偏微分课程课件12-有限元离散方法(一维问题)

第八章有限元离散方法

（一维问题）第八章有限元离散方法

（一维问题）微分方程解和有限元方法下的数值解

Poisson方程变分问题离散变分问题Ritz-Galerkin过程分部积分线性代数问题有限维基上表示方程求解快速算法泛函问题微分方程有限元离散代数方程迭代求解5个部分微分方程解和有限元方法下的数值解Poisson方程变分问题8.1一维问题的有限元法（线性元）1）讨论对象：常微分方程两点边值问题2）转化为变分问题考虑空间：8.1一维问题的有限元法（线性元）1）讨论对象：常微分任取v∈V,乘方程两边两边积分任取v∈V,乘方程两边两边积分综上推理，有综上推理，有原微分方程转化为变分问题：即找一个函数满足原微分方程转化为变分问题：找一个函数u∈V,满足3）有限元离散自变量：函数因变量：实数泛函函数空间找一个函数u∈V,满足3）有限元离散自变量：函数因变量：补充：空间的维数和基1维，基：1，2维，基：n维，基：子空间子空间有限维基：最大线性无关组补充：空间的维数和基1维，基：1，2维，基：n维，基：子空间补充：空间的维数和基[a,b]所有连续函数基无穷维线性空间基为：n维线性空间子空间n次多项式函数空间补充：空间的维数和基[a,b]所有连续函数基无穷维线性空间基找一个函数u∈V,满足有限元离散无穷维线性空间找一个函数∈Vh,满足的有限维子空间找子空间的一个途径：找基函数，从而张成子空间找一个函数u∈V,满足有限元离散无穷维线性空间找一个函数区域剖分剖分单元ei定义离散区间区域剖分剖分单元ei定义离散区间u在单元上的取值当h->0时，插值函数收敛到函数u线性插值u在单元上的取值当h->0时，插值函数收敛到函数u线性插值基函数基函数偏微分课程课件12_有限元离散方法(一维问题)偏微分课程课件12_有限元离散方法(一维问题)线性无关线性无关定义空间：找一个函数u∈V,满足找一个函数∈Vh,满足有限元化试探函数空间n+1维定义空间：找一个函数u∈V,满足找一个函数∈Vh,4）化为代数方程组--(4.1)单元分析(4.2)总体合成找一个函数4）化为代数方程组--(4.1)单元分析(4.2)总体合成找(4.1)单元分析任取一个单元(4.1)单元分析任取一个单元同理：同理：单元刚度矩阵单元刚度矩阵这样，由单元荷载这样，由单元荷载(4.2)总体分析，边界处理则(4.2)总体分析，边界处理则偏微分课程课件12_有限元离散方法(一维问题)令令单元刚度矩阵单元刚度矩阵单元刚度矩阵总刚度矩阵单元刚度矩阵总刚度矩阵同理单元荷载矩阵总荷载向量同理单元荷载矩阵总荷

两点边值问题有限元方法总结两点边值问题有限元方法总结1.区域剖分1）单元编号，节点编号，节点坐标3）边界点相关信息2）节点的局部和整体编码对应关系准备必要的原始信息1.区域剖分1）单元编号，节点编号，节点坐标3）边界点相2计算“单元刚度矩阵”和“单元荷载向量”2计算“单元刚度矩阵”和“单元荷载向量”计算“总刚度矩阵”和“总荷载向量”,

形成代数方程组4边界条件处理根据边界调整K和F，即掐头去尾5解代数方程组,相关结果输出计算“总刚度矩阵”和“总荷载向量”,4边界条件处理根据边例题：1）单元剖分2）计算“单元刚度矩阵”和“单元荷载向量”解：4等分，即hi=h=1/4,i=1,2,3,4xi=ih,i=1,2,3,4;x0=0例题：1）单元剖分2）计算“单元刚度矩阵”和“单元荷载向量”偏微分课程课件12_有限元离散方法(一维问题)偏微分课程课件12_有限元离散方法(一维问题)3）计算“总刚度矩阵”和“总荷载向量”i=1,2,3,43）计算“总刚度矩阵”和“总荷载向量”i=1,2,3,43）计算“总刚度矩阵”和“总荷载向量”3）计算“总刚度矩阵”和“总荷载向量”4）根据边界调整K和F，得4）根据边界调整K和F，得5）求解代数方程组5）求解代数方程组有限元法内容总结1明确微分方程2转化为变分形式；3有限元离散区域单元剖分；确定单元基函数；4转化为代数方程单元分析；总体合成；边界条件的处理；5解代数方程。√√√有限元法内容总结1明确微分方程√√√课堂练习1.请描述有限元方法求解问题的步骤。2.请采用四个长度相等的单元计算下列一维问题：课堂练习1.请描述有限元方法求解问题的步骤。第八章有限元离散方法

（一维问题）第八章有限元离散方法

（一维问题）微分方程解和有限元方法下的数值解

Poisson方程变分问题离散变分问题Ritz-Galerkin过程分部积分线性代数问题有限维基上表示方程求解快速算法泛函问题微分方程有限元离散代数方程迭代求解5个部分微分方程解和有限元方法下的数值解Poisson方程变分问题8.1一维问题的有限元法（线性元）1）讨论对象：常微分方程两点边值问题2）转化为变分问题考虑空间：8.1一维问题的有限元法（线性元）1）讨论对象：常微分任取v∈V,乘方程两边两边积分任取v∈V,乘方程两边两边积分综上推理，有综上推理，有原微分方程转化为变分问题：即找一个函数满足原微分方程转化为变分问题：找一个函数u∈V,满足3）有限元离散自变量：函数因变量：实数泛函函数空间找一个函数u∈V,满足3）有限元离散自变量：函数因变量：补充：空间的维数和基1维，基：1，2维，基：n维，基：子空间子空间有限维基：最大线性无关组补充：空间的维数和基1维，基：1，2维，基：n维，基：子空间补充：空间的维数和基[a,b]所有连续函数基无穷维线性空间基为：n维线性空间子空间n次多项式函数空间补充：空间的维数和基[a,b]所有连续函数基无穷维线性空间基找一个函数u∈V,满足有限元离散无穷维线性空间找一个函数∈Vh,满足的有限维子空间找子空间的一个途径：找基函数，从而张成子空间找一个函数u∈V,满足有限元离散无穷维线性空间找一个函数区域剖分剖分单元ei定义离散区间区域剖分剖分单元ei定义离散区间u在单元上的取值当h->0时，插值函数收敛到函数u线性插值u在单元上的取值当h->0时，插值函数收敛到函数u线性插值基函数基函数偏微分课程课件12_有限元离散方法(一维问题)偏微分课程课件12_有限元离散方法(一维问题)线性无关线性无关定义空间：找一个函数u∈V,满足找一个函数∈Vh,满足有限元化试探函数空间n+1维定义空间：找一个函数u∈V,满足找一个函数∈Vh,4）化为代数方程组--(4.1)单元分析(4.2)总体合成找一个函数4）化为代数方程组--(4.1)单元分析(4.2)总体合成找(4.1)单元分析任取一个单元(4.1)单元分析任取一个单元同理：同理：单元刚度矩阵单元刚度矩阵这样，由单元荷载这样，由单元荷载(4.2)总体分析，边界处理则(4.2)总体分析，边界处理则偏微分课程课件12_有限元离散方法(一维问题)令令单元刚度矩阵单元刚度矩阵单元刚度矩阵总刚度矩阵单元刚度矩阵总刚度矩阵同理单元荷载矩阵总荷载向量同理单元荷载矩阵总荷

两点边值问题有限元方法总结两点边值问题有限元方法总结1.区域剖分1）单元编号，节点编号，节点坐标3）边界点相关信息2）节点的局部和整体编码对应关系准备必要的原始信息1.区域剖分1）单元编号，节点编号，节点坐标3）边界点相2计算“单元刚度矩阵”和“单元荷载向量”2计算“单元刚度矩阵”和“单元荷载向量”计算“总刚度矩阵”和“总荷载向量”,

形成代数方程组4边界条件处理根据边界调整K和F，即掐头去尾5解代数方程组,相关结果输出计算“总刚度矩阵”和“总荷载向量”,4边界条件处理根据边例题：1）单元剖分2）计算“单元刚度矩阵”和“单元荷载向量”解：4等分，即hi=h=1/4,i=1,2,3,4xi=ih,i=1,2,3,4;x0=0例题：1）单元剖分2）计算“单元刚度矩阵”和“单元荷载向量”偏微分课程课件12_有限元离散方法(一维问题)偏微分课程课件12_有限元离散方法(一维问题)3）计算“总刚度矩阵”和“总荷载向量”i=1,2,3,43）计算“总刚度矩阵”和“总荷载向量”i=1,2,3,43）计算“总刚度矩阵”和“总荷载向量”3）计算“总刚度矩阵”和“总荷载向量”4）根据边界调整K和F，得4）根据边界调整K和F，得5）求