大学数学分析课件

一、可微性与全微分二、偏导数三、可微性条件

本节首先讨论二元函数的可微性,这是多元函数微分学最基本的概念.然后给出对单个自变量的变化率,即偏导数.偏导数无论在理论上或在应用上都起着关键性的作用.§1可微性与偏导数数学分析

第十七章多元函数微分学*点击以上标题可直接前往对应内容四、可微性的几何意义

及应用一、可微性与全微分二、偏导数三、可微性条件定义1设函数内有定义.

对于的全增量其中A,B是仅与点有关的常数,§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用可微性与全微分(2)若f在定义1设函数内有定义.对于的全增量其中A,由(1),(2)可见,当充分小时,全微分这里(4)可作为全增量的近似值,在使用上,有时也把(1)式写成如下形式：(3)§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用于是有近似公式:后退前进目录退出(2)由(1),(2)可见,当充分小时,全微分这里例1考察解

f在点处的全增量为由于§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用例1考察解f在点处的全增量为由于§1可微性由一元函数微分学知道:若则

现在来讨论:当二元函数在点可微

时,(1)式中的常数A,B应取怎样的值？为此在(4)式中先令§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用偏导数于是由一元函数微分学知道:若则现在来讨论:当二元函数容易看出,(5)式右边的极限正是关于x的一元函数类似地,又可得到它是关于y的一元函数二元函数当固定其中一个自变量时,它对另一个自变量的导数称为该函数的偏导数,一般定义如下:§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用容易看出,(5)式右边的极限正是关于x的一元函数类似定义2

存在时,记作(7)§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用则当极限数,关于x

的偏导称此极限为定义2存在时,记作(7)§1可微性与偏类似地可定义关于y的偏导数:记作注1§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用类似地可定义关于y的偏导数:记作注1§1注2在上述定义中,存在对x(或y)上必须有定义.种要求，§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用显然，在定义域的内点处总能满足这而在界点处则往往无法考虑偏导数．注2在上述定义中,存在对x(或y)上必须有定义.若函数在区域D上每一点都存在

对x(或对y)的偏导数,对x(或对y)的偏导函数(也简称偏导数),

§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用记作在D上

则得到若函数在区域D上每一点都存在对x(或对y)偏导数的几何意义:的几何图像通常是

三维空间中的曲面,曲面相交得一曲线：

图17-1§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用点,其中为此曲面上一

设

它与偏导数的几何意义:的几何图像通常是三维空间中的曲面,曲偏导数的几何意义为:在平面上,曲线C在点P0处的切线与x轴

正向所成倾角的正切，可同样讨论偏导数的几何意义.§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用图17-1即由偏导数的定义还知道,多元函数f对某一个自变量求偏导数,元函数的求导.因此第五章中有关求导数的一些基本法则，对多元函数求偏导数仍然适用.是先把别的自变量看作常数,变成一偏导数的几何意义为:在平面上,曲线C在点P0例2于x和关于y的偏导数.求它在x=1的导数,则得再求f在(1,3)处关于y的偏导数.

求它在y=

3处的导数,又得解先求x的偏导数.§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用为此令x=1,得y=3,得令例2于x和关于y的偏导数.然后以(x,y)=(1,3)代入,也能得到同样结果.例3求函数的偏导数.解把依次看成幂函数和指数函数,分别求得通常也可先分别求出关于x和y

的偏导函数:§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用然后以(x,y)=(1,3)代入,也能得到同样把z,x

看作常数,得到把x,y看作常数,得到例4求三元函数的偏导数.解把y和z看作常数,得到§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用把z,x看作常数,得到由可微定义易知:若.

“

连续是可微的一个必要条件．”此外,由又可得到可微的另一必要条件：§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用可微性条件这表明:由可微定义易知:若.“连续是可微的一个必要条件．”此定理17.1（可微的必要条件）于是,函数的全微分(2)可唯一地表示为与一元函数一样,若约定自变量的增量等于自变量的微分，即若二元函数f在其定义域内一点(x0,y0)处可微,则f在该点关于每个自变量的偏导数都存在．此时,微分表达式(1)式中的§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用定理17.1（可微的必要条件）于是,函数若函数f在区域D的每一点(x,y)都可微,则称函数f在区域D上可微，(8)定理17.1的应用:由于它们分别在都不可导，即故则全微分又可写为§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用对于函数且f在D上的全微分为若函数f在区域D的每一点(x,y)都可微,在原点的可微性．例5考察函数解按偏导数的定义先求出§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用在原点的可微性．例5考察函数解按偏导数的定义先求出若f在原点可微,则却不存在(第十六章§2例3),

f(x,y)

在原点不可微.§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用然而极限故此若f在原点可微,则却不存以前知道，一元函数可微与存在导数是等价的．而这个例子说明:对于多元函数,偏导数即使都存在,该函数也不一定可微．

还需要添加哪些条件,才能保证函数可微呢?§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用定理17.2（可微的充分条件）若函数在点的某邻域内存在偏导数

且它们在点连续,则可微.那么当所有偏导数都存在时,以前知道，一元函数可微与存在导数是等价的．而这个例子说明:在第一个方括号里的是函数关于x

的增量;的增量.第二步对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理,则使得§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用关于y

在第二个括号里的是函数证第一步把全增量

写作在第一个方括号里的是函数关于x的增量;的增量第三步由于因此有第四步将(10),(11)代入(9)式,得到由可微定义的等价式

(4),便知

(11)(10)§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用第三步由于因此有第四步将(10),定理17.２的应用满足定理17.2的条件,上处处可微);

上满足定理17.2的条件,例4中的函数注意偏导数连续并不是可微的必要条件，例如§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用容易验证例2中的函数故在点(1,3)可微(且在也在其定义域上可微；定理17.２的应用满足定理17.2的条件,上处处可它在原点

(0,0)处可微,但却在该点不连续

(见本节习题7,请自行验证).的充分性定理．若的偏导数都连续,则

连续可微．

在定理17.2证明过程中出现的(9)式,实际上是二元函数的一个中值公式,将它重新写成定理如下:§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用所以定理17.2是可微它在原点(0,0)处可微,但却在该点不连续(定理17.3的某邻域内存在偏导数，设函数和(12)§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用定理17.3的某邻域内存在偏导数，设函数和一元函数可微，在几何上反映为曲线存在

不平行于y轴的切线.则反映为曲面与其切平面之间的类似关系.

要先给出切平面的定义,这可以从切线定义中获得启发.在第五章§1中,我们曾把平面曲线S在其上某一的切线PT定义为Q沿S趋近P时的极限位置(如果存在的话).§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用可微性的几何意义及应用对于二元函数而言,可微性

为此需过点P的割线PQ当一元函数可微，在几何上反映为曲线存在不平行于y轴这时PQ与PT的夹角也将随Q→P而趋于零

(参见用h和d分别表示点Q到直线PT的距离和点Q到点P的距离,由于图17-2仿照这个想法,我们引进曲面S在点P的切平面的定义(参见图17-3).§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用图17-2).这时PQ与PT的夹角也将随Q→P而趋于零定义3设曲面S上一点P,Π为通过点P的一个平面,S上的动点Q到定点P和到图17-3d和h.的平面Π距离分别记为意方式趋近于P时,恒有

则称Π

为曲面S在点P的切平面,称P为切点.§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用当Q在S上以任定义3设曲面S上一点P,Π为通过点定理17.4行于z轴的切平面的充要条件是:证(充分性)若函数在P0可微,由定义知道现在讨论过点的平面Π:

其中X,Y,Z是平面上点的流动坐标.§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用曲面存在不平函数在点可微.定理17.4行于z轴的切平面的充要条件是:下面证明它就是曲面的切平面.由于S上动点到的距离为P到Q的距离为§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用下面证明它就是曲面的切平面.由于S上动点

即为曲面P的切平面．(必要性)

若曲面存在不平行于z轴的切平面§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用根据定义3便知平面即为曲面P的切平面．(必要性)若曲面存在第一步

设Q(x,y,z)是曲面上任意一点,由Q到这

个平面的距离为

由切平面的定义知道,当时,有

令§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用则第一步设Q(x,y,z)是曲面上任意一点,由由此得第二步

分析:要证明在点可微,事实上就是需证§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用因此对于充分接近的P与Q,有由此得第二步分析:要证明在点可微,事因此,若能证得当则有§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用因此,若能证得当则有§1可微性与偏导数可微性与全微第三步先证可推得故有§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用第三步先证可推得故有§1可微性与偏导数可微性第四步

根据第二步的分析，这就证得在点可微.

定理17.4说明:函数在点可微,则曲面

处的切平面方程为(13)§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用由上式进一步可得第四步根据第二步的分析，这就证得在点可微.定理17过切点P与切平面垂直的直线称为曲面在点P的法线.于是过切点P的法线方程为(14)二元函数全微分的几何意义:如图17–4所示,当自变为时,变量由是z轴方向上的一段NQ;的增量

数§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用由切平面方程知道，法向量为的全微分而在点函过切点P与切平面垂直的直线称为曲面在点P的法线.则是切平面上相应的那一段增量NM.

而趋于零,而且是较高阶的无穷小量.是,与dz之差是MQ

那一段，图17–4§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用于它的长度将随着

则是切平面上相应的那一段例6试求抛物面处

的切平面方程与法线方程，其中解

由公式(13),在点P处的切平面方程为由公式(14),在点M处的法线方程为§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用例6试求抛物面处的切平面方程与法线方程，其中解由公式例7求的近似值.解

设§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用由公式(3),有例7求的近似值.解设§1可微性与偏导数例8的绝对误差限和相对误差限.解依题意，测量a,b,C的绝对误差限分别为由于§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用例8的绝对误差限和相对误差限.解依题意，测量a,b因此将各数据代入上式,即得S的绝对误差限为又因所以S的相对误差限为§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用因此将各数据代入上式,即得S的绝对误差限为1.已知函数的连续性、偏导数的存在性、可微性和偏导数的连续性之间有如下关系:偏导数连续可微连续偏导数存在？1.已知函数的连续性、偏导数的存在性、可微性和偏导数的连续试举出能分别满足如下要求的函数(i)(ii)(iii)(iv)2.可微性定义中,(1)式与(4)式为何是等价的?试举出能分别满足如下要求的函数(i)(ii)(iii)一、可微性与全微分二、偏导数三、可微性条件

本节首先讨论二元函数的可微性,这是多元函数微分学最基本的概念.然后给出对单个自变量的变化率,即偏导数.偏导数无论在理论上或在应用上都起着关键性的作用.§1可微性与偏导数数学分析

第十七章多元函数微分学*点击以上标题可直接前往对应内容四、可微性的几何意义

及应用一、可微性与全微分二、偏导数三、可微性条件定义1设函数内有定义.

对于的全增量其中A,B是仅与点有关的常数,§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用可微性与全微分(2)若f在定义1设函数内有定义.对于的全增量其中A,由(1),(2)可见,当充分小时,全微分这里(4)可作为全增量的近似值,在使用上,有时也把(1)式写成如下形式：(3)§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用于是有近似公式:后退前进目录退出(2)由(1),(2)可见,当充分小时,全微分这里例1考察解

f在点处的全增量为由于§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用例1考察解f在点处的全增量为由于§1可微性由一元函数微分学知道:若则

现在来讨论:当二元函数在点可微

时,(1)式中的常数A,B应取怎样的值？为此在(4)式中先令§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用偏导数于是由一元函数微分学知道:若则现在来讨论:当二元函数容易看出,(5)式右边的极限正是关于x的一元函数类似地,又可得到它是关于y的一元函数二元函数当固定其中一个自变量时,它对另一个自变量的导数称为该函数的偏导数,一般定义如下:§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用容易看出,(5)式右边的极限正是关于x的一元函数类似定义2

存在时,记作(7)§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用则当极限数,关于x

的偏导称此极限为定义2存在时,记作(7)§1可微性与偏类似地可定义关于y的偏导数:记作注1§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用类似地可定义关于y的偏导数:记作注1§1注2在上述定义中,存在对x(或y)上必须有定义.种要求，§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用显然，在定义域的内点处总能满足这而在界点处则往往无法考虑偏导数．注2在上述定义中,存在对x(或y)上必须有定义.若函数在区域D上每一点都存在

对x(或对y)的偏导数,对x(或对y)的偏导函数(也简称偏导数),

§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用记作在D上

则得到若函数在区域D上每一点都存在对x(或对y)偏导数的几何意义:的几何图像通常是

三维空间中的曲面,曲面相交得一曲线：

图17-1§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用点,其中为此曲面上一

设

它与偏导数的几何意义:的几何图像通常是三维空间中的曲面,曲偏导数的几何意义为:在平面上,曲线C在点P0处的切线与x轴

正向所成倾角的正切，可同样讨论偏导数的几何意义.§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用图17-1即由偏导数的定义还知道,多元函数f对某一个自变量求偏导数,元函数的求导.因此第五章中有关求导数的一些基本法则，对多元函数求偏导数仍然适用.是先把别的自变量看作常数,变成一偏导数的几何意义为:在平面上,曲线C在点P0例2于x和关于y的偏导数.求它在x=1的导数,则得再求f在(1,3)处关于y的偏导数.

求它在y=

3处的导数,又得解先求x的偏导数.§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用为此令x=1,得y=3,得令例2于x和关于y的偏导数.然后以(x,y)=(1,3)代入,也能得到同样结果.例3求函数的偏导数.解把依次看成幂函数和指数函数,分别求得通常也可先分别求出关于x和y

的偏导函数:§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用然后以(x,y)=(1,3)代入,也能得到同样把z,x

看作常数,得到把x,y看作常数,得到例4求三元函数的偏导数.解把y和z看作常数,得到§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用把z,x看作常数,得到由可微定义易知:若.

“

连续是可微的一个必要条件．”此外,由又可得到可微的另一必要条件：§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用可微性条件这表明:由可微定义易知:若.“连续是可微的一个必要条件．”此定理17.1（可微的必要条件）于是,函数的全微分(2)可唯一地表示为与一元函数一样,若约定自变量的增量等于自变量的微分，即若二元函数f在其定义域内一点(x0,y0)处可微,则f在该点关于每个自变量的偏导数都存在．此时,微分表达式(1)式中的§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用定理17.1（可微的必要条件）于是,函数若函数f在区域D的每一点(x,y)都可微,则称函数f在区域D上可微，(8)定理17.1的应用:由于它们分别在都不可导，即故则全微分又可写为§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用对于函数且f在D上的全微分为若函数f在区域D的每一点(x,y)都可微,在原点的可微性．例5考察函数解按偏导数的定义先求出§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用在原点的可微性．例5考察函数解按偏导数的定义先求出若f在原点可微,则却不存在(第十六章§2例3),

f(x,y)

在原点不可微.§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用然而极限故此若f在原点可微,则却不存以前知道，一元函数可微与存在导数是等价的．而这个例子说明:对于多元函数,偏导数即使都存在,该函数也不一定可微．

还需要添加哪些条件,才能保证函数可微呢?§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用定理17.2（可微的充分条件）若函数在点的某邻域内存在偏导数

且它们在点连续,则可微.那么当所有偏导数都存在时,以前知道，一元函数可微与存在导数是等价的．而这个例子说明:在第一个方括号里的是函数关于x

的增量;的增量.第二步对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理,则使得§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用关于y

在第二个括号里的是函数证第一步把全增量

写作在第一个方括号里的是函数关于x的增量;的增量第三步由于因此有第四步将(10),(11)代入(9)式,得到由可微定义的等价式

(4),便知

(11)(10)§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用第三步由于因此有第四步将(10),定理17.２的应用满足定理17.2的条件,上处处可微);

上满足定理17.2的条件,例4中的函数注意偏导数连续并不是可微的必要条件，例如§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用容易验证例2中的函数故在点(1,3)可微(且在也在其定义域上可微；定理17.２的应用满足定理17.2的条件,上处处可它在原点

(0,0)处可微,但却在该点不连续

(见本节习题7,请自行验证).的充分性定理．若的偏导数都连续,则

连续可微．

在定理17.2证明过程中出现的(9)式,实际上是二元函数的一个中值公式,将它重新写成定理如下:§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用所以定理17.2是可微它在原点(0,0)处可微,但却在该点不连续(定理17.3的某邻域内存在偏导数，设函数和(12)§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用定理17.3的某邻域内存在偏导数，设函数和一元函数可微，在几何上反映为曲线存在

不平行于y轴的切线.则反映为曲面与其切平面之间的类似关系.

要先给出切平面的定义,这可以从切线定义中获得启发.在第五章§1中,我们曾把平面曲线S在其上某一的切线PT定义为Q沿S趋近P时的极限位置(如果存在的话).§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用可微性的几何意义及应用对于二元函数而言,可微性

为此需过点P的割线PQ当一元函数可微，在几何上反映为曲线存在不平行于y轴这时PQ与PT的夹角也将随Q→P而趋于零

(参见用h和d分别表示点Q到直线PT的距离和点Q到点P的距离,由于图17-2仿照这个想法,我们引进曲面S在点P的切平面的定义(参见图17-3).§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用图17-2).这时PQ与PT的夹角也将随Q→P而趋于零定义3设曲面S上一点P,Π为通过点P的一个平面,S上的动点Q到定点P和到图17-3d和h.的平面Π距离分别记为意方式趋近于P时,恒有

则称Π

为曲面S在点P的切平面,称P为切点.§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用当Q在S上以任定义3设曲面S上一点P,Π为通过点定理17.4行于z轴的切平面的充要条件是:证(充分性)若函数在P0可微,由定义知道现在讨论过点的平面Π:

其中X,Y,Z是平面上点的流动坐标.§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用曲面存在不平函数在点可微.定理17.4行于z轴的切平面的充要条件是:下面证明它就是曲面的切平面.由于S上动点到的距离为P到Q的距离为§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用下面证明它就是曲面的切平面.由于S上动点

即为曲面P的切平面．(必要性)

若曲面存在不平行于z轴的切平面§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用根据定义3便知平面即为曲面P的切平面．(必要性)若曲面存在第一步

设Q(x,y,z)是曲面上任意一点,由Q到这

个平面的距离为

由切平面的定义知道,当时,有

令§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用则第一步设Q(x,y,z)是曲面上任意一点,由由此得第二步

分析:要证明在点可微,事实上就是需证§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件