应用微分方程建立数学模型课件

第一部分

应用微分方程建立数学模型第一部分

应用微分方程建立数学模型1第一节基础知识一、基本概念：微分方程、阶、解、通解、特解、积分曲线、初值问题二、方程的类型及其解法五类一阶方程及其解法、简单的可降阶的高阶方程、简单的微分方程组第一节基础知识一、基本概念：2三、微分方程稳定性理论简介

1、一阶方程的平衡点和稳定性（1）定义1：设有微分方程右端不显含自变量，代数方程的实根称为方程（1）的平衡点（或奇点），显然它是方程（1）的解（或称奇解）.三、微分方程稳定性理论简介

1、一阶方程的平衡点和稳定性右端3定义2：如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解都满足则称平衡点是稳定的（或渐近稳定）；否则，称平衡点是不稳定的（或不渐近稳定）；定义2：如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解4（2）判断平衡点是否稳定的两种常用方法：间接法：利用定义2，即利用（3）式.直接法：不求方程（1）的解，将在点处作泰勒展开，只取一次项，方程（1）近似为（4）称为（1）的近似线性方程，显然也为方程（4）的平衡点。（2）判断平衡点是否稳定的两种常用方法：（4）称为（5则关于平衡点是否稳定有如下结论：若，则平衡点对于方程（4）和（1）都是稳定的；若，则平衡点对于方程（4）和（1）都是不稳定的则关于平衡点是否稳定有如下结论：62、二阶方程的平衡点和稳定性

方程的一般形式可用两个一阶方程表示（5）定义3：代数方程组的实数根，称它为（5）的一个平衡点（或奇点），记为.2、二阶方程的平衡点和稳定性

方程的一般形式可用两个一阶方程7定义4：如果从所有可能的初始条件出发，方程（5）的解，都满足（6）则称平衡点是稳定的（或渐近稳定）；否则，称是不稳定的（或不渐近稳定）.定义4：如果从所有可能的初始条件出发，方程（5）的解8为了用直接法讨论方程（5）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程组的一般形式为（7）为了用直接法讨论方程（5）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方9显然为系统的奇点，记系统系数矩阵，特征方程为为了书写方便，令，于是特征方程可写为特征根为.显然为系统的奇点，10下面就分别特征根为相异实根、重根及复根三种情况加以研究：1）ⅰ二根同正,二根同负,是不稳定结点二根异号,是鞍点ⅱ是稳定结点下面就分别特征根为相异实根、重根及复根三种情况加以研究：1112）负的重根是不稳定的临界结点

正的重根是不稳定的退化结点

是稳定的临界结点

是稳定的退化结点

2）负的重根是不稳定的临界结点123）复数根的实部不为零是不稳定焦点

是稳定焦点

复数根的实部为零是中心3）复数根的实部不为零是不稳定焦点13这些结果可以全都反映在下列参数平面上这些结果可以全都反映在下列参数平面上14

从而，根据特征方程的系数、的正负很容易判断平衡点的稳定性，准则如下：若、则平衡点稳定；或则平衡点不稳定.若从而，根据特征方程的系数、的正负很容易判断平衡点的稳定15对于一般的非线性方程（5），可以用近似线性方法判断其平衡点的稳定性：设是方程（5）的奇点，总可以用坐标平移使对应新坐标的原点对于一般的非线性方程（5），可以用近似线性方法判断其平衡点16在点作泰勒级数展开得（8）其中将右端高次项略去，得一次近似（9）在点作泰勒级数展开得（8）其中将右端高次项17在一般情况下用下面的定理：定理1：对于非线性系统（5），若有（即我们讨论的奇点是初等奇点，也就是线性系统的系统矩阵的特征值非零），且为系统（7）的结点（不包括退化结点及临界结点）、鞍点或焦点.又在的邻域连续可微，且满足则非线性系统（5）的奇点类型与其近似线性系统（7）的奇点类型完全相同.在一般情况下用下面的定理：则非线性系统（5）的奇点类18第二节微分方程模型应用微分方程建立数学模型通常要运用如下两种方法：1、所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.就象中学的数学应用题中等量关系的发现是建立方程的关键一样.第二节微分方程模型应用微分方程建立数学模型通常要运用如下192、微元法是指在组建对象随着时间或空间连续变化的动态模型时，经常考虑它在时间或空间的微小单元变化情况，这是因为在这些微元上的平衡关系比较简单，而且容易使用微分学的手段进行处理．这类模型基本上是以微分方程的形式给出的．2、微元法是指在组建对象随着时间或空间连续变化的动态模型时，20这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子.一、人口预测模型由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子.21例1（马尔萨斯（Malthus）人口模型或称指数增长模型）英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.例1（马尔萨斯（Malthus）人口模型或称指数增长模型）22解设时刻的人口为,把当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在到时间段内,人口的增长量为并设时刻的人口为,于是这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为此式表明人口以指数规律随时间无限增长.解设时刻的人口为,把23模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样,,,于是这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）．模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为24但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改.但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与25例2（Logistic模型或称阻滞增长模型）马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小.因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.例2（Logistic模型或称阻滞增长模型）261838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数（最大人口容量）,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食物就越多,从而就越大）,并假设将增长率等于,即净增长率随着的增加而减小,当时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型.1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入27解由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为上式就是Logistic模型,该方程可分离变量,其解为下面,我们对模型作一简要分析.解由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为28（1）当,,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值；（2）当时,,这说明是时间的单调递增函数；（1）当,29（3）由于,所以当时,,单增；当时,,单减,即人口增长率由增变减,在处最大,也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早会达到零,这是减速生长期；（3）由于30（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前都非常吻合,自从1930年以后,误差愈来愈大,一个明显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口.由此可见该模型的缺点之一是不易确定,事实上,随着一个国家经济的腾飞,它所拥有的食物就越丰富,的值也就越大；（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发31

(5）用Logistic模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计,,又当人口总数为时,人口每年以2%的速率增长,由Logistic模型得即(5）用Logistic模型来预测世界未来人口总数.某生32值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,Logistic模型有着广泛的应用.从而得即世界人口总数极限值近100亿.值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口33二、市场价格模型

对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程.二、市场价格模型对于纯粹的市场经济来说,商品市场34例3试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型解假设在某一时刻,商品的价格为,它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格的变化率与需求和供给之差成正比,并记为需求函数,为供给函数（为参数）,于是例3试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型35其中为商品在时刻的价格,为正常数.若设,,则上式变为①其中均为正常数.其中为商品在时刻的价格,36其解为

下面对所得结果进行讨论:（1）设为静态均衡价格,则其应满足即于是得从而价格函数可写为其解为下面对所得结果进行讨论:（1）设为静态均衡37令,取极限得这说明,市场价格逐步趋于均衡价格.又若初始价格,则动态价格就维持在均衡价格整个动态过程就化为静态过程；上,令,取极限得这说明,市场价格逐步趋于均衡价格.又若初始价格,38（2）由于所以,当时,单调下降向当时,单调增加向靠拢.

靠拢；这说明：初始价格高于均衡价格时,动态价格就要逐步降低,且逐步靠近均衡价格;否则,动态价格就要逐步升高.因此,式①在一定程度上反映了价格影响需求与供给,而需求与供给反过来又影响价格的动态过程,并指出了动态价格逐步向均衡价格靠拢的变化趋势.（2）由于所以,当时,单调下降向当时,单调增加向靠拢.靠39三、混合溶液的数学模型

例4

设一容器内原有100L盐,内含有盐10kg,现以3L/min的速度注入质量浓度为0.01kg/L的淡盐水,同时以2L/min的速度抽出混合均匀的盐水,求容器内盐量变化的数学模型.三、混合溶液的数学模型例4设一容器内原有100L盐,内40解设时刻容器内的盐量为kg,考虑到时间内容器中盐的变化情况,在时间内容器中盐的改变量=注入的盐水中所含盐量－抽出的盐水中所含盐量容器内盐的改变量为,注入的盐水中所含盐量为,时刻容器内溶液的质量浓度为,假设到时间内容器内溶液的质量浓度不变（事实上,容器内的溶液质量浓度时刻在变,由于时间很短,可以这样看）.解设时刻容器内的盐量为kg,考虑41于是抽出的盐水中所含盐量为

即又因为时,容器内有盐10kg,于是得该问题的数学模型为于是抽出的盐水中所含盐量为即又因为时,容器内有盐10kg42这是一阶非齐次线性方程的初值问题,其解为下面对该问题进行一下简单的讨论,由上式不难发现:时刻容器内溶液的质量浓度为且当时,容器内盐水的质量浓度将趋于注入溶液的质量浓度.,即长时间地进行上述稀释过程,这是一阶非齐次线性方程的初值问题,其解为下面对该问题进行一下43

溶液混合问题的更一般的提法是：设有一容器装有某种质量浓度的溶液,以流量注入质量浓度为的溶液（指同一种类溶液,只是质量浓度不同）,假定溶液立即被搅匀,并以的流量流出这种混合溶液,试建立容器中质量浓度与时间的数学模型.溶液混合问题的更一般的提法是：设有一容器装有某种质量浓44首先设容器中溶质的质量为,原来的初始质量为=0时溶液的体积为,在d其中是流入溶液的质量浓度,为中溶液的质量浓度,于是,有混合溶液的数学模型该模型不仅适用于液体的混合,而且还适用于讨论气体的混合.改变量等于流入溶质的数量减去流出溶质的数量,即时刻容器时间内,容器内溶质的首先设容器中溶质的质量为,原来的初始质量为=0时溶液的体积45传染病模型建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是关注的课题。不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型（I模型），SI模型，SIS模型，SIR模型等、SIS传染病模型SIS传染病模型是指易感者（Susceptible）被传染后变为染病者（Infective），染病者可以被治愈，但不会产生免疫力，所以仍为易感者，人员流动图为：S→I→S。传染病模型建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受46已感染人数(病人)i(t)每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1假设若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?已感染人数(病人)i(t)每个病人每天有效接触(足以47模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病建模~日接触率SI模型模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数48模型21/2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻(日接触率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型21/2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻(日49模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为~日治愈率建模~日接触率1/~感染期~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感50模型3i0i0接触数=1~阈值感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<0模型3i0i0接触数=1~阈值感染期内有效接触感染的51模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为2）病人的日接触率,日治愈率,

接触数=/建模需建立的两个方程模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者S52模型4SIR模型无法求出的解析解在相平面上研究解的性质模型4SIR模型无法求出在相平面53模型4消去dtSIR模型相轨线的定义域相轨线11si0D在D内作相轨线的图形，进行分析模型4消去dtSIR模型相轨线的定义域54si101D模型4SIR模型相轨线及其分析传染病蔓延传染病不蔓延s(t)单调减相轨线的方向P1s0imP1:s0>1/i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)单调降至01/~阈值P3P4P2S0si101D模型4SIR模型相轨线及其分55模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件——s0<1/的估计降低s0提高r0提高阈值1/降低(=/),群体免疫模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)56模型4SIR模型被传染人数的估计记被传染人数比例x<<s0i0P1i00,s01小,s01提高阈值1/降低被传染人数比例xs0-1/=模型4SIR模型被传染人数的估计记被传染人数比例x<<s0i57模型5传染病有潜伏期SEIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人、潜伏者和移出者的比例分别为2）病人的日接触率,日治愈率,

接触数=/建模建立方程3）单位时间内潜伏者以比例常数转为染病者模型5传染病有潜伏期SEIR模型假设1）总人数N不变，病人、58模型5SEIR模型模型5SEIR模型59参考文献1.数学模型姜启源（第二版）P110-221高等教育出版社2.数学建模沈继红等P38-81哈尔滨工程大学出版社3.数学模型引论唐焕文、贺明峰（第二版）P208-239高等教育出版社4.常微分方程及其应用—方法、理论、建模、计算机周义仓靳祯秦军林科学出版社5.常微分方程王高雄等高等教育出版社参考文献60第二部分应用差分方程建立数学模型

引言

1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律.通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程.差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程.通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解.第二部分应用差分方程建立数学模型

612、应用：差分方程模型有着广泛的应用.实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型.差分方程模型有着非常广泛的实际背景.在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用.可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解.2、应用：差分方程模型有着广泛的应用.实际上，连续变量可以62

3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程.3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化63或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程.在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程.在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会.或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入64差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则.同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等.差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般65第一节差分方程的基本知识一、基本概念1、差分设数列，定义差分算子为在处的向前差分.而为在以后我们都是指向前差分.可见是的函数.

处的向后差分.从而可以进一步定义的差分：，称之为在处的二阶差分，它反映的是的增量的增量.类似可定义在处的阶差分为：第一节差分方程的基本知识一、基本概念设数列，定义差分算662、差分算子、不变算子、平移算子，称为平移算子，为不变算子.由上述关系可得：这表明在处的阶差分由在所线性决定.记则有：（1），处的取值2、差分算子、不变算子、平移算子，称为平移算子，为不变算子67反之，由得，得：这个关系表明：第n+2项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来表现和计算.即一个数列的任意一项都可以用其前面的k项和包括这项在内的k+1项增量的增量的增量……..第k层增量所构成.得：

可以看出：可以由的线性组合表示出来（2）反之，由得，得：这个关系表明：第n+2项可以用前两项以683、差分方程以及它的差分所构成的方程称之为k阶差分方程.由（1）式可知（3）式可化为故（4）也称为k阶差分方程（反映的是未知数列前面k项之间的关系）.由（1）和（2）可知，（3）和（4）是等价的.我们经常用的差分方程的形式是（4）式.由（3）（4）任意一项与其前，3、差分方程以及它的差分所构成的方程称之为k阶差分方程.由（694、差分方程的解与有关概念使阶差分方程（4）对所有的成立，则称为方程（4）的解.（为常数）是（4）的解，即则称为（4）的平衡解或叫平衡点.平衡解可能不只一个.是（4）的解，考虑的变化性态，，则方程（4）两边取极限（就存在在这里面），应当有（1）如果（2）如果平衡解的基本意义是：设其中之一是极限状况，如果4、差分方程的解与有关概念使阶差分方程（4）对所有的成立，则70（3）如果（4）的解使得既不是最终正的，为关于平衡点是振动解.，则方程（4）会变成（5）成为（5）的平衡点.也不是最终负的，则称（4）如果令：则（3）如果（4）的解使得既不是最终正的，为关于平衡点是振动解71（5）如果（5）的所有解是关于振动的，则称（5）是振动方程.如果（5）的所有解是关于非振动的，阶差分方程（5）是非振动方程.，使得对任意大的有则称为正则解.（即不会从某项后全为零）使得，则称为稳定解.阶差分方程则称（6）如果（5）有解（7）如果方程（4）的解（5）如果（5）的所有解是关于振动的，则称（5）是振动方程.725、差分算子的若干性质（2）（3）（4）（5）（1）5、差分算子的若干性质（2）（3）（4）（5）（1）736、Z变换定义：对于数列，定义复数级数这是关于洛朗级数.它的收敛域是：其中可以为可以为0.称为的-变换.从而有逆变换，记为：

（7）（6）由复变函数展开成洛朗级数的唯一性可知：变换是一一对应的，6、Z变换，定义复数级数这是关于洛朗级数.它的收敛域是：其中74变换是研究数列的有效工具.变换的若干重要性质：（2）平移性质（1）线性性变换是研究数列的有效工具.变换的若干重要性质：（2）平移性75变换举例：（1）,则（2），则（3）设则

（4）设则变换举例：,则（2），则（3）设则则76第二节差分方程常用解法与性质分析1、常系数线性差分方程的解其中为常数，称方程（8）为常系数线性方程.为方程（8）对应的齐次方程.方程（8）又称方程（9）第二节差分方程常用解法与性质分析1、常系数线性差77如果（9）有形如的解，代入方程中可得：称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程.显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解.（10）如果（9）有形如的解，代入方程中可得：称方程（10）为方78基本结果如下：（1）若（10）有k个不同的实根，则（9）有通解：（2）若（10）有m重根，则通解中有构成项：（3）若（10）有一对单复根，令：，，则（9）的通解中有构成项：基本结果如下：（2）若（10）有m重根，则通解中有构成项：79（4）若有m重复根：，则（9）的通项中有构成项：综上所述，由于方程（10）恰有k个根，从而构成方程（9）的通解中必有k个独立的任意常数.通解可记为：（4）若有m重复根：，则（9）的通项中有构成项：综上所述，80如果能得到方程（8）的一个特解：，则（8）必有通解：+（8）的特解可通过待定系数法来确定.为n的多项式，形式的特解，为m次多项式；如果b是r重根时，可设特解：，将其代入（8）中确定出系数即可.（11）例如：如果则当b不是特征根时，可设成形如其中如果能得到方程（8）的一个特解：，则（8）必有通解：+812、差分方程的z变换解法取Z变换，利用的Z变换F（z）的Z变换，然后通过解代数方程求出F（z），对差分方程两边关于来表示出并把F(z)在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的2、差分方程的z变换解法取Z变换，利用的Z变换F（z）的Z82例1、设差分方程求解法1：特征方程为有根：故：为方程的解.由条件得：例1、设差分方程求解法1：特征方程为有根：故：为方程的解.由83解法2：设F（z）=Z(),方程两边取变换可得：由条件得由F（z）在中解析，有所以，解法2：设F（z）=Z(),方程两边取变换可得：由条件得由F843、二阶线性差分方程组设，，形成向量方程组则（13）即为（12）的解.（12）（13）3、二阶线性差分方程组，，形成向量方程组则（1385为了具体求出解（13），需要求出这可以用高等代数的方法计算.常用的方法有：（1）如果A为正规矩阵，则A必可相似于对角矩阵，对角线上的元素就是A的特征值，相似变换矩阵由A的特征向量构成：为了具体求出解（13），需要求出这可以用高等代数的方法计86（2）将A分解成为列向量，则有从而，（2）将A分解成为列向量，则有从而，874、关于差分方程稳定性的几个结果（1）k阶常系数线性差分方程（8）的解稳定的充分必要条件是它对应的特征方程（10）所有的特征根满足（2）一阶非线性差分方程（14）的平衡点由方程决定，（14）4、关于差分方程稳定性的几个结果满足（2）一阶非线性差分方程88将在点处展开为泰勒形式：故有：时，（14）的解是稳定的，时，方程（14）的平衡点是不稳定的.（15）将在点处展开为泰勒形式：故有：时，（14）的解是稳定的，89第三节差分方程建模举例差分方程建模方法的思想与与一般数学建模的思想是一致的，也需要经历背景分析、确定目标、预想结果、引入必要的数值表示（变量、常量、函数、积分、导数、差分、取最等）概念和记号、几何形式（事物形状、过程轨迹、坐标系统等），也就是说要把事物的性态、结构、过程、成分等用数学概念、原理、方法来表现、分析、求解.第三节差分方程建模举例差分方程建模方法的思想与与一90当然，由于差分方程的特殊性，首先应当把系统或过程进行特别分解，形成表现整个系统的各个部分的离散取值形式，或形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量.然后通过内在的机理分析，找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程.另外，有时有可能通过多个离散变量的关系得到我们关心的变量的关系，这实际上建立的是离散向量方程，它有着非常重要的意义.有时还需要找出决定变量的初始条件.有时还需要将问题适当分成几个子部分，分别求解.当然，由于差分方程的特殊性，首先应当把系统或过程进行特别分解91一、种群生态学中的虫口模型：在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化，它的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子.建立数学模型来表现虫子数目的变化规律.一、种群生态学中的虫口模型：92模型假设与模型建立：假设第n年的虫口数目为成虫平均产卵c个（这个假设有点粗糙，应当考虑更具体的产卵分布状况），则有：如果进一步分析，由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁，第n+1年的成虫数会减少，如果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗，由于虫子配对数为，故减少数应当与它成正比，从而有：

，每年一个，这是一种简单模型；模型假设与模型建立：假设第n年的虫口数目为成虫平均产卵c个（93如果还考虑其它的影响成虫孵卵及成活的因素的定量关系，这个模型在此基础上仍可进一步改进，更加符合实际情形.这种关系一方面可以通过机理分析，确定减少量与影响因素的定量关系，另一方面也可以用统计的方法来线性估计影响程度.或者还可以用影响曲线的方法来直观表现影响的比例关系、周期关系、增量关系等等.这个模型可化成：这是一阶非线性差分方程.这个模型的解的稳定性可以用相应一阶差分方程的判断方法，即（14）式来获得.如果还考虑其它的影响成虫孵卵及成活的因素的定量关系，这个模型94二、具周期性的运动过程的差分方程模型

建立差分方程描述振动台上的乒乓球垂直运动的方程，即把运动过程中的某些离散变化取值的变量的变化规律表现出来.二、具周期性的运动过程的差分方程模型95假设：乒乓球与振动台之间的振动恢复系数为振动台台面的上下位移是在离台面垂直距离为H处为自由落体运动又假设为第j次碰撞时刻，第j次碰撞前的速度为，碰撞后的速度为，乒乓球初始时刻假设：乒乓球与振动台之间的振动恢复系数为振动台台面的上下位96假设.振动台台面的运动速度为又记则有：（3.1）假设.振动台台面的运动速度为又记则有：（3.197另外，由碰撞规律分析可知：该式经简化处理后可得：由（3.1）和（3.2）式联立可得二阶差分非线性方程组（3.2）另外，由碰撞规律分析可知：该式经简化处理后可得：由（3.98三、蛛网模型（1）经济背景与问题：在自由市场经济中，有些商品的生产、销售呈现明显的周期性.农业产品往往如此，在工业生产中，许多商品的生产销售是有周期性的，表现在：商品的投资、销售价格、产量、销售量在一定时期内是稳定的，因而整个某个较长的时期内这些经济数据表现为离散变量的形式.在这些因素中，我们更关心的是商品的销售价格与生产产量这两个指标，它们是整个经营过程中的核心因素，要想搞好经营，取得良好的经济效益，就必须把握好这两个因素的规律，作好计划.试分析市场经济中经营者根据市场经济的规律，如何建立数学模型来表现和分析市场趋势的.三、蛛网模型（1）经济背景与问题：99（2）模型假设与模型建立将市场演变模式划分为若干段，用自然数n来表示；设第n个时段商品的数量为，价格为由于价格与产量紧密相关，因此可以用一个确定的关系来表现：即设有这就是需求函数，f是单调减少的对应关系;，n=1,2….;（3.3）（2）模型假设与模型建立设第n个时段商品的数量为，价格为由于100又假设下一期的产量是决策者根据这期的价格决定的，，h是单调增加的对应关系，g也是单调增加的对应关系.因此可以建立差分方程：（3.5）

这就是两个差分方程.属一阶非线性差分方程.即：设从而，有关系：（3.4）（3.6）又假设下一期的产量是决策者根据这期的价格决定的，，h是单调增101（3）模型的几何表现与分析.和借助已有的函数f和g,通过对应关系的几何表现把点列，和在坐标系中描绘出来，进而分析它们的变化规律、趋势、找稳定点等等.其中为了表现出两个变量的变化过程，我们可以（3）模型的几何表现与分析.和借助已有的函数f和g,通过对102点列连接起来，

就会形成象蛛网一样的折线，这个图形被称作为蛛网模型.可以设想，这种形式可作为差分方程分析与求解的重要手段，它的主要数学技术是：图形的描绘，曲线上点列的描绘（设法由前一个点的一个坐标分量来算出下一个点的一个坐标分量，并确认它在哪条曲线上，就可以画出这个点；有时或者可由前两个点决定下一个点的一个坐标分量），也就是通过直观、几何形式，把我们关心的变量的所有可能取值表示出来.这里采用的方法是，引入两条曲线，因为在曲线上如果知道了一个分量，就可以作出另一个分量.可见几何形式表示有关系的变量是既方便又有意义的.点列连接起来，就会形成象蛛网一样的折线，这个图形被103易见：如果点列最后收敛于点，则，并且就是两条曲线的交点，从而稳定的.这也表明，市场在长期运行之后会保持一种稳定的状态，说明市场处于饱和状态.要想进一步发展就必须打破这种平衡，在决策机制和方法上有所改进.易见：如果点列最后收敛于点，则，并且就是两条曲线的交点，从而104应用微分方程建立数学模型课件105几何上的进一步分析表明，如果曲线和在交点处切线的斜率的绝对值记为：则当时，是稳定的；时，是不稳定的.当几何上的进一步分析表明，如果曲线和在交点处切线的斜率的绝对值106以一种简单的情形为例来说明，先做如下假设：商品的本期产量决定于前一期的价格，即供给函数为，商品本期的需求量决定于本期的价格，及需求函数为则蛛网模型可以用以下三式联立来表示：-------（1）-------（2）-------（3）其中，均为大于零的常数.以一种简单的情形为例来说明，先做如下假设：商品的本期产量107将（1）的（2）代入（3）得：由此可得第t期的产品价格为-------（4）将（1）的（2）代入（3）得：由此可得第t期的产品价格为--108-------（5）-------（5）109又因为在市场均衡是，均衡价格，则由（4）可得将（6）代入（4）得均衡价格为-------（6）-------（7）又因为在市场均衡是，均衡价格，则由（4110分三种情况讨论：-------（7）（1）：若则，此为收敛型蛛网；（2）：若则，此为发散型蛛网；（3）：若则为常数，此为封闭型蛛网.分三种情况讨论：-------（7）（1）：若则111（4）模型的差分方程分析满足：，在点附近取函数的一阶近似：合并两式可得：设点（4）模型的差分方程分析满足：，在点附近取函数的一阶近似：112这是关于作为数学模型，本来就是客观实际问题的近似模拟，现在为了处理方便，适当取用其近似形式是合理的.

为f在点处的切线斜率；为g(x)在点处切线的斜率.的一阶线性差分方程.当然它是原来方程的近似模型.其中，这是关于作为数学模型，本来就是客观实际问题的近似模拟，现在113方程（3.9）递推可得：

所以，点稳定的充要条件是：即：这个结论与蛛网模型的分析结果是一致的.方程（3.9）递推可得：所以，点稳定的充要条件是：即：114（5）模型推广如果决策时考虑到与都有关系，这时数学模型为：则可假设（5）模型推广与都有关系，这时数学模型为：则可假115对此模型仍用线性近似关系可得：首先求出平衡点，即解方程

则有：对此模型仍用线性近似关系可得：首先求出平衡点，即解方程116再结合（3.7）可得：

即再结合（3.7）可得：即117特征方程为：特征根为：所以：时，，此时解不稳定.时，，时，从而解是稳定的.则特征方程为：特征根为：所以：时，，此时解不稳定.时118这个条件比原来的模型解的稳定性条件放宽了.说明决策水平提高了.进一步来看，对这个模型还可以进行进一步的分析：考虑下一年的产量时，还可以近三年的价格来决定，另外还可以考虑引入投资额，并建立有关的离散方程关系.例如：设这个条件比原来的模型解的稳定性条件放宽了.说明决策119四、人口的控制与预测模型背景分析：人口数量的发展变化规律及特性可以用偏微分方程的理论形式来表现和模拟.但在实际应用中不是很方便，需要建立离散化的模型，以便于分析、应用.人口数量的变化取决于诸多因素，比如：女性生育率、死亡率、性别比、人口基数等.试建立离散数学模型来表现人口数量的变化规律.四、人口的控制与预测模型120模型假设：以年为时间单位记录人口数量，年龄取周岁.1.设这个地区最大年龄为m岁2.第t年为i岁的人数为这个数量指标是整个问题分析、表现的目标和载体，我们的目的就是找出这些变量的变化规律、内在的普遍联系.模型假设：这个数量指标是整个问题分析、表现的目标和载1213.设第t年为i岁的人口平均死亡率为i岁人口中死亡数与基数之比：即：4.设第t年i岁女性的生育率：即每位女性平均生育婴儿数为为生育区间.（占全部i岁人口数），由此可知：第t年出生的人数为：，即这一年中为第t年i岁人口的女性比3.设第t年为i岁的人口平均死亡率为i岁人口中死亡数与基数之1225.记第t年婴儿的死亡率为，则6.设，它表示i岁女性总生育率，则，如果假设年后女性出生率保持不变，则可见，表示每位妇女一生中平均生育的婴儿数，称之为总和生育率.它反映了人口变化的基本因素.5.记第t年婴儿的死亡率为，则6.设，它表示i岁女性总生育123模型建立：根据上面的假设………………..模型建立：………………..124为了全面系统地反映一个时期内人口数量的状况，令为了全面系统地反映一个时期内人口数量的状况，令125则此向量满足方程：即：这是一阶差分方程，其中是可控变量，是状态变量，和都是线性的，故称其为双线性方程.并且关于则此向量满足方程：即：这是一阶差分方程，其中是可控变量，是状126模型分析：

在稳定的社会环境下，死亡率、生育模式、女性比例、婴儿存活率是可以假设为不变的，故为常数矩阵.从而，只要总生育率则人口的变化规律就可以确定下来.

确定下来，模型分析：为常数矩阵.从而，只要总生育率则127为了更全面地反映人口的有关信息，下面再引入一些重要的指标：B、人口平均年龄：C、平均寿命：这里假定从第t年分析，如果以后每年的死亡率是不变的，即：则表示t年出生的人活到第j+1年期间的死亡率，这也表明其寿命为j岁，j=1,2…m.而表示寿命.A、人口总数：为了更全面地反映人口的有关信息，下面再引入一些重要的指标：B128通过求出的3个指标进行更具体的分析，从而对人口的分布状况、变化趋势、总体特征等有科学的认识和把握.具体求解分析这里不再进行.的变化规律，就可以对上面引入通过求出的3个指标进行更具体的分析，从而对人口的分布状况、129五、线性时间离散弥漫网络模型

引言：一个国家在一定时间段内的财富依赖于许多因素，不同国家的相互交流是重要的方面.建立数学模型，表现国家财富的变化与国家间财富的流动之间的关系.五、线性时间离散弥漫网络模型130模型假设：设有n个国家，用表示在时期考虑这些国家之间仅仅两两国家之间有交流关系.并且假设财富流动的系数是模型的建立：国家间的财富关系应当满足…………..的财富.假设只模型假设：表示在时期考虑这些国家之间仅仅两两国家之间有交流关131用矩阵形式表示：令表示时期t各个国家的财富状态；令

用矩阵形式表示：令表示时期t各个国家的财富状态；令132则有：

记则则有：则133模型计算与分析：计算可知的特征值为的特征值为对应的特征向量为其中模型计算与分析：的特征值为的特征值为对应的特征向量为134为讨论方便起见，引入如下记号：

则有：n为偶数时：n为奇数时：为讨论方便起见，引入如下记号：则有：n为偶数时：n为奇数135记：为由张成的子空间，则：由此式进一步分析可以获得：当时，的渐进变化状态规律(略).记：为由张成的子空间，则：由此式进一步分析可以获得：当时，的136六、金融问题的差分方程模型（一）贷款问题设现有一笔p万元的商业贷款，如果贷款期是n年，年利率是建立数学模型计算每月的还款数是多少？，今采用月还款的方式逐月偿还，六、金融问题的差分方程模型建立数学模型计算每月的还款数是多137模型分析：在整个还款过程中，每月还款数是固定的，而待还款数是变化的，找出这个变量的变化规律是解决问题的关键.元，月还款为月贷款利息为元，模型假设：设贷款后第k个月后的欠款数是模型分析：元，月还款为月贷款利息为元，模型假设：138模型建立：关于离散变量，考虑差分关系有：即：这里已知有：（3.15）模型建立：，考虑差分关系有：即：这里已知有：（3.15）139模型求解：令，则

这就是差分方程（3.15）的解.把已知数据代入中，可以求出月还款额例如：时，可以求出：元.模型求解：，则这就是差140模型的进一步拓广分析：拓广分析包括条件的改变、目标的改变、某些特殊结果等.，则，并且当时，总有.欠款余额逐步减少，并最终还上贷款.即表明：每月只还上了利息.只有当时，如果令模型的进一步拓广分析：，则，并且当时，总有.欠款余额逐步减少141（二）养老保险模型问题：养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将提供不同的保险方案供以选择，分析保险品种的实际投资价值.也就是说，分析如果已知所交保费和保险收入，按年或按月计算实际的利率是多少？也就是说，保险公司需要用你的保费实际获得至少多少利润才能保证兑现你的保险收益？模型举例分析：假设每月交费200元至60岁开始领取养老金，男子若25岁起投保，届时养老金每月2282元；如35岁起保，届时月养老金1056元；试求出保险公司为了兑现保险责任，每月至少应有多少投资收益率？这也就是投保人的实际收益率.（二）养老保险模型142模型假设：这应当是一个过程分析模型问题.过程的结果在条件一定时是确定的.整个过程可以按月进行划分，因为交费是按月进行的.假设投保人到第月止所交保费及收益的累计总额为每月收益率为，用和之后每月交费数和领取数，N表示停交保险费的月份，M表示停领养老金的月份.分别表示60岁之前模型假设：月止所交保费及收益的累计总额为每月收益率为，用和之143模型建立：在整个过程中，离散变量的变化规律满足：在这里保险人帐户上的资金数值，我们关心的是，在第M个月时，能否为非负数？如果为正，则表明保险公司获得收益；如为负数，则表明保险公司出现亏损.当为零时，表明保险公司最后一无所有，表明所有的收益全归保险人，把它作为保险人的实际收益.实际上表示从保险人开始交纳保险费以后，模型建立：的变化规律满足：在这里保险人帐户上的资金数值，我们144的变化关系，特别是引入收益率的保险人的收益率，但是从问题系统环境中来看，必然要考虑引入另一对象：保险公司的经营效益，以此作为整个过程中各种量变化的表现基础.从这个分析来看，引入变量，很好地刻画了整个过程中资金，虽然它不是我们所求的变化关系，特别是引入收益率的保险人的收益率，但是从问题系统145模型计算：以25岁起保为例.假设男性平均寿命为75岁，则有初始值为，我们可以得到：模型计算：初始值为，我们可以得到：146在上面两式中，分别取和并利用可以求出：利用数学软件或利用牛顿法通过变成求出方程的根为：同样方法可以求出：35岁和45岁起保所获得的月利率分别为在上面两式中，分别取和并利用可以求出：利用数学软件或利用牛顿147补充知识：矩阵P=其中称矩阵P为Leslie矩阵.补充知识：其中称矩阵P为Leslie矩阵.148基本概念：设矩阵的特征值为，将它们的模按从大到小的顺序排列（不妨设为）：则称为矩阵的主特征值，如果，则称为严格主特征值.基本概念：设矩阵的特征值为，将它们的模按从大到小的顺序排列（149Leslie矩阵P的几个基本性质：特征多项式为：它有唯一一个正的单特征值2.如果为L矩阵P的一个非零特征值，则为与对应的一个特征向量.（重数为1），且为主特征值.Leslie矩阵P的几个基本性质：它有唯一一个正的单特征值21503.若L矩阵第一行有两个相临元素非零，则它的唯一正特征根为严格主特征值.是L矩阵中第一列中非零元素所处的列数，互素，则为严格主特征值.4.若且3.若L矩阵第一行有两个相临元素非零，则它的唯一正特征根为严151参考文献1.数学模型姜启源（第二版）P271-303高等教育出版社2.数学建模方法刘承平P95-105高等教育出版社3.数学模型引论唐焕文、贺明峰（第二版）P239-247高等教育出版社参考文献152第一部分

应用微分方程建立数学模型第一部分

应用微分方程建立数学模型153第一节基础知识一、基本概念：微分方程、阶、解、通解、特解、积分曲线、初值问题二、方程的类型及其解法五类一阶方程及其解法、简单的可降阶的高阶方程、简单的微分方程组第一节基础知识一、基本概念：154三、微分方程稳定性理论简介

1、一阶方程的平衡点和稳定性（1）定义1：设有微分方程右端不显含自变量，代数方程的实根称为方程（1）的平衡点（或奇点），显然它是方程（1）的解（或称奇解）.三、微分方程稳定性理论简介

1、一阶方程的平衡点和稳定性右端155定义2：如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解都满足则称平衡点是稳定的（或渐近稳定）；否则，称平衡点是不稳定的（或不渐近稳定）；定义2：如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解156（2）判断平衡点是否稳定的两种常用方法：间接法：利用定义2，即利用（3）式.直接法：不求方程（1）的解，将在点处作泰勒展开，只取一次项，方程（1）近似为（4）称为（1）的近似线性方程，显然也为方程（4）的平衡点。（2）判断平衡点是否稳定的两种常用方法：（4）称为（157则关于平衡点是否稳定有如下结论：若，则平衡点对于方程（4）和（1）都是稳定的；若，则平衡点对于方程（4）和（1）都是不稳定的则关于平衡点是否稳定有如下结论：1582、二阶方程的平衡点和稳定性

方程的一般形式可用两个一阶方程表示（5）定义3：代数方程组的实数根，称它为（5）的一个平衡点（或奇点），记为.2、二阶方程的平衡点和稳定性

方程的一般形式可用两个一阶方程159定义4：如果从所有可能的初始条件出发，方程（5）的解，都满足（6）则称平衡点是稳定的（或渐近稳定）；否则，称是不稳定的（或不渐近稳定）.定义4：如果从所有可能的初始条件出发，方程（5）的解160为了用直接法讨论方程（5）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程组的一般形式为（7）为了用直接法讨论方程（5）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方161显然为系统的奇点，记系统系数矩阵，特征方程为为了书写方便，令，于是特征方程可写为特征根为.显然为系统的奇点，162下面就分别特征根为相异实根、重根及复根三种情况加以研究：1）ⅰ二根同正,二根同负,是不稳定结点二根异号,是鞍点ⅱ是稳定结点下面就分别特征根为相异实根、重根及复根三种情况加以研究：11632）负的重根是不稳定的临界结点

正的重根是不稳定的退化结点

是稳定的临界结点

是稳定的退化结点

2）负的重根是不稳定的临界结点1643）复数根的实部不为零是不稳定焦点

是稳定焦点

复数根的实部为零是中心3）复数根的实部不为零是不稳定焦点165这些结果可以全都反映在下列参数平面上这些结果可以全都反映在下列参数平面上166

从而，根据特征方程的系数、的正负很容易判断平衡点的稳定性，准则如下：若、则平衡点稳定；或则平衡点不稳定.若从而，根据特征方程的系数、的正负很容易判断平衡点的稳定167对于一般的非线性方程（5），可以用近似线性方法判断其平衡点的稳定性：设是方程（5）的奇点，总可以用坐标平移使对应新坐标的原点对于一般的非线性方程（5），可以用近似线性方法判断其平衡点168在点作泰勒级数展开得（8）其中将右端高次项略去，得一次近似（9）在点作泰勒级数展开得（8）其中将右端高次项169在一般情况下用下面的定理：定理1：对于非线性系统（5），若有（即我们讨论的奇点是初等奇点，也就是线性系统的系统矩阵的特征值非零），且为系统（7）的结点（不包括退化结点及临界结点）、鞍点或焦点.又在的邻域连续可微，且满足则非线性系统（5）的奇点类型与其近似线性系统（7）的奇点类型完全相同.在一般情况下用下面的定理：则非线性系统（5）的奇点类170第二节微分方程模型应用微分方程建立数学模型通常要运用如下两种方法：1、所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.就象中学的数学应用题中等量关系的发现是建立方程的关键一样.第二节微分方程模型应用微分方程建立数学模型通常要运用如下1712、微元法是指在组建对象随着时间或空间连续变化的动态模型时，经常考虑它在时间或空间的微小单元变化情况，这是因为在这些微元上的平衡关系比较简单，而且容易使用微分学的手段进行处理．这类模型基本上是以微分方程的形式给出的．2、微元法是指在组建对象随着时间或空间连续变化的动态模型时，172这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子.一、人口预测模型由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子.173例1（马尔萨斯（Malthus）人口模型或称指数增长模型）英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.例1（马尔萨斯（Malthus）人口模型或称指数增长模型）174解设时刻的人口为,把当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在到时间段内,人口的增长量为并设时刻的人口为,于是这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为此式表明人口以指数规律随时间无限增长.解设时刻的人口为,把175模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样,,,于是这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）．模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为176但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改.但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与177例2（Logistic模型或称阻滞增长模型）马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小.因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.例2（Logistic模型或称阻滞增长模型）1781838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数（最大人口容量）,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食物就越多,从而就越大）,并假设将增长率等于,即净增长率随着的增加而减小,当时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型.1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入179解由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为上式就是Logistic模型,该方程可分离变量,其解为下面,我们对模型作一简要分析.解由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为180（1）当,,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值；（2）当时,,这说明