时代杯2018年江苏中学数学应用与创新邀请赛初赛试题含答案

“时代杯”2018年江苏省中学数学应用与创新邀请赛初赛试题(初中组)(2018年12月6日下午14:00~15:40)题号一一三总分1—1011—1819202122得分注意事项:1.本试卷有22题共4页.满分150分.考试时间100分钟.2.用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）直接答在试卷上.3.答卷前将密封线内的项目及考号填写清楚.、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的.每小题5分，共50分）已知mw0,下列计算正确的是().A.m2+m3=m5B.m2m3=m6C.m3+m2=mD.(m2)3=m5已知四个数:A.202,—3,—4,5,任取其中两个数相乘,所得积的最大值是（12设a+1与2（a—1）的值互为相反数，则10a的值是（D.).A.3B.已知四个数:A.202,—3,—4,5,任取其中两个数相乘,所得积的最大值是（12设a+1与2（a—1）的值互为相反数，则10a的值是（D.).A.3B.C.0D.（n+1）边形的内角和比n边形的内角和大（).360°180°90°D.60°5.现有二。。八年奥运会福娃卡片5张，卡片正面分别印着贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮5.妮，每张卡片大小、质地和背面图案均相同.机一次抽出两张，则抽到卡片贝贝的概率是（若将卡片正面朝下反扣在桌面上，从中随妮，每张卡片大小、质地和背面图案均相同.机一次抽出两张，则抽到卡片贝贝的概率是（若将卡片正面朝下反扣在桌面上，从中随）.“1A.5B.Thereisapieceofwork.finish.Ittakesthem(10如图，已知。O的半径为C.IttakesMr.Aalone20daystofinish,andMr.B30alonedaysto)daystoworktogethertofinishthework.1215505,直线l与。O相交，点O到直线l的距离为2,则。O上到直线l的距离为3的点的个数是（432)D.已知方程x2—“1A.5B.Thereisapieceofwork.finish.Ittakesthem(10如图，已知。O的半径为C.IttakesMr.Aalone20daystofinish,andMr.B30alonedaysto)daystoworktogethertofinishthework.1215505,直线l与。O相交，点O到直线l的距离为2,则。O上到直线l的距离为3的点的个数是（432)D.已知方程x2—21x-15=0,则此方程的所有实数根的和为（0-22D.l1).8O.（第7题）已知实数a,b同时满足a2+b2-11=0,a2-5b-5=0,则11,-6—1b的值是（-610.如图，在^ABC中，D、E分别是BC、AC的中点.已知/ACB=90°,BE=4,AD=7,则AB的长为（10C.2.1353D.215).（第10题）二、填空题（每小题5分，共40分）11.某人使用计算器计算全班50名学生的一次数学测验的平均分时，如果错将其中的一个.分.成绩115分输入为15分，那么由此求出的平均分比实际平均分低.分.x123y113112.已知函数yi与y2x123y113112.已知函数yi与y2分别由下表给出，那么满足yi>y2的x的值是（第14题）.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上,AF//EC,4AFD与四边形AECF的面积相等.已知AB=6cm,BC=3cm,则AF与CE之间的距离是cm.（第15题）.设直线11是函数y=2x—4的图象，将直线11绕原点按逆时针方向旋转90彳导到直线12,则l2与两条坐标轴所围成的三角形的面积是..如图，在^ABC中，已知/ABC=90°,D是AC的中点，过点D作DELAC,与CB的延长线交于点E,以BA、BE为邻边作长方形BAFE,连接FD,若/C=60°,DF=^3cm,则BC的长为cm..在△ABC中，已知/ACB=90o,/A=40o.若以点C为中心，将△ABC旋转。角到△DEC的位置，使B点恰好落在边DE上（如图所示）.则0=o.E三、解答题（第19-21题每题14分，第22题18分，共60分）.已知关于x的方程（a—1）x2-4x-1+2a=0的一个根为x=3.（1）求a的值及方程的另一个根;（2）如果一个三角形的三条边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长..设a>0,也—a是整数,则a的值为.在图示的运算流程中，若输出的数y=5,则输入的数x=.h（米）与时间h（米）与时间t（小时）.(1)已知恒等式x3-x2-x+1=(x—1)(x2+kx—1),求k的值;丫3_x2_x+1.(2)若x是整数，求证：x20一是整数.x2—2x+1.甲、乙两个水池同时放水，其水面高度（水面离池底的距离）之间的关系如图所示（甲、乙两个水池底面相同）（1）在哪一段时间内，乙池的放水速度快于甲池的放水速度?（2）求点P的坐标，由此得到什么结论？（3）当一个池中的水先放完时，另一个池中水面的高度是多少米？.某人用一张面积为S的三角形纸片ABC,剪出一个平行四边形DEFG.记DDEFG的面积为T,(1)如图1,如果DDEFG的顶点都在△ABC的各边上，D、G分别是AB、AC的中点.求T(用S表示)；1(2)如图2,如果DDEFG的顶点都在△ABC的各边上，求证：Tw/s；1(3)对任意男得的DDEFG,TW2s还成立吗？请说明理由.2008年“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛初赛试题一、选择题1.C2.二、填空题一、选择题1.C2.二、填空题（每小题B3.（每小题参考答案5分，共50分）D4.B5.C6.B7.B8.A5分，共40分）9.A10.C.11,212.213.1,4,514.10,或1115.1.216.417.118.80.(说明：第13题答对1个名1分，对2个给2分；第14题答对1个给2分)三、解答题（第19题〜第21题每题14分，第22题18分.共60分）TOC\o"1-5"\h\z19.解：（1）由题设，得9（a—1）-4X3-1+2a=0.解得a=2.3分所以原方程为x2-4x+3=0.它的另一个根是1.7分（2）由题设知，三角形的三边中至少有两条边相等，则有下列两种情形：①三边相等，边长为1,1,1;或3,3,3.那么三角形的周长是3或9;11分②仅有两边相等，因为1+1=2<3,所以三角形的边长只能为3,3,1.那么三角形的周长是7.由①、②知，三角形的周长可以是3,或7,或9.14分20.解：（1）20.解：（1）由题设知,23(x1)仅kx1)x2(k1)x2(k1)x1,1,1,从而有1.所以x3x2x1x3（k1）x2（k1）x1,从而有1.解得k=0.TOC\o"1-5"\h\z322⑵x「x1（x1）（x21）x1.x2x1（x1）因为x是整数，所以x+1是整数.321故x—/一口是整数.14分x2x121.解：（1）由图知，甲池的放水速度为82（米/小时）.41当0wtw3时，乙池的放水速度为一（米/小时）；35当3vtW5时，乙池的放水速度为一（米/小时）.2因为一v2,2V—,32所以3vtw5时，乙池的放水速度快于甲池的放水速度.4分（2）甲池中水面高度h（米）与时间t（小时）的函数关系为h=—2t+8.1c当0wtw3时，乙池中水面图度h（米）与时间t（小时）的函数关系为h-16.3

TOC\o"1-5"\h\zh2t8,t-,5-28由1解得5所以P(—,—)，即P(1.2,5.-).h-t-.「28553h—.由此说明，当t=1.2小时时，两池中水面的高度相等.10分（3）由图知，甲池中的水4小时放完.525当3vtW5时，乙池中水面图度h（米）与时间t（小时）的函数关系为h-1——.22„.5.一当t=4时，h—,即h=2.5.2所以当甲池中的水先放完时，乙池中水面的高度是2.5米.14分注：（1）中，答3<t<4,不扣分.22.解：(1)因为D、G分别是AB、AC的中点，1所以DG//BC,且DG=]BC.分别过点A、D作AM^BC,DNXBC.则/DNB=/AMB.11因为/B=/B,所以△DNBs^AMB.又因为DB=^AB,所以DNn^AM.一1故T=2S.(2)过点G作GH//AB,交BC于点H,则/B=ZGHF.因为DE=GF,DE//GF,所以/DEB=/GFH.从而有△DBE0^GHF.因为DG//BC,所以/ADG=ZB,从而有△ADG^AABC.同理，△GHC^AABC.设AD=kAB(0vkv1),则Saadg=k2S.同理，Saghc=(1-k)2S.T=s—Smdg—$△GHC=[1—k2—(1—k)2]sc1c1=(—2k2+2k)S=-2[(k—2)2—4]s=-2（k—12s+拉圣.12分（3）分以下四种情形讨论：第一种情形：如果剪得的平行四边形有三个顶点在三角形的边上，第四个顶点不在三角形的边上.①当其中有两个顶点在同一边时，如图3-1所示，延长DG交AC于点G过点G作GF7/GF,交BC于点F易知四边形DEFG是平行四边形，则TWS口defg，.…1由（2）知，S口defg,W^s.所以TWaS.②当三点分别在三角形的三边时，如图3-2,过A点作-AH//DE交EF、DG于F'、G',问题转化为（2）和图3-1两种情形，则

-T=S口DEF'G'+SDFGGF<2字ABH+'S^AHC=S.第二种情形：如果剪得的平行四边形有两个顶点在三角形的边上，另两个顶点不在三角形的边上.①当这两个顶点在同一边上时，如图3-3,延长DG与三角形的两边AB、AC分别交于点L、K,作平行四边形MNKL.问题转化为（2）.则T=S口defgWSomnklW?S.②当这两个顶点分别在三角形的两边上时，如图3-4.延长口£、GF交BC于点K、M,过点K作KN//DG,交GM于点N.易得四边形DKNG是平行四边形，从而问题转化为图3-2的情形，则1T=S口DEFG<SaDKNGW]S.第三种情形：如果剪得的平行四边形只有一个顶点在三角形的的边上，另三个顶点不在三角形的边上.如图3-5,延长ED、BECFG分别交AB、AC于点K、M,过点K作KN//D