工学数值计算cxj课件

第四章数值积分与数值微分（二）第四节龙贝格求积公式第五节高斯求积公式第六节数值微分第四节龙贝格求积公式第五节高斯求积公式第六节1一、梯形法的递推化上一节介绍的复化求积方法对提高精度是行之有效的，但在使用求积公式之前必须给出合适的步长，步长取得太大精度难以保证，步长太小则会导致计算量的增加，而事先给出一个恰当的步长又往往是困难的．实际计算中常常采用变步长的计算方案，即在步长逐次分半(即步长二分)的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直至所求得的积分值满足精度要求为止．设将求积区间[a，b]分成n等分，则一共有n+1个分点，按梯形公式计算积分值Tn，需要提供n+1个函数值．如果将求积区间再二分一次，则分点增至2n+1个，我们将二分前后两个积分值联系起来加以考察．§4龙贝格求积公式一、梯形法的递推化上一节介绍的复化求积方法对2注意到每个子区间[xk，xk+1]经过二分只增加了一个分点xk+1/2＝(xk+xk+1)/2，用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为注意到每个子区间[xk，xk+1]经过二分只3二、龙贝格算法根据复化梯形公式的余项表达式可见，利用两种步长计算的结果能估计截断误差.若将该截断误差加到计算结果中，就可得出“改进梯形求积公式”：二、龙贝格算法根据复化梯形公式的余项表达式可见，利用两种步长4改进梯形求积公式的右边实际是这就是说用梯形法二分前后的两个积分值Tn与T2n的线性组合的结果得到复化辛普森法求积公式改进梯形求积公式的右边实际是这就是说用梯形法二分前后的两个积5类似的情况，用辛普森法二分前后的两个积分值Sn与S2n的线性组合的结果可得到复化柯特斯求积公式重复同样的手续，用柯特斯法二分前后的两个积分值Cn与C2n的线性组合的结果可得到龙贝格(Romberg)求积公式我们在变步长的过程中运用加速公式(1)、(2)、(3)，就能将粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度较高的辛普森值Sn、柯特斯值Cn和龙贝格值Rn.

龙贝格求积算法可用下表来表示：类似的情况，用辛普森法二分前后的两个积分值S6[工学]数值计算cxj课件7三、理查森(Richardson)外推加速法上面讨论说明由梯形公式出发，将区间[a，b]逐次二分可提高求积公式的精度，上述加速过程还可继续下去，其理论依据是梯形公式的余项展开，即若记Tn=T(h)，当区间[a，b]分为2n等分时，有，则可见I=T(h)的误差为O(h2)阶.若记，则三、理查森(Richardson)外推加速法8显然T1(h)与积分值I近似的阶为O(h4).这样构造的

就是辛普森公式序列Sn，S2n，….若令，则又可进一步从余项中消去h4项，这样构造出的，其实就是柯特斯公式序列，它与积分值I的逼近阶为 O(h6).如此继续下去，每加速一次，误差的量级便提高2阶，一般地，若记T0(h)=T(h)，经过m(m=1，2，…)次加速后，则有显然T1(h)与积分值I近似的阶为O(h4).这样构造9可以证明，如果f(x)充分光滑，那么T数表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分值I，即可以证明，如果f(x)充分光滑，那么T10机械求积公式含有2n+2个待定参数xk、Ak(k＝0，1，…，n)．当xk为等距节点时得到的插值求积公式的代数精度至少为n次，如果适当选取xk

(k＝0，1，…，n)，有可能使求积公式具有2n+1次代数精度，这类求积公式称为高斯(Gauss)求积公式.为使问题更具一般性，我们研究带权积分，这里r(x)为权函数，类似机械求积公式，它的求积公式为

Ak(k＝0，1，…，n)为不依赖于f(x)的求积系数，xk(k＝0，1，…，n)为求积节点，可适当选取xk及Ak(k＝0，1，…，n)使积分(1)具有2n+1次代数精度．§5高斯求积公式机械求积公式11一、高斯点定义4如果求积公式(5.1)具有2n+1次代数精度，则称其节点xk

(k＝0，1，…，n)为高斯点，相应公式(5.1)称为高斯求积公式.根据定义要使(5．1)具有2n+1次代数精度，只要取f(x)＝xm，对m＝0，1，…，2n+1，(5.1)精确成立，则得

当给定权函数r(x)，求出右端积分，则可由(5.2)解得Ak及xk(k＝0，1，…，n)．从教材例5看到求解非线性方程组(5.2)较复杂，通常n≥2就很难求解．故一般不通过解方程(5.2)求xk及Ak(k＝0，1，…，n)，而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式．一、高斯点定义4如果求积公式(5.1)具12定理5插值型求积公式(5.1)的节点a≤x0＜xl＜…＜xn≤b是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式

与任何次数不超过n的多项式P(x)带权r(x)正交，即定理表明在[a，b]上带权r(x)的n+1次正交多项式的零点就是求积公式(5.1)的高斯点，有了求积节点xk(k＝0，l，…，n)，再利用(5.2)对m＝0，l，…，n成立，则得到一组关于求积系数A0，A1，…，An的线性方程．解此方程则得Ak(k＝0，1，…，n).也可直接由x0，x1，…，xn的插值多项式求出求积系数Ak(k=0,1,…,n).定理5插值型求积公式(5.1)的节点a13二、高斯求积公式的余项利用f(x)在节点xk(k=0，1，…，n)的埃尔米特插值H2n+1

(x)，即于是，两端乘r(x)，并由a到b积分，则得其中右端第一项积分对2n+1次多项式精确成立，故

由于≥0，故由积分中值定理得(5.1)的余项为二、高斯求积公式的余项利用f(x)在节点14三、高斯求积公式的稳定性与收敛性定理6高斯求积公式(5.1)的求积系数Ak(k＝0，1，…，n)全是正的．由本定理及定理2，则得推论高斯求积公式(5.1)是稳定的.定理7设f(x)∈C[a，b]，则高斯求积公式(5.1)是收敛的，即三、高斯求积公式的稳定性与收敛性定理615四、常用的高斯型求积公式1、高斯—勒让德求积公式勒让德多项式是区间[-1，1]上权函数r(x)=1的正交多项式，若以勒让德多项式的零点为高斯点，则求积公式称为高斯—勒让德求积公式.四、常用的高斯型求积公式1、高斯—勒让德求积公式16[工学]数值计算cxj课件17高斯—勒让德求积公式(5.9)的余项由(5.8)得高斯—勒让德求积公式(5.9)的余项由(5.8)得182、高斯—切比雪夫求积公式切比雪夫正交多项式是区间[-1，1]上权函数的正交多项式，若选取n+1次多项式的零点2、高斯—切比雪夫求积公式切比雪夫正交多19为高斯点，则求积公式称为高斯—切比雪夫求积公式.相应的求积系数其中，lk(x)是关于所选节点的拉格朗日插值基函数.使用时将n+1个节点公式改为n个节点，于是高斯—切比雪夫求积公式可写成公式(5.13)的余项由(5.8)可算得为高斯点，则求积公式其中，lk(x)是关于所选节点的拉格朗日20与积分相反，数值微分非常困难。积分描述了一个函数的整体或宏观性质，而微分则描述一个函数在一点处的斜率，这是函数的微观性质。因此积分对函数的形状在小范围内的改变不敏感。而微分却很敏感。一个函数小的变化，容易产生相邻点的斜率的大的改变。

由于微分这个固有的困难，所以应尽可能避免数值微分，特别是对实验获得的数据进行微分。在这种情况下，最好用最小二乘曲线拟合这种数据，然后对所得到的多项式进行微分。或用另一种方法，对该数据进行三次样条拟合，然后寻找该样条函数的微分。§6数值微分与积分相反，数值微分非常困难。积分描述了一个21一、中点方法与误差分析数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值．按导数定义可以简单地用差商近似导数，这样立即得到几种数值微分公式其中h为一增量．称为步长．后一种数值微分方法称为中点方法、它是前两种方法的算术平均．但它的误差阶却由O(h)提高到O(h2)．上面所给出的三个公式是很实用的．尤其是中点公式更为常用．一、中点方法与误差分析数值微分就是用函数值的22为要利用中点公式计算导数的近似值，首先须选取合适的步长．为此需要进行误差分析．分别将在x=a处做泰勒展开有代入G(h)得由此得知，从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确.且其中为要利用中点公式计算导数的近似值，首先须选取合适的步长．为此23再考察舍入误差．按中点公式计算，当h很小时，因f(a+h)与f(a-h)很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失(参看第1章第4节)．因此，从舍入误差的角度来看，步长不宜太小．则计算当f(a+h)及f(a-h)分别有舍入误差1及2时，若令的舍入误差上界为步长h不宜太大，也不宜太小．其最优步长应为．它表明h越小，舍入误差越大，故它是病态的．用中点公式计算的误差上界为要使误差E(h)最小，再考察舍入误差．按中点公式计算，当h很小时，24二、插值型的求导公式xx0

x1

x2

…xnyy0

y1

y2

…yn

对于列表函数y=f(x)：运用插值原理，可以建立插值多项式y=Pn(x)作为它的近似．由于多项式的求导比较容易，我们取统称插值型的求导公式．的近似值，这样建立的数值公式的值作为依据插值余项定理，求导公式(6．3)的余项为式中二、插值型的求导公式xx025如果我们限定求某个节点xk上的导数值，那么上面的第二项因式变为零，这时有余项公式下面我们仅仅考察节点处的导数值．为简化讨论，假定所给的节点是等距的．1．两点公式设已给出两个节点x0，x1上的函数值f(x0)，f(x1)，做线性插值得公式对上式两端求导，记x1–x0=h，有如果我们限定求某个节点xk上的导数值，那26于是有下列求导公式：而利用余项公式(6.4)知，带余项的两点公式是：于是有下列求导公式：而利用余项公式(6.4)知，带余项的两272．三点公式设已给出三个节点x0，xl=x0+h，x2=x0+2h上的函数值，做二次插值令x=x0+th，则2．三点公式令x=x0+th，则28这里撇号(’)表示对变量x求导数．上式分别取t=0，1，2，得到三种三点公式：而带余项的三点求导公式如下：这里撇号(’)表示对变量x求导数．上式分别取t=0，1，29公式(6.6)是我们所熟悉的中点公式．在三点公式中，它由于少用了一个函数值f(x1)而引人注目．用插值多项式Pn(x)作为f(x)的近似函数，还可以建立高阶数值微分公式：例如，将式(6.5)再对t求导一次，有于是有而带余项的二阶三点公式如下：公式(6.6)是我们所熟悉的中点公式．在三点公式中，它由于少30三、利用数值积分求导微分是积分的逆运算，因此可利用数值积分的方法来计算数值微分．设f(x)是一个充分光滑的函数，设则有：对上式右边积分采用不同的求积公式就可得到不同的数值微分公式．例如，对用中矩形公式则得从而得到中点微分公式三、利用数值积分求导微分是积分的逆运算，因此31若对(6.8)右端积分用辛普森求积公式，则有上式略去余项，并记普森数值微分公式的近似值为mk，则得到辛这是关于m0，m1，…，mn这n+1个未知量的n-1个方程组，可用解方程的方法求解.若对(6.8)右端积分用辛普森求积公式，则有上式略去余项，并32第四章数值积分与数值微分（二）第四节龙贝格求积公式第五节高斯求积公式第六节数值微分第四节龙贝格求积公式第五节高斯求积公式第六节33一、梯形法的递推化上一节介绍的复化求积方法对提高精度是行之有效的，但在使用求积公式之前必须给出合适的步长，步长取得太大精度难以保证，步长太小则会导致计算量的增加，而事先给出一个恰当的步长又往往是困难的．实际计算中常常采用变步长的计算方案，即在步长逐次分半(即步长二分)的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直至所求得的积分值满足精度要求为止．设将求积区间[a，b]分成n等分，则一共有n+1个分点，按梯形公式计算积分值Tn，需要提供n+1个函数值．如果将求积区间再二分一次，则分点增至2n+1个，我们将二分前后两个积分值联系起来加以考察．§4龙贝格求积公式一、梯形法的递推化上一节介绍的复化求积方法对34注意到每个子区间[xk，xk+1]经过二分只增加了一个分点xk+1/2＝(xk+xk+1)/2，用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为注意到每个子区间[xk，xk+1]经过二分只35二、龙贝格算法根据复化梯形公式的余项表达式可见，利用两种步长计算的结果能估计截断误差.若将该截断误差加到计算结果中，就可得出“改进梯形求积公式”：二、龙贝格算法根据复化梯形公式的余项表达式可见，利用两种步长36改进梯形求积公式的右边实际是这就是说用梯形法二分前后的两个积分值Tn与T2n的线性组合的结果得到复化辛普森法求积公式改进梯形求积公式的右边实际是这就是说用梯形法二分前后的两个积37类似的情况，用辛普森法二分前后的两个积分值Sn与S2n的线性组合的结果可得到复化柯特斯求积公式重复同样的手续，用柯特斯法二分前后的两个积分值Cn与C2n的线性组合的结果可得到龙贝格(Romberg)求积公式我们在变步长的过程中运用加速公式(1)、(2)、(3)，就能将粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度较高的辛普森值Sn、柯特斯值Cn和龙贝格值Rn.

龙贝格求积算法可用下表来表示：类似的情况，用辛普森法二分前后的两个积分值S38[工学]数值计算cxj课件39三、理查森(Richardson)外推加速法上面讨论说明由梯形公式出发，将区间[a，b]逐次二分可提高求积公式的精度，上述加速过程还可继续下去，其理论依据是梯形公式的余项展开，即若记Tn=T(h)，当区间[a，b]分为2n等分时，有，则可见I=T(h)的误差为O(h2)阶.若记，则三、理查森(Richardson)外推加速法40显然T1(h)与积分值I近似的阶为O(h4).这样构造的

就是辛普森公式序列Sn，S2n，….若令，则又可进一步从余项中消去h4项，这样构造出的，其实就是柯特斯公式序列，它与积分值I的逼近阶为 O(h6).如此继续下去，每加速一次，误差的量级便提高2阶，一般地，若记T0(h)=T(h)，经过m(m=1，2，…)次加速后，则有显然T1(h)与积分值I近似的阶为O(h4).这样构造41可以证明，如果f(x)充分光滑，那么T数表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分值I，即可以证明，如果f(x)充分光滑，那么T42机械求积公式含有2n+2个待定参数xk、Ak(k＝0，1，…，n)．当xk为等距节点时得到的插值求积公式的代数精度至少为n次，如果适当选取xk

(k＝0，1，…，n)，有可能使求积公式具有2n+1次代数精度，这类求积公式称为高斯(Gauss)求积公式.为使问题更具一般性，我们研究带权积分，这里r(x)为权函数，类似机械求积公式，它的求积公式为

Ak(k＝0，1，…，n)为不依赖于f(x)的求积系数，xk(k＝0，1，…，n)为求积节点，可适当选取xk及Ak(k＝0，1，…，n)使积分(1)具有2n+1次代数精度．§5高斯求积公式机械求积公式43一、高斯点定义4如果求积公式(5.1)具有2n+1次代数精度，则称其节点xk

(k＝0，1，…，n)为高斯点，相应公式(5.1)称为高斯求积公式.根据定义要使(5．1)具有2n+1次代数精度，只要取f(x)＝xm，对m＝0，1，…，2n+1，(5.1)精确成立，则得

当给定权函数r(x)，求出右端积分，则可由(5.2)解得Ak及xk(k＝0，1，…，n)．从教材例5看到求解非线性方程组(5.2)较复杂，通常n≥2就很难求解．故一般不通过解方程(5.2)求xk及Ak(k＝0，1，…，n)，而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式．一、高斯点定义4如果求积公式(5.1)具44定理5插值型求积公式(5.1)的节点a≤x0＜xl＜…＜xn≤b是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式

与任何次数不超过n的多项式P(x)带权r(x)正交，即定理表明在[a，b]上带权r(x)的n+1次正交多项式的零点就是求积公式(5.1)的高斯点，有了求积节点xk(k＝0，l，…，n)，再利用(5.2)对m＝0，l，…，n成立，则得到一组关于求积系数A0，A1，…，An的线性方程．解此方程则得Ak(k＝0，1，…，n).也可直接由x0，x1，…，xn的插值多项式求出求积系数Ak(k=0,1,…,n).定理5插值型求积公式(5.1)的节点a45二、高斯求积公式的余项利用f(x)在节点xk(k=0，1，…，n)的埃尔米特插值H2n+1

(x)，即于是，两端乘r(x)，并由a到b积分，则得其中右端第一项积分对2n+1次多项式精确成立，故

由于≥0，故由积分中值定理得(5.1)的余项为二、高斯求积公式的余项利用f(x)在节点46三、高斯求积公式的稳定性与收敛性定理6高斯求积公式(5.1)的求积系数Ak(k＝0，1，…，n)全是正的．由本定理及定理2，则得推论高斯求积公式(5.1)是稳定的.定理7设f(x)∈C[a，b]，则高斯求积公式(5.1)是收敛的，即三、高斯求积公式的稳定性与收敛性定理647四、常用的高斯型求积公式1、高斯—勒让德求积公式勒让德多项式是区间[-1，1]上权函数r(x)=1的正交多项式，若以勒让德多项式的零点为高斯点，则求积公式称为高斯—勒让德求积公式.四、常用的高斯型求积公式1、高斯—勒让德求积公式48[工学]数值计算cxj课件49高斯—勒让德求积公式(5.9)的余项由(5.8)得高斯—勒让德求积公式(5.9)的余项由(5.8)得502、高斯—切比雪夫求积公式切比雪夫正交多项式是区间[-1，1]上权函数的正交多项式，若选取n+1次多项式的零点2、高斯—切比雪夫求积公式切比雪夫正交多51为高斯点，则求积公式称为高斯—切比雪夫求积公式.相应的求积系数其中，lk(x)是关于所选节点的拉格朗日插值基函数.使用时将n+1个节点公式改为n个节点，于是高斯—切比雪夫求积公式可写成公式(5.13)的余项由(5.8)可算得为高斯点，则求积公式其中，lk(x)是关于所选节点的拉格朗日52与积分相反，数值微分非常困难。积分描述了一个函数的整体或宏观性质，而微分则描述一个函数在一点处的斜率，这是函数的微观性质。因此积分对函数的形状在小范围内的改变不敏感。而微分却很敏感。一个函数小的变化，容易产生相邻点的斜率的大的改变。

由于微分这个固有的困难，所以应尽可能避免数值微分，特别是对实验获得的数据进行微分。在这种情况下，最好用最小二乘曲线拟合这种数据，然后对所得到的多项式进行微分。或用另一种方法，对该数据进行三次样条拟合，然后寻找该样条函数的微分。§6数值微分与积分相反，数值微分非常困难。积分描述了一个53一、中点方法与误差分析数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值．按导数定义可以简单地用差商近似导数，这样立即得到几种数值微分公式其中h为一增量．称为步长．后一种数值微分方法称为中点方法、它是前两种方法的算术平均．但它的误差阶却由O(h)提高到O(h2)．上面所给出的三个公式是很实用的．尤其是中点公式更为常用．一、中点方法与误差分析数值微分就是用函数值的54为要利用中点公式计算导数的近似值，首先须选取合适的步长．为此需要进行误差分析．分别将在x=a处做泰勒展开有代入G(h)得由此得知，从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确.且其中为要利用中点公式计算导数的近似值，首先须选取合适的步长．为此55再考察舍入误差．按中点公式计算，当h很小时，因f(a+h)与f(a-h)很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失(参看第1章第4节)．因此，从舍入误差的角度来看，步长不宜太小．则计算当f(a+h)及f(a-h)分别有舍入误差1及2时，若令的舍入误差上界为步长h不宜太大，也不宜太小．其最优步长应为．它表明h越小，舍入误差越大，故它是病态的．用中点公式计算的误差上界为要使误差E(h)最小，再考察舍入误差．按中点公式计算，当h很小时，56二、插值型的求导公式xx0

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