用mathematica解傅里叶级数

北京交通大学理学院用mathematica解傅里叶级数一、 前言：法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，后世称为傅里叶级数。一种特殊的三角级数。法国数学家傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。二、 问题描述：设f(X)是周期为2n的周期函数，它在［-n,n)上的表达式为打i」心「更艺”0，将f10, 0丢艾＜叭(x)展开成傅里叶级数。三、 问题分析：我们学过的《数学分析》书中，关于函数的傅里叶级数展开式主要有下面两个基本定理。定理1:若以2l为周期的函数f在［-L,L］上按段光滑，则f的傅里叶级数在每一点x处收敛于1/2［f(x-0)+f(x+0)］定理2:若以2L为周期的函数f在［-L,L］内至多有有限多个第一类间断点和至多只有有限个极值点，则对每一点x€(-8,+°°),f(x)的傅里叶级数收敛于1/2［f(x-0)+f(x+0)］。/(x)的傅里叶系数满足如下公式：an=丄门/(x)cos ??^0,1,2,3^ brt=+a)dn岁山¥若将/(a)看作IU2W为周期的函数，则/(Y)的傅里叶系数公式为：因此用数学方法解得：因此用数学方法解得：解：(1)计算/'(>)的傅里叶系数：他七轨g=bn=—a)sin?ncIa=—/vsinmdx=x-蚩 7t-i* fj四、问题求解：用mathematica编写程序如下a0=l/Pi*(Integrate[x,{x,0,Pi}]) (*计算a0*)an=1/Pi*(Integrate[x*Cos[n*x],{x,0,Pi}])(*计算an*)bn=1/Pi*(Integrate[x*Sin[n*x],{x,0,Pi}])(*计算bn*)f[x_]:=Which[—3Pi<=x<-2Pi,0,-2Pi<=x<—Pi,x+2Pi,-Pi<=x<0,0,0<=x<Pi,x,Pi<=x<2Pi,0,2Pi<=x<=3Pi,x—2Pi];(*分段函数*)For[i=1,i<40,i+=5,fu[x_]:=a0/2+Sum[an*Cos[n*x]+bn*Sin[n*x],{n,1,i}]]（*8个不同级富里埃级数*）程序及运行结果如下截图:Untitled-7*In[92]：=aO=1/Pi*(Integrate[x^{x^0』Pi}])an=1/Pi*(Integrate[x*Cos[n*x],r{x_r0_rPi}])l)n=1/Pi*(Integrate[x*Sin[n*x].r0』Pi}])f[x_]:=Vniich[-3Pix=：-2Pi,0,-2Pix=：-Pi,x+2Pi,-Pix0,0x=：Pi,x,Pix=：2Pi,0,2Pix3Pi,x-2Pi];For[i=1,i-=：40,i+=5,fu[ji^]:=aO/2+Sum[an*Cos[nwx]+bnwSin[nwx]』{n, i}]];TTOut[92]=一2-1+Cos[n.Tr]+nASin[n.7r]'="Jt[y：j]= r -nACos[n.TT]+Sin[nA]'："Jt[y4]= 、 n"tv用作图显示富里埃级数逼近f(x)的图形，则用Plot作图法输入：Plot[{f[x],fu[x]}, {x,-3Pi,3Pi},PlotStyle一〉{RGBColor[l,0,0],RGBColor[0,0,1]},PlotRange