第十应力状态和强度理论课件

第十章应力状态和强度理论

§10–1应力状态的概念§10–2平面应力状态分析——解析法§10–3平面应力状态分析——图解法§10-4梁的主应力及其主应力迹线§10-5三向应力状态研究——应力圆法§10-6平面内的应变分析§10-7复杂应力状态下的应力--应变关系

——（广义虎克定律）§10-8复杂应力状态下的变形比能第十章应力状态和强度理论§10–1应力状态的概1§10–9强度理论的概念§10–10四个强度理论及其相当应力§10–11莫尔强度理论及其相当应力§10-12强度理论的应用§10–9强度理论的概念§10-12强度理论的应21、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？2、组合变形杆将怎样破坏？§10－１应力状态的概念应力状态与应变状态一、引子：1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？2、组合变3四、普遍状态下的应力表示

三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质——a、平行面上，应力均布；b、平行面上，应力相等。二、一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（StateofStressataGivenPoint）。应力状态与应变状态四、普遍状态下的应力表示三、单元体：单元体—4三、剪应力互等定理（TheoremofConjugateShearingStress):过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则,两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。应力状态与应变状态三、剪应力互等定理（TheoremofConjugate5五、原始单元体（已知单元体）：例10-1-1画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。应力状态与应变状态五、原始单元体（已知单元体）：例10-1-1画出下列图6六、主单元体、主面、主应力：、主单元体(Principalbidy)：各侧面上剪应力均为零的单元体。、主面(PrincipalPlane)：剪应力为零的截面。、主应力(PrincipalStress）：主面上的正应力。、主应力排列规定：安代数值大小，、三向应力状态（Three—DimensionalStateofStress）：三个主应力都不为零的应力状态。应力状态与应变状态六、主单元体、主面、主应力：、主单元体(Principal7、二向应力状态（PlaneStateofStress）：一个主应力为零的应力状态。、单向应力状态（UnidirectionalStateofStress）：一个主应力不为零的应力状态。

应力状态与应变状态、二向应力状态（PlaneStateofStress8§10－2平面应力状态分析——解析法应力状态与应变状态§10－2平面应力状态分析——解析法应力状态与应变状态9规定：、截面外法线同向为正；

、ta绕研究对象顺时针转为正；

、a逆时针为正。图1设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：一、任意斜截面上的应力应力状态与应变状态规定：、截面外法线同向为正；图1设：斜截面面积为S，10图1考虑剪应力互等和三角变换，得：同理：应力状态与应变状态图1考虑剪应力互等和三角变换，得：同理：应力状态与应变状态11二、极值应力´´应力状态与应变状态二、极值应力´´应力状态与应变状态12在剪应力相对的项限内，且偏向于x及y大的一侧。´´应力状态与应变状态222xyyxminmaxtsstt+-±=îí좢）（在剪应力相对的项限内，´´应力状态与应变状态222x13例：10—2—1分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原始单元体求极值应力应力状态与应变状态例：10—2—1分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并14破坏分析应力状态与应变状态破坏分析应力状态与应变状态15§10－3平面应力状态分析——图解法对上述方程消参（2），得：此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：OttoMohr引入）一、应力圆（

StressCircle）应力状态与应变状态§10－3平面应力状态分析——图解法对上述方程消参（216图2、建立应力坐标系，如图2，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法、在坐标系内画出点A（x，xy）和B（y，yx）

、AB与sa轴的交点C便是圆心。、以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆，；图12应力状态与应变状态图2、建立应力坐标系，如图2，二、应力圆的画法、在坐标系17图2图12应力状态与应变状态三、单元体与应力圆的对应关系、面上的应力（，）←→应力圆上一点（，）、面的法线←→应力圆的半径、两面夹角←→两半径夹角2；且转向一致。图2图12应力状态与应变状态三、单元体与应力圆的对应关系182

0四、在应力圆上标出极值应力´´应力状态与应变状态20四、在应力圆上标出极值应力´´应力状态与应变状态19例10-3-1求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)CAB2

0

1

2解：、建立应力坐标系如图在坐标系内画出点、AB的垂直平分线与sa轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆

0应力状态与应变状态例10-3-1求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：20CAB2

0

1

2

0应力状态与应变状态、主应力及主平面如图CAB20120应力状态与应变状态、主21解法2——解析法：分析——建立坐标系如图xyo60°应力状态与应变状态解法2——解析法：分析——建立坐标系如图xyo60°应力状态22§10－4梁的主应力及其主应力迹线Pqx12345yo

x

y3

x

x

y2

x1taosataosataosa123

1

3

1

3应力状态与应变状态§10－4梁的主应力及其主应力迹线Pqx12345yo23

x5

x

x

y4taosa4taosa5

1

3

1

3主应力迹线（StressTrajectories)：主应力方向线的包洛线——曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。

1

3实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。应力状态与应变状态x5xxy4taosa4taosa5124xy主应力迹线的画法：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd

1

3

1

3应力状态与应变状态xy主应力迹线的画法：11223344iinnbacd125§10－5三向应力状态研究——应力圆法satao应力状态与应变状态§10－5三向应力状态研究——应力圆法satao应力状态与262、三向应力分析：弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图a图b：整个单元体内的最大剪应力为：231sst-=maxtmax应力状态与应变状态2、三向应力分析：弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截27例：10—5—1求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa）解：、由单元体图a知：yz面为主面、建立应力坐标系如图，画图b的应力圆和点1′,得:xyz305040图aCBAsatao(M

Pa)（M

Pa）10ABC

1

3

2tmax应力状态与应变状态例：10—5—1求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MP28§10－6平面内的应变分析xyo一、叠加法求应变分析公式abcdaAOBDD1EE1剪应变：直角的增大量！（只有这样，前后才对应）应力状态与应变状态§10－6平面内的应变分析xyo一、叠加法求应变分析公29DD2EE2abcdaAOBxyo应力状态与应变状态DD2EE2abcdaAOBxyo应力状态与应变状态30abcdaAOBDD3EE3xyo应力状态与应变状态abcdaAOBDD3EE3xyo应力状态与应变状态31应力状态与应变状态应力状态与应变状态322、已知一点A的应变（），画应变圆二、应变分析图解法——应变圆（StrainCircle）

a2ao1、应变圆与应力圆的类比关系、建立应变坐标系如图、在坐标系内画出点A（x，xy/2）

B（y，-yx/2）

、AB与a轴的交点C便是圆心、以C为圆心，以AC为半径画圆——应变圆。AB应力状态与应变状态2、已知一点A的应变（），二33

a2aoAB、方向上的应变（，/2）←→应变圆上一点（，/2）三、方向上的应变与应变圆的对应关系、方向线←→应变圆的半径、两方向间夹角←→两半径夹角2；且转向一致。maxmin20D(，/2)2n应力状态与应变状态a2aoAB、方向上的应变（，/34四、主应变数值及其方位应力状态与应变状态四、主应变数值及其方位应力状态与应变状态35例10—6—1已知一点在某一平面内的1、2、3、方向上的应变1、2、3，三个线应变，求该面内的主应变。解：由i=1、2、3这三个方程求出x，y，xy；然后在求主应变。应力状态与应变状态例10—6—1已知一点在某一平面内的1、2、36例10—6—2用45°应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。xyu45o0max应力状态与应变状态例10—6—2用45°应变花测得一点的三个线应变后，求该点37§10－7复杂应力状态下的应力--应变关系

——（广义虎克定律）一、单拉下的应力---应变关系xyz

x二、纯剪的应力---应变关系xyz

x

y应力状态与应变状态§10－7复杂应力状态下的应力--应变关系

38三、复杂状态下的应力---应变关系xyzxxyzy依叠加原理,得:应力状态与应变状态三、复杂状态下的应力---应变关系xyzxxy39123主应力---主应变关系四、平面状态下的应力---应变关系:方向一致应力状态与应变状态123主应力---主应变关系四、平面状态下的40主应力与主应变方向一致?应力状态与应变状态主应力与主应变方向一致?应力状态与应变状态41五、体积应变与应力分量间的关系a3123a1a2体积应变：体积应变与应力分量间的关系:应力状态与应变状态五、体积应变与应力分量间的关系a3123a1a242例：10—7—1已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6，

2=-16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为=0.3，试求该点处的主应力及另一主应变。´2´1所以，该点处的平面应力状态应力状态与应变状态例：10—7—1已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内43me3342.-=应力状态与应变状态me3342.-=应力状态与应变状态44例：10—7—3,图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变t=350×l06，若已知容器平均直径D=500mm，壁厚=10mm，容器材料的E=210GPa，=0.25，试:1．导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2。计算容器所受的内压力.1、轴向应力:(longitudinalstress)解：1容器的环向和纵向应力表达式用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程应力状态与应变状态例：10—7—3,图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器45用纵截面将容器截开，受力如图c所示2、环向应力：(hoopstress)3、求内压（以应力应变关系求之）t

m外表面应力状态与应变状态用纵截面将容器截开，受力如图c所示2、环向应力：(hoop46§10－8复杂应力状态下的变形比能

2

3

1图a

m

m

m图b

2

3

1-

m-

m-

m图c应力状态与应变状态§10－8复杂应力状态下的变形比能231图a47231-m-m-m图c称为形状改变比能或歪形能应力状态与应变状态231-m-m-m图c称为形状改变48xyＡ13例：10—8—1，用能量法证明三个弹性常数间的关系。、纯剪单元体的比能为：、纯剪单元体比能的主应力表示为：应力状态与应变状态xyＡ13例：10—8—1，用能量法证明三个弹性常49一、引子：2、组合变形杆将怎样破坏？§10－9强度理论的概念强度理论1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？一、引子：2、组合变形杆将怎样破坏？§10－9强度理论的概50二、强度理论：是关于“构件发生强度失效（failurebyloststrength）起因”的假说。1、伽利略播下了第一强度理论的种子；三、材料的破坏形式：1.屈服；2.断裂。2、马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的萌芽；3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪应力理论；4、麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论（maximumdistortionenergytheory）；这是后来人们在他的书信出版后才知道的。强度理论二、强度理论：是关于“构件发生强度失效（failureby51§10－10四个强度理论及其相当应力一、最大拉应力（第一强度）理论：认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。1、破坏判据：2、强度准则：3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。强度理论§10－10四个强度理论及其相当应力一、最大拉应力（第一52二、最大伸长线应变（第二强度）理论：认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。1、破坏判据：2、强度准则：3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。强度理论二、最大伸长线应变（第二强度）理论：认为构件的断裂是由最1、53三、最大剪应力（第三强度）理论：认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。当最大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时，构件就破坏了。1、破坏判据：3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。2、强度准则：强度理论三、最大剪应力（第三强度）理论：认为构件的屈服是由最大剪应力54四、形状改变比能（第四强度）理论：认为构件的屈服是由形状改变比能引起的。当形状改变比能达到单向拉伸试验屈服时形状改变比能时，构件就破坏了。1、破坏判据：2、强度准则3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。强度理论四、形状改变比能（第四强度）理论：认为构件的屈服是由形状改变55§10－11莫尔强度理论及其相当应力莫尔认为：最大剪应力是使物体破坏的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫尔摩擦定律）。综合最大剪应力及最大正应力的因素，莫尔得出了他自己的强度理论。强度理论§10－11莫尔强度理论及其相当应力莫尔认为：最大剪应力56近似包络线极限应力圆的包络线极限应力圆一、两个概念：1、极限应力圆：2、极限曲线：极限应力圆的包络线（envelope）。强度理论近似包络线极限应力圆的包络线极限应力圆一、两个概念：1、极限57[

y]saaot[

L]O1O2莫尔理论危险条件的推导2、强度准则：1、破坏判据：O3

1

3MKLPN二、莫尔强度理论：任意一点的应力圆若与极限曲线相接触，则材料即将屈服或剪断。强度理论[y]saaot[L]O1O2莫尔理论危险条件的推导58三、相当应力：（强度准则的统一形式）。其中，*——相当应力。强度理论3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件及其拉压极限强度不等的处于复杂应力状态的脆性材料的破坏（岩石、混凝土等）。三、相当应力：（强度准则的统一形式）。其中，*——相当应59§10－12强度理论的应用一、强度计算的步骤：1、外力分析：确定所需的外力值。2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。3、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体，求主应力。4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行强度计算。强度理论§10－12强度理论的应用一、强度计算的步骤：1、外力60二、强度理论的选用原则：依破坏形式而定。1、脆性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；3、简单变形时：一律用与其对应的强度准则。如扭转，都用：2、塑性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；4、破坏形式还与温度、变形速度等有关！当最小主应力小于零而最大主应力大于零时，使用莫尔理论。当最大主应力小于等于零时，使用第三或第四理论。其他应力状态时，使用第三或第四理论。强度理论二、强度理论的选用原则：依破坏形式而定。1、脆性材料：当最小61解：危险点A的应力状态如图：例10-12-1直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN,为铸铁构件，[]=40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度。故，安全。强度理论解：危险点A的应力状态如图：例10-12-1直径为d=0.62解：由广义虎克定律得:例12-12-2薄壁圆筒受最大内压时,测得x=1.8810-4,y=7.3710-4,已知钢的E=210GPa，[]=170MPa,泊松比=0.3，试用第三强度理论校核其强度。所以，此容器不满足第三强度理论。不安全A强度理论解：由广义虎克定律得:例12-12-2薄壁圆筒受最大内压63破坏判据：例12-12-4一铸铁构件bL=400MPa，by=1200MPa，一平面应力状态点按莫尔强度理论屈服时，最大剪应力为450MPa，试求该点的主应力值。解：做莫尔理论分析图强度理论破坏判据：例12-12-4一铸铁构件bL=40064强度理论强度理论65本章结束本章结束66第十章应力状态和强度理论

§10–1应力状态的概念§10–2平面应力状态分析——解析法§10–3平面应力状态分析——图解法§10-4梁的主应力及其主应力迹线§10-5三向应力状态研究——应力圆法§10-6平面内的应变分析§10-7复杂应力状态下的应力--应变关系

——（广义虎克定律）§10-8复杂应力状态下的变形比能第十章应力状态和强度理论§10–1应力状态的概67§10–9强度理论的概念§10–10四个强度理论及其相当应力§10–11莫尔强度理论及其相当应力§10-12强度理论的应用§10–9强度理论的概念§10-12强度理论的应681、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？2、组合变形杆将怎样破坏？§10－１应力状态的概念应力状态与应变状态一、引子：1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？2、组合变69四、普遍状态下的应力表示

三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质——a、平行面上，应力均布；b、平行面上，应力相等。二、一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（StateofStressataGivenPoint）。应力状态与应变状态四、普遍状态下的应力表示三、单元体：单元体—70三、剪应力互等定理（TheoremofConjugateShearingStress):过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则,两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。应力状态与应变状态三、剪应力互等定理（TheoremofConjugate71五、原始单元体（已知单元体）：例10-1-1画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。应力状态与应变状态五、原始单元体（已知单元体）：例10-1-1画出下列图72六、主单元体、主面、主应力：、主单元体(Principalbidy)：各侧面上剪应力均为零的单元体。、主面(PrincipalPlane)：剪应力为零的截面。、主应力(PrincipalStress）：主面上的正应力。、主应力排列规定：安代数值大小，、三向应力状态（Three—DimensionalStateofStress）：三个主应力都不为零的应力状态。应力状态与应变状态六、主单元体、主面、主应力：、主单元体(Principal73、二向应力状态（PlaneStateofStress）：一个主应力为零的应力状态。、单向应力状态（UnidirectionalStateofStress）：一个主应力不为零的应力状态。

应力状态与应变状态、二向应力状态（PlaneStateofStress74§10－2平面应力状态分析——解析法应力状态与应变状态§10－2平面应力状态分析——解析法应力状态与应变状态75规定：、截面外法线同向为正；

、ta绕研究对象顺时针转为正；

、a逆时针为正。图1设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：一、任意斜截面上的应力应力状态与应变状态规定：、截面外法线同向为正；图1设：斜截面面积为S，76图1考虑剪应力互等和三角变换，得：同理：应力状态与应变状态图1考虑剪应力互等和三角变换，得：同理：应力状态与应变状态77二、极值应力´´应力状态与应变状态二、极值应力´´应力状态与应变状态78在剪应力相对的项限内，且偏向于x及y大的一侧。´´应力状态与应变状态222xyyxminmaxtsstt+-±=îí좢）（在剪应力相对的项限内，´´应力状态与应变状态222x79例：10—2—1分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原始单元体求极值应力应力状态与应变状态例：10—2—1分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并80破坏分析应力状态与应变状态破坏分析应力状态与应变状态81§10－3平面应力状态分析——图解法对上述方程消参（2），得：此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：OttoMohr引入）一、应力圆（

StressCircle）应力状态与应变状态§10－3平面应力状态分析——图解法对上述方程消参（282图2、建立应力坐标系，如图2，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法、在坐标系内画出点A（x，xy）和B（y，yx）

、AB与sa轴的交点C便是圆心。、以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆，；图12应力状态与应变状态图2、建立应力坐标系，如图2，二、应力圆的画法、在坐标系83图2图12应力状态与应变状态三、单元体与应力圆的对应关系、面上的应力（，）←→应力圆上一点（，）、面的法线←→应力圆的半径、两面夹角←→两半径夹角2；且转向一致。图2图12应力状态与应变状态三、单元体与应力圆的对应关系842

0四、在应力圆上标出极值应力´´应力状态与应变状态20四、在应力圆上标出极值应力´´应力状态与应变状态85例10-3-1求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)CAB2

0

1

2解：、建立应力坐标系如图在坐标系内画出点、AB的垂直平分线与sa轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆

0应力状态与应变状态例10-3-1求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：86CAB2

0

1

2

0应力状态与应变状态、主应力及主平面如图CAB20120应力状态与应变状态、主87解法2——解析法：分析——建立坐标系如图xyo60°应力状态与应变状态解法2——解析法：分析——建立坐标系如图xyo60°应力状态88§10－4梁的主应力及其主应力迹线Pqx12345yo

x

y3

x

x

y2

x1taosataosataosa123

1

3

1

3应力状态与应变状态§10－4梁的主应力及其主应力迹线Pqx12345yo89

x5

x

x

y4taosa4taosa5

1

3

1

3主应力迹线（StressTrajectories)：主应力方向线的包洛线——曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。

1

3实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。应力状态与应变状态x5xxy4taosa4taosa5190xy主应力迹线的画法：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd

1

3

1

3应力状态与应变状态xy主应力迹线的画法：11223344iinnbacd191§10－5三向应力状态研究——应力圆法satao应力状态与应变状态§10－5三向应力状态研究——应力圆法satao应力状态与922、三向应力分析：弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图a图b：整个单元体内的最大剪应力为：231sst-=maxtmax应力状态与应变状态2、三向应力分析：弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截93例：10—5—1求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa）解：、由单元体图a知：yz面为主面、建立应力坐标系如图，画图b的应力圆和点1′,得:xyz305040图aCBAsatao(M

Pa)（M

Pa）10ABC

1

3

2tmax应力状态与应变状态例：10—5—1求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MP94§10－6平面内的应变分析xyo一、叠加法求应变分析公式abcdaAOBDD1EE1剪应变：直角的增大量！（只有这样，前后才对应）应力状态与应变状态§10－6平面内的应变分析xyo一、叠加法求应变分析公95DD2EE2abcdaAOBxyo应力状态与应变状态DD2EE2abcdaAOBxyo应力状态与应变状态96abcdaAOBDD3EE3xyo应力状态与应变状态abcdaAOBDD3EE3xyo应力状态与应变状态97应力状态与应变状态应力状态与应变状态982、已知一点A的应变（），画应变圆二、应变分析图解法——应变圆（StrainCircle）

a2ao1、应变圆与应力圆的类比关系、建立应变坐标系如图、在坐标系内画出点A（x，xy/2）

B（y，-yx/2）

、AB与a轴的交点C便是圆心、以C为圆心，以AC为半径画圆——应变圆。AB应力状态与应变状态2、已知一点A的应变（），二99

a2aoAB、方向上的应变（，/2）←→应变圆上一点（，/2）三、方向上的应变与应变圆的对应关系、方向线←→应变圆的半径、两方向间夹角←→两半径夹角2；且转向一致。maxmin20D(，/2)2n应力状态与应变状态a2aoAB、方向上的应变（，/100四、主应变数值及其方位应力状态与应变状态四、主应变数值及其方位应力状态与应变状态101例10—6—1已知一点在某一平面内的1、2、3、方向上的应变1、2、3，三个线应变，求该面内的主应变。解：由i=1、2、3这三个方程求出x，y，xy；然后在求主应变。应力状态与应变状态例10—6—1已知一点在某一平面内的1、2、102例10—6—2用45°应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。xyu45o0max应力状态与应变状态例10—6—2用45°应变花测得一点的三个线应变后，求该点103§10－7复杂应力状态下的应力--应变关系

——（广义虎克定律）一、单拉下的应力---应变关系xyz

x二、纯剪的应力---应变关系xyz

x

y应力状态与应变状态§10－7复杂应力状态下的应力--应变关系

104三、复杂状态下的应力---应变关系xyzxxyzy依叠加原理,得:应力状态与应变状态三、复杂状态下的应力---应变关系xyzxxy105123主应力---主应变关系四、平面状态下的应力---应变关系:方向一致应力状态与应变状态123主应力---主应变关系四、平面状态下的106主应力与主应变方向一致?应力状态与应变状态主应力与主应变方向一致?应力状态与应变状态107五、体积应变与应力分量间的关系a3123a1a2体积应变：体积应变与应力分量间的关系:应力状态与应变状态五、体积应变与应力分量间的关系a3123a1a2108例：10—7—1已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6，

2=-16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为=0.3，试求该点处的主应力及另一主应变。´2´1所以，该点处的平面应力状态应力状态与应变状态例：10—7—1已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内109me3342.-=应力状态与应变状态me3342.-=应力状态与应变状态110例：10—7—3,图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变t=350×l06，若已知容器平均直径D=500mm，壁厚=10mm，容器材料的E=210GPa，=0.25，试:1．导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2。计算容器所受的内压力.1、轴向应力:(longitudinalstress)解：1容器的环向和纵向应力表达式用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程应力状态与应变状态例：10—7—3,图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器111用纵截面将容器截开，受力如图c所示2、环向应力：(hoopstress)3、求内压（以应力应变关系求之）t

m外表面应力状态与应变状态用纵截面将容器截开，受力如图c所示2、环向应力：(hoop112§10－8复杂应力状态下的变形比能

2

3

1图a

m

m

m图b

2

3

1-

m-

m-

m图c应力状态与应变状态§10－8复杂应力状态下的变形比能231图a113231-m-m-m图c称为形状改变比能或歪形能应力状态与应变状态231-m-m-m图c称为形状改变114xyＡ13例：10—8—1，用能量法证明三个弹性常数间的关系。、纯剪单元体的比能为：、纯剪单元体比能的主应力表示为：应力状态与应变状态xyＡ13例：10—8—1，用能量法证明三个弹性常115一、引子：2、组合变形杆将怎样破坏？§10－9强度理论的概念强度理论1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？一、引子：2、组合变形杆将怎样破坏？§10－9强度理论的概116二、强度理论：是关于“构件发生强度失效（failurebyloststrength）起因”的假说。1、伽利略播下了第一强度理论的种子；三、材料的破坏形式：1.屈服；2.断裂。2、马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的萌芽；3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪应力理论；4、麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论（maximumdistortionenergytheory）；这是后来人们在他的书信出版后才知道的。强度理论二、强度理论：是关于“构件发生强度失效（failureby117§10－10四个强度理论及其相当应力一、最大拉应力（第一强度）理论：认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。1、破坏判据：2、强度准则：3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。强度理论§10－10四个强度理论及其相当应力一、最大拉应力（第一118二、最大伸长线应变（第二强度）理论：认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。1、破坏判据：2、强度准则：3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。强度理论二、最大伸长线应变（第二强度）理论：认为构件的断裂是由最1、119三、最大剪