(x3)2b6仔细体会解法2，利用向量表示两个圆心的位置关系，值得借鉴。3、如图，圆心坐标为M(.、3,1)的圆M与x轴及直线N与圆M、(y6)2 20。y同时表达了共线关系和长度关系y.3x均相切，切点分别为A、B，另一圆x轴及直线y3x均相切，切点分别为C、〔1〕求圆M和圆N的方程；〔2〕过B点作MN的平行线I，求直线I被圆截得的弦的长度；，显得更简洁明快,DNBOA的角平分线上,即O、M、N三点共线，且M的坐标为MC、3,1),:L2圆M的方程为(x3)N也在OMN为BOA的角平分线，M到x轴的距离为1,即：圆M的半径为1,2(y1) 1；MN的平行线被圆N截得的弦长,设圆N的半径为r，由RtOAM~RtOCN，得：OM:ONMA:NC,即一^1N也在OMN为BOA的角平分线，M到x轴的距离为1,即：圆M的半径为1,2(y1) 1；MN的平行线被圆N截得的弦长,〔2〕由对称性可知，所求弦长等于过 A点的此弦所在直线方程为y3(x,3)此弦所在直线方程为y3圆心N到该直线的距离—,那么弦长=2汀2d2 332注：也可求得B点坐标—-2'2；'3直线I的距离等于—，求得答案2，得过B点MN的平行线l的方程x.3y..3 0，再根据圆心N到-33；还可以直接求A点或B点到直线的距离，进而求得弦长4、如果实数x、y满足(x2)2求—的最大值、2yx的最小值。x4解：〔1〕问题可转化为求圆(X设过原点的直线方程为2k0l3上点到原点的连线的斜率k1的最大值。xkx，由图形性质知当直线斜率取最值时，直线与圆相切。2)2〔2〕；x,y满足(x2)22xy42.3cos3sinymax2 .3cos■■-3sin4 115sin()2x注意学习掌握解〔求解的技巧。5、圆C:(X〔1〕证明：不管〔2〕求直线被圆¥min4 15。2〕中利用圆的参数方程将关于 x,y的二元函数转化为关于角 的一元函数，从而方便5解：〔1〕解法1:221)(y2) 25，直线I:(2m1)x(m1)y7m4 0,(mm取什么实数，直线I与圆恒交于两点；C截得的弦长最小时I的方程•I的方程(xy4)2xy70,0,R)。xy4圆心坐标为•••点A在圆m(2xx3,y1,y7) 0,(mR)即I恒过定点A(3,1)C(1,2)，半径rC内，从而直线5,|AC|y/5l恒与圆C相交于两点。|3m1|(4m 3)25m26m—,d2 52C相交于两点。I的距离d-2、：5m2 6m5r，所以直线I恒与圆12 1〔2〕弦长最小时，IAC,kAC ・ 丄31 2代入(2m1)x(m1)y7m4 0,得I的方程为2xy注意掌握以下几点：〔1〕动直线斜率不定，可能经过某定点； 〔2〕直线与圆恒有