十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编新高考卷与全国专题17坐标系与参数方程（解析版）

大数据之十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题(新高考卷与新课标理科卷)专题17坐标系与参数方程◎真题汇总(2+tX— 6(，为参数)，曲线的y=Vt，__2+s参数方程为产=一丁(S为参数).y=一平(1)写出Ci的普通方程；(2)以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为2cos8-sin。=0,求C3与G交点的直角坐标，及心与C2交点的直角坐标.【答案】(l)y2=6x-2(y>0)；(2)C3，g的交点坐标为&1),(1,2),。3，。2的交点坐标为(一发T)，(-1.-2).【解析】(1)因为才=华，y=y/t,所以》=卫匕，即g的普通方程为y?=6x-2(y20).(2)因为x=-等J=—石，所以6%=—2—V，即Q的普通方程为y?=—6x—2(y<0),由2cos。-sin0=0=2pcos3—psin。=0,即C3的普通方程为2%—y=0.联立,2=金，2券20),解得：『［或即交点坐标为&1),(1,2)：联立,二:二十。)，解得：｛；二;或1二］即交点坐标为(-1,-2).2.【2022年全国乙卷理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为卜=感8s2t,(,为参数)，以(y=2sint坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为psin(0+g+m=0.(1)写出/的直角坐标方程；(2)若/与C有公共点，求加的取值范围.【答案】(1)代x+y+2m=0(2)--<m<-【解析】(1)因为/：psin(。+§+m=0,所以｝p•sin。+'p•cos。+m=0,乂因为p・sin。=y,p-cos0=x,所以化简为工y+y%+m=0,整理得/的直角坐标方程：V3x+y+2m=0(2)联立/与。的方程，即将x=V5cos2t,y=2sint代入y/3x+y+27n=0中，可得3cos2t+2sint+2m=0,所以3(1—2sin2t)+2sint+2m=0,化简为-6sin2t+2sint+3+2m=0,要使/与C有公共点,则2m=6sin2t-2sint-3有解，令sint=q,则qG[—1,1],令f(a)=6a2-2a-3,(-1<a<1)»对称轴为Q=；,开口向上，6所以/(a)max=/(-1)=6+2-3=5,乙、 乙1、 1 2Q19/(a)min=/(;)=;---3=--,所以一：W2m<56m的取值范围为一色<m<|.3.【2021年全国甲卷理科22】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为p=2>/2cos0.(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点4的直角坐标为(1,0),M为C上的动点，点尸满足加=技而，写出尸的轨迹G的参数方程，并判断C与q是否有公共点.【答案】⑴(x-也)2+产=2；(2)P的轨迹G的参数方程为产=耍：;c°s6(0为参数)，c与G没有公共点.(1)由曲线C的极坐标方程p=2在cos。可得p2=2\/2pcosG-将x=pcose.y=psin。代入可得/+y2=2在x，HP(x-V2)z+y2=2.即曲线C的直角坐标方程为(x-/>+y=2；(2)设P(x,y),设M(V^+«cos仇鱼sin。)vAP=VZ4M，

(x—1,y)=V2(V2+\[2cosO—1,V2sin0)=(24-2cos。—V2,2sin0)»II”产一1=2+2cos8—V2即产=3—V2+2cos6、'y=2sin0'、'y=2s\n6故尸的轨迹G的参数方程为尸=(°为参数)•••曲线C的圆心为(在,0),半径为鱼，曲线C1的圆心为(3-鱼,0)，半径为2,则圆心距为3—2在，：3—2«<2-«,；.两圆内含，故曲线C与G没有公共点..【2021年全国乙卷理科22】在直角坐标系xOy中，。C的圆心为C(2,1),半径为1.(1)写出OC的一个参数方程；(2)过点F(4,l)作。C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.【答案】⑴(方为参数)；⑵2pcos(e+“=4一代或2pcos(8*)=4+VI.y-aIsina s a(1)由题意，0c的普通方程为(*一2>+(y-1)2=1,所以0C的参数方程为(a为参数)(2)由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为y-l=k(x—4),EPfcx-y+l-4k=0,由圆心到直线的距离等于1可得懵=1，解得k=±y-所以切线方程为-3y+3-4V3=0或岳+3y-3-4a/3=0.将无=〃cos6,y=psin6代入化简得2pcos(0+“=4一痣或2pcos(。-J)=4+V3.【2020年全国1卷理科22】在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4"cos。-16psin0+3=0.(1)当k=l时，。是什么曲线？(2)当k=4时，求g与C2的公共点的直角坐标.【答案】(1)曲线Ci表示以坐标原点为圆心，半径为I的圆：(2)(i.i).【解析】(1)当k=l时，曲线G的参数方程为｛、器：(t为参数)，两式平方相加得好+产两式平方相加得好+产=1,所以曲线Cl表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆;（2）当k=4时，曲线Ci的参数方程为忱黑；（t为参数），所以xNO,y20,曲线Ci的参数方程化为｛♦：：；；；；（t为参数），两式相加得曲线G方程为SF+4=1，得力=1一〃，平方得y=x-2«+1,0SxW1,0Wy41,曲线C?的极坐标方程为4pcos8-16psin0+3=0,曲线。2直角坐标方程为4%-16y+3=0,联立QQ方程｛汇第;整理得12x-32«+13=0,解得«=[或«=卷（舍去），x= Ci，C2公共点的直角坐标为（；，；）•.【2020年全国2卷理科22】已知曲线C”C2的参数方程分别为G：卜=&cos??,”为参数），。2：（y=4sin20（元=t+二（'为参数）.（1）将G，C2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设G，Q的交点为尸，求圆心在极轴上，且经过极点和尸的圆的极坐标方程.【答案】（1）Ci：x+y=4；C2:x2—y2-4；（2）p=?cos。.【解析】（1）由cosZ^+siMe=1得Ci的普通方程为：x+y=4；（x=t+- （x2=t2+4+2由1 :得：《 ； ，两式作差可得Cz的普通方程为：*2-y2=4.[y=t-7（y=t+j-2设所求圆圆心的直角坐标为（a,0），其中a>0,则（a-/+（0-丁=a2,解得：a=V，••・所求圆的半径r=招，•••所求圆的直角坐标方程为:（一W+y2=（%即，+/=3

・•・・•・所求圆的极坐标方程为P.[2020年全国3卷理科22】在直角坐标系中，曲线C的参数方程为二:二(,为参数且今1)，C与坐标轴交于4、B两点.(1)求|48|；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程.【答案】(1)4V10(2)3pcos0-psinff+12=0【解析】(1)令x=0,则J+t-2=0,解得t=-2或t=1(舍)，则y=2+6+4=12,即4(0,12).令y=0,则产一3t+2=O,解得t=2或t=1(舍)，则x=2-2-4=-4,即8(—4,0).\AB\=J(0+4<+(12-0)2=4V10；(2)由(I)可知心8=芹==3,则直线48的方程为丁=3(x+4),即3%-y4-12=0由x=pcos0,y=psin。可得，直线4B的极坐标方程为3pcos6-psin©+12=0..[2019年新课标3理科22]如图，在极坐标系Qx中，Z(2,0),B(VL-),C(V2,—),D(2,n),4 4-______ 71 ___ ___弧AB,BC,CD所在圆的圆心分别是(1,0),(1,-),(1,K),曲线Mi是弧4B,曲线侦是弧BC,曲线此是弧丽.(1)分别写出Mi，M2,%的极坐标方程；(2)曲线M由A/i，M2,A/3构成，若点尸在〃上，且|。尸|=百，求尸的极坐标.【答案】解：(I)由题设得，弧砂，BC,而所在圆的极坐标方程分别为p=2cos。，p=2sine,p=-2cos0,则M的极坐标方程为p=2cos。，(0W04»死的极坐标方程为p=2sin0,(2W6W竿)，37rM3的极坐标方程为「=-2COS0»(―<0^TT),4,(2)设尸(p,0),由题设及(1)值，若0《延,，由2cos0=仃得cos0=瞪，得。=春若^<0<芋，由2sin0=V5得sin0=彳，得。=1或彳'若当<0^n,由-2cos0=百得cos0=-字，得。=至，TOC\o"1-5"\h\z4 z ott rr 27r 57r综上尸的极坐标为（遍，:）或（V5,-）或（V5,—）或（遍，—）.6 3 3 6.【2019年全国新课标2理科22】在极坐标系中，。为极点，点A/（po,Oo）（po>O）在曲线C：p=4sin6上，直线/过点4（4,0）且与OM垂直，垂足为P.（1）当。0=去时，求po及/的极坐标方程；（2）当M在C上运动且尸在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.【答案】解：⑴当。0=冷时，p（）=4sinE=26，在直线/上任取一点（p,0）,则有「©”（。一号）=2,故/的极坐标方程为有pcos（e-J）=2；（2）设尸（p,0）,则在RtZ\04尸中，有p=4cos。，7T7TW在线段OM上，/.06[—♦-7T7T故尸点轨迹的极坐标方程为p=4cos。，06[-»-].'二1一".【2019年新课标1理科22】在直角坐标系中，曲线C的参数方程为「一1：户’Q为参数）.以[y=i^坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为2pcos0+V^psin0+ll=0.（1）求C和/的直角坐标方程；（2）求C上的点到/距离的最小值.【答案】解：（1）由J"一甲’（，为参数），得《；一号了，=T+t2 G=1+^两式平方相加，得好+4=1（xH-1）,...C的直角坐标方程为x2+4=1（xH-1）,由2pcos0+V3psin0+ll=O,得2x+V3y4-11=0.即直线/的直角坐标方程为得2x+V3y+ll=0；(2)设与直线2无+V3y+11=0平行的直线方程为2%+V3y+m=0,联立+汽y+m=0,得I6*+4侬+/.12=0.(4x2+y2-4=0由△=16混-64(/-12)=0,得加=±4.111-41当m=4时，直线2x+V5y+4=0与曲线C的切点到直线2》+6丫+11=0的距离最小，为/=2=V22+311.【2018年新课标1理科22】在直角坐标系xOp中，曲线G的方程为、=如|+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Ci的极坐标方程为p2+2pcos0-3=0.(1)求。2的宜角坐标方程；(2)若G与C2有且仅有三个公共点，求Cl的方程.【答案】解：(1)曲线C2的极坐标方程为p2+2pcos。-3=0.转换为直角坐标方程为：/+”+入-3=0,转换为标准式为：(x+l)2+y2=4.(2)由于曲线。的方程为、=中|+2,则：该射线关于y轴对称，且恒过定点(0,2).由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点.所以：必有一直线相切，一直线相交.则：圆心到直线y=fcr+2的距离等于半径2.故：詈=2,或嬖与=2Vl+fc2Vl+fc2解得：k=—g或0>当A=0时，不符合条件，故舍去,4同理解得：或0经检验，直线y=gx+2与曲线C2没有公共点.故Ci的方程为：y=-^|x|4-2.12.【2018年新课标2理科22】在直角坐标系xQy中，曲线C的参数方程为匕：(。为参数)，直线(y—4-5171(7/的参数方程为江篙；(「为参数)•（1）求C和/的直角坐标方程；（2）若曲线。截直线/所得线段的中点坐标为（1,2）,求/的斜率.【答案】解：⑴曲线C的参数方程为匕"：窗（0为参数），y2/转换为直角坐标方程为：7-+-=1.16 4直线/的参数方程为匕:震"为参数）.（y一，十toiTi（x转换为直角坐标方程为：xsina-ycosa+2cosa-sina=0.（2）把直线的参数方程匕a为参数），一乙十Co171U.八、皿…（24-tsina）2 （14-tcosa）2代入椭圆的方程得到：———+-—— =116 4整理得:（4cos2a+sin2a）户+（8cosa+4sina）t-8=0,则：ti+t2=—会军登苧，（由于“和£2为/、8对应的参数）1J4cos£a+sin£a由于（1,2）为中点坐标，所以利用中点坐标公式9詈=0,则：8cosa+4sina=0»解得：tana=-2,即：直线/的斜率为-2.13.【2018年新课标3理科22】在平面直角坐标系x0中，。。的参数方程为「;；需，（。为参数），过点（0,-V2）且倾斜角为a的直线/与。。交于4B两点.（1）求a的取值范围；（2）求48中点尸的轨迹的参数方程.【答案】解：（1）；00的参数方程为（0为参数），二。。的普通方程为f+f=1,圆心为0（0,0）,半径r=l,当。=今时，过点（0,-V2）且倾斜角为a的直线/的方程为x=0,成立；当a吧时，过点（0,-V2）且倾斜角为a的直线/的方程为y=tana・x-VL•倾斜角为a的直线/与。。交于4,8两点，圆心O（0,0）到宜线/的距离口=J'"VI,Jl+tan2atanfca>1,/.tana>1或tana<-1,n 7T7T 37rVqV-或一<aV—，4 22 4」.「7T37r综上a的取值范围是（了，—）.44⑵/的参数方程为｛；I：c篙tsina，（，为参数，：VaV/设/,B,尸对应的参数分别为〃，俯，。，则tp= 5,且1a，力满足t2—2V2tsin（z+1=0./.tA+3=2>/2sinaftP=y/2sinat（x=tpcosa•:P（Xfj）满足] .，J（y=-V2+tpsina（42.9lx=-^-stn2a n37r・・・48中点尸的轨迹的参数方程为：I2 ,（a为参数，-<a<—）.IV2V2n 4 4（y=—2 cos2a14.【2017年新课标1理科22】在直角坐标系x°y中，曲线C的参数方程为1二：器'，（。为参数），直线/的参数方程为a为参数）.（1）若〃=-1,求C与/的交点坐标；（2）若C上的点到/距离的最大值为g,求a.【答案】解：（1）曲线C的参数方程为二:器°为参数），化为标准方程是：y+/=1；a=-l时，直线/的参数方程化为一般方程是：x+4y-3=0；联立方程停+v=i ,（%+4y—3=0f21解啜:淞二Fty=25, , 2124所以椭圆C和直线/的交点为（3,0）和（一笑，—）.（2）/的参数方程｛；：；｝丁（，为参数）化为一般方程是：x+4y-a-4-0,椭圆C上的任一点「可以表示成P（3cos。，sin。），6G[0,2n）,所以点P到直线/的距离d为：d=匹。s。土擀2土4[=|5sin（。溜-a-4|,叩满足匕叫]且的d的最大值为旧.①当-a-4W0时，即a2-4时，|5sin（0+（p）・a-4|<|-5-a-4|=|5+a+4|=17解得a=8和-26,a=8符合题意.②当-a-4>0时，即a<-4时|5sin（0+<p）-a-4|W|5-a-4|=|5-a-4|=17,解得a=-16和18,a=-16符合题意.15.【2017年新课标2理科22】在直角坐标系x（万中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Ci的极坐标方程为pcos0=4.（1）M为曲线。上的动点，点尸在线段上，且满足QM•。尸1=16,求点尸的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点N的极坐标为（2,g）,点8在曲线Q上，求△38面积的最大值.【答案】解：（1）曲线。的直角坐标方程为：x=4,设P（x,y）,M（4.yo）,则£=”■,•*.vo=—>4yo- %'：\OM\\OP\=\6,J/+y2j16+y（）2=16,即（/+四（1+当）=16,.*.^4+2^/+/=16X2,即（*T）2=16/,两边开方得：x2+y2—4x,整理得：（x-2）2+f=4（xWO）,.,.点P的轨迹。2的直角坐标方程：（x-2）2+/=4（x¥0）.（2）点4的直角坐标为4（1,V3）,显然点/在曲线C2上，\OA\=2,二曲线Q的圆心（2,0）到弦OA的距离d=74-1=C，的最大面积S=/KM・（2+百）=2+V3.16.【2017年新课标3理科22】在直角坐标系xQy中，直线人的参数方程为C为参数），直线（X=—2+7H/2的参数方程为、，一m ,（机为参数）.设人与/2的交点为尸，当％变化时，尸的轨迹为曲线C.（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设小p（cose+sin0）-V2=0,M为八与C的交点，求M的极径.【答案】解：⑴•••直线人的参数方程为匕:疔1,（，为参数），

・•・消掉参数，得：直线4的普通方程为：y=k（x-2）①；{X=-24-m、,_% ,为参数），y~~k同理可得，直线/2的普通方程为：x=-2+@②；联立①②，消去《得：/-丁=4,即C的普通方程为小-/=4（产0）：（2） ，3的极坐标方程为p（cos0+sin0）—y/2=0»,其普通方程为：x+y—应=0,联立x+y=V2,联立x+y=V2,x2—y2=4.•邛2=¥+/=竽+,=5.二/3与C的交点M的极径为p=V5.17.【2016年新课标1理科23】在直角坐标系x°y中，曲线。的参数方程为;；：北加£（'为参数，°>0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：p=4cos0.（I）说明Ci是哪种曲线，并将Ci的方程化为极坐标方程；（H）直线C3的极坐标方程为。=ao,其中ao满足tanao=2,若曲线Ci与C2的公共点都在C3上，求a【答案】解：（I）由6：*小得/普Ln,两式平方相加得，普*D2=程，Ci为以（0,1）为圆心，以a为半径的圆.化为一般式：E+y2-2>H-1-a2=0.①由 y=psin0,Wp2~2psin0+l-a2=0；（11）C2：p=4cos0.两边同时乘p得p2=4pcos。，.\x2+y2=4x,（2）即（x-2）2+炉=4.由Ci：0—cxo»其中aoi两足tanao=2,得y=2x,V曲线。与Cl的公共点都在C3上，：.y=2x为圆Ci与Ci的公共弦所在直线方程，①-②得：4x-2y+\-a2=0,即为C3,二1-"2=0,：.a=\（a>0）.18.【2016年新课标2理科23】在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+/=25.（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（H）直线/的参数方程是C为参数），I与C交与A,B两点,\AB\=V10,求/的斜率.【答案】解：（I）•••圆C的方程为（x+6）2+丁=25,.*.x2tv2+12x+ll=0,*/p2=x2+y2»x=pcosa»y=psina,二。的极坐标方程为p2+12pcosa+l1=0.（ID•••直线/的参数方程是器（r为参数），.•・，=益^,代入y=fsina,得：直线/的一般方程、=12110（\¥,・.・/与。交与48两点，|力6|=同，圆C的圆心C（・6,0）,半径厂=5,圆心到直线的距离d=卜一（挈）2.二圆心C（-6,0）到直线距离d=\6ta呷=加-培Vl+ton^n4解得tan2a=* tana=土工=±-^-.. V15.・・/的斜率％=±—.19.【2016年新课标3理科23】在直角坐标系中，曲线。的参数方程为卜=（a为参数），以iy=sina坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为psin（e+与）=2V2.（1）写出G的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在G上，点。在C2上，求|尸0|的最小值及此时尸的直角坐标.【答案】解：（1）曲线。的参数方程为卜=8c°sa（a为参数），ly=sinax2移项后两边平方可得W+^2=cos2a+sin2a=1,x2即有椭圆Ci：—+/=1；曲线C2的极坐标方程为psin（0+J）=2V2,即有p（-^sin0+^cos0）=2a/2,由x=pcosB,y=psin。，可得x4^-4=0,即有Ci的直角坐标方程为直线x+y-4=0；（2）由题意可得当直线x+y・4=0的平行线与椭圆相切时，|尸。取得最值.设与直线x+y-4=0平行的直线方程为x+y+t=0,联立21可得4^+6£¥+3?-3=0,由直线与椭圆相切，可得△=363-16⑶2-3)=0,解得，=±2,显然，=-2时，/0|取得最小值，即有|尸0|=吃甲=企，VAT1此时4W-12x+9=0,解得x=\3 1即为P(-,-).另解：设尸(JIcosa,sina),由P到直线的距离为d= 犁呼-4||2sE(a+g)-4|= 42 '当sin(a+J)=1时，|P0的最小值为我，31此时可取a=［即有P(-,-).o 2220.【2015年新课标1理科23】在直角坐标系中，直线Ci：x=-2,圆C2：(x-1)2+Cy-2)2=1,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求Ci，C2的极坐标方程；(II)若直线。3的极坐标方程为。=/(p€R)，设C2与。3的交点为A/，N,求△C2A/N的面积.【答案】解：(I)由于x=pcos。，y=psin0,/.Ci：x=-2的极坐标方程为pcos0=-2,故Q：(X-1)2+(y-2)2=1的极坐标方程为：(pcos0-1)2+(psin0-2)2=1,化简可得p?-(2pcos04-4psin0)+4=0.(11)把直线C3的极坐标方程。=今(pGR)代入圆Q：(x-1)2+(y-2)2=1,可得p2-(2pcos0+4psin0)+4=0,

/\C2MN的面积为hC1M*C3=其中OWap=2V3cos0求C2与C3交点的直角坐标C2/\C2MN的面积为hC1M*C3=其中OWap=2V3cos0求C2与C3交点的直角坐标C2与C3交点的直角坐标为曲线C1pWO),(2sina\2sina-2y/3cosa\=4|sin(a若。与C2相交于点4，Ci与C3相交于点从求只用的最大值由曲线。2：p=2sin0,化为p2=2psinB【2015年新课标2理科23】在直角坐标系中，曲线。为x=0(yW0).其极坐标方程为：0=a在以。为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线。2：p=2sin0|A/^=|pi-p2|=V2,由于圆C2的半径为1，・・・C2A/«LC2Mtcosaz江公立匕 ,八tsina0为参数'tcosa„(，为参数，化为普通方程：y=xtana,其中OWaWn,L»I，vlX当。=等时，M网取得最大值4.2 722.【2014年新课标1理科23】已知曲线C：；+5=1,直线/：俨=：+G为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线/的普通方程.(II)过曲线C上任意一点P作与/夹角为30°的直线，交/于点儿求|以|的最大值与最小值.， y2【答案】解：(I)对于曲线C：—4--=1,可令x=2cos。、^=3sin0,故曲线C的参数方程为霭，(。为参数).对于直线/;2=;+;%,{y=2-2t②由①得：t=x-2,代入②并整理得：2x+y-6=0；(1[)设曲线C上任意一点尸(2cos。，3sin6).P到直线I的距离为d=争\4cos6+3sin0-6|.则仍川=/市=坐|55出(9+。)-6|,其中a为锐角•，。…。….22>/5当sin(0+a)=-1时，|刃|取得最大值，最大值为-$-•，。一 2V5当sin(0+a)=1时，|因取得最小值，最小值为23.【2014年新课标2理科23】在直角坐标系xQy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，71半圆C的极坐标方程为p=2cos0,0G[O,-](I)求C的参数方程；(II)设点。在半圆C上，半圆C在。处的切线与直线/：y=Wx+2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，求直线C。的倾斜角及。的坐标.【答案】解：(1)由半圆C的极坐标方程为p=2cos。，0G[O,今，即p2=2pcos。，可得C的普通方程为(x-1)2+j?=1(O0W1).可得C的参数方程为匕(，为参数，04„).(2)设。(l+cosf,sinf),由(1)知C是以C(1,0)为圆心，1为半径的上半圆，•.•直线8的斜率与直线/的斜率相等，...tanuH,r=*故。的直角坐标为(1+cos?,sin?)，即(彳，24.【2013年新课标1理科23】已知曲线0的参数方程为兽二吃(f为参数)，以坐标原点为极点，(y-DiOSITLUX轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为P=2sin。.(1)把Ci的参数方程化为极坐标方程；(2)求G与C2交点的极坐标(p'O,0^e<2n).【答案】解：⑴将黑，消去参数，，化为普通方程(x-4)2+("5)2=25,即Ci：x2-^-8x-10y+16=0,将］；二部;代入-8x-10尹16=0，得p2-8pcos0-lOpsin0+16=O..*.Ci的极坐标方程为p2-8pcos0-10psin0+l6=0.(2)一曲线C2的极坐标方程为p=2sin0.・•・曲线Ci的直角坐标方程为?+/-2y=0,侬.(x24-y2-8x-10y4-16=0(x2+y2-2y=0解得e：网*>-Ci与。2交点的极坐标为(&，?)和(2,25.【2013年新课标2理科231已知动点尸、。都在曲线C： ;甯邛为参数)上，对应参数分别为。=。与0=201(0<a<2ir),A/为尸。的中点.(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断A7的轨迹是否过坐标原点.【答案】解：(1)依题意有P(2cosa»2sina),Q(2cos2a»2sin2案,因此A/(cosa+cos2a,sina+sin2a).M的轨迹的参数方程%：髭黑冷口为参数，0<a<2n).M点到坐标原点的距离d=J"+y2=-2+2cosa(0<a<2n).当a=7i时，t/=0,故A/的轨迹过坐标原点..・••⑥模拟好题'一..在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(a为参数)，直线/的参数方程为｛；;耍；(f为参数)，设原点O在圆C的内部，直线/与圆C交于M,N两点；以。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线/和圆C的极坐标方程；(2)求证：|0ME+|0N|2为定值.【答案】(1)。=?(P6R)；p2-(2acos8)p+a2-4=0.(2)证明见解析.【解析】(1)将宜线/的参数方程化为普通方程，得丫=》，所以直线/的极坐标方程为0=：S6R);将圆C的参数方程化为直角坐标方程,得(x-a)2+y2=4,所以圆C的极坐标方程为p2-(2acos0)p+a2-4=0.(2)证明：将。=；弋入p2—(2acos9)p+a?—4=0,得p2—&ap+a?—4=0.则Pi+P2=V2a,pip2=a2—4>所以|OM产+|O/V|2=pf+ =(Pi+P2)2—2Plp2=(V2a)2—2(a2—4)=8,故|OM|2+|ON|2为定值..在直角坐标系中，曲线C的参数方程为二2;fJ击(。为参数)，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为2085。-7^«也。+11=0(1)求曲线C的普通方程和直线I的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线，距离的最大值.【答案】(l)(x-1)2+(y+V3)2=4；2x-V3y+11=0(2)16近+14【解析】(1)曲线C的参数方程为I；二看:;9：击(8为参数)，则曲线C的普通方程为(x-I)2+(y+V3)2=4,将｛：二黑:代入直线I的极坐标方程为2pcos0-V3psin0+11=0.可得直线I的直角坐标方程为2x-何+11=0;(2)曲线C的普通方程为(X-l)2+(y+0)2=4,其圆心为(1,-6)，圆心(1,—V5)到直线2x-V3y+11=0的距离为：d=，裳：；"=,故曲线C上的点到直线，距离的最大值为畋+2=曳左上7 7.在平面直角坐标系xOy中，直线/过点4(-2,-4),倾斜角为a.曲线C的参数方程为|；二彳；(/为参数).(1)设。=与，P,0分别为直线/和曲线C上的两个动点，求|PQ|的最小值；(2)若直线/和曲线C交于M,N两点，且|4M|,|MN|,|AN|成等比数列，求tana的值.【答案】(1号；(2)-［或1.【解析】(1)当。=与时，直线，的斜率卜=tana=-1,则直线，的方程为y+4=-(x+2),即x+y+6=0,设Q(2t2,2t),则Q到直线，的距离为d=固等1,V2又2t2+2£+6=2«+力2+与吟所以小=善=竽,即IPQI的最小值为苧：Q)由«为参数)，得曲线C的普通方程为y2=2x,由题意得直线I的参数方程为忧一：：鬻。(t为参数)，——什tLbiiiu代入曲线C的普通方程得sin2at2—(8sina+2cosa)t4-20=0(sina*0),A=(8sina+2cosa)2—80sin2a>0,由cosa工0,得1+8tana-4tan2a>0,设“(-2+mcosa,-4+msina)、N(—2+ncosa,-4+nsina),.8sina+2cosa 204c则m4-n= 5 ,mn=-厂>0,siMa sm“a又14Ml=J(-2+mcosa+2/+(4+msina-4尸=yjm2(cos2a4-sin2a)=|m|»同理，|AN|=|n|,\MN\=\m-n\9因为|4M|、|MN|、14M成等比数列,所以|MN『=\AM\\AN\,即|m-n|2=\m\\n\.所以(m+n)2—4mn=mn,BP(m+n)2=5mn,即(8s】na+josa)2_化简得9sjn2a—8sinacosa—cos2a=0,sin,a smxa即9tan2a—8tana—1=0,解得tana=—，或tana=1,当tana=—机t,1+8tana—4tan2a=^->0»符合题意，当tana=1时，1+8tana—4tan2a=5>0,符合题意，所以tana=-或tana=1..在直角坐标系xOy中，曲线Ci的方程为/+⑶-1)2=i.p为曲线Q上一动点，且欠=2炉，点Q的轨迹为曲线C2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线Ci，C2的极坐标方程；(2)曲线C3的极坐标方程为p2=W而，点M为曲线C3上一动点，求IMQI的最大值.【答案】(l)p=2sin0；p-4sind(2)5【解析】⑴由题意可知，将［j二黑:代入好+(y-1)2=1得。=2sin。，则曲线Cl的极坐标方程为p=2sin8,设点P的极坐标为(Po，Bo),则po=2sinM，点Q的极坐标为(p,0),由的=2加得即｝°=^P,将］P°一5P代入po=2sin&o得p=4sin。，I。=。0所以点Q轨迹曲线的极坐标方程为P=4sin。：(2)曲线C3直角坐标方程为三+y?=1,设点M(&cos仍sir)w)，曲线C2的直角坐标方程为d+(y-2)2=4,则圆心为N(0,2),iMQlmax=|MN|max+2，即|MN|=J(V2cos(p)2+(sin乎-2)2=J-s\n2(p—4sin(p+6当sin@=-l时，|MN|max=3，所以|MQ|max=3+2=5..在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为：(t为参数,ae(0，))，以坐标原点为极—±ILolllLc \Z/点，X轴的非负半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为pcos0=4tan0.(1)求曲线G的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知点P(0,l),设曲线Ci与曲线C2的交点分别为4,B,若西•闻=一2,求a.【答案】(l)y=xtana+1,(a6(0匕))，x2=4y(2)不存在【解析】⑴由题｛、,X=f两式相除化简有C1的普通方程为y=Xtana+l,ae(0』)，%,pcosO=4tan0:.pcos20=4sin0・••p2cos28=4psin0:.x2=4y•・•Cz的直角坐标方程为：x2=4yy—/,pQczy(2)将0=i+公皿。('为参数)代入%?=4y中得，12cos2q-4tsina-4=0设AB对应的参数分别为则h•t2=-熹"''PAPB=-2-SPii-t2=-2,即cos2a=2>1,・••满足条件的a不存在.在平面直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为为参数).以坐标原点.为极点，》轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为。=(p(pGR).(1)求Ci的极坐标方程；(2)设Ci与C?交于M,N两点，若|0M|+|0N|=4近，求C2的直角坐标方程.【答案】⑴p2—4psin0-5=0(2)V3x±y=0【解析】(1)因为C】的参数方程为j(a为参数)，所以消去参数a可得G的直角坐标方程为/+(y-2)2=9,即+y2_4y-5=0,又I。%1:,所以Ci的极坐标方程为p2-4psin0-5=0.⑵由于G与C2交于MN两点，联立/‘-4噜些-S=°得p2一4psins-5=0,kb一(p设M,N两点所对应的极径为Pm，Pn，则Pm+Pn=^in(p,pMpN=-5,故|0M|+\0N\=\pM-pN\=JSm+Pn)?-4pmPn=JlGsiMw-4x(-5)=472.整理得si/.,则si”=士冬所以Q的直角坐标方程为百刀±y=0..在平面直角坐标系中，已知直线/：mx+y-2m=0(me/?).以平面直角坐标系的原点。为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为p=4(cos0+sin0).(1)求直线/的极坐标方程和圆C的一个参数方程；(2)若直线/与圆C交于4B两点,且伏阴=2述，求机的值.【答案】(l)wipcos。+psinO-2m=0, -+2V2cost:[y=2+2v2sint(2)±1.【解析】⑴将=黑;代入mx+y-2m=0(meR)得：p(mcos0+sin。)=2m=mpcosd+psin3—2m=0.即直线/的极坐标方程为mpcos。+psind-2m=0.由圆C的极坐标方程为p=4(cos0+sin。)可得：p2=4P(cos。+sin。)="+y2—4%_4y=°=(%-2)2+3-2)2=8故圆C的参数方程为卜=：+^cost(y=2+2v2sint(2)点C(2,2)到直线/：mx+y—2m=0(m6R)的距离d=^==-^=则2m一(扁)，==2通n品=2nm=±1..在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点4的极坐标为(2,小,将点A按逆时针方向旋转g得到点B,按顺时针方向转g得到点C.(1)求点B和点C的极坐标，并求点8和点C的直角坐标；(2)设P为坐标系中的任意一点，求|尸川2+21PBi2+|PC『的最小值.【答案】(1)点B和点。的极坐标分别为(2m),卜,弓)，点B和点C的直角坐标分别为(一2,0),(1,-V3)(2)15【解析】⑴由极坐标的定义可得点B和点C的极坐标分别为(2,n),(2,专)，则点B和点C的直角坐标分别为(一2,0),(1,-73).(2)因为4的极坐标为(2,与，所以A的直角坐标为(1,、⑸.设P的直角坐标为(x,y),则|PA|2+21PBi24-\PC\2=(x-1)2+(y—⑹'+2[(x+2)2+y2]+(x-I)2+(y+V3)2Z1x2=4(%+-]+4y2+15,当*=一/y=0时，PA2+2PB2+PC2取得最小值，且最小值为15.(%=&+立t.在平面直角坐标系中，直线，的参数方程为1 52 (t为参数)，以坐标原点。为极点，x轴的正半Iy=Tt轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为p2-2pcos。+2apsin。-1=0.(1)写出，的普通方程和曲线C的参数方程；(2)点P在圆C上，当点P到直线，的距离最大时，求点P的直角坐标.【答案］(l)x_y—&=0，［y__a+2sin(p(9为参数)(2)P(1+V2,-2V2)【解析】(x=VI+条⑴由’夜 可得x-y=V^(y-t所以I的普通方程为x—y—V2=0»由p2—2pcos0+2y/2ps\n6-1=0可得/4-y2—2%+2V2y—1=0»所以曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+(y+⑨2=4,参数方程为｛y1二6(W为参数).(2)设点P(1+2cos(p,-V2+2sin<p),则点P至〃的距离d=|1+28$。+k5汨。-回=卜-2空(T|,所以sin(9—J=—1时，d最大，此时9=2/ctt-WZ),cos(p=—»s\n(p=——♦所以P(l+.在平面直角坐标系X0y中，曲线的参数方程为言::其中，为参数，ae［0,7r),曲线C2的参数方程为卜=2+*cos。,(0为参数).以坐标原点。为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.(1)求曲线Cl，。2的极坐标方程；rr 1 1(2)若a=7,曲线Ci，C2交于M,N两点，求两+两的值.【答案】(1)。=a(peR),p2—4pcos0+1=0(2)272【解析】(1)依题意，曲线C］的普通方程为cosa•y—sina-x=0,即曲线Ci的极坐标方程为。=a(p6R).

曲线Q的普通方程为(x-2)2+y2=3,即/+y2-4x+1=0,故曲线C2的极坐标方程为p2—4pcos0+1=0.⑵由a=?,得8=**T将。=(代入曲线的极坐标方程p2-4pcos0+1=0中,可得p2-2&p+l=0，设上述方程的两根分别是Pi，p2<则P1P2=1，pi+p2=2V2>TOC\o"1-5"\h\z故_L+_L=IOMI+3!=如+1叨=2/|OM||ON||OM||OW|IpiIIpjI ,.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1二募：；：：弱;皿⑺为参数).以坐标原点为极点,X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方程为pcos(0+9=-V2.(1)求曲线C和直线/的直角坐标方程；1 1(2)已知点P(-1,1),直线I和曲线C相交于M、N两点，求而疝+两的值【答案】(14+e=1,x-y+2=0；2 6⑵遍【解析】cosa，限+:cosa,(x—cosa+sina/口|sina■)由［y=V3cosa-V3sinaff)岳-：sina\~1V3利用sin2a+cos2a=1,得14-y=1,即为C的普通方程，由pcos(e+g=-V2,得p(cos6cos：-sinJsin：)=-V2,即pcos。-psin3=—2,即无一y=—2,直线!的直角坐标方程为％—y+2=0；(x=-1+%(2)点尸在直线，上，可得其参数方程为《 (t为参数)，"1+7所以口+所以口+与二鱼，口匕=一1，亡1/2不同号・].]_ 1_2__ItiFl_J(t1+t2)2-4at2=rz两十两一而十两一向01―ihtd—Y•12.已知中心在原点，焦点为Fi(—2,0),F2(2,0)的椭圆经过点弓,一日).

(1)求椭圆方程;(2)若M是椭圆上任意一点,MQ交椭圆于点4M&交椭圆于点8,求爆+器的值.【答案】⑴/Al：⑵苓【解析】(1)设椭圆方程为/+%=l(a>b>0).由椭圆定义知：2a=2+(~|)2+J(|-2)2+(-1)2=2V10.即。=m，又由椭圆定义知：2a=••・••・尼=。2一/=6,故椭圆方程为(+9=L(2)法一：以左焦点为极点，瓦瓦为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为。=匚爆(e为离心率且p=--c).设M(P1，。)，4s2，乃+。)，则IMF1I=P1 俨1川.IMF1I_l+ecose.IMF1I_l+ecose_ 2 _1pnIMFil_，•|Fi川-l-ecos0-l-ecos0，⑷|力川一2|MFi|-1.同理,有篇2|MF2| 1・|MFj|・|MFj| |MF2|=2\MF1\**IF\A\ \F2B\~ep_]+21M>2l_1=2(囹/3+附&1)n4a2 4x10o14-2=-^--2=--2=T法二：设M,A,Fi在左准线刀=一包上的射影分别为Mi，Q,如下图,.♦.也如|=修，|F1Q|=y-C=^.如1|=字MiMFii由相似形及和分比定理得耨="腓1=立舟=墨等!=曙，ce c' 1 cIMFd_2\MFX\ |MF2|_2\MF2\工府—一^F■一I同理，得两一一^""一Ic cIMFjI,|MF2| 2f...r.t..c4a2 40n14•,•,+,=/(|MFil+晔1)-2=不-2=「2=不C13.在直角坐标系xOy中，直线，的参数方程为｛丫 UeR,t为参数ae(0,号).以坐标原点0为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为p=2sin，,ee(^^).(1)求半圆C的参数方程和直线，的直角坐标方程；(2)直线，与x轴交于点4与y轴交于点B,点D在半圆C上,且直线CD的倾斜角是直线I的倾斜角的2倍,△ABD的面积为1+6，求a的值.【答案】⑴C： (“为参数，＜pG(0.7T)),/：y=xtana-2,aE(0,0；(2)a=g【解析】(1)半圆C的参数方程为(其中3为参数，＜pG(0,7r)),直线，的直角坐标方程为y=xtana-2,ae(0().(2)由题意可知，可设。(cos2a,1+sin2a),其中aW(0,小所以点。到直线48的距离为：d=gnsja-a；=)/Vl+tanza=|sinacos2a-cosasin2a—3cosa|=sina+3cosa,又"(高，。)*(0,一2),••.|AB|=J(_2)2+(导)2=高，三角形480的面积S=7, ,d=--――•（sina+3cosa）=1+—^―=14-V3.2 2sina tana・•・tana=V3»又ae（0,5，•••a=（14.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的参数方程为a为参数,曲线Ci上的点4B的极坐标分别为4（。1，。1）,8（。2，。2），。2-%=90二-/sina,（1）过O作线段AB的垂线，垂足为“，求点〃的轨迹。2的直角坐标方程；（2）求4B两点间的距离的取值范围.【答案】（1）x2+y2=g；（2）[誓,VH]【解析】（1）因为曲线C1的参数方程为｛；Z贬：所以曲线G的普通方程为5+3=1.因为曲线。1上的点48的极坐标分别为491，%）,8（。2，。2），。2—%=90°，所以点4B的直角坐标分别为4（P1cos%,PiSin。）B（p2cos（。]+90°）,p2sin（e[+90"）,代入曲线Cl的方程得 +（Pis,）2= +（P2C；0|）Z=],[X[、l（cos0i）2,（sin0i）2_1（sin«i）2,（cos0i）2_1加以一~十一百‘F-十一潦所以两个式子相加得高+3书+:/.由题意可知OHAB=OA-0B,所以。"2=黑森=黯=符，所以点，的轨迹是圆，所以点，的轨迹C2的方程为d+y2=器.4B两点间的距离为|4B|=Jpj+p乡，设》=。：6[4,9],则澧=三合，令函数“X）=x+ =^;，13x-36 13x-36所以f（X）=:需聚）,所以“X）在区间卜用上是减函数，在区间售,9]上是增函数.又f（4）=f（9）=13,f0|）=詈，

.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为P= % 曲线C的参数方程为底为参数).2sin (y=2V2s(1)若直线h平行于直线l,且与曲线c只有一个公共点，求直线。的方程；(2)若直线I与曲线C交于两点P,Q,求APQ。的面积.【答案】(1)y=x+l；(2)2V2.【解析】(I)因为直线/的极坐标方程为。=丁冷不zsm^x+-itj所以化为平面直角坐标系下的方程为x-y-1=0,因为曲线C的参数方程为［(S为参数)，所以化为普通方程为y2=4x.因为直线h平行于直线I,所以可设直线"的方程为y=x+m,代入曲线C的方程，可得/+(2m—4)x+m2=0,因为直线。与曲线C只有一个公共点，所以4=(2m—4)2—4m2=0,解得m=1,所以直线。的方程为y=%+1.(2)由(1)知直线［的方程为x-y-1=0,曲线。的方程为y2=4x,联立方程组“ j°,整理得/-6冗+1=0,所以％1+%2=6,xxx2=1»所以弦长|PQ|=Vl+l|Xi-x2\= +小)2—4/小=8，点。到直线，的距离为d=悬=今，所以△PQ。的面积为5=x8x-X=2V2..在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为(2,将点A按逆时针方向旋转等得到点B,按顺时针方向转？得到点C.(1)求点5和点C的极坐标，并求点8和点C的直角坐标：⑵设P为坐标系中的任意一点，求PF+