《应用数学基础》教案2.3 二项分布和正态分布

长沙民政职业技术学院教案长沙民政职业技术学院教案数学应用基础课题二项分布和正态分布授课课时2课型新授课教案编号2-3教学目标（知识、技能、素质）：1、知识目标：掌握随机变量的定义及正态分布、二项分布、泊松分布的相关计算2、技能目标：分析解决问题的能力和严谨的逻辑思维能力3、素质目标：培养学生理性的思维方式和数学应用意识教学重点：正态分布、二项分布及EXCEL计算教学难点：泊松分布及其EXCEL计算主要教学方法：启发引导式、讲授法教学环节与内容一、问题引入随机试验的结果可表现为数量，如产品检验中，出现的不合格品数；商店销售中的销售额、利润值；医疗治疗中治愈的病人数；某种零件的长度等，这些结果本身就是数量。也有一些随机试验的结果是非数字的，例如：产品的合格与不合格，某天是否出太阳等，这些非数值可以通过如下的方法使其数量化，例如，以0,1表示合格、不合格，以0,1表示出太阳、不出太阳等二、新课讲授（1）随机变量的概念定义1：随机试验中，每一个试验结果都用一个确定的数字表示。这样，随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量。随机变量通常用表示。定义2：如果随机变量X的取值只有有限个或可列个数值，则称X为离散型随机变量。如：掷一枚质地均匀的骰子，X表示骰子掷出的点数；在含有10件次品的100件产品中，随机地抽取5件，Y表示抽出的5件产品中次品的数量，则X、Y均为离散型随机变量。定义3：如果随机变量X的取值是整个数轴或数轴上某些区间，则称X为连续型随机变量。如：某林场树木最高达30米，表示林场树木的高度，则为连续型随机变量。又如：用表示一批灯泡的使用寿命，则为连续型随机变量。定义4：如果离散型随机变量X的所有的取值为，且X取每一个值()的概率，将X可能的取值和取这些值的概率列成表2-2：表2-2离散型随机变量的概率分布列XPi表2-2称为离散型随机变量X的概率分布列，简称X的分布列。有时为了表达方便，也用等式表示X的分布列。根据概率的性质，离散型随机变量的分布列有如下性质：（1）；（2）对于离散型随机变量，在某一范围内取值的概率等于它取这一范围内各个值的概率之和，即。案例1掷一枚质地均匀的骰子，X表示骰子掷出的点数，用列表法表示X的分布列并求出。解X的分布列如表2-3所示。表2-3X的分布列123456.（2）二项分布定义5：如果随机变量X的分布列为，，其中，则称随机变量X服从参数为的二项分布，记作。案例2某服装店老板根据以往的经验估计每个进店顾客购买服装的概率是0.3，现有4名顾客进店，问其中有两名顾客会购买的概率是多少？解设X表示会购买服装的顾客人数，则，故所求概率为.案例3已知某地区人群患有某种病的概率是0.2，研制某种新药对该病有防治作用，现有15个人服用此药，结果都没有得该病，从这个结果我们对该种新药的效果能得到什么结论？解15个人服用该药，可看作是15次独立重复试验，若该药无效，则每人得病的概率是0.2，15个人中得病的人数应服从参数为(15,0.20)的二项分布，设15个人中的得病人数为X，则15人都不得病的概率是.这说明，若药无效，则15人都不得病的可能性只有0.035，这个概率很小，所以实际上可认为该药有效。我们可以利用EXCEL中的BINOM.DIST函数解决二项分布的概率计算问题。案例4在美国某一刑事案件中，被告是一名非裔美国人，在被告居住的社区中，只有黑人或白人，其中50%的居民都是黑人，但12名陪审团成员中根本没有黑人列席，这中现象意味着是种族歧视还是偶然事件？解设12名陪审员中的黑人数为X，则X=0的概率.或利用EXCEL中的BINOM.DIST函数（详细使用见实训二），可得.即12名陪审员中没有黑人列席的概率仅为0.00024，这是一个概率很小的随机事件。根据小概率事件在一次试验中可认为不会发生的原理，即12名陪审员中不会出现没有黑人列席的情况，这就说明该社区存在种族歧视现象。在二项分布中，当较大，较小时(实际应用中要求，)，计算较为复杂，这时，二项分布可以用泊松分布近似。有，其中。法国数学家泊松于1837年引入泊松分布，它的定义如下。定义6：如果离散型随机变量X的分布列为,(，)则称X服从参数为的泊松分布，记为。与二项分布类似，我们可以利用EXCEL中的POISSON.DIST函数解决泊松分布的概率计算问题。案例5一电话交换台每分钟收到的呼叫次数服从参数为4的泊松分布，求（1）每分钟恰有8次呼唤的概率；（2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。解设X表示每分钟收到的呼叫次数，则。（1）每分钟恰有8次呼唤的概率,或利用EXCEL中的POISSON.DIST函数（详细使用见实训二），可得.（2）每分钟的呼唤次数大于10的概率或利用EXCEL中的POISSON.DIST函数，可得（3）正态分布在自然界、经济、社会等领域内，如：人的身高、体重、学生的成绩、人的智商、海浪的高度、农作物的产量、测量的误差等随机变量都服从一类确定的分布规律，这个分布规律叫做正态分布。下面通过一个实例来阐述正态分布的思想和方法。表2-4给出了100位调查对象的初婚年龄统计情况。表2-4初婚年龄统计表区间频次频率18.5—20.550.0520.5—22.5100.1022.5—24.5200.2024.5—26.5300.3026.5—28.5200.2028.5—30.5100.1030.5—32.550.05根据表2-4的数据，容易画出它的频率直方图，如图2-6所示。图2-6初婚年龄的频率分布直方图如果我们的调查对象越来越多，年龄区间越分越细，即不以两岁作为一个区间，而是以一岁、半岁、……、甚至更小的年龄段作为一个区间，则频率分布直方图的形状会越来越像一条钟形曲线，如图2-7。图2-7频率分布的极限曲线这条曲线(近似地)就是下面函数的图像：,，其中，实数和为参数，我们称的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。如果设X表示初婚年龄，则X是随机变量，X落在区间的概率等于图2-8(1)中阴影部分的面积，X落在区间的概率等于图2-8(2)中阴影部分的面积，X落在区间的概率等于图2-8(3)中阴影部分的面积。图2-8正态分布概率计算示意图定义7：一般地，对于随机变量X，如果存在一条正态曲线，使得任取的，概率的大小恰好等于由正态曲线、过点和点的两条垂直于x的直线、以及x轴所围成的平面图形的面积，则称X服从参数为和的正态分布，记作。显然，正态分布完全由参数和确定，其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征量，可以用样本均值去估计；参数是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计。正态曲线有以下性质：(1)曲线位于轴上方，与轴不相交；(2)曲线关于直线对称；(3)曲线在处达到峰值；(4)曲线与轴围成的面积等于1；(5)当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图2-9；(6)当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图2-10.图2-9图2-10若，则X对应的概率问题一般可借助EXCEL的NORM.DIST函数求解，基本使用格式为：；；.案例6某凶杀案有两个嫌疑人，从各自住处到凶杀现场所需时间(min)服从正态分布。A所用的时间X满足，B所用的时间Y满足。如果仅有65min可以被利用，问谁的作案嫌疑较大？解A在65min内从住处到凶杀现场的概率为.B在65min内从住处到凶杀现场的概率为.从计算结果分析，A的作案嫌疑相对较大.案例7某人被控告是一个新生儿的父亲。此案鉴定人作证时指出，母亲怀孕期的天数近似服从参数为，的正态分布。被告提供的供词表明，他在孩子出生时的前300天出国，在孩子出生前240天才回来。请问被告能否根据这些证词为自己辩护？解设X为母亲怀孕期的天数，。由题意可知，如果被告是孩子的父亲，则或。而即这说明被告是孩子的父亲是几乎不可能发生