定积分及其应用习题章节-课件

定积分及其应用习题课定积分及其应用1问题1:曲边梯形的面积问题2:变速直线运动的路程存在定理广义积分定积分定积分的性质定积分的计算法牛顿-莱布尼茨公式一、主要内容定积分的应用问题1:问题2:存在定理广义积分定积分定积分定积分的牛顿-莱21、问题的提出实例1（求曲边梯形的面积A）1、问题的提出实例1（求曲边梯形的面积A）3实例2（求变速直线运动的路程）方法:分割、求和、取极限.实例2（求变速直线运动的路程）方法:分割、求和、取极限.42、定积分的定义定义2、定积分的定义定义5记为记为6可积的两个充分条件：定理1定理23、存在定理可积的两个充分条件：定理1定理23、存在定理74、定积分的性质性质1性质2性质34、定积分的性质性质1性质2性质38性质5推论：（1）（2）性质4性质5推论：（1）（2）性质49性质7(定积分中值定理)性质6积分中值公式性质7(定积分中值定理)性质6积分中值公式105、牛顿—莱布尼茨公式定理1定理2（原函数存在定理）5、牛顿—莱布尼茨公式定理1定理2（原函数存在定理）11定理3（微积分基本公式）也可写成牛顿—莱布尼茨公式定理3（微积分基本公式）也可写成牛顿—莱布尼茨公式126、定积分的计算法换元公式（1）换元法（2）分部积分法分部积分公式6、定积分的计算法换元公式（1）换元法（2）分部积分法分部积13７、广义积分(1)无穷限的广义积分７、广义积分(1)无穷限的广义积分14(2)无界函数的广义积分(2)无界函数的广义积分155、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积直角坐标情形5、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积直角坐标情形16如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积参数方程所表示的函数如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积参数方程所表示的函17极坐标情形极坐标情形18(2)体积xyo(2)体积xyo19平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积20(3)平面曲线的弧长弧长A．曲线弧为弧长B．曲线弧为(3)平面曲线的弧长弧长A．曲线弧为弧长B．曲线弧为21C．曲线弧为弧长(4)旋转体的侧面积xyoC．曲线弧为弧长(4)旋转体的侧面积xyo22五、定积分在经济上的应用主要目的：如已知目标函数的边际函数，如何求原函数（即目标函数）五、定积分在经济上的应用主要目的：如已知目标函数的23例1.求解:因为时,所以利用夹逼准则得典型例题:一、与定积分概念有关的问题的解法例1.求解:因为时,所以利用夹逼准则得典型例题:一、与24思考例1下列做法对吗?利用积分中值定理不对!因为依赖于且说明:故没理由认为思考例1下列做法对吗?利用积分中值定理不对!因为依赖于且25解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式已知利用夹逼准则可知(2019考研)例2.求解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式已知利用夹逼准则26思考:提示:由上题故思考:提示:由上题故27练习:

1.求极限解：原式2.

求极限提示：原式左边=右边练习:1.求极限解：原式2.求极限提示：原式左边=右28例3.估计下列积分值解:因为∴即例3.估计下列积分值解:因为∴即29例4.

证明证:令则令得故例4.证明证:令则令得故30例5.设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立.明对于任何例5.设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式证明：显然时31例6.且由方程确定y是x的函数,求解：方程两端对

x

求导,得令x=1,

得再对y求导,得故例6.且由方程确定y是x的函数,求解：方程两端对32例7.求可微函数f(x)使满足解:等式两边对x求导,得不妨设f(x)≠0,则例7.求可微函数f(x)使满足解:等式两边对x求33注意f(0)=0,得注意f(0)=0,得34例8.

求多项式f(x)

使它满足方程解:

令则代入原方程得两边求导:可见f(x)应为二次多项式,设代入①

式比较同次幂系数,得故①再求导:例8.求多项式f(x)使它满足方程解:令则代入原方35二、有关定积分计算和证明的方法1.熟练掌握定积分计算的常用公式和方法2.注意特殊形式定积分的计算3.利用各种积分技巧计算定积分4.有关定积分命题的证明方法思考:下列作法是否正确?二、有关定积分计算和证明的方法1.熟练掌握定积分计算的常用36例9.

求解:令则原式例9.求解:令则原式37例10.

选择一个常数c,使解:令则因为被积函数为奇函数,故选择c使即可使原式为0.例10.选择一个常数c,使解:令则因为被积函数为奇38例11.

设解:

例11.设解:39例12.

如图,曲线C的方程为解:

是它的一个拐点,线,其交点为(2,4),设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切(2019考研)＝043211234xO例12.如图,曲线C的方程为解:是它的一个拐点,40例13.若解:令试证:则例13.若解:令试证:则41因为对右端第二个积分令综上所述因为对右端第二个积分令综上所述42例14.

证明恒等式证:令则因此又故所证等式成立.例14.证明恒等式证:令则因此又故所证等式成立.43例15.试证使分析:即证故作辅助函数至少存在一点即例15.试证使分析:即证故作辅助函数至少存在一点即44证明:

令在上连续,在至少使即因在上连续且不为0,从而不变号,因此故所证等式成立.故由罗尔定理知,存在一点证明:令在上连续,在至少使即因在上连续且不为0,从而不45思考:

本题能否用柯西中值定理证明?如果能,怎样设辅助函数?要证:提示:设辅助函数例15思考:本题能否用柯西中值定理证明?如果能,怎样设辅助46例16.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且(1)在(a,b)内f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点

,使

(3)在(a,b)内存在与相异的点,

使(2019考研)例16.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,47证:

(1)

由f(x)在[a,b]上连续,知f(a)=0.所以f(x)在(a,b)内单调增,因此(2)设满足柯西中值定理条件,于是存在证:(1)由f(x)在[a,b]上连续,知f48即(3)因在[a,]上用拉格朗日中值定理代入(2)中结论得因此得例16题即(3)因在[a,]上用拉格朗日中值定理代入(249例17.设证:设且试证:则故F(x)单调不减,即②成立.②例17.设证:设且试证:则故F(x)单调不减,50例18.设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立.明对于任何例18.设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式证明：显然51例19.

求抛物线在(0,1)内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解:设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与x,y轴的交点分别为所指面积例19.求抛物线在(0,1)内的一条切线,使它与两坐标52且为最小点.故所求切线为得[0,1]上的唯一驻点且为最小点.故所求切线为得[0,1]上的唯一驻点53例20.

设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1)求函数(2)

a为何值时,所围图形绕x轴一周所得旋转体解:(1)由方程得面积为2,体积最小?即故得例20.设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1)求函数54又(2)旋转体体积又为唯一极小值点,因此时V取最小值.又(2)旋转体体积又为唯一极小值点,因此时V取最小值55例21.

过坐标原点作曲线轴围成平面图形D.(1)求D的面积;(2)求D绕直线x

=e旋转一周所得旋转体的体积.解:(1)设切点的横坐标为则所求切线方程为由切线过原点知的切线.该切线与曲线因此故切线方程为D的面积为1(2019考研)例21.过坐标原点作曲线轴围成平面图形D.(1)求D56(2)求D绕直线x

=e旋转一周所得旋转体的体积.切线、x轴及直线所围三角形绕直线旋转所得圆锥的体积为曲线、x轴及直线所围图形绕直线旋转所因此所求旋转体体积为1得旋转体体积为(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积.57例22.

证明曲边扇形绕极轴证:先求上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积体积元素故旋转而成的体积为例22.证明曲边扇形绕极轴证:先求上微曲边扇形绕极轴旋转58故所求旋转体体积为例23.求由与所围区域绕旋转所得旋转体体积.解:曲线与直线的交点坐标为曲线上任一点到直线的距离为则故所求旋转体体积为例23.求由与所围区域绕旋转所得旋转体59定积分及其应用习题课定积分及其应用60问题1:曲边梯形的面积问题2:变速直线运动的路程存在定理广义积分定积分定积分的性质定积分的计算法牛顿-莱布尼茨公式一、主要内容定积分的应用问题1:问题2:存在定理广义积分定积分定积分定积分的牛顿-莱611、问题的提出实例1（求曲边梯形的面积A）1、问题的提出实例1（求曲边梯形的面积A）62实例2（求变速直线运动的路程）方法:分割、求和、取极限.实例2（求变速直线运动的路程）方法:分割、求和、取极限.632、定积分的定义定义2、定积分的定义定义64记为记为65可积的两个充分条件：定理1定理23、存在定理可积的两个充分条件：定理1定理23、存在定理664、定积分的性质性质1性质2性质34、定积分的性质性质1性质2性质367性质5推论：（1）（2）性质4性质5推论：（1）（2）性质468性质7(定积分中值定理)性质6积分中值公式性质7(定积分中值定理)性质6积分中值公式695、牛顿—莱布尼茨公式定理1定理2（原函数存在定理）5、牛顿—莱布尼茨公式定理1定理2（原函数存在定理）70定理3（微积分基本公式）也可写成牛顿—莱布尼茨公式定理3（微积分基本公式）也可写成牛顿—莱布尼茨公式716、定积分的计算法换元公式（1）换元法（2）分部积分法分部积分公式6、定积分的计算法换元公式（1）换元法（2）分部积分法分部积72７、广义积分(1)无穷限的广义积分７、广义积分(1)无穷限的广义积分73(2)无界函数的广义积分(2)无界函数的广义积分745、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积直角坐标情形5、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积直角坐标情形75如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积参数方程所表示的函数如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积参数方程所表示的函76极坐标情形极坐标情形77(2)体积xyo(2)体积xyo78平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积79(3)平面曲线的弧长弧长A．曲线弧为弧长B．曲线弧为(3)平面曲线的弧长弧长A．曲线弧为弧长B．曲线弧为80C．曲线弧为弧长(4)旋转体的侧面积xyoC．曲线弧为弧长(4)旋转体的侧面积xyo81五、定积分在经济上的应用主要目的：如已知目标函数的边际函数，如何求原函数（即目标函数）五、定积分在经济上的应用主要目的：如已知目标函数的82例1.求解:因为时,所以利用夹逼准则得典型例题:一、与定积分概念有关的问题的解法例1.求解:因为时,所以利用夹逼准则得典型例题:一、与83思考例1下列做法对吗?利用积分中值定理不对!因为依赖于且说明:故没理由认为思考例1下列做法对吗?利用积分中值定理不对!因为依赖于且84解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式已知利用夹逼准则可知(2019考研)例2.求解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式已知利用夹逼准则85思考:提示:由上题故思考:提示:由上题故86练习:

1.求极限解：原式2.

求极限提示：原式左边=右边练习:1.求极限解：原式2.求极限提示：原式左边=右87例3.估计下列积分值解:因为∴即例3.估计下列积分值解:因为∴即88例4.

证明证:令则令得故例4.证明证:令则令得故89例5.设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立.明对于任何例5.设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式证明：显然时90例6.且由方程确定y是x的函数,求解：方程两端对

x

求导,得令x=1,

得再对y求导,得故例6.且由方程确定y是x的函数,求解：方程两端对91例7.求可微函数f(x)使满足解:等式两边对x求导,得不妨设f(x)≠0,则例7.求可微函数f(x)使满足解:等式两边对x求92注意f(0)=0,得注意f(0)=0,得93例8.

求多项式f(x)

使它满足方程解:

令则代入原方程得两边求导:可见f(x)应为二次多项式,设代入①

式比较同次幂系数,得故①再求导:例8.求多项式f(x)使它满足方程解:令则代入原方94二、有关定积分计算和证明的方法1.熟练掌握定积分计算的常用公式和方法2.注意特殊形式定积分的计算3.利用各种积分技巧计算定积分4.有关定积分命题的证明方法思考:下列作法是否正确?二、有关定积分计算和证明的方法1.熟练掌握定积分计算的常用95例9.

求解:令则原式例9.求解:令则原式96例10.

选择一个常数c,使解:令则因为被积函数为奇函数,故选择c使即可使原式为0.例10.选择一个常数c,使解:令则因为被积函数为奇97例11.

设解:

例11.设解:98例12.

如图,曲线C的方程为解:

是它的一个拐点,线,其交点为(2,4),设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切(2019考研)＝043211234xO例12.如图,曲线C的方程为解:是它的一个拐点,99例13.若解:令试证:则例13.若解:令试证:则100因为对右端第二个积分令综上所述因为对右端第二个积分令综上所述101例14.

证明恒等式证:令则因此又故所证等式成立.例14.证明恒等式证:令则因此又故所证等式成立.102例15.试证使分析:即证故作辅助函数至少存在一点即例15.试证使分析:即证故作辅助函数至少存在一点即103证明:

令在上连续,在至少使即因在上连续且不为0,从而不变号,因此故所证等式成立.故由罗尔定理知,存在一点证明:令在上连续,在至少使即因在上连续且不为0,从而不104思考:

本题能否用柯西中值定理证明?如果能,怎样设辅助函数?要证:提示:设辅助函数例15思考:本题能否用柯西中值定理证明?如果能,怎样设辅助105例16.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且(1)在(a,b)内f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点

,使

(3)在(a,b)内存在与相异的点,

使(2019考研)例16.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,106证:

(1)

由f(x)在[a,b]上连续,知f(a)=0.所以f(x)在(a,b)内单调增,因此(2)设满足柯西中值定理条件,于是存在证:(1)由f(x)在[a,b]上连续,知f107即(3)因在[a,]上用拉格朗日中值定理代入(2)中结论得因此得例16题即(3)因在[a,]上用拉格朗日中值定理代入(2108例17.设证:设且试证:则故F(x)单调不减,即②成立.②例17.设证:设且试证:则故F(x)单调不减,109例18.设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立.明对于任何例18.设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式证明：显然110例19.

求抛物线在(0,1)内的一条切线,