东南大学数值分析上机题答案

数值分析上机题第一章17.(上机题)舍入误差与有效数丈宀，其精确值为2(|J=2⑴编制按从大到小的顺序SN1⑴编制按从大到小的顺序SN122-1+・32-1・+计算\的通用程序；(2)编制按从小到大的顺序Sn1(2)编制按从小到大的顺序Sn1N2-1+(N-1)2-1+・•+£'计算'的通用程序；(3)按两种顺序分别计算s,S,S，并指出有效位数(编制程序时用单精度);102104106(4)通过本上机题，你明白了什么？解：程序：(1)从大到小的顺序计算(1)从大到小的顺序计算SN11++•22-132-11N2-1functionsn1=fromlarge(n)%从大至U小计算sn1formatlong;sn1=single(0);form=2:1:nsn1=sn1+1/(m入2-1);endend(2)从小到大计算S(2)从小到大计算Sn11+N2-1(N-1)2-1122-1%%从小到大计算sn2functionsn2=fromsmall(n)formatlong;sn2=single(0);form=n:-1:2sn2=sn2+1/(m入2-1);endend(3)总的编程程序为：functionp203()clearallformatlong;n=input('pleaseenteranumberasthen:')sn=1/2*(3/2-1/n-1/(n+1));%精确值为snfprintf('精确值为%f\n',sn);sn1=fromlarge(n);fprintf('从大到小计算的值为%f\n',sn1);sn2=fromsmall(n);fprintf('从小到大计算的值为%f\n',sn2);functionsn1=fromlarge(n)%从大至U小计算sn1formatlong;sn1=single(0);form=2:1:nsn1=sn1+1/(m入2-1);endendfunctionsn2=fromsmall(n)%从小至大计算sn2formatlong;sn2=single(0);form=n:-1:2sn2=sn2+1/(m入2-1);endendend运行结果：ComiirniariidWfndow»p203pleaseenteranumberasthen:1e2n-LOO精确值药0.740050甌犬到小计算的值拘①710049就小到丈计算的值尙0.740050»p203pleaseenteranumber汪吕then:1e4n=10000精确值为久749000就丈到小计算的值術0.749852甌小到大计算的值为①749900»p203pleaseenteranumbera吕then:n=1000000精确值^0.749999M犬到小计算的值为0.749S52从小到犬计算的值为0-749999从而可以得到N值真值顺序值有效位数1020.740050从大到小0.7400495从小到大0.74005061040.749900从大到小0.7498523从小到大0.74990061060.749999从大到小0.7498523从小到大0.7499996(4)感想：通过本上机题，我明白了，从小到大计算数值的精确位数比较高而且与真值较为接近，而从大到小计算数值的精确位数比较低。机器数在进行加法运算时，用从大到小的顺序容易出现大数吃小数的情况，容易产生较大的误差，是因为对于相加的两个数值，计算机首先提供与大数相一致的位数，此时将小数的尾数向右移位，并进行四舍五入，之后对尾数进行依次相加。从大到小时，越往后计算，相加的数越小，从而出现大数吃小数的情况。相比之下。从小到大计算时，每次小数与大数相加，都会增加位数，从而精确度比较高。第二章20.(上机题)Newton迭代法给定初值x及容许误差8,编制Newton法解方程f(x)=0根的通用程序。0给定方程f(x)二X3/3-x,易知其有三个根X：=—鳥，x；=o,x；=<3。有Newton方法的局部收敛性可知存在6>0，当x0e(-5,5)时Newton迭代序列收敛于根x：，试确定尽可能大的5；2试取若干初始值，观察当x°e(-8,-1),(-1,-5),(-5,5),(5,1),(1,+-)时Newton序列是否收敛以及收敛于哪一个根。(3)通过本上机题,你明白了什么？解：程序先编写函数function文件：文件fx.m%定义函数f(x)functionFx=fx(x)Fx=xA3/3-x;文件dfx.m%定义导函数df(x)%functionfx=dfx(x)fx=xA2-1;接下来是具体步骤文件newton1.m求尽可能大的delta值%%课本56页计算最大delta值clearflag=1;k=1;x0=0;whileflag==1delta=k*10八-6;xO=delta;k=k+1;m=0;flag1=1;whileflag1==1&&m<=10A3x1=xO-fx(xO)/dfx(xO);ifabs(x1-x0)<10A-6flag1=0;endm=m+1;x0=x1;endifflag1==1||abs(x0)>=10^-6flag=0;endendfprintf('%f\n',delta);文件newton2.m求方程的根%%课本56页newton法求方程的根，确定收敛于哪个根formatlong;ef=1e-6;k=0;xO=input('pleaseentertheinitialnumberasthex0:');whilek<1000x1=x0-fx(x0)/dfx(x0);ifabs(x1-x0)<efbreakendx0=x1;k=k+1;endfprintf('方程的根为%f\n',x0);对定買函数fk)%定义导函OdfWffi□functionFs=f^(x)Ffunctionfx=dfx-Fx=x3/3-x：|-fK=Kn2-l:

'Ec'tor-E:\rria-tIab2012\bin\newtonl.m*ile£臼丘TextG^o-CellToolsDebugoiaa船■哨呷卩由百•同厂目■目4目1.0+T-1.1X圃愿页计尊最大血Xa值clearfla-E=l：k=l:kO=0；whil亡flag==1delta=k*10"-弓；xO=delta：h=k+l;皿二0:flatl=l:whileflagl==l&&jh<=10'3xL=x0-fz(xd)/dfx(kO):i£abs''kI-kOj<10"-6flagl=O;endjn=m+l:zO=x1;endifflagl==l||abs(kO)>=10"-6flaE=0：end-end.fprintf(JSf\iiJjdeIta);2—32—3—-5—6——S—9—10—11—12—13——XG(-8,0-1)'Editor-E:\m3tlab2015\binXnewton2FileEditT&xtGoCellToolsDebugDesktopWindowHelp■Dafl備•■確B-0■目厂目1■目d目1.0+T1丄X團0|Q1般谡本56页n亡wtcm法求方程的根，确定收做于哪个根formatlong;ef=le-6；k=0;xO=input(Jpleas?entertheinit:LalumberasthexO:J5:E]whilek-x1000Kl=sO-fK(iCI)/dfz(xO);ifabs^kI-kC1)<efbreaksridk0=k1:k=k+l;endfprintf(J方程的根为：Sf'.njkO);(2)运行结果①求尽可能大的delta值CommandWindowA0.7newtnnl74597②判断收敛于哪个根。已知有三个根，X：=-<3,x；=o,x；*3。(-1,-5),(-8,5),(8,1),(1,+8)CommandWindow>>newton2pleaseenterth亡initialrumfb亡工asthexO：-LOOO方程的根为：1-732051>>newton2pleaseeniextheinliialnujutexa吕thee0：-50方程的根为：-1.732051>>newton2pleaseenterthsinitialnmuterastliekO:-LO方程的棍対；-1-732051》》newton2pleaseenterthe?initialiiujnberasthex0：-3方程的根为：-1-V32051收敛于X：=73X0G(-1,-6)CommandWindow>>ne¥ton2pleaseentertheinitialnumber方程的棍拘；1.732051>>nevton2pleaseentertheinitialnumber方程的根芮：1.7320E1>>nevton2pleaseentertheinitialnumber方程的根対：1.732051>>nevton2pleaseentertheinitialnunber方程的根対；-1.732051》》nevion2pleaseenterthemitialnunber方程的根为：-1.732051asthe；k0:-0.99asth亡xO：-0.9asthekO;-0.35asth&kO:-0.8asthexO：-0.78可见部分收敛于x：,部分收敛于x；。xg(-8,8)oCommandWindow>>newton2pleaseenter"theinitialnumber方程的根冏：-o.000000>>newtan2pleaseent&rtheinitialnumber方程的根掏：-o.000000》》newton2pleaseentertheinitialriumber方程的根为：0.000000>>newton2pleaseentertheinitialnumber方程的根为：0.000000asthek0.77asthek0：-0.7asthexO:~0.6asthek0：-0・500CommandWindownevton2pleaseeiLleitheLuiLi：dlillbiiIjel呂已方程的根为：-«COOOO»>>nevton2pleaseentertheinitialnumbera吕方程的根対：-0.000003»neurton2plaa.seenter"theinitialnmberas方程的根拘；0.000000》》nevton2pleaseentertheinitialnumberas方程的根为：0.000000>>nevton2pleaseentertheinitialnumbera吕方程的根为：0.000000>>nevton2plea.seentertheinitialnmberas方程的根拘；-ft.000000ixe-Mrten2pleaseentertheinitialnumberas方程的根为：0-000000LIlkx0：-0.2thez0：-0.1thek0:0thexO:0.11thex0:0.2thek0:0.5thexO:0.可见，收敛于x；=0。(5,1)CommandWindow>>newton2pleaseentertheinitialnmnber方程的根为：1.732051>>newton2pleaseenterthuinitialnmuber方程的根为：1.732051>>nevton2pleaseentertheinii:ialnrnifber方程的根^］：-1.732051》》newton2pleaseentertheinitialmunter方程的根为：1.732051>>newton2pleaseenterthemitialnmalzier方程的根为:-1.732051》》newton2pleaseentertheinitialniunloer方程的棍为：1.732K1>>newton2pleaseentertheinitialnujaLer方程的根药：-1-732051a呂thek0:0.78asthek0:0・@asthekO:0.8EasthexO:0.87astliekO:0.9asthekO:0.95asthexO:0.99可见部分收敛于x：,部分收敛于x；。(1,8)CommandWiridoiv>>newton2pleaseent&rtheinitialntmb&r方程的根対；1.732051》》newton2pleaseentertheinitialnujnber方程的根为：1-732051pleaseent&rtheinitialntmb&r方程的根対；1.732051》》newton2pleaseentertheinitialnujnber方程的根为：1-732051>>newton2pleaseenterIheinitialnumber方程的根为：1.732051>>newton2pleaseent&rtheinitialntmb&r方程的棍拘；1.732051>>newton2pleaseentertheinitialnumber方程的根为：1.732051>>newton2pleaseenter"theinitialnujnber方程的根为：1.732051》》newton2pleaseentertheinitialnumber方程的根为：1.732051A»asthekO:1.1asthexO:2asthexO;5asthe70:10asth亡xO:50a.sthekO:100asthekO:1000收敛于x3(3)感想：通过自行编写NEWTON的程序，加深了我对于NEWTON迭代法具体的运行方式、结果、利弊的了解。在不同的区间上，根据给定的x0的不同，x会以不同的速度收敛于某个根，也会产生意想不到的跳动，如在(1,8)区间是。因此给定初值的重要性很大，即在某些区间上，收敛于某个根是由一定限制的，要取得合适的初值，才能够正确地求得收敛的根。总体上来说，通过上机，巩固学习了第二章关于迭代的运用。第三章39•列主元Gauss消去法

对于某电路的分析，归对于某电路的分析，归结为‘31-13000-10-1335-90-1100-931-100000-1079-300R=000-3057-70000-74700000-300000-50<000-900求解线性方程组RI二V。其中000、00000000-90-50-30004100027-20-229丿Vt=(-15,27,-23,0,-20,12,-7,7,10)T编制解n阶线性方程组Ax二b的列主元高斯消去法的通用程序；用所编程序线性方程组RI二V，并打印出解向量，保留5位有效数;(3)本章编程之中，你提高了哪些编程能力？解：程序Gauss函数的function程序%用列主元Gauss消去法求解线性方程组Ax=bfunction[x]=gauss1(A,b)n=length(b);fork=1:na=max(A(k:n,k));[pm]=find(A(:,k)==a);ifp>kA([p,k],:)=A([k,p],:);b([p,k],:)=b([k,p],:);endm=A(k+1:n,k)/A(k,k);A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-m*A(k,k+1:n);b(k+1:n)=b(k+1:n)-m*b(k);A(k+1:n,k)=zeros(n-k,1);endx=zeros(n,1);x(n)=b(n)/A(n,n);fori=n-1:-1:1m=0;fork=i+1:1:nm=m+A(i,k)*x(k);endx(i)=(b(i)-m)/A(i,i);endend下面是主程序的m文件%%课本127页用列主元gauss消去法求解方程clearR=[31-13000-10000;-1335-90-11000;00-931-100000;000-1079-30000-9;000-3057-70-50;0000-747-3000;00000-304100;0000-50027-2;000-9000-229];V=[-15;27;-23;0;-20;12;-7;7;10];I=gauss1(R,V);I'Editor-'Editor-E:\m3tlab2012\bin\gaussl.rnj■DSB'+L=J「曰_目4目1.0+-r1.1X圖R劉1越FileEditT&xtGoCellTools■DSB'+L=J「曰_目4目1.0+-r1.1X圖R劉1越FileEditT&xtGoCellToolsDebugDesktopWindov1为用列主元Gauss消去法求解绞性方程组Ax二t23-1—--8-9-10-11-12---1E-function[s]=gauss1(Ajb)n=length.Cb);foxk=l:na=ma3f(A(k:ri,,k)):[pui]ind(A(;j:ifpXkA([pjk]j:)=A([kjp]-,：kb([pjk]j:)=bf[]£佰h:)：endm=A(k-l-l:rijk)/A(k?k);A(k+1:i\,k十1:n)=A(k-i-lk+1:n)—皿水盛(k,k+1:n);b(k+l:n)=b(k+l:n)—m*b(kJ;A(k+1:n,,k)=zeros(n-k^1〕:16-17-IS---21-22----K=2eros(n』1〕；i(n>b(n)/A(m,n);fori=n-1:-1:1m=0:fork=i+l:L:nm=ji+A•'k)(k):endz(i)=Cb/A(.i}i):fEditor-E:\matlab2012\bin\gauss.m]FileEditTextGoCellToolsDebugWindowHelpn爲■詹町c1©兮▼鼻・*他叵1▼档爛*S-tack：Base▼卡因厂回_r=i*目1.0+1,1XIIS史|良endend融课本12；■页用列主元jgau吕吕消去法求解方程clearR=[31-13000-1000;-1335-90V=[-15：27：-23：0：-20：12：-7：7：10]I=gaus31汎¥);I(2)运行结果CommandWindowgauss-0.289230.34644-0.71281-0.220^1-0.43040.15431-0.0578230.20L050.29023fiiA感想：本次上机重点学习了列主元GUASS消去法的应用。列主元GUASS消去法在进行第K步消元前，先选出位于第K列中位于对角线及其以下元素绝对值中的最大者，然后将他们互相交换，在进行接下来的一般消元过程。较少了误差，而且一般保证舍入误差不增加，基本上是稳定的。通过上机程序设计，加深了对该方法的了解，对于矩阵、编程的了解也更深入。第四章37•三次样条插值函数编制求第一型3次样条插值函数的通用程序已知汽车门曲线型值点的数据如下i012345678910xi012345678910yi2.513.304.044.705.225.545.785.405.575.705.80端点条件为y，=0.8，y，=0.2，用所编程序求出门的三次样条差值函数S(x)，打印出010S(i+0.5),i=1,2,'、'9。(1)程序(n是x的总个数)%%样条插值函数clearclc%%输入相关参数xi,yin=input('enterthen:');%%输入X的总个数xn=zeros(1,n);yn=zeros(1,n);xn(1,:)=input('enterthex:');yn(1,:)=input('enterthey:');%%求人,mu,lambda,d值d=zeros(n,1);h=zeros(1,n-1);mu=zeros(1,n-2);%%lambda=zeros(1,n-2);f1=zeros(1,n-1);%%一阶导数f2=zeros(1,n-2);%%二阶导数dy0=input('enterthevalueofdy0:');dyn=input('enterthevalueofdyn:');fori=1:n-1h(i)=xn(i+1)-xn(i);f1(i)=(yn(i+1)-yn(i))/h(i);endfori=1:n-2mu(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));lambda(i)=1-mu(i);endd(1)=6*(f1(1)-dy0)/h(1);d(n)=6*(dyn-f1(n-1))/h(n-1);fori=2:n-1f2(i)=(f1(i)-f1(i-1))/(xn(i+1)-xn(i-1));d(i)=6*f2(i);endA=zeros(n);A(1,2)=1;A(n,n-1)=1;fori=1:nA(i,i)=2;endfori=2;n-1A(i,i-1)=mu(i-1);A(i,i+1)=lambda(i-1);endM=A\d;%%回代求插值函数symsx;disp('sn(x)=')%%sn(i)的表达式sn(i)仅是关于x的函数值fori=1:n-1sn(i)=collect(yn(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(x-xn(i))+M(i)/2*(x-xn(i))A2+(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(x-xn(i))A3);sn(i)=vpa(sn(i),4);fprintf'sn(%d)=%s,%djUxn;U%d\n',i,char(sn(i)),xn(i),xn(i+1));enddisp('s(i+0.5)');%%计算在i+0.5处的插值disp('ix(i+0.5)s(i+0.5)'fori=1:n-1t=xn(i)+0.5;s(i)=yn(i)+(f1(i)_(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(t_xn(i))+M(i)/2*(t_xn(i))入2+(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(t_xn(i))入3;fprintf'%d%.4f%.4f,i,xn(i)+0.5,s(i));end程序截图1■1丄21〒11〒11-L1夭1逊1世孑般算築插值函数cl◎盈cle；叢输入相关参数只站打；-n=input(Jenterthen：J):熾输入M的总个埶■-Kn=zei:os(ljn);'-yn=2Eros(1^ti)：i-kh(lj:)=inputCenterthu釜；i-yn:)=inputCenterth&y:J)：i般求1%urn』lambdijti值d=zeros(n：1〕：!-h=zeros(1』11一1):I—Jim=2eros(15n-2):%%:-lambda=zero3(13n-2):；一f1二hhom(Jn-1.)；般一阶导数>-f2二兀匸皿⑴口-？)；坯二阶导数'—dyO=input■'renterthevalueofdy1.1:7};t-dyn=inputenterthevalueofdyn:J;i—Qfori=1:n-1i-h(i)=yn(i+l)-xn(i):f1(i)=(yn(i+l)-yn(i):!-Lend:-Sfoxi=l:n-2；-lambda(i)=1-11111(i):.-Lend--d(1.)=6*(fl(l)-dyO)Zh(l);:-d(n^=6*(dyn-f1Cn-0Vh(n-1):i-Hfori=3;n-1i-£2(i)=(f1(i)-f1(i-1))/):

end.A=zeros(n);A(L2)=1:3132333435363736394041424344454647拥49SCSI52535455565758A(nja-l)=l;i=l:nAiii=2:|i=Z：；n-lA(i,i-l)=»u(i-l1:A(iji+1)-1ambdsi(i-1),M=A\d:册i回代求插值匡数symsK；dispfsn)瓣snQ的克这戒.迄意snfi)仮是关于x的函数值fn(i)]'2+Ql(i+1)-M[i))/)*(jrm(ifn(i)]'2+Ql(i+1)-M[i))/)*(jrm(i)I):fprintf(Jsn(!Kd)=363』3i」char(eh(i))』zn(i)j:m(i+1));enddispfs(i+0.5)J):瓣计箪在i+0.5处的插值disp(Jis(i+0.5)s(i-i-0.5)J)(M(i+])-M(i))/(6*hLi))(M(i+])-M(i))/(6*hLi)))"3;3(i)=yn(i)+(f1(i)-(H(i)/3+M(i+1)/6)*h(i)=*(t-m(i))+J[(i)/2*(t-xn(i))"2+-fprmtfCSdIf%.4f\n".ijXn(i)+3.55s(i));Lend运行结果entertheentertheentertheenter■theenterthen:11k:[0123456733y:[2.513.304.044.70valueofdyQ:0.5valueofdyn:0.210]5.225.545.7S6.405.675.70E.80]S(x)-0.5181*x^2-0.2281*x^3+0.5*x+2.51(0,1)乩睜3辦"3-0.3294組"24-1.348*s+2.227(1,2)0.1134*x^2-CL01942*工"：3+0.4618*k-+2.818(2^3)0.268S*x^2-0.O367*k^3-0.00466*x斗3.284(3,4)0.1062*x^3-1.446#x"2+6.855*x-5.862(4,5)4.拧畑"2-0.2682^x^3-21.22*x+40.94⑸6)0.4265*x^3-8.334*k'2+53.8*k-109.1⑹7)6.247^^2-0.2673^3-48.27*k4129.0(7,8)0.05487*x''3-1.498畑"2+13.69#x-36.18C8,9)0.OSSSS^x^-1.593*x^2+14.55*x-38.74t9,10)St'i+O.5)ik(i+0.5)S(i+0.5)10.50002.861021.50003.691232.50004.378143.50004.989154.50005.383065.50005.7238—\6.50005.594487.50005.429998.50005.6598109.50005.7323感想：三次样条插值是在每个小区间上分别建立样条函数，加上插值条件和连接条件，在整个区间上成立插值函数，大大提高了插值函数的精度。由于尽在节点处，函数值相等,故在别的数值处，存在误差。通过上机编程，加深了对于三次样条插值函数的了解，同时也了解了其他多项式插值与函数最佳逼近，更对以后的学习、工作有帮助。第八章23•常微分方程初值问题数值解(1)编制RK4方法的通用程序

编制AB4方法的通用程序(由RK4提供初值)编制AB4-RK4预测校正方法通用程序(由RK4提供初值)编制带改进的AB4-RK4预测校正方法通用程序(由RK4提供初值)对于初值问题y'=-x2y2(0WxW1.5)y(o)=3取步长h=0.1,应用(1)~(4)的四种方法进行计算，并将结果和精确解y(x)=3/(1+x?)作比较(5)通过本上机题，你得到哪些结论解：⑴程序①RK4方法的通用程序%RX4方絃的通廨程序%f-窗数旬摑%/[!=[xlrx2J-求解范圉%yD-初值%E-计算歩上£imction[xryj=E?K4{£fxOfyttjli)x=[kO(1}:h:xO^2)]Tjy=Ee-ros(Leng七{1};y(1)=y£);fori=1:Length(x)-1kl=£{«(!}y[i)+h*k3);k2=f(K(i)+l/2*h；把3=£^{i)+l/2*hz]c4=f(K(i)+h.y[i)+h*k3);y(i+1