大一高数基础练习题

第第18页共18页《高等数学》（理工类）yf(x)(0,1](x)1lnxyf(x的定义域为 ；0lnx1,x[1,e)已知x0时，arctan3x与 ax 是等价无穷小，则a ；cosxlimarctan3x

31,a3；x0 ax a sin2 函数y cos ，则dy ；x 6 x2

(2cos2xsin2x)dx；4．函数yxex的拐点；yex(x2)0,x2，(2,2e2)2sinx,x2

f(x) ，当a= 时ax,x

f(x)在x2

处连续；1 2；yy(x是由方程ey

2xy20所确定的隐函数，则y ；yeyxf(x)

1 的跳跃间断点；f)0, f)1,x1；x定积分1(1

1e1x1x2sinx)dx＝ ；21x20

1x2dx 29．已知点空间三个点M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2),则AMB= ；3；10．已知a(2,3,1) b(12,3)，则ab＝ 。(1)二、计算题（每小题6分，共42分）求极限

ln(1x2) 1。x0arcsin2x2 2求极限

et0

=

3sin2xesin3x61cosxx0

xsinx x0

yex2sinx

dy.dy

ex

2(2xsinxcosx)dx dxxln

dy d2y1t21t2yarctant

dx dx21解x

1ln(1t2)，dy2 dx

1t2t1t2

1，d2yt dx2

1t2t35．计算不定积分

ln(lnx)dx。x解ln(lnx)dlnxlnxln(lnx)

1dxlnx(ln(lnx)1)C3x36、计算不定积分

1 dx

sec2x

dx 1

1 d tanx32 3 1 arctan32 32

3cos2x 3sec3tanx3tanx

x1

3tan2

x47．计算定积分20

1x (x4)2dx1(1x)(4x)dx2(1x)(4x)dx0 11(x2

5x4)dx2(x2

5x4)dx

154(x3

5x2)

4320 1 3 2 3 2 12三、证明题（每小题8分，共16分）1fx[0,3]上连续，在区间(0,3)内可导，且f(0)f(1)f(2)3，f(3)1，试证必存在(0,3)使f()0。证明因为f(x)在上连续所以f(x)在[0,2]上连续且在[0,2]上有最大值M和最小值m。于是 mf(0)M,mfM,mf(2)M,f(0)f(1)f(2)所以m

M,由介值定理知至少存在c[0,2]f(c1。3因为f(c)f(31f(x)[c,3](c,3)内可导，由罗尔定理存在(c,3)(0,3)，使f)0 。1x22、证明不等式：当x0时，1xln(x 1x2)1x21x2证明 f(x)1xln(x 1x2) ，f(x)ln(x 1x2)0,x01x21x2f(x)f(0)0，则当x0时，1xln(x 1x21x2四、应用题（第1小题10分，第2小题12分）V50m3的圆柱形的容器，问怎样选择它的底半径和高，使所用的材料最省？解设圆柱体的半径为rh

50 100 ，表面积为S,S r2 ， 325r325325Sr1000，r325r2

，h2

表面积最小。xya(a0xax2ax得到的旋转体体积。

y 轴旋转一周所解V a2adxa2y a《高等数学》（理工）一、选择题（每空3分，共15分）1、下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是（ ；D；sinxA、2x1(x)； B、x

(x0)x32xx32x1

(x； Dax2 x2

x2 (x0)。x12、设函数f(x) 在x2处连续则a（ ；A；1 x21 1A、； B、0； C、； D、1、4 23f(x在[abf(x0.若(xx0C；

ft)dt则下列说法正确的（ ；A、(x)在[a,b]上单调减少； B、(x)在[a,b]上单调增加；C、(x)在[a,b]上为凹函数； D、(x)在[a,b]上为凸函数。4、下列不定积分计算正确的是（ ；D；A、 x2dxx3c； B、1dx1c；x2 xC、sincosxc； D、cossinxc。5、设f(x)在[a,b]上连续，则下列论断不正确的是（ 。A；Aa

f(x)dx是f(x)的一个原函数. Ba

f(t)dt在(abf(x).；C、x

f(t)dt在(ab内是f(x)的一个原函数；Df(x)在(ab上可积。x21 x21 x216、若limf(x)2,则lim( x21

x21)f(x) ；2lim 1

0；x

x

xx2x2

在点( 3,2)的切线方程为

；y2

(x 3)；3238、曲线ysinx在(0,)内的拐点为 ；,e)；9、当p满足条时,反常积

dx收敛；p1；1 xp10、微分方程(y)4

(y)3

2yx1的阶数.2；三、计算题（共45分）11、求下列函数极限(每题6分，共12分)：x1x11x0

sin3x 6

limx0

xsint20x3

limsinx21x0 3x2 312、求下列函数导数（每题6分，共12分：1yxetanx

x

ln5,求y ；解 yetanx(1xsec2x)

1(xxyyfxy

lny4x0所确定，求5

y(5,1)；1yxxy

y4x5,y1代入得

y 3y 5 (5,1) 51x213、求下列函数积分（每题7分，共211x21x1x2

x dx C(2)

exlnxdx1elnxdx21(x2lnx eexdx) (e2

e21 1 ) (e21)11 2 1 2 1 11

2 2 4

1(

xcos5

xx)dx21

1x2dx1x1x2四、证明题(每小题8分，共16分）14、证明：设ln(x1)arctanx1x

0 2x01证明设f(x)(xlnx)arctanx x0，f(x)(1lnx)1

1x20f(xf(0)0ln(x1)arctanx1x

x015、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且f(1)0，求证在(0,1)内至少存在一点使得3f(f0成立.F(x)x3f(x在[0,1](0,1)F(0)F(1)0由罗尔中值定理得F()2f(3f)0，即有3f(f()0五、应用题（共9分）16y2

x与过该曲线上的点(4,2)y轴所围成的图形的面积S.解2yy1，y

1，切线方程 y21(x4)，y x11(4,2)1

4 4 4S64

xdx6

2 3 4 2x20 3

3高等数学（上）一、单项选择题（本题共20分，每小题2分）11y

ln(2x)的定义域为（；D；xAx0且x； Bx0； Cx； Dx2且x0。2、limxsin1

（；C；x xA、； B、不存在； C、1； D、0。3、按给定的x的变化趋势，下列函数为无穷小量的是（；A；x4x4x1

(x)

B 1

1x1(x)、 ； 、 ； xxC、12x (x0)； D

sinx

(x0)；4、设fxex , x0ax, x

要使fx在x0处连续，则a（；B；A、2； B、1； C、0； D、-15f(x在(abf(x0,f(x0yf(x在(ab（；A、单调上升，向上凸； B、单调下降，向上凸；C、单调上升，向上凹； D、单调下降，向上凹。6f(x1)x2)x3)x4)f(x)0（B；A、4； B、3； C、2； D1。1x2,xf(x)

3f(x2)dx

2xB f(x2)x

4x5,x27

ex, x0 1

（ ；；

ex2, x21A、e1

； B、e

1； C、

； D、。13 3 318、设函数f(x)在[a,b]上是连续的，下列等式中正确的是（ ；C；A、(aC、(a

f(x)dx)f(x； B、(f(x)dx)f(xC；f(x)dx)f(x)； Df(x)dxf(x。1 19、当nsin21

与n nk

为等价无穷小，则k=（ ；C；A、； B、1； C、2； D；-2。210f01，f2，3，则1xfxdx（）B；A、1；B、2；C、3；0D、4。二、填空题（本题共10分，每空2分）1f(x

x2sintdt,(0ax),则f( ) 。 ；2 2a t 22 22、极限lim(2n1)(3n2)(4n3) ；4；n 6n3dd2ydx23、设yexsin ，则2 x0

1； x, x14、函数fxx1x2的不连续点为 。x1x, x25

1x，则fx 。1 x x2 三、计算题9x212x1 9x212x13x 9x212x3x 9x212x1x2（7分）lim1cos2x

1lim4x2

lim 2x2x0

xsinx

2x0 x2xlnsint3（7分设

dy dx求 。

cost dy，

eycost

，dy

eysintyeysint1 dx4（8分）y(sinx)cosx,求dy。dx

dt sint

dt 1eysint dx 1eysint解 设lnycosxlnsinx，两边同时求导

dy cos2x (sinx)cosx( sinxlnsin dx sinx5（7分）

1cos1dxcos1d1sin1Cx2 x x x x 6（7分）2x2cosxdx 2x2dsinxx2sinx 22 2xsinxdx000 02 2000 02 2 xdcosx22 cosxdx24 0 4 0 47（8分x

1x29

dx x3sect,

3tant,dx3secttantdtt3，x2x29 1 dxtC1arccos3Cx x29 3 3 x四、综合题1（9分）yexyex0x轴旋转的旋转体的体积。1 Ve2e2xdxe21 0

(e21)2

(e21)22（9分证x3xcosx.证明设函数f(t)t3tcost在t[0,x] ,x0连续，f(0)10，令f(t)3t21sint0，f(t)为单调递增函数，limf(x)limx3xcosx，由零点定理可知f(t)f(t)只存在一点在x x[0,x]f)0x3xcosx只有一个正根。理工《高等数学》一、填空题（本题共15分，每小题3分）)1.函数fx 1 的连续区间是 ()x21 x2 x若lim axb0，a，b均为常数，则a ，bxx x2 (1a)x2(ab)xblim axblim 0，a1,b1；xx1

x1yf(x)xy2lnxy4yf(x)在点（1，1）处的切线方程是 yxy24y3y，y 1，yxx (1,1)1设yln(lnx)sec2(2x)，则y .1xlnx

4sec2xtanxf(x)xa可导，则limx0二求下列各题极限（28分

f(ax)f(a)x

fa11x 1x

1lim2x1x0

ex1 2

x0 x1 1 lim2sinxcosx1lim(2sinxcosx)

(2sinxcosx1)]x

ex0

x e2x0 x0x(31sin2x1)lim tanxsinx limtanx(31sin2x1)x0

x0

1 2x x23

(3)n4n

lim

3n41 41n 3 n 3 n(3)n14n1

3( )n44三．计算题（共32分）设yxarctan3x，求y.yarctan3x

3x ，y

3

19x2 619x2

19x2

(19x2)2 (19x2)2yxsinxarcsin(lnx)y.yxsinx[(sinxlnx)arcsinx

1 ]x 1(lnx)2xsinx[(cosxlnx

sinx

)arcsinx ]1x 1(lnx)2xln(11x 1(lnx)2求由参数方程 所确定的函数的导数 , .1 ytarctan1 1 ( )

dx dx2dy

1t2

t d2y 2；

1t2dx

2 dx2

1t2 1t2设函数yy(x)是由方程xy

sinydyd2y.dx dx2解方程两边同时求导得1y

cosyy0 y2

2cosy，y2sinyy(2cosy)2

4siny(2cosy)3四．综合题（27分）

axb x09.求常数a,b的值，使函数f(x) 在x0处一阶可.x) x0limf(x)lim(axb)bf(0)，limf(x)limln(1x)0，b0；x0

x0

x0

x0f(x)lim

axa，f(x)lim

ln(1x)

1a1。 x0 x x0 xx2f(xx2

x23x

所有间断点，并指出其类型.f(x)

x2(x2)(xx2

，limf(x)，x2

f(x)1，x2

f(x)1x2n1ax2bx设f(x)lim 为连续函数，求a,bn x2n1一、填空题（每空3分，共15分）1、已知f(x)的定义域是，则函数f(lnx)的定义域；[1,e]；2、f(x),则

f(2x)dx ；1f(2x)c；23I1

2lnxdx与I1 2

2ln2xdx的大小关系 ；I1

I ；234、设曲线yax3bx以点(3)为拐,则数组(a,b) .；( ，)；32 2解 f(x)6ax2b

f(1)6a2b0

a1b3又ab3

a , b9

时为曲线 fxax3bx2 的拐点。32 235、设y

7 1x x x，则dy . x8dx。x x x8二、选择题（每空3分，共15分）1、曲线xyexy1在(0,0点的切线斜率是（ ；D；A、1； B、e1 ； C、0； D、-1。2、设f(x)2x

2，则当x0时，有（ ；B；A、f(x)与x是等价无穷小； B、f(x)与x是同阶但非等价无穷小；C、f(x)是比x高阶的无穷小； D、f(x)是比x低阶无穷小。3、设函数f(x)在bxf(x)f(x)dx（ ；A；a

bf2(x)dx1，f(a)f(b)aA

1 1； B、； C、0； D、1。2 24、下列积分发散的有（ ；A；A、lnxdx；

B、

1dx；

C.1 dx ；

D

exdx。1 x

1x21 1

0 01x2f(x)1x25、设f(x)cosx,P(x)1 x2 x4

能使极限式lim 0成立，则2 24正整数n的最大值是（ 。C。

x0 xn3 axbaxbb3 axbaxbbxa1（7分）y

的导数。3a3axbaxbbxa

1ax 3y

xba2

b 1axbaxb

3

ax a

ax y

ln xba (ba)xba13bxa

ab b

b b 2（7分）

lim

x2sin tdt0 ．x0

0(1cos t)ln(1 t)dtx2解原式lim

2xsinx

lim

sinx

lim 1x0

2x(1cosx)

x0

x) x01cosx3

xa(tsint) 分 y a(1 cost)

（t2,nZyy(x)的二阶导数。dydy

dt

asint

sint

（t2n,nZ）dx dxdtd(dy

a(1cost) 1costd2ydt dxdx2 dt

1a(1cost)24、(7分）yf3x2),f(x)arctanx2,求5x2

.dydxxdydx解: 令u

3x25x2 ,则 y'u'f'(u)

3(5x2)5(3x2) 3x2dydxarctg( )2,dydx

4arctan1.(5x2)25（8分）计算不定积分(arcsinx)2dx.

5x2

x0(arcsinx)2dx=x(arcsinx)2

2xarcsinxdx1x21x2x(arcsinx)22arcsinxd(1x2)=x(arcsinx)22 arcsinx1x21x2=x(arcsinx)22 arcsinx2x1x21 x6（8分）计算定积分1 x1x解：令x

t 则xt2,dx2tdt, 且当x1时,t1 当x4时t21 x于是1 x

22tdt

2

2(1

1 )dtln(1t)]2

2ln91 11t 1 1t 1 47y1sinxy0,x0,xx轴旋转所成的旋转8分）V(1sinx)2dx(12sinxsin2x)dx0 03 sin2x 32x2cosx

4 0

2

4四、证明题（每小题9分，共18分）1（9分）当0x2

时，sinxtanx2x.证：令f(x)sinxtanx2x, f(x)cosxsec2

x2cos2

xsec2

x2(cosxsecx)20,当0x

f(x)在(02

)内单调增加.而f(x)f(0)0x(0, 即当0xsinxtanx2x.2 22（9分）fxgx在gx0,fafbgagb0，证明(1)在a,b)内gx0（2）在a,b)内至少存在一点

fg

fg.（设(，b)内存在一点x1

g(x1

)0x1

g(a)g(x1

)0,由罗尔定理知在(a,x1

)内至少存在一点1

g1

)0，同理在(x1

,b)内也至少存在一点 使g2

)0g1

)g(2

)0,1 2

)内至少存在一点3g)0g(x)0矛盾，故在gx0。3（2）F(x)f(x)g(xg(x)f(x)由题设条件可知，F(x)在上连续，在(a，b) 内可导，且F(a)F(b)0,由罗尔定理可知，存在bF0

gfg0，g0,g0

f fg g。一、填空题（每空3分，共24分）(x5)ex,x01、要使f(x) 在x0处连续，则a ；5；axx2,x02、设f(x)的一个原函数为x3x，则f(sinx)cosxdx ；sin3xsinxC；3、设y32x2，则dy ；4ln332x2xdx；4f(x)xsinx是sinx3x0时的_无穷小量（。5

arctanxdx ；0；1(1x2)26、若lim

x3ax4

b，则a ，b ；x1 x17、函数y x 的单调增加区间。(e,)lnx二、求极限（510。1（5分）lim[ 1

1]limxln(1x)limxln(1x)1x0

ln(1x) x

x0 xln(1x)

x0

x2 22（5）lim

0

3t2dt

lim

x32x

12x0

xt(tsint)dt0

x0

x(xsinx)三、求导数（618。1（6xylnxlny1yf(xdyd2y。dx dx2解：方程两边同时对xyxy1

y0y

y d2y 2y，x y x dx2 x2xt2sint dy d2y2（6分）设函数yy(x)的参数方程为 ，求 ， 。 ytcost

dx dx2dy y 1sint d2

1sint 1cost

costt，3解： t，3dx t

1cost dx2

1cost

cost3（6）

y