复数与复变函数

复数与复变函数第一页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/231第一章复数与复变函数内容提要：复变函数就是自变量为复数的函数，本章先学习复数的概念、性质与运算，然后再引入平面上的点集、复变函数极限、连续．本章中的许多概念在形式上与微积分学中一些基本概念有相似之处，可以把它们看作微积分学中相应的概念及定理在复数域中的推广．

第二页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/232第一章复数与复变函数1.1复数1.2复数的三角表示1.3平面点集的一般概念1.4无穷大与复球面1.5复变函数本章小结思考题第三页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/233第一节复数一、复数的基本概念

第四页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/234二、复数的代数运算

1.复数的和、差、积、商

和与差：积：商：复数的运算满足交换律、结合律、分配律．第五页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/2352．共扼复数及性质

重要性质：

复数的共扼性质在实际计算和证明中有广泛应用

第六页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/236例1．计算复数

解：法一（商的公式）

法二（共轭性质）

应用共扼性质来计算显得简单，在后面计算中要灵活运用共轭第七页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/237例2．解：由题意得

例3．解：第八页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/238例4．证明：证法二：第九页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/239第二节复数的表示法

一、复平面

定义：复数的模：

复数的幅角：主幅角：即：一复数的辐角Argz是多值的第十页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/2310二、复数的表示法1．复数的向量表示法

因此

显然有不等式：

复数、复平面上点、向量之间一一对应第十一页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/23112．复数的三角表示法利用直角坐标与极坐标的关系：

复数的三角表示式：3．复数的指数表示法利用欧拉公式：

复数的指数表示式：注意：复数的三角表示式不是唯一的，因为辐角有无穷多种选择，如果有两个三角表示式相等：

则可以推出：第十二页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/2312例1．解：于是主幅角值的确定：

第十三页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/2313练习

模

主辐角解：

例2．解：

为复数形式的直线方程

复数形式的直线方程为

第十四页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/2314例3．解：

参数方程为由参数式得复数形式参数方程为若平面上曲线的参数方程为：则定义定义：复数形式的参数方程

第十五页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/2315例4．求下列方程所表示的曲线解：

第十六页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/2316三、复数的三角表示及指数表示作乘除法

即：模辐角定理1：两个复数乘积的模等于它们模的乘积，幅角等于它们的幅角之和．说明：例如：第十七页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/2317例如：定理2：两复数的商的模等于它们模的商，幅角等于被除数与除数的幅角之差．证明：即：模辐角第十八页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/2318例5．用三角表示式和指数表示式计算下列复数解：

第十九页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/2319例6．解：

第二十页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/2320四、复数的乘方与开方、棣摩弗公式1．乘方公式这公式称棣摩弗公式．

2．开方公式

第二十一页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/2321例7．计算下列各题：

解：即：第二十二页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/2322例8．解：其解为

作业习题一1.1(3)(4)1.31.41.6(2)(4)1.8(2)(3)1.9(1)（2）(3)（4）1.10(1)（2）(3)（4）1.12(1)（5）1.13(1)P28第二十三页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/2323第三节平面点集的一般概念研究复变函数问题，和实函数一样，每个复变量都有自己的变化范围，复变量的变化范围同于二元函数的变化范围称为区域．

一、开集与闭集

1.邻域：

2．内点：

3．开集：

4．余集：

第二十四页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/23245．边界：

6．孤立点：

7．有界集与无界集：

例如：第二十五页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/2325二、区域1．连通：

设G中任何两点都可以用完全属于G的折线连接起来，则称G是连通的．

2．区域：

连通的开集称为区域，记为D．

3．闭区域：

区域D与它的边界一起构成闭区域，4．有界、无界区域：（如上定义）

5．圆环域：

例如

有界域：无界域：角形域：

带形域：

第二十六页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/2326例1．试说出下列各式所表示的点集是怎样的图形，并指出哪些是区域：

解：

三、平面曲线1．平面曲线的复数式

平面曲线的复数形式参数方程

第二十七页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/2327例2．圆周参数方程

解：

例3．解：

直线的参数方程

2．光滑曲线

光滑曲线

由若干段光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线．

第二十八页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/2328例4．解：

容易验证：

因此该曲线是分段光滑曲线．

3．简单闭曲线

则称这条曲线为简单闭曲线．

简单闭曲线

非简单闭曲线

第二十九页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/23294．单连通区域与多连通区域

设D为一平面区域，若在D中任作一条简单闭曲线，而曲线内部总属于D，则称D为单连通区域，否则是多连通区域．

单连通区域的特征：属于D的任何一条简单闭曲线，在D内可经过连续变形而缩成一点．

单连通区域多连通区域洞第三十页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/2330第四节无穷大与复球面一、无穷远点为了讨论问题方便，我们不但要讨论有限复数，还要讨论一个特殊的复数-------无穷大，它是由下式定义的：加法：减法：乘法：除法：而实部、虚部和辐角均没有意义，

第三十一页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/2331这个点称为无穷远点，

复平面加上无穷远点称为扩充复平面，扩充复平面上的每一条直线都通过无穷远点.（4）无穷远点的邻域：

复球面定义：球面上的每一点都有唯一的复数与之对应，这样的球面称为复球面；二、复球面（5）无穷远点的去心邻域：第三十二页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/2332第五节复变函数一、复变函数的概念说明：

那么称复变数w是复变数z的函数，即复变函数，

1．定义：设G是一个复数的集合，如果有一个确定的法则存在，按照这一法则，

第三十三页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/23332．复变函数与二元函数的关系

因此可以利用两个二元实变函数来讨论例1．解：

例2．将下列两个二元实变函数表示为复变函数，解：

第三十四页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/23343．映射的概念在“高等数学”中，常把函数用几何图形来表示，这样，可以直观地帮助我们理解和研究函数的性质．对于复变函数，由于它反映了两对变量和之间的对应关系，因而无法用同一个平面的几何图形表示出来，必须把它看成两个复平面上的点集之间的对应关系．第三十五页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/2335例3．第三十六页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/2336例4．解：

第三十七页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/2337例5．解：

（1）由乘法的模与幅角定理可知：

其象是2倍角域,

第三十八页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/2338反函数（逆映射）二、复变函数的极限和连续1．复变函数的极限定义1．第三十九页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/2339定理1．设函数证明：必要性充分性第四十页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/2340定理2．如果第四十一页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/2341例1．证明：

另证：

第四十二页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/23422．复变函数的连续性定理3．函数例2．解：说明：复变函数的极限与连续性的定义与实函数的极限与连续性的定义形式上完全相同，因此高等数学中的有关定理依然成立，因此又有有界闭区域上连续函数的性质．

第四十三页，共四十五页，2022年，8月28日2022/12/2343定理4．(1)连续函数的和、差、积、商（分母不