中考数学专题训练-相似三角形的判定和性质

中考专题训练——相似三角形的判定和性质.如图，E是菱形488对角线ZC上一点，四边形8GFE是矩形.点RG分别在。C,BC上.(1)求证：NCFG=NABE.(2)若BE=4,tan/ABE/，求之M的长.4.如图，在邑48C。中，/E_L8c于点E,点尸在8c的延长线上，且CF=8E,连接AC,DF.(1)求证：四边形4EED是矩形；s(2)若NZCD=90°,AE=4,CF=2,求△国.Sacfd.如图，已知正方形ABCD的边长为a,正方形CEFG的边长为h(Z><a),点E在CO边上，点G在BC延长线上，点〃为8c上的点，连接。尸，DH.(1)当尸时，求证：ADEFsAHCD.(2)若点，为8c的中点，在(1)的条件下，求出。与6满足的关系式..已知：如图，在四边形/8CD中，AD//BC,点、E、尸分别在边48、AD±,DE与CF相交于点g.cN=cg・cf,naed=ncfd.(1)求证：AB—CD；(2)延长4。至点M,联结CM,当C尸=CM时，求证：EA-AB=AD'MD..北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，该图被誉为“中国数学界的图腾”，它是由四个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图为“弦图”的一部分，在正方形中，DE±AF,BFA.AF.(1)求证：EF=DE-BF；(2)连接BE,若BF?=EF・DE,求证：Z1=Z2..如图，已知：和都是等边三角形，其中点。在边8c上，点厂是48边上一点，且8尸=8.(1)求证：DE//CF；(2)联结。尸，设40、CF的交点为M,如果。产=FA/・FC,求证：DF//AC..如图，△ZBC中，AB=AC.(1)尺规作图：作N8的垂直平分线QE,分别交/8、4c于点E和点D(保留作图痕迹，不写作法)；(2)连接8。，若BD=BC=2,求ZC的长.

(3)在(2)的条件下，cosC=.如图，在矩形48C。中，AS=4,JD=10.直角尺的直角顶点尸在4。上滑动时(点P与/,。不重合)，一直角边经过点C,另一直角边与48交于点(1)求证：RtAAEP^RtADPC；(2)当NCP£>=30°时，求4E的长..如图，在矩形Z8CD中，点E是边C£＞上任意一点(点E与点C、。不重合)，过点工作交边C8的延长线于点尸，联结EF交边于点G,连接/C.(1)求证：AAEFsADAC；(2)如果尸E平分/ZEB,联结CG,求证：四边形/GCE为菱形..已知：如图，四边形/8CO中，NBAD=NBCD=90°,E为对角线8。的中点，点尸在边力。上，CF交BD于点、G,CF//AE,CF=^BD.2(1)求证：四边形/EC尸为菱形；(2)如果NZ)CG=NOEC,求证：AE1=AD-DC.

F.如图，在矩形NBC。中，AB=3,BC=5,BE平分NABC交AD于点、E.连接CE,点尸是BE上一动点,过点、F作FG〃CE交BC于点、G.将48尸G绕点8旋转得到48尸Gl(1)连接CG,EF,求证：ABEFsABCG；(2)当点G,恰好落在直线ZE上时，若8/=3,求EG'的值.备用图12.如图，正方形E、尸分别是边8c的中点，4F与DE,08分别交于点M,N.(1)求证：AF=DE,AFLDE.(2)求4W：MN：的值.13.问题背景如图1,在△Z8C中，点、D,E分别在AC,Z8上，2ZEDB+ZBDC=180",NDEB=90°,求证：AE=BE.变式迁移如图2,在四边形OE8C中，2NEDB+NBDC=180°,ZDEB=90°,DF//EB,DF分别交CE,BC于点G,F,求证：DG=FG.拓展应用如图3,在四边形OEC8中，2NDBE+NEBC=180°,NEDB=NDCB,里」，且〃DCn图2(1)如图①正三角形/8C,边长为4,D、E是边48、4C的中点，尸在8c边上，则4PDE的面积为问题解决(2)如图②，某小区有一块五边形空地ZBCOE,CDLDE,AE//CD,CB=CD=40m,4E=10米，ZABC=ZBCD=\20a,物业想在这块空地中划出一块△〃种区域来种植草皮，其他区域种植花卉.已知种植花卉每平方米200元，种植草皮每平方米100元.要求M,N,P分别位于/£ED,CC边上，旦MN〃CD,要使种植费用的造价最低，种植草皮的△〃可「的面积应该满足什么条件？并求出费用的最小值.接AF交CD于点接AF交CD于点G,设CE：EBG（入＞0）.15.连接AE,在8c延长线上作E尸=/£,连(1)若/8=2,入=1,求线段C尸的长.(2)连接EG,若G点为C。的中点，①求证：EGLAF.②求人的值..如图，己知△/8C,点、D,E分别在BC,CA±,且满足4)=48,EB=EC.(1)用直尺和圆规确定点。，E-.(保留作图痕迹，不写作法)(2)连接4。，EB,AD与EB交于点、F.①求证：ABDFs^CBA；②若/比1C=9O°,AB=3,AC=4,则£＞尸的长为..如图，△/8C是等腰直角三角形，AB=AC,点D,E,尸分别在BC,4C边上,DE±DF,NDEF=45°,。尸的延长线与8c的延长线相交于点G.(1)求证：ABDEsACEF；(2)若ZO=1,AF=2,求EC的长：(3)若tan/BDE^，求黑的值・.如图，在正方形48C。中，点E是边力。上的一点(不与4、。重合)，点尸在边。C延长线上，CF=AE,连接BE、BF、EF,EF交BC于点M,交对角线BD于N.(1)求证：NBEF=45°；(2)若BE平分4BD,求证：BE2=®AB*BM；(3)若DE：£4=3：2,则EMNM：MF=(直接写答案).D CA B.如图1,在四边形4BCZ)中，NABC=NBCD,过点A作AE〃DC交BC边于点、E,过点E作EF〃AB交CD边于点F,连接4尸，过点C作C〃〃/尸交/E于点“，连接8”.(1)求证：AABH^/^EAF；(2)如图2,若8〃的延长线经过4尸的中点求理的值.EC.如图1,在矩形/8CZ)中，AB=5,AD=i,点E在边CQ上，tan/B4E=2,点、F是线改ZE上一点，连接C凡(1)连接8尸，请用尺规作图法作尸G,48,垂足为G点(保留作图痕迹，不要求写出作法).若tanN4用=刍，求线段4尸的长.3(2)如图2,若CF=』8C,/E的延长线与8c的延长线交于点，，求△CM的面积.参考答案与试题解析1.如图，E是菱形/8C。对角线ZC上一点，四边形8GFE是矩形.点凡G分别在OC,8C上.(1)求证：NCFG=NABE.(2)若BE=4,tan/ABE"，求的长.4【分析】(1)根据菱形的性质可得/8〃C£>,从而可得NC4B=NDC4,根据矩形的性质可得BE〃FG,从而可得/BEM=NFME,然后利用三角形的外角可得N8/E+N4BE,NFME=NACD+NCFG,即可解答；(2)根据矩形的性质可得E8=FG=4,NEFG=NFGB=90°,EF//BG,再利用(1)的结论在RtaFGC中，利用锐角三角函数的定义和勾股定理求出CG,。尸的长，根据菱形的性质可得4O〃8C,AD=DC,从而可得力D〃EF,ND4C=NDC4,进而可得/FEC=NDCA,然后利用等角对等边可得FE=FC=5,最后证明8字模型相似三角形△EFMs/\CGM,利用相似三角形的性质进行计算即可解答.【解答】(1)证明：・・•四边形48co是菱形，C.AB//CD,:・/CAB=/DCA,・•四边形8GFE是矩形，:・BE〃FG,：./BEM=/FME,,//BEM=NBAE+NABE,NFME=NACEH/CFG,:.NCFG=NABE；(2)解：:四边形8GEE是矩形，:.EB=FG=4,NEFG=NFGB=90°,EF〃BG,：.ZFGC=180°-N尸G5=90°,,t.anXABE=T_,NCFG=NABE,4，tan/CFG=g,4：.CG=FG'tanZCF,G=4X.^-=3,4••fc=7fG2-K?G2=742+32=5'.•四边形/BCO是菱形，：.AD//BC,AD=DC,J.AD//EF,：.NDAC=NFEC,"：AD=DC,：.ZDAC=ZDCA,:.NFEC=NDCA,：.FE=FC=5,•:NEFG=NFGC=90°,NEMF=NCMG,：.△EFMs.GM,.EF=FM*'CGGM'.5_FM''~34-FM'2，月0的长为22.如图，在邑48。中，AELBC于点、E,点尸在BC的延长线上，且CF=8E,连接4C,DF.(1)求证：四边形4"力是矩形；S(2)若N/C£>=90°,AE=4,CF=2,求△AEQ.2ACFDBE CF【分析】(1)先证明四边形NEED是平行四边形，再证明NZE尸=90°即可:(2)根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可.【解答】(1)证明：尸=8E,：.CF+EC=BE+EC.即EF=BC.在团48CC中，4D〃BC且4D=BC,J.AD//EFRAD=EF.四边形AEFD是平行四边形."JAEVBC,：.ZAEF=90a.二四边形4EFD是矩形：(2)解：•.•四边形4£尸£>是矩形，；.NAEC=NDFC=9Q°,AE=DF=4,；.NE4C+NE。=90",VZACD=90°,：.ZECA+ZDCF=90°,:.NEAC=NDCF,：.AAEC^ACFD,・坐=丝=2」"ECDF7V：.EC^2AE=S,W-^XAEXEC枭4X8解法——：/.△杷C=- =1 =4.SACFDyXCFXDFyX2X4解法二：SAAEC=（AE）2=（A）2=4.^ACFD。卜2.如图，已知正方形ABCD的边长为a,正方形CEFG的边长为b（Z><a）,点E在CO边上，点G在8C延长线上，点H为8c上的点，连接。尸，DH.（1）当/时，求证：△DEFs^hCD.（2）若点”为BC的中点，在（1）的条件下，求出a与6满足的关系式.BHCG【分析】（1）证明NEZ）尸=/Z）”C,再结合90°角可以证明△〃£尸s△//（））：（2）根据（1）中的相似得到对应边成比例，可以得到关于。和6的等式即可得解.【解答】（1）证明：•••四边形Z8C。，CEFG都是正方形，；.NHCD=90°,NCEF=NDEF=9Q°,:.NDEF=NHCD=90°,:.NHDC+NDHC=90°,又,：DHLDF,:.NHDF=90°,：.NHDC+NEDF=90°,:.NEDF=NDHC,：.ADEFs^HCD.（2）解：I•点”为8c的中点，,:CD=a,CE=EF=b,：.DE=a-b,由（1）可知ADEFsAHCD,.DEEF••■,—->HCCD.a-bb「r二，~2a即。与b满足的关系式为a=\.2.已知：如图，在四边形A8CO中，AD//BC,点E、尸分别在边48、AD±,DE与CF相交于点g.cN=cg・cf,naed=ncfd.(1)求证：AB=CD：(2)延长4。至点联结CM,当CF=CM时，求证：EQAB=AD・MD.【分析】(1)根据已知可得型=空，从而可得△COGs/XCF。，然后利用相似三角形CGCD的性质可得/C£>G=NCF。，从而可得NCDG=N4ED,进而可得AB//CD,最后证明四边形48c。是平行四边形，从而利用平行四边形的性质即可解答；(2)根据等腰三角形的性质可得NCED=/A/,从而可得然后利用平行线的性质可得N/=NC0A/,从而可证进而利用相似三角形的性质即可解答.【解答】证明：(1)；CO2=cg・C5,.CD=CF"CGCD',/NDCG=NDCF,:.△CDGs^CFD,：.NCDG=ZCFD,"：NAED=NCFD,：.ZCDG=NAED,J.AB//CD,'：AD//BC,四边形ABCD是平行四边形，：.AB=CD；(2)如图：,:CF=CM,:.NCFD=NM,"：NAED=NCFD,

:.N4ED=NM,,:AB〃CD,：.NA=NCDM,:./\AEDsADMC,.AE=AD,'DMDC,：.AE*DC=AD-DM,"：AB=DC,；.EA；.EA・AB=AD,MD..北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，该图被誉为“中国数学界的图腾”，它是由四个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图为“弦图”的一部分，在正方形/8CC中，DEVAF,BFVAF.(1)求证：EF=DE-BF；(2)连接BE,若BF?=EF,DE,求证：Z1=Z2.【分析】(1)利用正方形的性质可得48=4。，NA4Q=90°,从而可得=90°,根据垂直定义可得尸=90°,从而可得/氏4/+/48尸=90°,然后利用同角的余角相等可得尸，从而可证刀夕尸丝△以£。进而可得。E=AF,AE=BF,即可解答；(2)利用(1)的结论可得。E=/尸，NBAF=NADE=N2,从而可得题=更，进而EFBF可得AFBESAE4B,然后利用相似三角形的性质可得Nl=/84尸，即可解答.【解答】证明：(1)•••四边形488是正方形，：.AB=AD,N8ZO=90°,；.NB4F+ND4E=90°，'：DELAF,BF1.AF,：.ZAED=ZF=90a,/.ZBAF+ZABF=90°,NDAE=NABF,:./XABF/ADAE(44S),：.DE=AF,AE=BF,•:EF=AF-AE,：.EF=DE-BF；(2)•:AABFmMAE,：.DE=AF,ZBAF=NADE=Z2,,:BF2=EF,DE,.BF=DE"ef而，.BF=AF"ef而，NF=NF,：.△尸BEs/XRiB,；.4=NBAF,AZ1=Z2.6.如图，已知：△/8C和△/OE都是等边三角形，其中点。在边8c上，点尸是Z8边上一点，且BF=C£).(1)求证：DE//CF-,(2)联结。R设/。、CF的交点为M,如果Df2=FM・FC,求证：DF//AC.【分析】（1）由等边三角形的性质证明产，得出NC/O=/8CR由等边三角形的性质及三角形外角的性质得出N8QE=NC4。，进而得出NBOE=N8CF,即可证明DE//CF-,（2）先证明△OFMs^CFD,得出NF£）M=NFC。，由NC4D=NBCF,得出=ZCAD,即可证明。尸〃AC.【解答】证明：（1）如图1,BDC图1••△48C是等边三角形，：.AC=BC,NACB=NB=60°,在△4CZ)和ACB/中，'AC=CBNACD=NB，CD=BF:AACDq/XCBF(SAS),:・/CAD=/BCF,:AADE是等边三角形，AZADE=ZACB=60Q,/ADE+/BDE=/ACB+NCAD,:.NBDE=NCAD,：.NBDE=/BCF,：.DE//CF^(2)如图2,BDC:DF2nFM,FC,DFFC•,——二,FMDF:4DFM=/CFD,：.丛DFMsXCFD,：.NFDM=4FCD,■:NCAD=NBCF,，乙FDM=NCAD,：.DF//AC.7.如图，△48C中，AB=AC.(1)尺规作图：作48的垂直平分线。E,分别交48、4c于点E和点O.(保留作图痕迹，不写作法)；(2)连接8。，若BD=BC=2,求NC的长.(3)在(2)的条件下，cosC=_近二【分析】(1)根据要求作出图形即可：(2)求出证明NZ=36°,再利用相似三角形的性质证明即可;(3)过点8作于点”.求出CH,可得结论.【解答】解：(1)如图，直线。E即为所求；(2)如图,・・•点。在AB的垂直平分线上，:.DA=DB,：.NA=NDBA,■:BD=BC,:・/BDC=/C,V/BDC=NA+/DBA=2/A,・・・NC=24,*：AB=AC>：.NABC=NC=2NA,VZJ-+-ZABC+ZC=180°,A5ZJ=180°,AZJ=36°,：・/CBD=NABD=NA=36°,VZC=ZC,:.ACBDsRCAB,:・C^=CD*CA,：.21=CD*(CQ+2),.•・。。=依-1(负值已经舍去)，：.AC=CD^AD=y[s^；(3)过点8作于点从•:BC=BD,BH工CD,:・CH=DH=娓",2*e•cocC买返11,BC4故答案为：返二1.48.如图，在矩形48CD中，48=4,AD=\Q.直角尺的直角顶点尸在/。上滑动时(点尸与N,。不重合)，一直角边经过点C,另一直角边与48交于点E.(1)求证：RtZ\/EPsRt△。尸C；(2)当NCP£>=30°时，求4E的长.【分析】(1)利用“一线三直角”模型，即可证明RtZ\4EPsRt△。「c；(2)由矩形的性质结合已知条件得出CO=48=4,利用含30度角的直角三角形的性质得出PC=8,利用勾股定理求出PO的长度，进而求出ZP的长度，再利用相似三角形的性质即可求出ZE的长.【解答】(1)证明：•.•四边形/8C。是矩形，.,./。=4=90",AZPCD+ZDPC=90°,:NCPE=9Q°,:.NEPA+NDPC=90°,:.NPCD=ZEPA,二RtAJ£P^RtADPC；(2)解：•四边形/BCD是矩形，AB=4,：.CD=AB^4,在Rt△尸CD中，ZCPD=30°,CD=4,：.PC=S,PD=VpC2-CD2=4V3)•••AP=AD-PD=10-W3«■:RtAJEPsRt^opc,.PDCDsn4V34争RAE=10-4忖•••AE=10V3-12..如图，在矩形/8C。中，点E是边CO上任意一点(点£与点C、。不重合)，过点1作N尸，4E,交边C8的延长线于点尸，联结EF交边AB于点G,连接4C.(1)求证：△。/c；(2)如果依平分N4所，联结CG,求证：四边形/GCE为菱形.【分析】（1）根据矩形的性质可得AB//CD,AB=DC,ZBCD=NDAB=NABC=ND=90°,根据垂直定义可得NB4E=90°,从而可得NB4F=ND4E,进而可得△/B尸s^ADE,然后利用相似三角形的性质可得区.=更，再利用两边成比例且夹角相等的ADAE两个三角形相似证明，即可解答；（2）根据角平分线的定义可得N4FE=NCFE,从而证明丝△CFE,进而可得ZF=CF,AE=EC,然后再证△4FGgZ\CFG,从而可得NE4G=NFCG,再结合（1）的结论可得ND4E=NFCG,最后利用等角的余角相等可得NOCG=N/E。，从而可得AE//CG,进而利用菱形的判定方法即可解答.【解答】证明：（1）•.•四边形力8c。是矩形，J.AB//CD,AB=DC,NBCD=NDAB=NABC=ND=90°,/.ZJ5F=180°-Z/1SC=90°,"：AELAF,：.ZFAE=W0,，NFAE-NBAE=NDAB-NBAE,：.NBAF=NDAE,,:ND=NABF=90°,:.△4BFsAADE,.AB=AF"ADAE，.DC=AF"adae''：ZD=ZE4E=90°,:.△AEFsADAC；（2）如图：平分NZF8,，NAFE=NCFE,■:NE4E=NBCD=90°,EF=EF,:.AAFE§2CFE（AAS）,：.AF=CF,AE=EC,,:FG=FG,:AAFG义ACFG（SAS）,NFAG=NFCG,,/NB4F=NDAE,NDAE=ZFCG,:ND4E+NAED=90°,Z5CG+ZDCG=90°,:.NDCG=NAED,：.AE//CG,'：AB//CD,：.四边形AGCE是平行四边形,\"AE=EC,四边形1GCE为菱形.A nFB C.已知：如图，四边形/BCD中，NBAD=NBCD=90：E为对角线8。的中点，点产在边/。上，CF交BD于点、G,CF//AE,CF=—BD.2(1)求证：四边形ZEC尸为菱形；(2)如果NOCG=NOEC,求证：AE2=AD*DC.A【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线可得/£=。后=a5£»,CE=£BD,再结合已知CF=LbD,从而可得AE=CF,进而可得四边形AECF是平行四边形，然后再根据2AE=CE,即可解答；(2)利用(1)的结论可得4E=C尸AD//CE,从而可得进而可得N4DE=NDCG,再利用平行线的性质可得NCFZ),然后证明FCD,利用相似三角形的性质即可解答.【解答】证明：(1)；/比10=90°,E为8。的中点，：.AE=DE=—BD,2

:CF=』BD,2：.AE=CF=DE,'：CF//AE,•••四边形AECF是平行四边形，:NBCD=90°,E为80的中点，；.CE=^BD,2：.AE=CE,四边形4ECF为菱形；(2)：四边形/EC/为菱形，J.AD//CE,：.NADE=NDEC,'：NDCG=ZDEC,：.NADE=Z.DCG,'：AE//CF,：.NEAD=NCFD,：.AADEsAFCD,.AD=DE**CFCD,：.CF-DE=AD'CD,•：AE=CF=DE,：.AE2=AD*DC.11.如图，在矩形/BCD中，AB=3,BC=5,BE平分N4BC交4D于点E.连接CE,点F是BE上一动点、,过点尸作尸G〃CE交BC于点G.将△BFG绕点8旋转得到(1)连接CG',EF,求证：△BEF's^bcG；(2)当点G，恰好落在直线4E上时，若8F=3,求EG的值.“ AJc B“ AJc B/「RCBF'一备用图=旦匕，从而证明了结i(2)先求得8G的长，进而求得8G',然后解宜角三角形48G'求得结果.【解答】(1)证明：：.4BFGs丛BEC,.BF=BG"bebc".BF'_BG',•BEBC'■:NFBG'=NEBC,：.AFBG'+NEBG'=NEBC+NEBG',即/F'BE=/CBG,：./XBEF'sABCG'；(2)如图1,•四边形48co是矩形，AZZ>=ZJ=ZJBC=90°,平分48C,ZJ5£=AzJ5C=45°,2AZAEB=90°-ZABE=45°,NAEB=NABE,：.AE=AB=3,:.BE=3近,由(1)知：庭=幽BEBC.3_BG,,市F2：.BG'=BG=^^~,2在RtZ\/8G'中，由勾股定理得,AG，=4BG，2-ab2=J(弩')2-。=隼，：.EG'=AE-AG'=3-^5.=6zVM.,2 2eg"= 14一—2~，综上所述：EG'=©±四...212.如图，正方形4BCD,E、尸分别是边8c的中点，4F与DE,分别交于点M,N.(1)求证：AF=DE,AFLDE.【分析】(1)根据SAS证明尸，即可得AF=DE,N4DE=NBAF,故/ADE+NAED=NB4F+NAED=90°,AFLDE-,(2)设正方形ABCD的边长为2x,则AE=BF=x,由勾股定理和面积法可得AM=AE*AD=2V5x)证明△N/£>s/\n尸8,可得NF=LaF=^-x,即可得到答案.DE5 3 3【解答】(1)证明：•.•正方形488,：.AB=DA,NABC=NBAD=90",■:E、F为边AB、BC的中点，：.BF=AE,在△/£>£与尸中，'AD=AB<ZEAD=ZFBA-,AE=BF:.AADE0ABAF(SAS),：.AF=DE,NADE=NBAF,：.NADE+NAED=NBAF+NAED=90°,：.ZAME=90°,：.AFA.DEx(2)解：设正方形/BCD的边长为2x,则在RtA4DE中，DE=yJAD2+AE?=由（1）知DE=AF,:・AF=yf^x,V2s少de=4E・AD=DE・AM,.•.杵DE5,:AD〃BC,:"ADN=/NBF,NNAD=NNFB,：.△NADsANFB,.AN_AD_0•• 一■一/tFNBF:・AN=2FN,；.NF=LiF=^-x,3 3：.MN=AF-AM-NF=.^^-,15：.AM：MN：NF=^^x：国&x：返x=6：4：5.5 15 313.问题背景如图1,在△Z8C中，点。，E分别在ZC,AB±,2NEDB+NBDC=18Q°,NDEB=90°,求证：AE=BE.变式迁移如图2,在四边形DE8C中，2NE£W+/8OC=180°,NDEB=90°,DF//EB,DF分别交CE,8c于点G,F,求证：DG=FG.拓展应用如图3,在四边形。ECB中，2NDBE+NEBC=180°,NEDB=NDCB，里」，且〃DCn>1.直接写出幽的值.BEDC图1 图2 图3【分析】问题背景：由2/£7M+/8£>C=180°,乙4£>8+NBOC=180°,得出N4JE=NEDB,由NOE8=90°,得出NOE/=NOEB=90°,即可得出进而证明AE=BE；变式迁移：延长CD,BE交于点、M,则ME=8E,由DF〃BE,得出△CDGs/XCME,△CFGsMBE,进而得出匹=19,即可证明。G=FG；MEBE拓展应用：在C8的延长线上截取8P=8£,连接。尸，由“问题背景”可知：NDBP=NDBE,进而得出△■D8E丝/XOB尸，得出NEDB=NPDB,由NEDB=NDCB,得出NPDB=NDCB,继而证明△Z)P8s/\CPZ),得出迈=m=里=_1,设8尸=1,则尸。DCPDPCn=n,得出PC=〃2,求出8C=〃2-i,继而得出幽="2-i.BE【解答】问题背景：证明：如图1,V2ZEDB+ZBDC=180°,ZADB+ZBDC=\S00,：.ZADB=2ZEDB,：.NADE+NEDB=2NEDB,：.NADE=NEDB,VZDEB=90°,ZDEA=ZDEB=90a,在△。口和△OE8中，

'NADE=/BDE•DE=DE，ZDEA=ZDEB:ADEAqADEB(ASA),：.AE=BE-,变式迁移：证明：如图2,延长C£),BE交于点、M,则图2'：DF//BE,：.ZCDG=ZM,2CGD=NCEM,NCGF=NCEB,NCFG=4CBE,:.XCDGsRCME,ACFGsACBE,.DGCGGFCG,•而F'BE'CE'.DGFG曲,:ME=BE,:.DG=FG；拓展应用：解：如图3,在C8的延长线上截取连接。P,图3由“问题背景”可知：NDBP=NDBE,在△£>8E和△O8P中，fBE=BP<ZDBE=ZDBP«BD=BD,.△DBEqMBP(SAS'),*.NEDB=NPDB,,：ZEDB=NDCB,：.NPDB=NDCB,'：NP=NP,.♦.△O尸8s△CPO,.DB=BP=PD"'DCPDPC'..DB1•=—，DCn.DB^BP=PD=_1*'DCPDPCn'设8P=1,则尸£)=〃，.1n••—，nPC:.PC=£,：.BC=PC-BP=/-1,.BCBCn2-l„2iBEBP114.问题提出(1)如图①正三角形/8C,边长为4,D、£■是边/8、4C的中点，P在8c边上，则4PDE的面积为2y；问题解决(2)如图②，某小区有一块五边形空地Z8CDE,CDLDE,AE//CD,CB=CD=40m,4E=10米，ZABC=ZBCD=120°,物业想在这块空地中划出一块区域来种植草皮，其他区域种植花卉.已知种植花卉每平方米200元，种植草皮每平方米100元.要求M,N,P分别位于ED,CO边上，旦MN〃CD,要使种植费用的造价最低，种植草皮的的面积应该满足什么条件？并求出费用的最小值.E图① 图②【分析】（1）过点工作8c于4,根据三角函数求出44,由中位线定理得出。E的长度，再根据三角形面积公式求出面积即可；（2）延长18交OC延长线于点G,要使种植费用最低，则种植草皮的面积最大，即4尸面积最大，作M/JLOC于点R设0〃=机，用机的代数式表示出尸的面积，利用二次函数的性质求最值即可.【解答】解：（1）过点4作Z/AL8C于〃，•.•△Z8C是等边三角形，D、E是边4B、/C的中点，：.DE//BC,DE=^BC=2,2'：AH=tanZABC-AB=4M,/XPDE的高为工Z〃=2百，2：.^PDE的面积为/X2X2百=2百，故答案为：（2））延长交QC延长线于点G,要使种植费用最低，则种植草皮的面积最大，即面积最大,作MFLDC于点尸，NDNDVZABC=ZBCD=120°,・・・NG8C=NBCG=60°,•••△G5C为等边三角形，即GC=8C=40m,GD=GC+CD=80m,作MF_LC。于R设GF=x,贝ij例尸=6/721160°=如》,,:MN〃CD,MFICD,ND工CD,J四边形MM）尸是矩形，：.MN=FD=GD-GF=80-m,:・SnNP=fX（80-zn）X-（m-40）2+800百，-返<0,2当机=40时，4MNP的面积最大为80073-作AQLMN于Q,则MQ=MN-NQ=MN-AE=80-40-10=30,：.AQ=MQ'tan600=30/3，此时花卉种植面积为Sh^xecg-Sscg-Saa/m>=£（10+80）X（30百+40百）-Ax40X2073-80073=195073，.•.总费用为800百><100+1950百义200=470000百（元），即要使种植费用的造价最低，种植草皮的的面积最大，费用的最小值为470000百元.15.如图，在正方形Z8CZ）中，点£在BC边上，连接4E,在5c延长线上作EF=ZE,连接力尸交CD于点G,设CE：EBG（A>0）.(1)若48=2,入=1,求线段CV的长.(2)连接EG,若G点为CD的中点,①求证：EGLAF.②求人的值.A DBECF【分析】(1)根据48=2,A=l,可以得到8E、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到ZE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到£尸的长，从而可以得到线段CF的长：(2)①要证明点G为C£>边的中点，只要证明△ZCGg△尸GC即可，然后根据题目中的条件，可以得到△ZZJGg△尸GC的条件，从而可以证明结论成立；②根据题意和三角形相似，可以得到CE和E8的比值，从而可以得到人的值.【解答】解：(1)I•在正方形N8CO中，Z0〃8C,:.NDAG=NF,又♦.7G平分ND4E,ZDAG=ZEAG,；.NEAG=NF,：.EA=EF,:AB=2,NB=90°，点E为8c的中点，：.BE=EC=\,J£=Vab2+be2=脏':.ef=Q:.CF=EF-EC=yf5-1；(2)①证明：•••E/=EF,点G为CO的中点，：.DG=CG,在△ZOG和△尸CG中'ND=NGCF<ZAGD=ZFGC«DG=CG.♦.△ADG安AFCG(AAS),：.AG=FG,<AE=EF,.".EG1AF；②设C£>=2a,则CG=a,由①知，CF=DA=2a,"：EGLAF,ZGCF=90°,•••NEGC+NCG斤=90°,NF+NCG产=90°，NECG=NGCF=90°，：.NEGC=NF,：.XEGCsAGFC,.EC=GC.•而而',:GC=a,FC=2a,.GC1FC2.EC_1••->GC2：.EC=^a,BE=BC-EC=2a-工=旦。2 2 2•CE,2a_1EB3_ 32a16.如图，已知△Z8C,点、D,E分别在SC,CA±,且满足40=48,EB=EC.(1)用直尺和圆规确定点。，E；(保留作图痕迹，不写作法)(2)连接4。，EB,AD与EB交于■点、F.①求证：ABDFsACBA；②若NB4c=90°,AB=3,AC=4,则。尸的长为基.~25~【分析】(1)以4点为圆心43长为半径画弧交8c于点。，作8c的垂直平分线交ZC于E即可；(2)①根据等腰三角形的性质得出两组对应角相等即可证明三角形相似：②过点/作于点〃，根据勾股定理求出8c的长度，刘勇三角函数求出8”,根据等腰三角形的性质得出BD,再根据相似三角形对应边成比例求出。尸即可.【解答】解：(1)作图如下：

;AB=AD,：./ABD=NADB,,：EB=EC,：.NEBD=NC,.MBDFsACBA；②过点A作AHLBD于点H,'：ZBAC=90°,AB=3,AC=4,sc=7aB2+AC2=V32+42=5'Yeos484=里M,ABBC.BH_3

••:3 55•:AB=AD,:.BD=2BH=毡,5由①知△8。尸.BDBC••一’…—,DFAB18即旦旦DF3解得。尸="，25故答案为：54.2517.如图，△ZBC是等腰直角三角形，AB=AC,点、D,E,尸分别在48,BC,AC边上,DE±DF,ZDEF=45°,。尸的延长线与8c的延长线相交于点G.（1）求证：ABDEsACEF；（2）若40=1,AF=2,求EC的长；（3）若tan/BDE］，求装■的值•NEd【分析】（1）根据已知可得/B=/C=45°,再根据N〃EF=45°,然后利用一线三等角模型证明，即可解答；（2）过点E作即，48,垂足为〃，根据已知可得£>E=OR然后证明一线三等角模型全等4ADFqAHED,从而可得AD=EH=\,AF=DH=2,进而可求出BH,BE,AB,8C的长，进行计算即可解答；（3）过点（7作吹_1/1。，交。G于点M,可得根据已知在RtADHE中，设EH=m,则。”=2m,利用（2）的结论可得£7/=NO=8〃=m,DH=AF=2m,BE=HBH=®m,从而求出BE,BC,CF的长，进而可得AF=CF,然后证明△/。尸且4CMF,利用全等三角形的性质可得/O=CM=m,最后证明△BCGs^CMG,利用相似三角形的性质进行计算可求出CG的长，从而求出EG的长，即可解答.【解答】（1）证明：•.18={C,Z/4=9O",.'.Z5=ZC=45O,：・NBDE+NBED=1800-Z5=135°,ZDEF=45°,；・NBED+NFEG=1800-NOE尸=135°,A/BDE=NFEG,：.△BDEsMEF；(2)过点E作即，4&垂足为H,:DE上DF,：.Z£DF=90°,ZDEF=45°,:・DE=DF,ZADF+ZEDB=90°,/ADF+NAFD=90°,，/AFD=NEDB,:NA=NEHD=90°,:•△ADaAHED(AAS),：.AD=EH=\,AF=DH=2,：/BHE=90°,NB=45°,:.BH=HE=1,:・BE=®BH=®,4B=AD+DH+BH=4,:BC=MAB=4七:・EC=BC-BE=3近;(3)过点。作MCJ_ZC,交DG于点、M,：.ZA=ZMCA=90°,:・CM〃AB,在RtZXOHE中，tan/BDE^，.EH_1••■■~~~»DH2设£77=/n,则。”=2m,由(2)得：EH=AD=BH=m,DH=AF=2m,BE=®BH=®m,：.AC=AB=AD+DH+BH=4in,BC=yf2AB=4y[2m,CF—AC-AF=4m-2m=2m,：.AF=CF,,:NA=NMCF=90°,N4FD=NMFC,△ADFq/\CMFCASA），,•AD=CM—hi,:CM〃AB,°・/B=/MCG,/BDG=/CMG,♦•△BDGs^CMG,.CM=CG*BD而，・m=CG军CG+4am'\CG=2^2ni,\EG=BC+CG-BE=5®m,.EG_5V2m_c・丽一W'•.股的值为5.EB18.如图，在正方形48C。中，点E是边/。上的一点(不与4、。重合)，点尸在边。C延长线上，CF=AE,连接BE、BF、EF,EF交BC于点、M,交对角线BD于N.(1)求证：NBEF=45°；(2)若BE平分NABD,求证：BE?=®AB・BM；(3)若DE：£1=3：2,则EMNM：MF=21：29：20(直接写答案).D CB【分析】(1)先证明△N8O丝△BCR进而便可得的度数；(2)证明再证明△E8£)s/\M8凡得BE・BF=BD・MB,进而便可得出结论；(3)设正方形ABC。的边长为“，用a表示/E、CF、DE,证明△尸用。表示CM,进而用a表示再证明AEDNsAMBN,便可求得EMMN,进而便可求得结果.【解答】(1)证明：•.•四边形/8CZ)是正方形，：.AB=BC,ZABC=ZBCD=9Q°=NBCF,'：AE=CF,：./\ABD^/\BCF(SAS),：.BE=BF,NABE=NCBF,：.NABF=NEBC+CBF=NEBC+NABE=NABC=9Q°,：.NBEF=NBFE=45°；(2)证明：由(1)知，NBFE=NBEF=45°,BE=BF,..四边形N8CO是正方形，；.NEDB=NABD=45°,NZ8C=90°,:.BD=®AB,.•BE平分N/8O,ANABE=NEBD,：.NCB尸=90°-』EBC=ZABE=NEBD,：NEDB=NNFB=45",AEBDsAMBF,•EBBD••,MBBF:.BE*BF=BD,MB,,:BE=BF,BD=y/2AB,*,-BE2=V2AB'BM:(3)解：设正方形力8C£)的边长为a.，：DE：£4=3：2,.•./£=2/0=2a，DE=3a,5 5 59：.CF=AE==^-^,5'：CD=AD=a,：.CF：DF=2：7,•:CM"DE,:ZMCsXFED,.FM_CMJC_2"FEDE"fd"7：.CM=^-DE=-^-^,7 35^a=空。

35 35：.AEDNs丛MBN,3_.EN二DE=ga二21••而怎二29书,而a设EN=21k,贝l]M7V=29h..MF2• —fEF7oo.•M甘EF号(21k+29k+HF)，：.MF=20k,:.EN：NM：MF=21k：29k：20k=2l：29：20.故答案为：21：29：20.19.如图1,在四边形Z8C。中，NABC=NBCD,过点4作NE〃OC交8c边于点E,过点、E作EF〃AB交CD边于点F,连接4凡过点C作交ZE于点，，连接BH.(1)求证：AABgAEAF；(2)如图2,若8〃的延长线经过4尸的中点M,求些的值.EC

AAAA【分析】(1)由/Z8C=N8C£)和4E〃OC可得由防〃NB可得NBZ/7=NAEF,由4E〃Z)C,C〃〃/l尸可得四边形为平行四边形，从而可得4H=CF,再由EF〃4B可得NABC=NCEF,从而可得EF=CF,即可得出即可证明；(2)延长8M,EF交于点G,由E尸〃Z8可得N/8E=NF£C,由4E〃C/可得/4E8=