江苏省南京市秦淮区六校联考2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试题（解析版）

2021-2022学年度第二学期第一阶段学业质量监测试卷

八年级数学一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.下列图形中，是中心对称图形而不一定是轴对称图形的是（ ）A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等边三角形【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【详解】解：A.平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；B.矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；C.菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；D.等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：A.【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.2.下列调查中，适合用抽样调查的是（）A.订购校服时了解学生衣服的尺寸 B.考察一批炮弹的杀伤半径C.疫情期间了解全校师生是否完成核酸检测 D.对登机的旅客进行安全检查【答案】B【解析】【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似.【详解】解：A.订购校服时了解学生衣服的尺寸，适合全面调查，不符合题意；B.考察一批炮弹的杀伤半径，适合抽样调查，符合题意；C.疫情期间了解全校师生是否完成核酸检测，适合全面调查，不符合题意；D.对登机的旅客进行安全检查，适合全面调查，不符合题意；故选:B.【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，

对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查.3.下列事件中，确定事件是（ ）A.打开电视机，正在播放广告 B.买一张电影票，座位号是奇数号C.3天内会下雨 D.13个人中至少有2人生日在同一个月【答案】D【解析】【分析】根据确定事件是肯定发生或肯定不发生的来判断即可.【详解】A.打开电视机，正在播放广告是随机事件，故不符合题意：B.买一张电影票，座位号是奇数号是随机事件，故不符合题意：3天内会下雨是随机事件，故不符合题意：13个人中至少有2人生日在同一个月，是必然事件，故符合题意.故选：D.【点睛】本题考查随机事件与必然事件，掌握两者的概念是解题关键.4.学校想用60m长的栅栏围成一个花坛，进行了设计方案征集.如图，学校收集了4种不同的方案，其中，不符合要求的方案是（）【解析】【分析】分别求出图中的周长，然后与60m进行比较即可得出答案.【详解】解：A.图中长方形的周长为：2x（20+10）=60（m）,此方案符合要求，故A不符合题意；B.图形的周长为：2x（20+10）=60（m）,此方案符合要求，故B不符合题意；C.图中平行四边形左、右两侧的边长大于10m,所以图形的周长大于2x（10+20）=60（m）,此方案不符合要求，故C符合题意：D.图形的周长为：2x（20+10）=60（m）,此方案符合要求，故D不符合题意.故选：C.【点睛】本题主要考查了图形周长的计算和图形的平行特点，熟练掌握平移的特点，是解题的关键.

5.如图，正方形ABC。中，点M、N是对角线8。上的两点，且NM4N=45°.若BM=2,DN=3,则A/N的长为（）A.加4V13A.加4V13 D.5【答案】C【解析】【分析】将aABM绕点A逆时针旋转90。得到aA。”，连接NH,证明△AMNgaAHN,可得MN=HN,Rt^HDN中,有“MnOM+OM,即可求得结果.【详解】解：将aABM绕点A逆时针旋转90。得到△AOH,连接NH,H,/NMAN=45°,二NMAN=NHAN=45：'：4ABM绕点4逆时针旋转90。得到"O"，：.AH^AM,BM=DH=2,NABM=NALW=45°,又,：AN=AN,MAMN沿3AHN(SAS),：.MN=HN,•：ZNDH=ZABM+ZADW=45o+45o=90°,MN=HN=ylDH2+DN2=^22+32=V13-故选：C.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定定理和正确作辅助线是解题关键..四边形A8C。的对角线AC、BO相交于点0.下列条件：①A£）〃BC；②AO=BC；③NBAD=NBCD；④OA=OC中，任意选择其中的2个条件组成一组，一定能判定四边形48co是平行四边形的有（）A.3组 B.4组 C.5组 D.6组【答案】A【解析】【分析】由平行四边形的判定和全等三角形的判定与性质即可得出结论.【详解】解：共有3组可能：①②，①③，①④，理由如下：选择①②，'.'AD//BC,AD=BC,二四边形ABCD是平行四边形；选择①③，,：AD//BC,：.ZBAD+ZABC=180°,,:NBAD=NBCD,：.ZBCD+ZABC=\SO0,：.AB//CD,.•.四边形ABCD是平行四边形;选择①④，二ZOAD=ZOCB,在△400与△COB中，[ZOAD=40cB0A=0C,[ZAOD=NCOB：.△AOD9ACOB,：.AD=BC,:.四边形ABCD为平行四边形.故选：A.【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键.二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）.在oABCD中，NA=80°,则NC=.【答案】80°【解析】【分析】利用平行四边形的对角相等，进而求出即可.【详解】•••四边形ABCO是平行四边形，ZA=ZC=80°.故答案为80°.【点睛】考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键..某班级40名学生在一次考试中，分数段在90〜100分的频率为0.15,则该班级在这个分数段内的学生有人.【答案】6【解析】【分析】根据频数=频率X总数，进行计算即可解答.【详解】解：由题意得：40X0.15=6,,该班级在这个分数段内的学生有6人，故答案为：6.【点睛】本题考查了频数与频率，熟练掌握频数=频率X总数是解题的关键..在空气的成分中，氮气约占78%,氧气约占21%,其他微量气体约占1%.若要表示以上信息，最合适的统计图是.【答案】扇形统计图【解析】【分析】分析三种统计图的特征，根据给出的空气成分的百分比，即可得出结论【详解】解：•.•在空气的成分中，氮气约占78%,氧气约占21%,其他微量气体约占1%,条形统计图要知道具体的数目，折线统计图也需要知道具体的数目，不适合，扇形统计图只要知道所占百分比，为此最合适的统计图是扇形统计图，故答案为：扇形统计图.【点睛】本题考查扇形统计图的应用，掌握扇形统计图的特征是解题关键.10.一个不透明袋中装有2个白球和1个红球，每个球除颜色外都相同，搅匀后从袋中摸球.据此，请你写出一个随机事件.【答案】从袋中随机摸一个球恰好是白球（答案不唯一）【解析】【分析】根据随机事件的定义，即可解答.随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件.【详解】解：一个不透明袋中装有2个白球和1个红球，每个球除颜色外都相同，搅匀后从袋中摸球.据此，写出一个随机事件：从袋中随机摸一个球恰好是白球（答案不唯一）；故答案为：从袋中随机摸一个球恰好是白球（答案不唯一）.【点睛】本题考查了随机事件，掌握随机事件的定义是解题的关键..如图，aABC绕点A顺时针旋转100。得到aAEF，若NE47130。，则Na=°.A F【答案】70【解析】【分析】由旋转的性质可得NC4F=100,根据NE4F=3O。，即可得Na=NC4E=NCAF-N£4F=70。.【详解】解：；AABC绕点A顺时针旋转100。得到aAEF,二ZCAF=l00°,,:ZEAF=30°,：.Za=ZCAE=ZCAF-ZEAF=10°,故答案为：70.【点睛】本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握旋转的性质..如图，矩形ABCO中，NAOB=60。，AB=2,则BC的长为.【答案】2G【解析】【分析】由矩形的性质可得NA6C=90°,AO=BO=CO,再证aAOB是等边三角形，得AB=AO=BO=CO=2,然后由勾股定理可求BC的长.【详解】解：；四边形A8C3是矩形，/.ZABC=90°,AO=CO=-AC,BO=DO=-BD,AC=BD,2 2/.AO=BO=CO,且408=60°,，“OB是等边三角形，AB=AO=BO=CO=2»/.AC=4,BC=yjAC2-AB2=4-22=2百，故答案为：2百.【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识；求出AC的长是本题的关键..如图，菱形ABCD的边长是2cm,E是AB的中点，且DE_LAB,则菱形ABCD的面积为 cm2.【答案】273【解析】【详解】解：:E是AB的中点,.•.AE=1,VDE±AB,.,.DE=722-12=V3-..•菱形的面积为：2xG=26.故答案为2G..如图，A、8两点的坐标分别为(5,0)、(1,3),C是平面直角坐标系内一点.若四边形OABC是菱形，则点C的坐标为—【答案】(-4,3)【解析】【分析】由菱形的性质可得8C=AO=5,AO//BC,即可求解.【详解】解：；点A(5,0),.,.OA=5,•四边形。ABC是菱形，：.BC=AO=5,AO//BC,•.•点8(1,3),:.点C(-4,3),故答案为：(-4,3).【点睛】本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，掌握菱形的性质是解题的关键.15.如图，矩形ABCO中，点E在AD上,且EB平分NAEC,若AB=3,AE=l,则△8EC的面积为【答案】—2【解析】【分析】根据矩形的性质和角平分线定义可得CE=BC,然后根据勾股定理可得BC,进而可以解决问题.【详解】解：在矩形A8CC中，ZD=90°,AD//BC,CD=AB=3,AD=BC,：.NAEB=NEBC,平分NAEC,NAEB=NCEB,•\NCBE=NCEB,：.CE=BC,'：CD=AB=3,AE=\,：.DE^AD-AE^BC-\,在用△CEO中，根据勾股定理得:CE2=DE2+CD2，即=(3。一1尸+32,解得BC=5,/.△8£C的面积为=1xBC-4B=1x5x3=竺.2 2 2故答案为：—2【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，关键是根据矩形的性质和等腰三角形的判定和性质解答.16.如图，正方形ABC。的边长为6,E为DC的中点,G、尸分别为AD、BC边上的点，若OG=2,NGEF=90。,则GF的长为.1G/)目BFC13【答案】—2【解析】【分析】由已知及勾股定理可求得GE的长，延长6£交8(?的延长线于点“，易得AGDEdHCE,由全等三角形的性质可得“E=GE,CH=DG,则由垂直平分线的性质定理得GF=”F：由勾股定理建立方程可求得CF的长，从而可求得GF的长.【详解】•••四边形48CC是正方形，：.ND=NBCD=90°,CD=6,，ND=NECH=90。,•••E为。C的中点，/.DE=CE=-CD=3,2在RsGOE中，由勾股定理得：GE=\lDG2+DE2=>/22+32=V13>如图，延长GE交BC的延长线于点H,在△GCE和△HCE中，ZD=ZECHDE=CE ,NDEG=ACEH:.△GDEgaHCE,：.HE=GE=V13，CH=DG=2,即点£是G”的中点，,/NG砂=90°由垂直平分线的性质定理得GF=HF=CF+CH=CF+2,在RtA”E尸中，由勾股定理得：EF-=FH2-HE2=(CF+2)2-13,在Rt^EFC中，由勾股定理得：EF2=CF2+CE2=CF2+9>由上可得方程：CF?+9=(。/+2)2—13,解得：CF=-,29 13：.GF=CF+2=-+2=—,2 213故答案为：—.2【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质定理等知识，其中构造辅助线得到全等三角形是本题的关键及难点.三、解答题（本大题共10小题，共68分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）.如图，在oABCD中，点E、F分别在AD和BC上，且AE=CF.求证：四边形EBFD是平行四边形.【答案】见解析【解析】【分析】根据四边形A8CC为平行四边形，得出AD=BC，再根据AE=CF得出,DE=BF,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得出答案.【详解】证明：•.•四边形ABCO为平行四边形，:.AD〃BC,AD=BC,,/AE=CF,：.AD-AE=BC-CF,即DE=BF,又DE\\BF,：.四边形EBFD是平行四边形.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是解题的关键..某校学生在劳动技能培训后参加了一次考核，考核成绩分为“不合格”、"合格”、"优秀”三个等级.随机抽取其中若干名学生的考核成绩并制成如下的统计图，己知培训后成绩“不合格”的人数和成绩“优秀”的人数相等.请回答下列问题：培训后考核成绩的条形统计图(1)本次抽样调查的样本容量是(2)将图①补充完整；(3)估计该校900名学生中，培训后考核成绩为“合格”的学生人数.【答案】(1)30 (2)见解析540人【解析】【分析】(1)根据优秀人数除以优秀人数所占圆心角即可得到样本容量；(2)由培训后成绩“不合格”的人数和成绩“优秀”的人数相等，得到“不合格”的人数，再得到合格人数即可补全图形；(3)根据培训后考核成绩为“合格”的学生人数所占比例乘以总数即可得到答案.【小问1详解】72样本容量为：6--=30,360故答案为：30.【小问2详解】由培训后成绩“不合格”的人数和成绩“优秀”的人数相等，不合格人数为6人，合格人数为:30-12=18人,补全图形如下：培训后考核成绩的条形统计图【小问3【小问3详解】30则该校900名学生中，培训后考核成绩为“合格”的学生人数为:Io900x—=540人30【点睛】本题考查用样本估计总体，条形统计图与扇形统计图，理解条形统计图得到各组所占比例是关键..某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如下图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据：转动转盘的次数〃100200300400500落在“谢谢参与”区域次数相296093122bni落在“谢谢参与”区域的频率一n0.290.30.31a0.296(1)完成上述表格：a=,b=；(2)若继续不停转动转盘，当〃很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近,假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是；(结果都精确到0.1)(3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为得到奖品“贴纸”的概率记为得到“谢谢参与”的概率记为鸟，则耳、鸟、A的大小关系是.(用“>”连接)【答案】(1))0.305,148(2)0.3,0.3 (3)P2>P3>PX【解析】【分析】(1)根据频率和频数的关系求得。和b的值即可；(2)利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可；(3)利用概率公式分别求得《、鸟、4的值后比较大小即可.【小问1详解】0=1224-400=0.305；6=500X0.296=148；故答案为：0.305；148；【小问2详解】若继续不停转动转盘，当"很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3,假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是0.3；故答案为：0.3,0.3；【小问3详解】Pt=-=-;P2=-=-tP3=—,105 '102 10二巴＞A＞七，故答案为：【点睛】本题考查的是统计的综合知识.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比..证明：对角线平分一组对角平行四边形是菱形.已知：如图，在qABCZ)中，.求证：oABCD是菱形.证明：【答案】8。平分NA8C,OB平分/ADC；证明见解析【解析】【分析】根据四边形4BCO为平行四边形，可得NADB=NDBC,再由8。平分NA5C,可得ZABD=NDBC,从而得到ZM)8=N4B£＞，进而得到A3=A。，即可求证.【详解】解：对角线8D平分NABC,08平分/ADC.证明：•.•四边形ABC。为平行四边形，/.AD//BC.：.ZADB=NDBC.平分NABC,：.ZABD=ZDBC.：.ZADB=ZABD./.AB=AD.又•••四边形ABCD为平行四边形，二四边形ABC。为菱形.【点睛】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定定理，平行四边形的性质

定理是解题的关键..如图，在平面直角坐标系中，已知△A8C三个顶点的坐标分别为A（-l,3）、8（T,4）、C（-2,l）.（1）画△ABC关于原点成中心对称的"BiG；（2）若点O在第二象限，且以点A、B、C、。为顶点的四边形是平行四边形，则。的坐标为.【答案】（1）见解析（2）（—5,2）,（-3,6）【解析】【分析】（1）先找出A、B、C三点关于原点的对称点Ai、Bi.Ch再顺次连接4、5、G即可得到△A4G.（2）分三种情况：①ABAC是平行四边形；②AOzBC是平行四边形；③4BC6是平行四边形.根据平移的性质分别求出9、。2、5的坐标，再判断。点是否在第二象限.【小问1详解】【小问【小问2详解】①四边形ABD}C是平行四边形时，CD,//AB,CD,=AB.根据平移的性质把A(-l,3)向左移3个单位，再向上移1个单位，就可得到8 4).因此将C(-2,1)向左移3个单位，再向上移1个单位，即可得到0(-5,2).②四边形A。28c是平行四边形时，AD2//CB,AD2=CB.根据平移的性质把C(-2,1)向左移2个单位，再向上移3个单位，就可得到8(-4,4)因此将A(-l,3)向左移2个单位，再向上移3个单位，就可得到。2(-3,6)③四边形ABC2,是平行四边形时，必"BC,AD3=BC.根据平移的性质把8(-4,4)向右移2个单位，再向下移3个单位，就可得到C(-2,1).因此将4-1,3)向右移2个单位，再向下移3个单位，即可得到。3(1,0),此时在x轴上，不符合题意，舍去.综上，满足条件。点的坐标为(-5,2),(-3,6).故答案为(-5,2),(-3,6).【点睛】本题主要考查了坐标系中的平移和旋转作图，熟练掌握平移或旋转前后点的坐标的变化关系是解题的关键..定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形.如图，四边形ABCO中，已知=BC=CD,所以该四边形是筝形.(1)结合图形，下列结论正确的有(填序号).®AC±BD； ②AC、8。互相平分；③AC平分 和NBC。： ④NB4D+N8CO=180°；⑤NABC=NA£>C； ⑥筝形ABC。的面积为'ACx3。2(2)选择(1)中的一个正确结论进行证明.【答案】(1)①③⑤⑥(2)见解析【解析】【分析】(1)结合图形，选出结论即可；(2)运用线段垂直平分线的判定与性质进行证明即可.【小问1详解】结合图形，可知①③⑤⑥正确，故答案为：①③⑤⑥【小问2详解】设AC、BD交点为0,如图，选①：VAB=AD,BC=CD,...点A、C在8。的垂直平分线上....AC是8。的垂直平分线./.AC±BD.选③：VAB=AD,BC=CD,...点A、C在8。的垂直平分线上.是80的垂直平分线.二AC±BD.在aABC中，又,.,AB=A£),.♦.AC平分ZS4D.同理AC平分NBC。.选⑤：VAB=AD,BC=CD,：.ZABD=ZADB,NCBD=NCDB./.ZABD+4CBD=ZADB+NCDB.ZABC=ZADC.选⑥：VAB=AD,BC=CD,...点A、C在8。的垂直平分线上，...AC是8。的垂直平分线.二AC±BD.S筝形=S三角形ABD+S三角形cbd=2丽xo^bd.oc=\bd^oc^bd^c【点睛】此题主要垂直平分线的判定与性质，解本题的关键是判断出AC是8。的垂直平分线.23.如图，矩形纸片ABCC中，AB=8,AD=\O,点尸是边BC上的动点.现将纸片折叠，使点A与点尸重合，折痕与边A。、48分别交于点E、F.(1)若BP=4,求BF的长；(2)要使折痕始终与边4。、AB有交点，则BP的取值范围是.【答案】(1)3 (2)4<BP<8【解析】【分析】(1)根据折叠的性质，矩形的性质，可得，AF^PF,NABP=90°,在RfAFBP中,勾股定理即可求解.(2)BP最小时，E、O重合，由折叠的性质知：AE=PE,在RAPEC中，利用勾股定理可求得PC的长，进而可求得8尸的值，即BP的最小值；8P最大时，尸、8重合，根据折叠的性质即可得到AB=BP=S,即BP的最大值为8；根据上述两种情况即可得到8P的取值范围.【小问1详解】由题意得，AF=PF,ZABP=90°,：AB=8,:.AF=PF=8-BF.在Rt/\FBP中，PF2=BF2+BP2，BP=4,：.(S-BF)2=BF2+42.【小问2详解】解：分两种情况：①如图，当E、。重合时，BP的值最小:根据折叠的性质知：AE=PE=\O,•在R/APEC中，PE=10,EC=8,：.PC=6,二附10-6=4；②当F、B重合时，8P的值最大;根据折叠的性质，即可得至IJA8=BP=8,即8P的最大值为8.综上所述，BP的取值范围是4WBPW8.故答案为：4<BP<S.【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理，注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.24.如图①，AC、BO是四边形ABC。的对角线，过点A、点C作8。的平行线，再过点8、点。作AC的平行线，得到四边形EFG”,我们称四边形EFG”是四边形ABC。的对角线四边形.(1)如图②，画出菱形ABCO的对角线四边形，判断其形状并说明理由；(2)矩形对角线四边形的形状是；(3)若四边形ABC。的对角线四边形是正方形，则四边形ABCO应该满足的条件是.【答案】(1)画图见解析；矩形；理由见解析(2)菱形(3)AC=BD,AC±BD【解析】【分析】(1)根据题意，画出图形，先证明四边形EFG”是平行四边形.再由四边形是菱形，可得ACLBD.即可求解；(2)根据题意，画出图形，先证明四边形四边形ACG”,四边形EFG”是平行四边形..再由四边形A8CO是矩形，可得AC=8D即可求解：(3)根据题意，画出图形，先证明四边形四边形ACG4是平行四边形.可得BD=EH,AC=HG,再由四边形EFGH是正方形，即可求解.【小问1详解】解：连接AC,BD,过点A、点C作8。的平行线，再过点8、点。作AC的平行线，得到四边形EFG”，画出如下图所示对角线四边形EFG”EDH昌“F BG四边形EFG/7是矩形.理由如下：'：FG//AC,EH//AC,：.FG//EH,,JDB//EF,DB//HG,J.EF//HG....四边形EFGH是平行四边形.,••四边形ABC。是菱形，/.ACJ.BD.J.EFVEH,即NE=90°,四边形EFGH是矩形.【小问2详解】解：如图，四边形EFG4是矩形48co的对角线四边形，

,:FG〃BD,EH〃BD,:,FG〃EH,,:AC〃EF,AC//HG,：.EF//HG.•・四边形四边形ACG”，四边形是平行四边形.:・BD=EH,AC=HGf・•四边形ABC。是矩形，:・AC=BD,:・EH=HG,・・四边形EFG”是菱形；故答案为：菱形【小问3详解】解：如图，正方形EFG”是四边形A5CO的对角线四边形，HE根据题意得：FG//BD,EH//BD,AC//EF,AC//HG,：.EF//HG.FG//EH9•・四边形四边形ACG〃是平行四边形.:.bd=eh9ac=hg,・,四边形EFG”是正方形，：.EH.LHGfEH=HG,:・AC=BD,ACLBD.故答案为：AC=BDtACYBD【点睛】本题主要考查了矩形和菱形的判定，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握矩形和菱形的判定，正方形的性质，平行四边形的判定和性质是解题的关键.25.已知直线/和直线外一点4,只利用圆规完成以下作图.（保留作图痕迹，不写画法）图① 图②（1）图①中，作点8,使（2）图②中，作点8、C、D,使A、B、C、。为矩形的四个顶点.【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形对应边相等的性质，过点A与直线/作平行四边形，即可得到点8.（2）①根据矩形的对角线平分且相等，作出点B、C、②根据线段的垂直平分线的性质及矩形对角线相等，作出点8、C、D.【小问1详解】如图1,以点A为圆心，一定的距离为半径，画圆弧，交直线/于点。；再以点。为圆心，任意长度为圆心，画圆弧，交直线/于点C：再以点A为圆心，QC为半径，画圆弧，以点C为圆心，AO为半径画圆弧，与上一条圆弧交于点B,即为所求.证明如下：'：AD=BC,AB=CD：.四边形ABC。是平行四边形/.AB//CD：.AB//1.【小问2详解】图1方法1：如图2,在直线/上任取一点。为圆心，点。与点A的距离为半径画圆，交直线/于8、C两点,再以点C为圆心，AB为半径画圆弧交圆于点。，点8、C、。即为所求.证明如下：•.•点A、B、C、。为圆0上的点/.AO=BO=CO=DOAB=CD：.MOBSD：.ZAOB=ZCOD：.ZAOB+ZAOC=Z.COD+ZAOC=180°.•.点A、O、。在一条直线上：.AD=BC四边形ABOC是矩形.图2方法2：如图3,以点A为圆心，适宜距离为半径画圆弧交直线/于两点，半径不变，再分别以两交点为圆心画圆弧交于一点£＞；在直线/上任取一点，以第一步圆弧与直线的交点之间的距离为半径，画圆弧交直线于一点，再分别以这两点为圆心，量取第一步的半径为半径，画圆弧交于点8、C,点B、C、O即为所求.证明如下：,：AB,力C是线段"7、HE的垂直平分线，FH=EH：.AH=BH=DH=CH：.AC=BD•••四边形ABC。是矩形.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质；解题的关键是掌握平行四边形的性质，矩形的性质.26.数学问题；如图①，正方形A8CO中，点E是对角线AC上任意一点，过点E作砂_LAC,垂足为E,交BC所在直线于点£探索AF与DE之间的数量关系，并说明理由.(1)特殊思考：如图②，当E是对角线AC的中点时，A尸与DE之间的数量关系是.(2)探究证明：①小明用“平移法”将AF沿AO方向平移得到OG,将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究。G与OE之间的数量关系.请你按照他的思路，完