电流和恒磁场第十三章

NanjingUniversityofInformationScience&第十三章电流和恒磁场主讲：顾

§13-1§13-1电流强度Ielectriccurrent单位时间内通过导体截面的电量。II单位A安培)，常用毫安(mA)、微安 3mA6A3IdQ nevddtSnevd4SS +I1(densityelectric(densityelectriccurrent SΦ SdIj65⇀⇀ jjdSjd=-SS的体积内积jd-t7 jdS0S恒定电流条件的微分形式j82jSIIS2 jdS s内的电荷不随时 dt若闭合曲面恒定电流 SsI 9jS Ss1.稳1.稳恒JS 稳恒电流的电路必须闭由稳恒条件可得出几个结导体表面电流密度矢量无法向分在电路的任一节点处流入的电流强度之和于流出节点的电流强度之---节点电流定律电流连线性方 d SS 内J电流线发出于正电荷减少的终止于正电荷增加的地3满足环路定理是保守§3

ofRI具有这种性质的器件为 件。也有非 件静电场恒静电场恒定电恒定4电阻率定义为电场强度EjRS的电阻率为:=0(1+t)，为电阻温度系数和铂电阻温度计(-200℃500℃)5)TC称为超导转变温度，不同材料具有不同TC钛的TC为0.39K，铝为1.19K，铅为7.2K，Hg-的端面S1流向半径为r2的端面S2，扇形张角为，解dRdlSt1R r2r2手绘图 Rrtln例2：上的厚为t，内外半径分为r1、r2的一层碳构成的。曲线流动。求：A、B之间的电阻？(电导率为)dGdSr1ABG r2l tlnR1lnr1 6五、欧姆定律(五、欧姆定律(Ohm’sR是与U和I无关的常量。IR反映了金属导体导电的基本特性IE取长 欧姆定律的微分形式：j=⇀j E1⇀⇀适用适用范围：不论导体是否均匀，不论导体形状不一定，静电场中，j＝0ρ≠0（ρ单位体积净电荷）jII相同，SS IjI jE,j UE1 铜j,E是否相同 E1U1U2EE1E2jE1j17ll例3例3：长为a半径为R1、R2的金属圆筒内、外缘势差为U，电阻率为，求圆筒的径向电流rRja径向总电阻为RdR R R2由欧姆定得径向电流I a RlnR2/大小相等方向沿径向向外，通过半径r的柱面S电流为I：jdSj2πra 求圆筒的电场分布为jU R2 22πaR1 I2πaUlnR2ll,例1R1R2内缘电势高，圆柱体中径向的电流强度为多少？dRdrSRR2R12π drlnUrRR12lUI lRln jd j UrRRj 2lE I R12π2π ln由上式解出：IUR2πlnl8六、电功率(electricpower)和焦耳定律(Joule’s

P=I2R=(jS)2(l/S)=j2(lS)=j2单位导体体积的热功率为热功率密度p=E2焦耳定律的微分形式

能电池、发电机等。电源是把能量转换为电A+qEdl-q(EK)- qEdl qK⇀ ⇀AqK A⇀d⇀ql d是标量，可取正、反两种方向。我们规定，9RI+ERI+E+++Ek非静电力能不断分离正负电正电荷所受的非静电力非静电Ek l E)dllk WqqlEk q备用*+*+E*正负 外 内 l内kEd电源的电动势EdIRdIRddSd欧姆定律的微分形式E1j⇀IUU§13-2§13-2一、磁现象(magnetic天然磁 同极相 异极相 NI1820SN118204丹麦物理学家奥斯特 ——2 F F3 I5、磁体的磁场能给载流导线以力的作用； 相互吸 7、磁体的磁场能给载流线圈以力矩作用； 偏转 1安 分子电流(1822年nn

二、磁感应强度(magnetic电流（或磁铁电流（或磁铁电流（或磁铁电流（或磁铁I 电荷的运 运动电

BB的定义yv voz

FxFFmaxv与零力线所组成的 Fmax磁感强度B的定义：Fmaxqv时，受力 ,将Fv⇀872vB(magneticinductionline&magnetic1.磁力线(磁感应线或BBbbc大小：BdBaB磁感强度B的定义：时，受力F BB运动⇀场中受 N/T1 G9 IIII 3Bn面的磁通量ss B ΦBScosnBs1dΦΦSd1 2BBS 1ΦB1dS10 2ΦB2dS2SBcosdS SBdS（故磁场是无源的1R课2.在均匀磁场B3i2YSnBOOX Z→ SmB1Si(3S2 j14BIBIl 2oxI,形面积的磁通量B，对变磁场给出dΦ后积分求ΦB02πB//dΦBdS ldx2πΦSBdS 0I d22π 1Φ0Illnd2 S SnB B→m mBSBSSdS BnSnB dSmB Bcosm ⇀磁通量单位 Bm S BdSBdS B SdivBdV diBv divB0B备用备用5 ——

18208 法国数学、物理学家拉斯由实验规律推出载流线段元（电流元）磁场公式。和沙伐尔用实验验证了该12 电 电荷定向运 电 电荷定向运 0IdldB 其 IqnvS r载流子总数dN 电 密 速 截面 qvsin(,B 0 vrdN r2I4

rdBd0Il r0 0dB

Idl

P 22

Nd的方向垂直于电流元Idl与r Idl对一段载流导

----磁感强度叠加原4 r 1 B0

三 --萨伐尔定律的应Y

rq

向

1.载流直导线的磁场

2q若 0,B v向

0,

已知：真空中I、1、2、 任取电流元 大小dB0Idlˆ ˆ

r方向Idl

1r12 1

BdB

OPOB0IYsin2IB0IYsin2I2 20Iad0I(cos1sin1r12)lB0(coscos 12OaPX7B0I(coscos2012B02）半无限长载流直导线12B0dBlI0BB dBBI856 5622.2.已知:R、I，求轴线上建立坐标系任取电流元YIORx大小dB0r方向Idl dBBx x9B0B022x( dB dBxIY x0IRdl4r0IR4rr RpX(2R23)方向：B 22(R3x 1 B02. 2x 载流圆 圆心角 B02 BBI 02R 1匝22(R3x 2(RxN匝 3I。求轴线上o1.之间任一点P的磁场。BP

0NIR R [(R

(x)2]2202 [(R

x)2

B0

B

68.R

B2(R2x2)3 2(R2x2)3 2(R2x2)30IR20I⇀S⇀⇀B12R2x230有些书籍用P表m⇀S⇀BN 2(R2x2)3NRNRPIo1RIox4RoRoxx+++++++++++++例2如图所示，有一长为l,半径为R的载流密绕直螺线管，螺线管的总匝数为N，通有电流I.设把螺线管B（02R3/ox++++++x++++++++dB 2x2R20 3/dxBddx1Rx R2d 32/ 222B02Rcsc32sR 30sin22 cB cos2 02coscos12cos21π/ll/22 02 若 2l2/4R21/ 05(2(2)无限长的 01221π,20B 022 1 1201B20 Ox练如图，求圆心O点的习IIORROB04B0RO82 II04B0IRO6 0I(2)例3、无限长载流直导线弯成如图形I20 aI求：、S、T四点的P、R 解：P L0aST5105方向 RBLA0Iso(c0sco3 so(c sco0 17.1105 方向 0Iso(c0cos34方向aRI L L 方向方向aaBBBBLA0so(c0 4方向B so(ccos03 方向AB B2.94LA 方向A6BBp已知：I、IBAO4a(cos10I[cos0002 Ia04c2A方向2(1 2B B 0 2c 0 (1cos)(1cos224csin22例4、氢原子中电子绕r503.BB qvrv0ev方向rvpm S2I vmIS12例5、均匀例5、均匀带已知：q、R求圆心处的q解：BRq T2 2 例6、已知：q、R B及圆盘的磁dqdq rT2 RqdqdsR2dI dB0dI0rdr0 7 B020R0d020rRB线圈磁 pmqp Rrrrd2mm044求球心处B0 rRo等取半径r的环 qdSdrRxrxrRdB r2d2r(20x23 2R20d d2 0B 02303dI IydB00 xydyBBx dBsin0Isin0026.10 8dBdB Idl IdlB 4 r413-8,13-9,13-9§13-4§13-4一、磁场的高斯定理(Gauss’theoremagneticm BSB注意：（1）SB （2）SB 1A例1、两平行载流直导求:1.两线中点I2AI1l解：1.I1、I2在A点的 1B220I2d2.B 方向I1d40cmr220cml25cmr3I22022.2. mB2 IB1 2dr)r1r2dr3 I1mr1 0I2d 0Il r20112dd112 .3(1.积分等于此环路所包围的电流代数和的0倍 L⇀d⇀l0Iii手关系的，IInI41IBIBoRLB02πBdl 0LL2πL Bdl02πL L回路（LI成右螺旋LBdl05IBoRLrLdlIL与I成右L Bdl20d0Bdl0rd0 2π 2 LBdl06BB0，B0B1B122π212π2 Idl11 dl B122l02LB1dl1 LBdl7II21LLBdl ii n 3 LBdl0(I2I382LBLB⇀dl ⇀0niiB9I正负I与L成右I为正；反之为负II13L 01(IL1）BL外电流有关 2）若L l0LB静电静电静电场稳恒磁稳恒磁 dB l0 iiE 1i sB 安培环路定理的应用举IR3rdBLOPB02如图r dlBdlB IRrI2rB0BBB02R如图rIdlR II00R2 r2Br0IrB22r02r结论：无限长载流圆柱导体。已知：I、→BBIB02RORr4BB020rr讨论：长直载流圆柱面。已知：I、 dl r rIRRR0IORrE 20B02内EB外E 20B02内E 20RB0Ir2R外E 20B02B 2,0R2R(2)1r02,2I ) ,02.长直载流螺线管的磁场..............BI(5 B b Bdlacb2 Bdlcosdc Bdl Babad2利用安培环路定理求 .............. dcI已知：I、N、R1、.........r.....R2...方向 右手螺旋.......IBBnI00内外BBdlBdl→....... .利用安培环路定理求 →0r......0B2内........0..R1R2外Bn 2R1OR1R2r练习：IN1000外半径与内半径之比h50cm2BdS R20NIhdr0NIhln81064.无4.无限大载流导体薄板的磁场分Iab、cd与导体板平ba ......cdB 120Bdl Bdl→bcab2 Bdlcos0 BdldacdBabBcd2Bab2ba Bdl0nab........cdBB0两板外侧两板之间B 120........13-10,13-7BackupBackup(1.—沙定证律出发严格推线与以导内，平面线的流导直载于长垂直）选在r BdLL2 I 02LB2rdl0Bdl l2rI 2LB02r2 与L绕向关系成右旋I与LI BdlL0ILIⅩrBLIrBBdl I 00dLLL220若电流反向，则为0如果规定与L绕向I0，反I BdlL0I8IIBdlBdl 0 L的电流：对BLBdl对LBdlILodldldllL(Bd//ldl BdlL BdLLB cos L I穿过 I(不穿LII1IB B n LIB d L LB n L1l BL2dln L0(穿过L) Bdl0i (穿过L磁感应强度稳恒磁场中，BLL:—安培绕向）环路（B:包含空间穿过磁感应强度（ 9BBdlL0(穿过L IIi:L(L与L绕向成右旋关系规定：与LIiIiII122I(穿过L) Bdl0(穿过LILB 的电流：对BLBdl均有贡不穿过L的电流：对L上各点B有贡对LBdl 例1解1对称性分析螺旋管内为均匀场,方向沿轴向,外部磁感强度趋于零，即B0.2LBI成右螺旋MNB++++++++++++PLOLBdlMNBdlNOBdlOPBdlPMBd 0 0,例2例2 2 B为零lB02π令L 当 时，螺绕环内可视为均匀场dR例3解1）2）rBdllL0IRr2πrB B2π0B ππI2π0IB02π BII02πBR rBI0rRrB0B02πR2π例4rBIR02πL2r r0rR,B lrR,Bdll BBl0I02π§13-5一、安培定

力，它

× 安培定律：一个电流元在磁场中所受安培力为电I→l

dFBIdl

dFIdl大小dF方向判 右手螺

arcsin(lId, B

方向 积分F BIdlsinBILL F 方向F

BL

BfI B fmaxI3IB？aLbId Idl F F IdlB(I l) ld FIL4B1aBR IIBIFFI受F5例1：在无限长载流直导线I1旁，平行放置另一长为L的载流直导线I2,两根导aI2所受到的安培力。2同，I2各点处的B解：由于I上各点到电I距离1I安培力大FILBF aB1 B0I1,12FI2LB1IL0I1sinI2I12 0I1I226例2例2：在无限长载流直I1旁，垂LI2, xI2dx d21B1B10I1,2 2sin1a a2a0I2 aL7aB0I1 RI2dldF其大小dFBI2dlI 01 2πaRd磁力dFx F dFx0I1I21 a2282解:由图可见，线圈的底边上受到安培力解:由图可见，线圈的底边上受到安培力F，方向FNBIbB根 -萨伐尔定律和安培定律，原则上

同理得电流为I1的导线单位长 02I1

度所受电流I2给予的作用力

设两根相距a分别通以同方向的电流I1和

f21与f12 dF12I2dl2大小 dF=IB

电流强度：基本物理量，单位A安培 212

0

将0=410-7NA-2f12

7I1任意一点产生磁感应强度为：

电流单位定义：令a=1m，I

2I

2单位长度受力为

12I 1

当f=210-7Nm-1时导线上的电流就是1A2 2

2

装置－磁秤如图所示,它的一臂IB9lFlF IBN4en如图均匀磁场中有一矩形载流线圈lF1BIl⇀⇀ 3F3⇀)F2FFii⇀4⇀M,N1BP IBN l MISemnBB线圈有N匝时M ⇀⇀nmmnenI成右结论:均匀磁场中，任意形状刚性闭合平面通电⇀F0,Mm⇀⇀意闭合回路的运动或自旋磁矩在磁场中受的力矩）1）Bn2）方向相 3）方向垂++++ +I++++++++++... .F .F+B.B0,0π,M0π2B4例1例1如图半径为0.20m，电流为20A，可绕轴旋转的圆形载流正向.问线圈受力情况怎样？线圈所受的磁力矩又为多少？把线圈分为JQP和PKJFF ( kkIyJ B以Oy为轴IdxRd I sRin RPz dMxdF RM I2inMIBRsin220MIBπmISkIπR2MmBIπRBkiIπR 22Pz RxIByJA.. .B. ..I.m . .FAmIdm2.⇀流线圈⇀磁场中转动时磁力矩所做的M⇀m.MmBISBM.dAMdBISId(BScos)IA mmmmmA mBsinmm mBcosmmmB(cos2cos1B513-17,13-13-17,13-6§13-6带电粒子在磁场的运动

d

练习：求q 一 力和粒子的运动方

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