江西省重点中学协作体2020届高三数学第一次联考试题理含解析

江西省重点中学协作体2020届高三数学第一次联考试题理含解析江西省重点中学协作体2020届高三数学第一次联考试题理含解析PAGE29-江西省重点中学协作体2020届高三数学第一次联考试题理含解析江西省重点中学协作体2020届高三数学第一次联考试题理（含解析）一、选择题1。已知（为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于(）A.第一象限 B。第二象限 C.第三象限 D。第四象限【答案】D【解析】【分析】首先化简，得到，再求出,判断对应的点位于的象限即可.【详解】因为，所以。所以，对应的点为，位于第四象限.故选:D【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查了共轭复数和复数对应点的象限，属于简单题.2.设全集，，，则（）A。或 B.或C.或 D。【答案】B【解析】【分析】求出集合、，利用补集和并集的定义可求得集合。【详解】或，，或，因此,或.故选：B.【点睛】本题考查补集和并集的混合运算，同时也考查了对数型复合函数定义域和指数函数值域的求解,考查计算能力，属于基础题.3。已知等差数列的公差为，，若是和的等比中项，则（）A. B. C。 D。【答案】B【解析】【分析】首先根据题意得到，再转化为,计算即可.【详解】由题知:，即：,整理得：。因为，所以，解得.故选:B【点睛】本题主要考查等差，等比数列综合应用，同时考查了等比中项,属于简单题4.函数的大致图象为(）A. B.C. D。【答案】A【解析】【分析】分析函数在处的取值，以及该函数在区间函数值符号、该函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对于函数，当时，,即该函数图象过原点，排除B选项；当时，，则，排除D选项当时，，所以，函数不是奇函数，排除C选项.故选：A.【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般需分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号,结合排除法得出正确选项,考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题。5.已知，则下列结论中一定不正确的是（）A。 B. C。 D.【答案】C【解析】【分析】分、和,利用换底公式、不等式的性质以及对数函数的单调性可得出结论。【详解】分以下三种情况讨论:①当时,由换底公式可得，,，可得；②当时，由换底公式得，，，可得；③当时，由换底公式可得,，，可得。综上所述,不可能的是。故选：C.【点睛】本题考查利用对数的大小关系比较底数的大小关系,考查换底公式和对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.6.已知,则的展开式中的的系数为（）A。 B。 C。 D。【答案】A【解析】【分析】首先根据微积分定理得到,再求出展开式的通项，即可得到答案.【详解】由题知：，因为,所以.所以展开式的通项。令，得：.故展开式中的的系数为.故选：A【点睛】本题主要考查二项式定理，同时考查了微积分定理，熟记二项式定理展开式的通项为解题的关键，属于中档题。7。有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光。”现有甲乙两位游客慕名来到江西旅游,分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件：甲和乙至少一人选择庐山，事件:甲和乙选择的景点不同，则条件概率(）A. B. C. D。【答案】D【解析】【分析】首先根据题意分别算出和，再利用条件概率公式计算即可。【详解】由题知:事件:甲和乙至少一人选择庐山共有：种情况，事件：甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择庐山，共有种情况，。故选：D【点睛】本题主要考查条件概率，理解条件概率及掌握公式为解题的关键，属于中档题.8.把函数的图像先向右平移个单位，得到函数的图像，再将的图像上的所有点的横坐标变成原来的，得到函数的图像，则下列说法正确的是(）A。函数的最小正周期为B.是函数图像的一个对称中心C。函数图像的一条对称轴方程为D.函数在区间上单调递增【答案】C【解析】【分析】由三角公式可得,再通过平移变换及周期变换得到，再利用三角函数的性质逐一判断即可。【详解】解：，则，，此时,故A错误；当时，，故B错误;当时，，故C正确;当，则，因为函数在上不是单调函数，则函数在区间上单不是单调函数，故D错误。故选：C。【点睛】本题考查三角恒等变形，考查三角函数的性质，是基础题.9.生活中我们通常使用十进制计数法，计算机常用二进制和十六进制，其中十六进制是逢十六进一，采用数字和字母共个计算符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：十六进制0123456789ABCDEF十进制0123456789101112131415例如:用十六进制表示,,，则（）A B. C. D。【答案】B【解析】【分析】首先计算出的值，再根据十六进制的含义表示出结果。【详解】解：∵，

余，

余，

∴用十六进制表示为.

故选：B。【点睛】本题考查对十六进制含义的理解，是基础题.10.已知定义在上的函数满足，当时，,若，则实数的取值范围为(）A B. C。 D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，可得出该函数为偶函数，利用导数分析出函数在上单调递增，进而可得出该函数在上单调递减，将所求不等式变形为，可得,可得出，由此可解得实数的取值范围。【详解】由可得,构造函数，则，所以,函数为偶函数，当时，，所以,函数在上单调递增,则该函数在上单调递减,，由得,即,即，则，由于函数在上单调递减，所以，，解得。因此,实数的取值范围是。故选：B。【点睛】本题考查函数不等式的求解，利用题中等式构造新函数是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题。11.已知的面积为,，为线段上一点，,点在线段和上的投影分别为点，则的面积为（)A. B。 C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用三角形的面积公式得到，之后根据比值得到小三角形的面积,进而求得，之后应用三角形面积公式求得结果。【详解】因为的面积为，,所以，所以，即，因为，所以，又因为，所以，同理可得,所以，因为，所以，因为，所以，故选:B。【点睛】该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有三角形的面积公式，属于中档题.12.已知双曲线的焦距为，直线与双曲线的渐近线分别交于两点，若的中点在双曲线上，为坐标原点，且的面积为，则双曲线的离心率为（）A。 B. C。或 D.或【答案】C【解析】【分析】由渐近线设,求出中点,代入双曲线方程可得,设的倾斜角为，利用三角形面积公式，化简可得，根据双曲线性质即可求得，进而可得离心率。【详解】由题意可知只能在双曲线的同侧，当交点在轴右侧时，作图如下：双曲线，则渐近线方程为：。则,则的中点在双曲线上，可得:，即。设的倾斜角为，则，又因为的面积，，，解得:或，故离心率为：或。同理可知当交点在轴左侧，利用对称性，可转化为在轴右侧情况.故选：C。【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的关系，考查运算求解能力以及转化思想，属于难题.二、填空题13.若某班名同学某次考试数学成绩（满分分）近似服从正态分布,已知，则可估计该班分以上的人数约为______.【答案】【解析】【分析】根据考试的成绩服从正态分布，得到考试的成绩关于对称，根据，得到，进而可得到,根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数.【详解】解：∵考试的成绩服从正态分布，

∴考试的成绩关于对称，

∵，

∴,，

∴该班数学成绩在120分以上的人数约为。

故答案为：.【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义,是一个基础题，解题的关键是考试的成绩关于对称,利用对称求出要用的一段分数的频率，题目得解。14。已知实数满足不等式组，若目标函数仅在点处取最大值，则实数的取值范围为______。【答案】【解析】【分析】画出可行域，将目标函数仅在点处取最大值，转化为目标函数仅在过点时，在轴上的截距最大，得出直线的斜率范围，从而求得的取值范围.【详解】作出可行域如图所示，目标函数，令，则,即目标函数仅在过点时,在轴上的截距最大，如图旋转并观察，则的斜率,即，得。故答案为：【点睛】本题考查了线性规划中目标函数仅在某点处取最值的问题，解题的关键在于画出可行域,转化为目标函数仅在过该点取最值，确定直线的斜率的范围.15。已知棱长为的正方体中，在棱上，且，则过点且与平面平行的正方体的截面面积为______.【答案】【解析】【分析】取的中点F，取G,使，取H使，连接,根据面面平行的判定定理可证得面面,求出边长,及对角线长，根据菱形的面积公式即可求出结果.【详解】取的中点F，取G,使，取H使，连接,由平行性质可知且，即四边形为平行四边形，棱长为2的正方体中，在棱上，且，，，面，面，面面，，，四边形为菱形，，,。截面面积.故答案为：【点睛】本题考查截面面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题。16。已知抛物线的通径长为，点是抛物线上任意一点，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】由抛物线的通径公式可求得，由取最大值可得出，利用基本不等式求得,由,设,，利用双勾函数的单调性可求得的最大值。【详解】已知抛物线的通径长为,所以，抛物线的方程为，当时，,当且仅当时，等号成立，所以，，当取最大值时，，且，令,则,由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递增,因此，当时，取得最大值。故答案为：。【点睛】本题考查利用基本不等式和双勾函数求代数式的最值,同时也考查了抛物线方程的应用，考查计算能力，属于中等题。三、解答题17.在锐角中,内角、、的对应的边长分别为、、，若的面积，且.（1）求角；（2）求的值.【答案】（1）；(2）.【解析】【分析】（1）由可得出，再由结合正弦定理边角互化思想可求得的值，再由角为锐角可求得角的值；(2）由(1）可得，再由余弦定理可求得的值。【详解】（1）因为，所以，而,即，所以,又因为为锐角，所以；（2）由(1）知，又因为，则，由余弦定理得，因此,.【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想和三角形面积公式的应用，同时也考查了利用余弦定理解三角形,考查计算能力，属于基础题。18.已知椭圆的短轴长为,且椭圆经过点.（1）求椭圆的方程；(2）已知点是椭圆上关于原点的对称点，记，求的取值范围。【答案】（1）(2)【解析】【分析】（1）先由短轴长求出，再将点的坐标代入椭圆方程可得，进而可得椭圆方程；（2）设,则，由点在椭圆上得到,代入点的坐标可得,由的范围可得的取值范围。【详解】解：（1)依题意得，即，将点的坐标代入椭圆方程得：,又因为,解得，所以椭圆的方程为；（2）设，则，有，即，则，又因为，所以。【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查椭圆的对称性及有界性的应用，是中档题.19。如图所示，正方形边长为,将沿翻折到的位置,使得二面角的大小为.（1）证明：平面平面；（2）点在直线上，且直线与平面所成角正弦值为，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；(2)【解析】【分析】（1)根据已知可得，证明得平面，即可证明结论；（2)由（1）得即为二面角的平面角，即，建立如下图直角坐标系,得出坐标，设，由已知条件结合直线与平面所成角公式，求出，确定坐标，分别求出平面和平面法向量坐标，再由空间向量的二面角公式，即可求解.【详解】(1）证明：设交于点，连接,即为中点，又因为，所以，因为,所以由于平面，平面，所以平面,又因为平面，所以平面平面。（2)因为，所以即为二面角的平面角，即，得，由，以点原点建立如图空间直角坐标系，则，，,，设，所以平面的一个法向量可为，因为直线与平面所成角正弦值为所以，解得，所以，，设平面的法向量为,则，即,令，得，因为,设平面的法向量为，则，即，令，得,所以，即二面角余弦值为.【点睛】本题考查空间线、面位置关系,证明平面与平面垂直，以及应用空间向量法求线面与面面所成的角,注意空间垂直关系相互转化，考查逻辑推理和计算求解能力，属于中档题。20。已知函数(,为自然对数的底数）.（1)若，求函数的图像在点处的切线方程；(2)在上单调递增，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先求导，求出切点坐标和斜率，再利用点斜式即可求出切线方程.(2）首先根据题意得到恒成立，令，得到，即，再分类讨论的范围证明在上单调递增即可.【详解】（1）当时,，所以,切点为，所以切线方程为，即(2）所以因为在上单调递增，则恒成立,令，则，得下面证当时，在上单调递增.构造函数当时,时，，时，得在单调递减，在单调递增。，即恒成立，整理得：恒成立，即:恒成立，所以在上单调递增。当时，显然在上单调递增。当时，时，，时,得在单调递减，在单调递增.，即：恒成立，整理得：恒成立，从而恒成立，所以在上单调递增。综上，实数的取值范围为【点睛】本题第一问主要考查导数的几何意义中的切线问题，第二问考查利用导数研究函数的单调性，根据题意构造函数为解题的关键，属于难题。21.“学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容,立足全体党员、面向全社会的优质平台“学习强国”学习平台由PC端、手机客户端两大终端组成.平台PC端有“学习新思想”、“学习文化”、“环球视野”等17个板块180多个一级栏目，手机客户端有“学习”、“视频学习”两大板块38个频道，聚合了大量可免费阅读的期刊、古籍、公开课、歌曲、戏曲、电影、图书等资料，为了让人民更好地了解中国文化，“学习强国”学习平台还推出了挑战答题贏积分活动，活动规则：在一次答题活动中，答对继续，答错离场，答错一题时可以选择分享给朋友(每次答题只有一次分享机会）,获得一次复活机会继续答题，规定每答对5道题获得积分3分，每次答题积分不超过6分.某人参与该答题活动,无论之前答对了几题，答错一题后都分享复活,假设该人答对每道题的概率均为,且各题是否答对互不影响.记该人进行一次答题活动共答对道题的概率记为，数列的前项和记为，即.（1)求出数列的通项公式和的表达式；（2)设该人进行一次答题活动中获得的积分记为,该人答对每道题的概率设为,求随机变量的分布列和数学期望。（估算时请使用以下数据:,，计算结果保留到小数点后两位.）【答案】(1）；；(2）分布列见解析；期望为。【解析】【分析】（1)根据题意可知，该人共答了道题，前道题中答错1题且最后一题是答错的，由此列式即可求出，然后利用错位相减法即可求出；（2)求出的所有可能取值并求出相应的概率，然后列出的分布列,根据数学期望公式即可求出。【详解】（1)由题意知，答题过程中每次均有两题答错后离场,且最后一题一定是答错的，故，所以①,②，①－②得:，故。(2)的所有可能取值为，，，所以的分布列为：0360.340.330。33所以的数学期望.【点睛】本题主要考查二项分布，事件独立性的概率计算及数学期望的计算，同时考查错位相减法求数列的和，属于中档题。22。在极坐标系中，点的极坐标是，曲线的极坐标方程为。以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率为的直线经过点。（1）若时，写出直线和曲线的直角坐标方程;（2）若直线和曲线