《数学代数系统》课件

第三篇代数系统1第三篇代数系统1第三篇代数系统代数系统：由集合上定义若干个运算而组成的系统小学加、减、乘、除运算有理数对象初中实数的四则运算，乘方和开方，简单的线性方程实数对象高中更复杂的算术演算复数对象2第三篇代数系统代数系统：由集合上定义若干个运算而组成的系代数系统：由集合上定义若干个运算而组成的系统在一个集合A上的运算概念例：将实数集合R上的每一数a0映射成它的倒数1/a，就可以将该映射称为在集合R上的一元运算；在集合R上，对任意两个数所进行的普通加法和乘法，都是在集合R上的二元运算。对于集合R上的任意三个数的运算，就是集合R上的三元运算。代数系统3代数系统：由集合上定义若干个运算而组成的系统代数系统3忠告：不要被代数系统中众多的符号和术语所迷惑。代数系统，无论其外表多么复杂多么让人难以捉摸，说到底无非是研究对象之间的运算，以及运算的规律。代数系统4忠告：不要被代数系统中众多的符号和术语所迷惑。代数系统4第三篇代数系统代数系统的基本概念代数系统的性质同构和同态半群群环格和布尔代数几种特殊的格5第三篇代数系统代数系统的基本概念5例：在集合A={1，2，3，4，5，1/2，1/3，1/4，1/5}，做任意元素的倒数运算；在集合A={1，2，3，4，5}，做任意元素的倒数运算；若集合S中的元素经某一运算后它的结果仍在S中，则称此运算在集合S上是封闭的。§5.1代数系统的基本概念6例：§5.1代数系统的基本概念6不封闭的例子：一架自动售货机，能接受五角硬币和一元硬币，而所对应的商品是桔子水、可乐和冰淇凌。当投入上述硬币的任何两枚时，自动售货机将按照表中供应相应的产品：表格左上角的记号*可以理解为一个二元运算的运算符。这个例子中的二元运算*不是集合{五角硬币，一元硬币}上的封闭运算。*五角硬币

一元硬币五角硬币桔子水可口可乐一元硬币可口可乐冰淇凌代数系统的基本概念7不封闭的例子：一架自动售货机，能接受五角硬币和一元硬币，而所在集合A={1，2，3，4，5，1/2，1/3，1/4，1/5}，做任意元素的倒数运算；可以看作是：将集合A上的每一数a映射成他的倒数1/a；在实数集合R上，对任意两个数进行的普通加法和减法；可以看作是：将集合R上的任意两个数映射成R中的一个数；定义：对于集合A，有一个从An到B的映射，如果BA，则称该n元运算是封闭的。代数系统的基本概念8在集合A={1，2，3，4，5，1/2，1/3，1/4，1/一个代数系统需要满足以下三个条件：有一个非空集合U；有一些建立在集合U上的运算；这些运算在U上是封闭的。由此将由集合U及建立在U上的封闭运算f1，f2…，fk所组成的系统就称为一个代数系统，记作<U，f1，f2…，fk>。代数系统的基本概念9一个代数系统需要满足以下三个条件：由此将由集合U及建例：在整数集合I上定义如下： 对任何 其中的+，分别是通常数的加法和乘法。 那么是一个从I 2到I的函数， 只要在集合I上是封闭的，<I，

>就是一个代数系统。代数系统的基本概念10例：在整数集合I上定义如下：代数系统的基本概念11、结合律设有代数系统<U，*>，对a，b，cU，如果有(a*b)*c=a*(b*c),则称此代数系统的运算满足结合律。例如：设A是一个非空集合，★是A上的二元运算，对于任意a，bA，有a★b=b，证明：★是满足结合律的。证：∵对于任意的a，b，cA， （a★b）★c=b★c=c 而a★（b★c）=a★c=c， ∴（a★b）★c=a★（b★c） ∴★是满足结合律的§5.2代数系统的性质111、结合律§5.2代数系统的性质112、交换律设有代数系统<U，*>，如果对于a，bU，有a*b=b*a，则称此代数系统的运算“*”满足交换律。例如：在整合集合I上定义运算： 对任何 其中的+，分别是通常数的加法和乘法。 那么可以满足交换律？

代数系统的性质122、交换律代数系统的性质123、分配律（左分配，右分配）设有代数系统<U，，*>，对a,b,cU，如果有a(b*c)=(ab)*(ac)，则称此代数系统上“”运算对“*”运算满足左分配律。同理，若“*”对“”满足a*(bc)=(a*b)(a*c)，则称运算“*”对运算“”满足左分配律若有(a*b)c=(a*c)(b*c)，则称“”运算对“*”运算满足右分配律。同理，若(ab)*c=(a*c)(b*c)，则称“*”运算对“”运算满足右分配律例如：代数系统<N，+，×>。其中+，×分别代表通常数的加法和乘法。代数系统的性质133、分配律（左分配，右分配）代数系统的性质134、等幂律设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意的xA，都有x*x=x，则称*运算是等幂的。EX:S={1,2,4}，在集合p(S)定义两个二元运算，∩，∪，分别表示集合的“并”运算和集合的“交”运算，∩，∪是等幂的？解：

对于任意的Ap(S)，有A∩A=A；A∪A=A 因此运算∩，∪都满足等幂律。代数系统的性质144、等幂律代数系统的性质145、幺元一个代数系统<U，>，若存在一个元素eU，使得对xU，有：ex=xe=x，则称e为对于运算“”的幺元或者称e是<U，>幺元。注意： 这里考虑的是只有一个运算的代数系统。如果有两个或者更多的运算，就不能简单地说代数系统的幺元了，因为幺元事实上是针对具体运算而言的。因而，如果有更多的运算就必须对每个运算都进行讨论，一个运算若有幺元，则一定指明是该运算的幺元。代数系统的性质155、幺元代数系统的性质15左单位元或右单位元（左幺元或右幺元）一个代数系统<U，>，若存在一个元素elU，使得对xU，有：elx=x，则称el为对于运算“”的左幺元。若存在一个元素erU，使得对xU，有：xer=x，则称er为对于运算“”的右幺元。代数系统的性质16左单位元或右单位元（左幺元或右幺元）代数系统的性质16EX： 设代数系统<N，*>，*的定义为： 对 那么，<N，*>有没有幺元？左幺元？右幺元？解：对任何，因此1是右幺元。但1不是左幺元，因为所以<N，*>没有左幺元，当然也就没有幺元。代数系统的性质17EX：代数系统的性质17定理：一个代数系统<U,>的单位元若存在，则唯一。证：设e为运算“”的幺元，另有一单位元e，∵e是幺元，∴对xU，有ex=x，取x=e，则ee=e

①又∵e是幺元，∴对xU，有xe=x，取x=e，则ee=e ②由①②式可得：e=e，即幺元唯一。

代数系统的性质18定理：一个代数系统<U,>的单位元若存在，则唯一。代数系统6、零元一个代数系统<U，>，如果存在一个元素θU，使得对xU有：θx=xθ=θ，则称θ为对于运算“”的零元。若只满足θx=θ，则θ称为左零元。若只满足xθ=θ，则θ称为右零元。例如：代数系统<I，×>的零元是什么？ （0）在所有n阶方阵集合M上的代数系统<M，×>，零元是什么？ （所有元素为0的n阶方阵）在I+上定义一个二元运算取极小“Min”，<I+，Min>的零元是什么？ （1）代数系统的性质196、零元代数系统的性质19定理：一个代数系统，其零元若存在，则唯一。（同学自证）定理：一个代数系统<U，>，若集合A中元素的个数大于1，且该代数系统存在幺元e和零元θ，则θe。证明：用反证法，设θ=e，则对于任意的xA，必有x=ex=θx=θ=e，即对于A中所有元素都是相同的，这与A中含有多个元素相矛盾。代数系统的性质20定理：一个代数系统，其零元若存在，则唯一。（同学自证）代数系7、逆元一个存在幺元e的代数系统<U，>，如果对U中的元素x存在x-1，使得x-1x=xx-1=e，则称x-1为x的逆元。若xx-1=e，则称x-1为x的右逆元。若x-1x=e，则称x-1为x的左逆元。既是左逆元，又是右逆元，则称x-1为x的一个逆元。代数系统的性质217、逆元代数系统的性质21例如：对代数系统<R，*>，*为二元运算，定义为通常数的乘法。R为实数集合。 只要，aR，a0，则1/a即为a的逆元。 这是因为1是幺元，a0时，a*1/a=1/a*a=1。对代数系统<I，*>，*为二元运算，定义为通常数的乘法。I为整数集合。 只有1和1有逆元，1-1=1，(1)-1=-1 因为对aI，只要a1，则1/a要么不存在， 要么1/aI。<R{1}，*>，*为二元运算，定义为通常数的乘法。R{1}为除了1之外的实数集合。 任何元素都没有逆元，因为根本没有幺元，就不谈逆元了。代数系统的性质22例如：代数系统的性质22因此，关于逆元，下述结论是正确的：只要当幺元存在时，才考虑逆元。逆元是“局部”的，也就是说，逆元是针对具体元素而定的，有些元素可能有逆元，有些元素则可能没有逆元。如果a和b都有逆元且ab，则a-1和b-1也不相同。一个元素的逆元必须是代数系统内的元素。设e幺元，只有当aºb=e和bºa=e同时成立时，b才能是a的逆元，如果只有一个成立，b也不是a的逆元。代数系统的性质23因此，关于逆元，下述结论是正确的：代数系统的性质23例如：设集合S={α，β，γ，δ，ζ}，定义在S上的一个二元运算如下表所示，试指出代数系统（S，）中各个元素的左、右逆元情况。解：是幺元，是的左逆元，是的右逆元；是、的左逆元，、是右逆元；是的左逆元，是的右逆元；是的左逆元，是的右逆元。代数系统的性质24例如：设集合S={α，β，γ，δ，ζ}，定义在S上的一个二定理：设代数系统（U，），运算“”满足结合律，且存在幺元e，那么对任意固定的xU，若x有逆元，则逆元是唯一的。证明：设x有两个逆元x1-1和x2-1，则x1-1xx2-1=x1-1（xx2-1）=x1-1e=x1-1同理x1-1xx2-1=（x1-1x）x2-1=ex2-1=x2-1所以：x1-1=x2-1代数系统的性质25定理：设代数系统（U，），运算“”满足结合律，且代数§5.3半群1．广群:设<U，>是一个代数系统，其中“”是U上的二元运算。若“”满足封闭性，则<U，>称为是广群.2．半群：设<U，>是一个广群，其中“”是U上的二元运算。若“”满足结合律，则<U，>称为是半群。EX：有代数系统<S,>其中S=｛a,b,p,q｝运算由下表定义,试问该代数系统是一个半群吗?abpqaabpqbabpqpabpqqabpq26§5.3半群1．广群:设<U，>是一个代数系统，其中“EX：有代数系统，其中I为整数集。max为一个二元运算，表示对I中的元素取最大，<I，max>是一个半群吗？<I，min>是一个半群吗？EX：代数系统<N，+>中N为自然数集，运算“+”为普通的加法运算，<N，+>是个半群吗？EX：代数系统<N，>中N为自然数集，运算“”为普通的减法运算，<N，>是个半群吗？半群27EX：有代数系统，其中I为整数集。max为一个二元运算，3、子半群<U，>是一个半群,UU,且运算在U是封闭的,那么<U，>也是半群，并称为半群<U，>的子半群。

例如:<I,+>是半群,那么<I+,+>是它的子半群吗?<R,*>是半群,那么<I,*>是它的子半群吗?<[0,1],*>呢?定理5-3.2设<S,*>是一个半群，若S是一个有限集,则必有aS,使得a*a=a.(证明过程详细讲,属考试范围)半群283、子半群半群284、独异点（单元半群或含幺半群）定义：一个半群<U，>，若拥有幺元，则称其为含幺半群或单元半群。EX：<N，×>，是独异点吗？<R，×>和<R，+>呢?定理5-3.3：独异点<U，>关于运算“”的运算表中的任意两行（列）都不相同。EX：考察<NK,+K>与<NK,×K>是否是独异点?定理5-3.4：设<S,*>是独异点,对于任意a,bS,且a,b均有逆元,则(1)(a-1)-1=a(2)a*b有逆元,且(a*b)-1=b-1*a-1课堂练习:P190(5)

半群294、独异点（单元半群或含幺半群）半群29§5.4群与子群一、群的定义1．设<G,*>是一个代数系统，其中G非空,*是G上的二元运算,若:(1)*关于G封闭(广群)(2)*是可结合的(半群)(3)系统中含有幺元(独异点)(4)对于任意的xG,则有x-1

G(群)2．如果<G,*>是群，且G是有限集，则称<G,*>是有限群，否则称为无限群。若<G,*>为有限群，G的基数通常称为该有限群的阶数，记为|G|。若<G,*>为无限群，则其阶是无穷大。30§5.4群与子群一、群的定义30广群半群群独异点群31广群半群群独异点群31EX：由一个元素构成的代数系统<{a}，>是群吗？EX：<Q{0}，*>是一个群吗？Q是有理数集，*是普通的乘法运算。<I，*>，I是整数集，*是普通的乘法运算。<P(A),>呢?其中,A={a,b,c}aaa群32EX：由一个元素构成的代数系统<{a}，>是群吗？aa群的几个重要定理：定理1：一个阶大于1的群没有零元。反证：设群<G,*>的阶大于1，且其零元是θ,则对群中任意元素xG，有：x*θ=θ*x=θ，设幺元为e，由代数系统的性质知，阶大于1的代数系统，若存在幺元和零元，则必有：e≠θ。∴x*θ=θ*x=θ≠e，即θ不存在逆元，这与<G,*>是群矛盾。∴一个群，如果它有零元，则它的阶一定等于1，或一个群，若阶大于1，则必无零元。群33群的几个重要定理：群33定理2：设<G,*>是一个群，对a，bG，可有存在唯一元素xG，使得a*x=b证明:∵a*（a-1*b） =e*b=b而a-1*bG，∴存在一个xG，x=a-1*b使得a*x=b；设另一元素x，使得a*

x=b，则 a-1*

（a*x）=a-1*

b，∴x=a-1*

b，即x=x。群34定理2：设<G,*>是一个群，对a，bG，可有群34定理3：如果<G，>是一个群，则对于a，b，cG都有：ab=acb=cba

=cab=c

消去律证明：∵ab=ac且a的逆元为a-1，∴a-1

（ab）=a-1

（ac）∴（a-1

a）b=（a-1

a）c，即eb=ec∴b=c同理：由ba=cab=c。即群满足消去律。群35定理3：如果<G，>是一个群，则对于a，b，cG都有：定义:设S是一个非空集合,从集合S到S的一个双射称为S的一个置换。定理4：<G，*>是一个群，则该代数系统的运算表中的每一行或每一列都是G的元素的一个置换

。证略(P193)群36群36定理5：除了幺元外，群没有其它的等幂元素。证：假设a是群<G，>的等幂元素，（e是幺元），且a≠e，则a=aa，而e=a-1

a =a-1

(aa) =(a-1

a)a =ea =a，与a≠e矛盾。群37定理5：除了幺元外，群没有其它的等幂元素。群37二、子群的定义：1、设<G，*>是一个群，S是G的一非空子集，如果<S，*>也构成了群，则称<S，*>是<G，*>的子群。例如：<I，+>是一个群，则<IE，+>是它的子群吗？注意：若<G，*>是一个群，称<G，*>和<{e}，*>是<G，*>的平凡子群。关于子群的几个重要定理：定理5-4.6：设<G，*>是一个群，<S，*>是<G，*>的子群，那么<G，*>中的幺元e也必定是<S，*>中的幺元。证明：设<S，*>中的幺元为e1，对于任一xSG必有e1*x=x=e*x，故e1=e。群38二、子群的定义：群38定理5-4.7：设<G，*>是一个群，B是G的非空子集,如果B是一个有限集,那么,只要运算*在B上封闭,<B，*>必定是<G，*>的子群。(非常重要,常作为证明子群的依据来用,要求熟练掌握)证明：P195,详讲。定理5-4.8：设<G，*>是一个群，S是G的非空子集,如果对于S中的任意元素a和b都有a*b-1

S,则<S，*>必定是<G，*>的子群。(重要程度同定理5-4.7)群39定理5-4.7：设<G，*>是一个群，B是G的非空子集,如§5.5阿贝尔群和循环群如果一个群<G，*>中的运算*是可交换的，则称该群为阿贝尔群,或称交换群。EX:<I，+>和<R,+>均阿贝尔群。如果一个群<G，*>，G中的每一个元素都是G内某一固定元素a的某一次幂，则此群为由a所生成的循环群，而元素a称为此群的生成元。EX:P191的例1中的代数系统是循环群。定理5-5.2:任何一个循环必定是阿贝尔群。定理5-5.3:设<G，*>是一个由元素aG生成的有限循环群。如果群的阶数是n,则an=e,且G={a,a1,a2,…,an=e},其中e是G中的幺元,n是使an=e的最小正整数。半群40§5.5阿贝尔群和循环群半群40§5.7陪集与拉格朗日定理定义5-7.1:设<G，*>是一个群,A，BP(G),且A，B非空，记AB={a*b|aA,bB}和A-1={a-1|aA}分别称为A，B的积和A的逆。定义5-7.2:设<H，*>是群<G，*>的一个子群aG，则集合{a}H称为由a确定的H在G中的左陪集，简称为H关于a的左陪集，记为aH。元素a称为陪集aH的代表元素。定理5-7.1(拉格朗日定理):设<H，*>是群<G，*>的一个子群，那么（a）R={<a,b>|aG，b

G且a-1*bH}是G中的一个等价关系。对于aG，若记[a]R={x|xG且<a,x>R}则[a]R=aH。(b)如果G是有限群,|G|=n,|H|=m,则m|n。(非常重要,用来判断子群是否正确,重点掌握)半群41§5.7陪集与拉格朗日定理半群41根据拉格朗日定理,可以直接得到以下两个重要的推论:推论1:任何质数阶的群不可能有非平凡子群。推论2:设<G，*>是n阶有限群,那么对于任意的aG，a的阶必是n的因子且必有an=e,这里e是群<G，*>中的幺元。如果n为质数,则<G，*>必是循环群。半群42根据拉格朗日定理,可以直接得到以下两个重要的推论:半群42§5.8同态与同构1、同态定义：设<A，>与<B，*>是两个代数系统，如果存在一个映射f：AB，使得对x1，x2A，都有f（x1

x2）=f（x1）*f（x2），就称f是一个从<A，>到<B，*>的同态映射，或说<A，>与<B，*>同态。把<f(A),*>称为<A，>的一个同态象.其中f(A)={x|x=f(a),aA}B若f是满射，则称<A，>与<B，*>满同态；若f是单射，则称<A，>与<B，*>单同态；若f是双射，则称<A，>与<B，*>同构；群43§5.8同态与同构群43EX1：设集合A={a，b，c}，在A上定义运算。如下表，那么，V1=<I，+>，V1=<A，º>，其中I是正整数集合，+运算是普通的加法。V1和V1是否同态？解：作映射f：IA，abcaabcbbabcacb是偶数是奇数同构与同态44EX1：设集合A={a，b，c}，在A上定义运算。如下表，那2、同构两个代数系统同构必须具备以下三个条件：这两个代数系统是同类型的。该两个代数系统的两个集合里的元素是一一对应的。定义在这两个集合上的运算法则完全相同。*abaabbbbº01001111452、同构*abaabbbbº0100111145EX1：设A={a，b，c，d}，在A上定义一个二元运算“”，又设B={，，，}，在A上定义一个二元运算“*”，如下表：证明：<A，>和<B，*>是同构证明：考察映射f(a)=,f(b)=,f(c)=,f(d)=显然，f是一个从A到B的双射，由表容易验证f是由（<A，>和<B，*>的同构。考察映射g，使得g(a)=,g(b)=,g(c)=,

g(d)=，g也是由<A，>和<B，*>的同构。

两个代数系统是同构，他们之间的同构映射可以是不唯一的。abcdaabcdbbaaccbddcdabcd*同构与同态46EX1：设A={a，b，c，d}，在A上定义一个二元运算EX2：设代数系统<U，>及<V，*>。其中U={1，2，3}，V={4，5，6}，而其运算可分别由下表：试问：它们是同构吗？123133323333333*456466656666666同构与同态47EX2：设代数系统<U，>及<V，*>。其中U={1，2，解：作映射f：I2I，f(x)=2x，则f是双射。对任何a，bI，f(a+b)=2(a+b)=2a+ab=2a+2b=f(a)+f(b)因此，V1和V2同构EX3:设代数系统V1=<I，+>，V2=<2I，+>，其中I是整数集合，+运算是一般的加运算，V1和V2是否同构？同构与同态48解：EX3:设代数系统V1=<I，+>，V2=<2I，+>EX4:设代数系统V1=<A1，*>，V2=<A2，º>，其中A1={1，2，3，4}，A2={a，b，c，d}，*和º的运算分别如下表，V1和V2是否同构？解：作双射f：A1A2，f(1)=b,f(2)=d,f(3)=c,f(4)=a,abcdabbbdbaadbccbcadaacd*123414124242343143341211同构与同态49EX4:设代数系统V1=<A1，*>，V2=<A2，º>，2．群同态的性质：定理1；设Ф是群（G1，）到（G2，*）的同态映射，e1和e2分别为（G1，）和（G2，*）的单位元，则Ф（e1）=e2

Ф（a-1）=（Ф（a））-1，对aG1证：∵Ф（e1

e1）=Ф（e1）*Ф（e1）=Ф（e1）=Ф（e1）*e2由G2的消去律，Ф（e1）=e2任取aG1，由Ф（a-1）*Ф（a）=Ф（a-1a）=Ф（e1）=e2Ф（a）*Ф（a-1）=Ф（aa-1）=Ф（e1）=e2可知：Ф（a-1）是Ф（a）的逆元，∴Ф（a-1）=（Ф（a））-1群502．群同态的性质：群50定理5-8.2：设f是从代数系统<A，>到代数系统<B，*>的同态映射。若<A，>是半群,那么在f的作用下,同态象<f(A),*>也是半群。若<A，>是独异点,那么在f的作用下,同态象<f(A),*>也是独异点。若<A，>是群,那么在f的作用下,同态象<f(A),*>也是群。证明:(详细讲解)群51定理5-8.2：设f是从代数系统<A，>到代数系统<B，*§5.9 环与域1、定义对具有两个二元运算的代数系统<U，+，>，如果（1）<U，+>是交换群(阿贝尔群)；（2）<U，>是半群;（3）“”对“+”满足分配律，即对a,b,cU, a(b+c)=(ab)+(ac) (b+c)a=ba+ca成立则称<U，+，>是环。如果<U，>是含幺半群，则称<U,+,>是含幺的环如果＜U，＞是可换半群，则称＜U,+,＞是可换环。52§5.9 环与域1、定义52EX：在数系中，整数、有理数、实数对普通的加法及乘法运算构成的代数系统是环吗？正整数对普通的加法及乘法运算构成的代数系统是环吗？＜I，+，＞、＜Q；+，＞、＜R；+，＞都是环，＜I+，+，＞不是环。约定：在环＜U，+，＞中运算符“+”及“”通常称为“加”与“乘”，＜U，+＞中的幺元称作加法幺元，并记为θ，或者称为乘法零元，而用–a表示a的加法逆元。 零元θ，对aU，有：θ+a=a，对aU，存在 -aU，使得a+（-a）=θ。 如果＜U，＞是含幺半群，则把运算“”的幺元称为乘法幺元，并记为e，如果U中的元素存在乘法逆元，就用a-1表示。环53EX：在数系中，整数、有理数、实数对普通的加法及乘法运算构成由环的定义中可知：加法的幺元必是对乘法的零元。证明：对环＜U，+，＞，a，b，cU，有：a（b+c）=ab+ac（b+c）a=ba+ca∵＜U，+＞是群，故必存在幺元，θU，使得a（b+θ）=ab=ab+θ=ab+aθ由于群满足消去律，故θ=aθ（b+θ）a=ba=ba+θ=ba+θa∴θ=θa∴aθ=θa=θ故加法幺元“θ”是乘法的零元，∴＜U，＞中有零元。环54由环的定义中可知：加法的幺元必是对乘法的零元。环542、定理：设＜U，+，＞是一个环，则对任意的a,b,cU，有：（1）a=a=（2）a（-b）=(-a)b=-(ab)（3）(-a)(-b)=ab（4）a(b-c)=ab-ac（5）(b-c)a=ba-ca其中θ是加法幺元、-a是a的加法逆元，并记a+（-b）=a-b环552、定理：设＜U，+，＞是一个环，则对任意的a,b,cU证明：①∵θ是加法幺元∴θ是乘法零元，故aθ=θa=θ②∵ab+a（-b）=a(b+(-b))=aθ=θ∴a（-b）=-(ab)同理可证：（-a）b=-（ab）③（-a）（-b）=-[a(-b)]=-[-(ab)]=ab④a（b-c）=a（b+(-c)）=ab+a(-c)=ab-ac⑤(b-c)a=[b+(-c)]a=ba+(-c)a=ba-ca环56证明：环563．定义：设＜U，+，＞是一个环，a，bU，若a≠θ，b≠θ，但ab=θ，则称＜U，+，＞有零因子。4、定理：若＜U，+，＞没有零因子，则两个消去律都成立，即对U中的元素a，b，c有： a≠θ，ab=acb=c，a≠θ，ba=cab=c，反之，环＜U，+，＞有消去律成立，则此环没有零因子。环573．定义：设＜U，+，＞是一个环，a，bU，若a≠θ，证：由ab=acab+（-ac）=ac+（-ac）=θ即ab-ac=θ，∴a（b-c）=θ。a≠θ，且无零因子，∴a（b-c）=θb-c=θb=c（若b-c≠θ，则因a≠θ，且a（b-c）=θ，则该环有零因子）。同理：a≠θ，ba=cab=c，即两个消去律都成立。假设环中有零因子，设a，bU，且a≠θ，b≠θ，但ab=θ，当a≠θ时，ab=θ=aθ，由消去律：b=θ，这与b≠θ矛盾。同理：当b≠θ时，有：a=θ，这与a≠θ矛盾。∴环（U，+，）有消去律成立，则环中无零因子环58证：环58第六章格与布尔代数59第六章格与布尔代数59§6.1 格的概念本章将介绍其他的代数系统——格和布尔代数，格论是数学的一个分支，不仅在近代解析几何有重要的作用，而且在计算机领域也有一定的用途；布尔代数形成比较早，在19世纪，就已经有了相当的发展，布尔代数是研究和逻辑、集合等运算有关的知识。60§6.1 格的概念本章将介绍其他的代数系统——格和布尔代数，§6.1 格的概念及性质EX：偏序集(｛2,3,5,7,14,15,21｝,/)，“/”为整除关系。其hasze图如下：｛2,7｝的最小上界、最大下界各为什么？｛2,3｝呢？｛5,14｝呢？｛2,7｝的最小上界为14。最大下界无。｛2,3｝的最小上界无，最大下界无。｛5,14｝的最小上界无，最大下界无。61§6.1 格的概念及性质EX：偏序集(｛2,3,5,7,14§6.1 格的概念然而也存在这样一类偏序集，它的每一对元素都有最小上界和最大下界，如：偏序集(｛1,2,3,4,6,8,12,24｝,/)：其Hasze图如下：

62§6.1 格的概念然而也存在这样一类偏序集，它的每一对元素都一、格1．定义：设<A,≤>是一个偏序集，若对A中的任两个元素a、b，都有最小上界和最大下界，则称 <A,≤>为格。其中上确界lub{a,b}，记为a∨b,称为a和b的并。

下确界glb{a,b}，记为a∧b,称为a和b的交。将∨、∧，看作集合上的两个二元运算，故格也记作<A，∨，∧>。63一、格1．定义：设<A,≤>是一个偏序集，若对A中的任两个一、格下述偏序集能构成格的是（？）(a)(b)(c)(d)bbcdefacdfabcdefghabcdef√ac64一、格下述偏序集能构成格的是（？）(a)(b)(c)(d)二、格的性质定理1：若<A，∨、∧>是一个格，则对任意a、b、cA，有（1）a≤a∨b，b≤a∨b

（2）a∧b≤a，a∧b≤b（3）若a≤c且b≤c，则a∨b≤c（4）若c≤a且c≤b，则c≤a∧b65二、格的性质定理1：若<A，∨、∧>是一个格，则对任意a、b二、格的性质（1）a≤a∨b，b≤a∨b

证明：因a∨b=lub{a，b}，它显然是a的一个上界，∴a≤a∨b，同理：b≤a∨b。（2）a∧b≤a，a∧b≤b证明：因a∧b=glb{a，b}，它显然是a的一个下界，∴a∧b≤a，同理：a∧b≤b。66二、格的性质（1）a≤a∨b，b≤a∨b66二、格的性质（3）若a≤c且b≤c，则a∨b≤c

证明：∵a≤c且b≤c，由上界的定义知，c是{a，b}的一个上界，而a∨b是{a，b}的最小上界，∴a∨b≤c。（4）若c≤a且c≤b，则c≤a∧b证明：∵c≤a且c≤b，由下界的定义知，c是{a，b}的一个下界，而a∧b是{a，b}的最大下界，∴c≤a∧b。

67二、格的性质（3）若a≤c且b≤c，则a∨b≤c67二、格的性质推论：在<A，∨，∧>中，对于任意a，b，cA，如果b≤c，则a∨b≤a∨c，a∧b≤a∧c。定理2：若<A，∨，∧>是一个格，则对于任意a，bA，以下三个公式等价；（1）a≤b

（2）a∨b=b

（3）a∧b=a68二、格的性质推论：在<A，∨，∧>中，对于任意a，b，c二、格的性质（1）a≤b

（2）a∨b=b

（3）a∧b=a证明：（1）（2）∵a≤b且偏序关系是自反的。∴b≤b，∴a∨b≤b

又b≤a∨b成立∴a∨b=b（偏序关系是反对称的）设a∨b=b

∵a≤a∨b成立，将a∨b=b代入a≤a∨b得：a≤b

类似可证（1）（3）69二、格的性质（1）a≤b（2）a∨b=b（3二、格的性质定理3：<A，∨，∧>是一个格，则对于任意a，b，cA，满足以下四个定律：（1）交换律：a∨b=b∨a

a∧b=b∧a（2）吸收律：a∨（a∧b）=aa∧（a∨b）=a（3）结合律：a∨（b∨c）=（a∨b）∨c，

a∧（b∧c）=（a∧b）∧c（4）等幂律：a∨a=a

a∧a=a70二、格的性质定理3：<A，∨，∧>是一个格，则对于任意a，b二、格的性质定理4：设有格<A，∨，∧>，对于任意a，b，c，dA，如果a≤b和c≤d，则（1）a∨c≤b∨d，（2）a∧c≤b∧d证：∵b≤b∨d，d≤b∨d，而a≤b，c≤d，∴由传递性可得：a≤b∨d，c≤b∨d，这就表明b∨d是a和c的一个上界，而a∨c是a和c的最小上界，∴必有a∨c≤b∨d。类似地可以证明：a∧c≤b∧d

71二、格的性质定理4：设有格<A，∨，∧>，对于任意a，b，c二、格的性质定理5：在一个格<A，∨，∧>中，对于任意a，b，cA，有下列分配不等式成立：（1）a∨（b∧c）≤（a∨b）∧（a∨c）（2）a∧（b∨c）≥（a∧b）∨（a∧c）证：由定理1，（1）（2）知：a≤a∨b和a≤a∨c，可得：

a=a∧a≤（a∨b）∧（a∨c），①又∵b∧c≤b≤a∨b和b∧c≤c≤a∨c∴b∧c=（b∧c）∧（b∧c）≤（a∨b）∧（a∨c）②对于①和②，有：a∨（b∧c）≤（a∨b）∧（a∨c）利用对偶原理，即得：（a∧b）∨（a∧c）≤a∧（b∨c）

72二、格的性质定理5：在一个格<A，∨，∧>中，对于任意a，b§６.2分配格一、分配格：若格<A，∨，∧>，对于任意a，b，cA，有（1）a∨（b∧c）=（a∨b）∧（a∨c）（2）a∧（b∨c）=（a∧b）∨（a∧c）则称<A，∨，∧>为一个分配格。EX：判断图示的格是否是分配格

∵a3∧（a4∨a5）=a3∧a1=a3

（a3∧a4）∨（a3∧a5）=a4∨a6=a4

∴所示的格不是分配格。

≤≥73§６.2分配格一、分配格：≤≥73(a)(c)cdeacdeab(b)cdeabb74(a)(c)cdeacdeab(b)cdeabb74一、分配格：定理：设<A，∨，∧>是一个分配格，则对于任意a，b，cA，如果有a∧b=a∧c和a∨b=a∨c成立，则必有b=c。证：∵（a∧b）∨c=（a∧c）∨c=c（a∧b）∨c=（a∨c）∧（b∨c）=（a∨b）∧（b∨c） =（b∨a）∧（b∨c）=b∨（a∧c）=b∨(a∧b)=b∴b=c75一、分配格：75二、有界格1.设<A，∨，∧>是一个格，若对于任意xA，aA，使a≤x成立，则a称为格的下界。若对于任意xA，bA，使x≤b成立，则b称为格的上界。2.若一个格既存在下界，又存在上界（分别用0，1表示），则称该格为有界格。3.有界格的性质：设<A，∨，∧>为有界格，则有：（1）同一律：a∧1=a，a∨0=a（2）零一律：a∨1=1，a∧0=0有界格中的运算,都具有单位元和零元。

76二、有界格76三、有补格设<A，∨，∧>是一个有界格，若对任意aA，都有A,使a∨=1，a∧=0，则称格<A，∨，∧>是一个有补格。元素称为a的补元（a与互为补元）。图中，该格为有补格吗？0=a6，1=a1∴=a1，=a6，：a3，a4；：a2，a5；：a2，a5；：a3，a4；

77三、有补格77又如图所示的格，是有补格吗？该格是有界格，却不是有补格。

78又如图所示的格，是有补格吗？78四、有补分配格定义：一个格如果既是有补格，又是分配格，则称该格为有补分配格，可以证明：在有补分配格中，任一元素的补元都是唯一的（p105，定理7.18）。

79四、有补分配格79习题1、下面图表示四个格所对应的哈斯图，哪个是分配格？（）

(a)(b)(c)(d)bbcdeacdfabdabcdefeabfch80习题1、下面图表示四个格所对应的哈斯图，哪个是分配格？（２、在有界格中，若有一个元素有补元，则补元（）。A．必惟一B．不惟一C．不一定惟一D．可能惟一３、图给出的哈斯图表示的格中哪个元素无补元？（）。A．aB．cC．eD．fabdefgc81２、在有界格中，若有一个元素有补元，则补元（４、右图是格（A，≤）所对应的哈斯图：（1）若a,b,d,0的补元存在，写出它们的补元。（2）（A，≤）是否是有补格？说明理由。（3）（A，≤）是否是分配格？说明理由。解：（1）a的补格=c、e；d的补格=c；0的补格=1；b的补格不存在。（2）不是有补格，因为b无补格。（3）不是分配格，因为（a∨e）∧c=1∧c=c（a∧c）∨（e∧c）=1∨e=eabde0c182４、右图是格（A，≤）所对应的哈斯图：abde0c182第三篇代数系统83第三篇代数系统1第三篇代数系统代数系统：由集合上定义若干个运算而组成的系统小学加、减、乘、除运算有理数对象初中实数的四则运算，乘方和开方，简单的线性方程实数对象高中更复杂的算术演算复数对象84第三篇代数系统代数系统：由集合上定义若干个运算而组成的系代数系统：由集合上定义若干个运算而组成的系统在一个集合A上的运算概念例：将实数集合R上的每一数a0映射成它的倒数1/a，就可以将该映射称为在集合R上的一元运算；在集合R上，对任意两个数所进行的普通加法和乘法，都是在集合R上的二元运算。对于集合R上的任意三个数的运算，就是集合R上的三元运算。代数系统85代数系统：由集合上定义若干个运算而组成的系统代数系统3忠告：不要被代数系统中众多的符号和术语所迷惑。代数系统，无论其外表多么复杂多么让人难以捉摸，说到底无非是研究对象之间的运算，以及运算的规律。代数系统86忠告：不要被代数系统中众多的符号和术语所迷惑。代数系统4第三篇代数系统代数系统的基本概念代数系统的性质同构和同态半群群环格和布尔代数几种特殊的格87第三篇代数系统代数系统的基本概念5例：在集合A={1，2，3，4，5，1/2，1/3，1/4，1/5}，做任意元素的倒数运算；在集合A={1，2，3，4，5}，做任意元素的倒数运算；若集合S中的元素经某一运算后它的结果仍在S中，则称此运算在集合S上是封闭的。§5.1代数系统的基本概念88例：§5.1代数系统的基本概念6不封闭的例子：一架自动售货机，能接受五角硬币和一元硬币，而所对应的商品是桔子水、可乐和冰淇凌。当投入上述硬币的任何两枚时，自动售货机将按照表中供应相应的产品：表格左上角的记号*可以理解为一个二元运算的运算符。这个例子中的二元运算*不是集合{五角硬币，一元硬币}上的封闭运算。*五角硬币

一元硬币五角硬币桔子水可口可乐一元硬币可口可乐冰淇凌代数系统的基本概念89不封闭的例子：一架自动售货机，能接受五角硬币和一元硬币，而所在集合A={1，2，3，4，5，1/2，1/3，1/4，1/5}，做任意元素的倒数运算；可以看作是：将集合A上的每一数a映射成他的倒数1/a；在实数集合R上，对任意两个数进行的普通加法和减法；可以看作是：将集合R上的任意两个数映射成R中的一个数；定义：对于集合A，有一个从An到B的映射，如果BA，则称该n元运算是封闭的。代数系统的基本概念90在集合A={1，2，3，4，5，1/2，1/3，1/4，1/一个代数系统需要满足以下三个条件：有一个非空集合U；有一些建立在集合U上的运算；这些运算在U上是封闭的。由此将由集合U及建立在U上的封闭运算f1，f2…，fk所组成的系统就称为一个代数系统，记作<U，f1，f2…，fk>。代数系统的基本概念91一个代数系统需要满足以下三个条件：由此将由集合U及建例：在整数集合I上定义如下： 对任何 其中的+，分别是通常数的加法和乘法。 那么是一个从I 2到I的函数， 只要在集合I上是封闭的，<I，

>就是一个代数系统。代数系统的基本概念92例：在整数集合I上定义如下：代数系统的基本概念11、结合律设有代数系统<U，*>，对a，b，cU，如果有(a*b)*c=a*(b*c),则称此代数系统的运算满足结合律。例如：设A是一个非空集合，★是A上的二元运算，对于任意a，bA，有a★b=b，证明：★是满足结合律的。证：∵对于任意的a，b，cA， （a★b）★c=b★c=c 而a★（b★c）=a★c=c， ∴（a★b）★c=a★（b★c） ∴★是满足结合律的§5.2代数系统的性质931、结合律§5.2代数系统的性质112、交换律设有代数系统<U，*>，如果对于a，bU，有a*b=b*a，则称此代数系统的运算“*”满足交换律。例如：在整合集合I上定义运算： 对任何 其中的+，分别是通常数的加法和乘法。 那么可以满足交换律？

代数系统的性质942、交换律代数系统的性质123、分配律（左分配，右分配）设有代数系统<U，，*>，对a,b,cU，如果有a(b*c)=(ab)*(ac)，则称此代数系统上“”运算对“*”运算满足左分配律。同理，若“*”对“”满足a*(bc)=(a*b)(a*c)，则称运算“*”对运算“”满足左分配律若有(a*b)c=(a*c)(b*c)，则称“”运算对“*”运算满足右分配律。同理，若(ab)*c=(a*c)(b*c)，则称“*”运算对“”运算满足右分配律例如：代数系统<N，+，×>。其中+，×分别代表通常数的加法和乘法。代数系统的性质953、分配律（左分配，右分配）代数系统的性质134、等幂律设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意的xA，都有x*x=x，则称*运算是等幂的。EX:S={1,2,4}，在集合p(S)定义两个二元运算，∩，∪，分别表示集合的“并”运算和集合的“交”运算，∩，∪是等幂的？解：

对于任意的Ap(S)，有A∩A=A；A∪A=A 因此运算∩，∪都满足等幂律。代数系统的性质964、等幂律代数系统的性质145、幺元一个代数系统<U，>，若存在一个元素eU，使得对xU，有：ex=xe=x，则称e为对于运算“”的幺元或者称e是<U，>幺元。注意： 这里考虑的是只有一个运算的代数系统。如果有两个或者更多的运算，就不能简单地说代数系统的幺元了，因为幺元事实上是针对具体运算而言的。因而，如果有更多的运算就必须对每个运算都进行讨论，一个运算若有幺元，则一定指明是该运算的幺元。代数系统的性质975、幺元代数系统的性质15左单位元或右单位元（左幺元或右幺元）一个代数系统<U，>，若存在一个元素elU，使得对xU，有：elx=x，则称el为对于运算“”的左幺元。若存在一个元素erU，使得对xU，有：xer=x，则称er为对于运算“”的右幺元。代数系统的性质98左单位元或右单位元（左幺元或右幺元）代数系统的性质16EX： 设代数系统<N，*>，*的定义为： 对 那么，<N，*>有没有幺元？左幺元？右幺元？解：对任何，因此1是右幺元。但1不是左幺元，因为所以<N，*>没有左幺元，当然也就没有幺元。代数系统的性质99EX：代数系统的性质17定理：一个代数系统<U,>的单位元若存在，则唯一。证：设e为运算“”的幺元，另有一单位元e，∵e是幺元，∴对xU，有ex=x，取x=e，则ee=e

①又∵e是幺元，∴对xU，有xe=x，取x=e，则ee=e ②由①②式可得：e=e，即幺元唯一。

代数系统的性质100定理：一个代数系统<U,>的单位元若存在，则唯一。代数系统6、零元一个代数系统<U，>，如果存在一个元素θU，使得对xU有：θx=xθ=θ，则称θ为对于运算“”的零元。若只满足θx=θ，则θ称为左零元。若只满足xθ=θ，则θ称为右零元。例如：代数系统<I，×>的零元是什么？ （0）在所有n阶方阵集合M上的代数系统<M，×>，零元是什么？ （所有元素为0的n阶方阵）在I+上定义一个二元运算取极小“Min”，<I+，Min>的零元是什么？ （1）代数系统的性质1016、零元代数系统的性质19定理：一个代数系统，其零元若存在，则唯一。（同学自证）定理：一个代数系统<U，>，若集合A中元素的个数大于1，且该代数系统存在幺元e和零元θ，则θe。证明：用反证法，设θ=e，则对于任意的xA，必有x=ex=θx=θ=e，即对于A中所有元素都是相同的，这与A中含有多个元素相矛盾。代数系统的性质102定理：一个代数系统，其零元若存在，则唯一。（同学自证）代数系7、逆元一个存在幺元e的代数系统<U，>，如果对U中的元素x存在x-1，使得x-1x=xx-1=e，则称x-1为x的逆元。若xx-1=e，则称x-1为x的右逆元。若x-1x=e，则称x-1为x的左逆元。既是左逆元，又是右逆元，则称x-1为x的一个逆元。代数系统的性质1037、逆元代数系统的性质21例如：对代数系统<R，*>，*为二元运算，定义为通常数的乘法。R为实数集合。 只要，aR，a0，则1/a即为a的逆元。 这是因为1是幺元，a0时，a*1/a=1/a*a=1。对代数系统<I，*>，*为二元运算，定义为通常数的乘法。I为整数集合。 只有1和1有逆元，1-1=1，(1)-1=-1 因为对aI，只要a1，则1/a要么不存在， 要么1/aI。<R{1}，*>，*为二元运算，定义为通常数的乘法。R{1}为除了1之外的实数集合。 任何元素都没有逆元，因为根本没有幺元，就不谈逆元了。代数系统的性质104例如：代数系统的性质22因此，关于逆元，下述结论是正确的：只要当幺元存在时，才考虑逆元。逆元是“局部”的，也就是说，逆元是针对具体元素而定的，有些元素可能有逆元，有些元素则可能没有逆元。如果a和b都有逆元且ab，则a-1和b-1也不相同。一个元素的逆元必须是代数系统内的元素。设e幺元，只有当aºb=e和bºa=e同时成立时，b才能是a的逆元，如果只有一个成立，b也不是a的逆元。代数系统的性质105因此，关于逆元，下述结论是正确的：代数系统的性质23例如：设集合S={α，β，γ，δ，ζ}，定义在S上的一个二元运算如下表所示，试指出代数系统（S，）中各个元素的左、右逆元情况。解：是幺元，是的左逆元，是的右逆元；是、的左逆元，、是右逆元；是的左逆元，是的右逆元；是的左逆元，是的右逆元。代数系统的性质106例如：设集合S={α，β，γ，δ，ζ}，定义在S上的一个二定理：设代数系统（U，），运算“”满足结合律，且存在幺元e，那么对任意固定的xU，若x有逆元，则逆元是唯一的。证明：设x有两个逆元x1-1和x2-1，则x1-1xx2-1=x1-1（xx2-1）=x1-1e=x1-1同理x1-1xx2-1=（x1-1x）x2-1=ex2-1=x2-1所以：x1-1=x2-1代数系统的性质107定理：设代数系统（U，），运算“”满足结合律，且代数§5.3半群1．广群:设<U，>是一个代数系统，其中“”是U上的二元运算。若“”满足封闭性，则<U，>称为是广群.2．半群：设<U，>是一个广群，其中“”是U上的二元运算。若“”满足结合律，则<U，>称为是半群。EX：有代数系统<S,>其中S=｛a,b,p,q｝运算由下表定义,试问该代数系统是一个半群吗?abpqaabpqbabpqpabpqqabpq108§5.3半群1．广群:设<U，>是一个代数系统，其中“EX：有代数系统，其中I为整数集。max为一个二元运算，表示对I中的元素取最大，<I，max>是一个半群吗？<I，min>是一个半群吗？EX：代数系统<N，+>中N为自然数集，运算“+”为普通的加法运算，<N，+>是个半群吗？EX：代数系统<N，>中N为自然数集，运算“”为普通的减法运算，<N，>是个半群吗？半群109EX：有代数系统，其中I为整数集。max为一个二元运算，3、子半群<U，>是一个半群,UU,且运算在U是封闭的,那么<U，>也是半群，并称为半群<U，>的子半群。

例如:<I,+>是半群,那么<I+,+>是它的子半群吗?<R,*>是半群,那么<I,*>是它的子半群吗?<[0,1],*>呢?定理5-3.2设<S,*>是一个半群，若S是一个有限集,则必有aS,使得a*a=a.(证明过程详细讲,属考试范围)半群1103、子半群半群284、独异点（单元半群或含幺半群）定义：一个半群<U，>，若拥有幺元，则称其为含幺半群或单元半群。EX：<N，×>，是独异点吗？<R，×>和<R，+>呢?定理5-3.3：独异点<U，>关于运算“”的运算表中的任意两行（列）都不相同。EX：考察<NK,+K>与<NK,×K>是否是独异点?定理5-3.4：设<S,*>是独异点,对于任意a,bS,且a,b均有逆元,则(1)(a-1)-1=a(2)a*b有逆元,且(a*b)-1=b-1*a-1课堂练习:P190(5)

半群1114、独异点（单元半群或含幺半群）半群29§5.4群与子群一、群的定义1．设<G,*>是一个代数系统，其中G非空,*是G上的二元运算,若:(1)*关于G封闭(广群)(2)*是可结合的(半群)(3)系统中含有幺元(独异点)(4)对于任意的xG,则有x-1

G(群)2．如果<G,*>是群，且G是有限集，则称<G,*>是有限群，否则称为无限群。若<G,*>为有限群，G的基数通常称为该有限群的阶数，记为|G|。若<G,*>为无限群，则其阶是无穷大。112§5.4群与子群一、群的定义30广群半群群独异点群113广群半群群独异点群31EX：由一个元素构成的代数系统<{a}，>是群吗？EX：<Q{0}，*>是一个群吗？Q是有理数集，*是普通的乘法运算。<I，*>，I是整数集，*是普通的乘法运算。<P(A),>呢?其中,A={a,b,c}aaa群114EX：由一个元素构成的代数系统<{a}，>是群吗？aa群的几个重要定理：定理1：一个阶大于1的群没有零元。反证：设群<G,*>的阶大于1，且其零元是θ,则对群中任意元素xG，有：x*θ=θ*x=θ，设幺元为e，由代数系统的性质知，阶大于1的代数系统，若存在幺元和零元，则必有：e≠θ。∴x*θ=θ*x=θ≠e，即θ不存在逆元，这与<G,*>是群矛盾。∴一个群，如果它有零元，则它的阶一定等于1，或一个群，若阶大于1，则必无零元。群115群的几个重要定理：群33定理2：设<G,*>是一个群，对a，b