理学院几何与代数B第一学期期末考试试卷8及答案_第1页
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交通大学2014-2015学年第一学期《几何与代数B》期末考试卷（A卷）一．（本题满分30分，每题3分）请把答案填在空格或括号中．1.若向量满足，则的夹角为.2.点到直线的距离是.3．若向量组线性相关，则的值为1.4.设为常数，则向量组的一个最大线性无关组是.5．设均为维列向量，矩阵。若，则-3.6．设。若与线性相关，则-1.7.设。若正定，则实数的取值范围是.8.设是阶正交矩阵，是阶单位矩阵。若，则0.9.设向量组满足。则平面上直线交于一点的充分必要条件是（D）.（A）线性相关（B）线性无关（C）（D）线性无关，线性相关10.方程在中表示的图形是（C）.（A）双曲面（B）球面（C）圆柱面（D）椭球面二.(8分)计算阶行列式。解按第一行展开……8分三．（8分）求过点且与直线都垂直的直线方程。解直线的方程可化为所求直线的方向向量满足，………6分所求直线的方程为。………8分四．（10分）)已知两直线，相交，求的值，及所在的平面方程。解将两直线方程化为点向式：，得两直线的方向向量分别为，。………4分由相交，得解得。………7分所在的平面方程为即。………10分五.（14分）已知线性方程组有三个线性无关的解。证明方程组系数矩阵的秩为；求的值及方程组的所有解（用导出组基础解系表示）。解（1）设方程组有三个线性无关的解，则是其导出组的线性无关的解，从而方程组系数矩阵的秩。又系数矩阵有一个二级子式，所以方程组系数矩阵的秩恰为……4分（2）将原方程组增广矩阵化为阶梯形因为系数矩阵的秩为2，且原方程组有解，所以。………9分方程组（I）有一个特解，导出组的基础解系为所求方程组的通解是任取。……14分六．（12分）设。若矩阵满足，求矩阵的伴随矩阵。解由，得，。………3分又，………8分故。………12分七.（12分）设。求正交矩阵使为对角矩阵。解得A的特征值1（二重）和4。………3分对特征值1，解方程组，得基础解系将正交化：再将单位化：。………9分对特征值4，解方程组，得基础解系。将单位化：。………11分令，则为所求。………12分八．（6分）设是正交的三维单位列向量，证明矩阵相似于。证明由得有特征值1和2。

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