实验传染病模型

实验六实验项目：传染病模型一一微分方程模型实验实验目的：1.进一步巩固、加强微分方程模型的建模、求解能力；2.学习掌握用数学软件包求解微分方程数值解的相关命令。实验内容：1.建模实例，传染病问题等；2.编程求解。、模型实例——传染病模型?问题：有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行。现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。?1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t时刻的感染人数。?2、假设环境条件下所允许的最大可感染人数为Xm。单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求时刻t的感染人数。实验方法与步骤1、问题分析a、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。b、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。c、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的连续可微函数。2、问题求解2.1问题一的解答一一模型一A、模型假设1）、感染人数是时间的连续可微函数；2）、单位时间内感染人数的增长率是常数，或单位时间内感染人数的增长量与当时的感染人数成正比。B、模型构成设t时刻的感染人数为x(t)，初始时刻(t=0)的感染者人数为X0,感染者的增长率为r，根据单位时间内感染人数的增长率是常数的假设，t到t+At时间内感染人数的增量为：x(tt)-x(t)=rx(t)t因此，x(t)满足如下的微分方程：dx—=rx,dtx(0)=x°C、模型求解：MATLAB计算求解(介绍完MATLAB求解微分方程数值解的相关命令后再运行)>>x=dsolve('Dx-r*x=0','x(0)=x0','t')x=x0*exp(r*t)x(t)=x0ertxo(1r)tD、模型分析由上述解的形式，可以看出，感染人数将随着时间的增长按指数规律无限增长。特别地，当时间趋向丁无穷时，感染人数也将趋向丁无穷大。这显然是不符合现实的，说明该模型不可能用丁传染病的长期预报，同时也说明迫切需要对该模型进行必要的修正。E、改进方向单位时间内感染人数的增长率不是常数，而是逐渐下降的。原因：感染人数增长到一定数量后，环境条件、人口总数等因素将对感染者数量的增长起阻滞作用，且阻滞作用随感染者数量增加而变大。增长率是感染人数的减函数：感染者越多，增长率越低。2.2问题二的解答——模型二A、模型假设?1)、感染人数是时间的连续可微函数；?2)、感染人数受环境条件的限制，有一个最大的可感染人数xm。?3)、单位时间内感染人数的增长率和感染人数有关，是其线性函数，最大感染时对应增长率为零。B、模型构成?仍然设t时刻的感染人数为x(t)，初始时刻(t=0)的感染者人数为x0，感染者人数为。时，感染人数的增长率为r0。根据单位时间内感染人数的增长率和感染人数有关，是其线性函数的假设，可得增长率关丁感染者人数的线性函数关系式：r(x)=r0-kx?进一步，由最大感染时对应的增长率为零可确定参数k的值为：k川Xm?因此，在该模型的假设下，感染人数x(t)应满足如下的微分方程:TOC\o"1-5"\h\zdxx、r(x)x=r°(1)x,dtxmx(0)=x°C、模型求解：MATLAB计算求解(介绍完MATLAB求解微分方程数值解的相关命令后再运行)x=dsolve('Dx-r0*(1-x/xm)*x=0','x(0)=x0','t')即x(t广——xm——1&-1er0tx°D、模型分析?a)、根据前述微分方程作出dx/dt~x的曲线图，见图1-1,这是一条抛物线。由该图可看出感染人数增长率随感染人数的变化规律：增长率随着感染人数的增加而先增后减,在xm/2时达到最大。这预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注和需要密切注意的时刻。因为感染人数增长率在一定程度上代表了医疗卫生水平，增长率越小卫生水平越高。所以改善保健设施、提高卫生水平■可以推迟传染病高潮的到来。

故

d:H1-1dx;dt~x曲我图.b）、根据模型求解得到的结果作出X~t曲线，见图1-2,故

d:H1-1dx;dt~x曲我图丁Xm，且对一切t,X（t）Xm。此性质说明感染者数量不可能达到最大容量，但可无限趋近丁最大容量。二、利用MATLAB求解微分方程数值解的相关命令1指令函数及调用格式指令函数：dsolve注：此指令函数用丁求解微分方程（组）的符号（解析）解。单变量常微分方程的调用格式：f=dsolve（Gq',Cond',V）注：此调用格式用丁求符号微分方程的通解或特解，其中eq代表微分方程，cond代表微分方程的初始条件（若缺少，则求微分方程的通解），v为指定自变量（如未指定，系统默认t为自变量）。常微分方程组的调用格式：

f=dsolve(eq1",河2'广，dqn',CondT,Cond2广，Condn',Vi',V2'广,Vn)注：此调用格式用丁求解符号常微分方程组。其中eq1,…，eqn代表n个微分方程构成的微分方程组；condl,…，condn代表微分方程组的初始条件(若缺少，则求微分方程组的通解)，v1,…，vn为指定自变量(如未指定，系统默认t为自变量)。记述规定：MATLAB中，用D(注意：一定是大写)记述微分方程中函数的导数。当y是因变量时，用Dny'表示y的n阶导数’。如，Dy表示y的一阶导数y',Dny表示y的n阶导数。Dy(0)=5表示y'(0)=5。D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程y'''+y''+y'-x+5=0。.22xy=2xe的通解2实例演示例1、求微分方程y'.22xy=2xe的通解>>y=dsolve('Dy+2*x*y=2*x*exp(-xA2)','x')得结果为：y=(xA2+C1)*exp(-xA2)若输入命令：>>y=dsolve('Dy+2*x*y=2*x*exp(-xA2)')则系统默认t为自变量，而把真正的自变量x当作常数处理，把y当作t的函数，得到错误的结果：y=exp(-2*x*t-x*(x-2*t))+exp(-2*x*t)*C1例2、求微分方程』d2xdx_的通解42一2025x-0dt2dt命令输入：>>x=dsolve('4*D2x-20*Dx+25*x=0')得结果为：x=C1*exp(5/2*t)+C2*exp(5/2*t)*t%系统默认t为自变量一一-C'，例3、求微分方程y+5y一4y+10=0在条件yx=0=6,yx=0=4下的特解。x—命令输入：>>y=dsolve('D2y+5*Dy-4*y+10=0','y(0)=6','Dy(0)=4','x')得结果为：y=exp(1/2*(-5+41A(1/2))*x)*(51/164*41A(1/2)+7/4)+exp(-1/2*(5+41A(1/2))*x)*(7/4-51/164*41A(1/2))+5/2

例4、求下述微分方程组的解dx八J=3y,曳=2x.dt命令输入：>>[xy]=dsolve('Dx=-3*y','Dy=2*x')得结果为：x=1/2*6A(1/2)*(C1*cos(6A(1/2)*t)-C2*sin(6A(1/2)*t))y=C1*sin(6A(1/2)*t)+C2*cos(6A(1/2)*t)3上机练习(可选择其中一部分习题)1、将讲授过的例子中的命令输入MATLAB命令窗口，执行命令，观察输出结果并体会MATLAB在求解微分方程符号解方面的功能。2、解下歹0微分方程(组)：TOC\o"1-5"\h\z⑴、dU,21