连续时间信号的分析讲义课件

2.1连续时间信号的时域分析

2.1.1基本连续时间信号

2.1.2连续时间信号的冲激表示2.2周期信号的傅里叶分析

2.2.1周期信号的傅里叶级数

2.2.2典型周期信号的频谱2.3非周期信号的傅里叶变换

2.3.1从傅里叶级数到傅里叶变换

2.3.2典型非周期信号的傅里叶变换

2.3.3傅里叶变换的性质2.4周期信号的傅里叶变换2.5

连续信号的拉普拉斯变换

2.5.1拉普拉斯变换的定义

2.5.2

拉普拉斯逆变换第二章连续时间信号的分析2.1连续时间信号的时域分析第二章连续时间信号的分析1

时域分析

以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而yf(t)=h(t)*f(t)。这里用于系统分析的独立变量是时间。频域分析

本章将以正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。这里用于系统分析的独立变量是频率。

22.1连续时间信号的时域分析2.1.1基本连续时间信号1、单位斜变信号数学描述：2.1连续时间信号的时域分析2.1.1基本连续时间信号32、单位阶跃信号突然接入的直流电压突然接通又马上断开电源（1）阶跃信号的物理背景（开关作用）n→∞函数序列γn(t)阶跃信号和冲激信号都是奇异信号,阶跃信号与冲激信号是两种最基本的理想信号模型。阶跃信号和冲激信号在信号分析与处理中占有重要地位。2、单位阶跃信号突然接入的直流电压突然接通又马上断开电源（14（2）阶跃信号的数学描述延迟时间的阶跃函数

单位阶跃函数（3）阶跃信号的单边特性对函数t＞0部分的截取

（2）阶跃信号的数学描述延迟时间的阶跃函数单位阶跃函数（5（5）用阶跃函数闭式表示分段光滑信号x(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)（4）阶跃信号的加窗特性对脉冲范围内的截取

（5）用阶跃函数闭式表示分段光滑信号x(t)=2ε(t)6（6）单位阶跃函数的积分为单位斜坡信号（1）冲激信号的物理背景

冲激信号反映一种持续时间极短，函数值极大的脉冲信号的极限，如：雷击电闪、短促而强烈的干扰信号、瞬间作用的冲击等等。3、单位冲激信号（6）单位阶跃函数的积分为单位斜坡信号（1）冲激信号的物理背7单位冲激信号的特征：宽度无穷小（脉宽）、高度无穷大（脉高）、面积为1（强度为1）的窄脉冲。单位冲激信号的特征：宽度无穷小（脉宽）、高度无穷大（脉高）、8注意：图中K为强度，要括住！（2）冲激信号δ(t)的数学描述

延迟单位冲激1）δ(t)的狄拉克定义单位冲激函数一般冲激信号注意：图中K为强度，要括住！（2）冲激信号δ(t)的数学描述92）脉冲函数极限定义法矩形脉冲逼近：

脉冲逼近：对γn(t)求导矩形脉冲pn(t)

2）脉冲函数极限定义法矩形脉冲逼近：脉冲逼近：对γn(t10（3）冲激函数的性质

1）与普通函数x(t)的乘积——筛分性质若x(t)在t=0、t=t0处存在，则

x(t)δ(t)=x(0)δ(t)，x(t)δ(t–t0)=x(a)δ(t–t0)冲激函数把信号在充激时刻的值“筛分”出来，赋给冲激函数作为冲激强度。连续信号与冲激函数相乘再积分，等于冲激时刻的信号值,这就是抽样性质。

2）与普通函数x(t)的乘积再积分——抽样性质（3）冲激函数的性质1）与普通函数x(t)的乘积——11（4）冲激函数与阶跃函数关系：可见，引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。如x(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)x′(t)=2δ(t+1)-2δ(t-1)求导n→∞n→∞（4）冲激函数与阶跃函数关系：可见，引入冲激函数之后，间断点12

4、冲激函数的导数δ’(t)

（也称冲激偶信号）

δ(–t)=δ(t)为偶函数

δ’(–t)=–δ’(t)为奇函数（1）冲激偶信号的数学描述4、冲激函数的导数δ’(t)（也称冲激偶信号）13（2）冲激偶信号的性质

1）与普通函数x(t)的乘积——筛分性质

2）抽样性质

（2）冲激偶信号的性质1）与普通函数x(t)的乘积—140ε(t)例：简化下列表达式。0ε(t)例：简化下列表达式。15

5、指数信号（1）指数信号的数学描述1）实指数信号指数规律增长指数规律衰减直流5、指数信号（1）指数信号的数学描述1）实指数信号指数规律162）复指数信号增幅振荡衰减振荡等幅振荡复指数信号是连续信号与系统的复频域分析中使用的基本信号。其中复频率s中的实部绝对值的大小反映了信号增长或衰减的速率，虚部的大小反映了信号振荡的频率。2）复指数信号增幅振荡衰减振荡等幅振荡复指数信号是连续信号与17（2）用复指数信号表示正余弦信号

6、抽样信号抽样信号的数学描述：（2）用复指数信号表示正余弦信号6、抽样信号抽样信号182.1.2连续时间信号的冲激表示任意连续信号可以表示为无限多个不同加权的冲激信号之和。

2.1.2连续时间信号的冲激表示任意连续信号可以表示为无限19傅里叶生平1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”拉格朗日反对发表1822年首次发表在“热的分析理论”一书中1829年狄里赫利第一个给出收敛条件★非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示

傅立叶的两个最主要的贡献★周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和2.2周期信号的傅里叶分析傅里叶生平1768年生于法国★非周期信号都可用正弦信号的加权20傅里叶分析的工程意义②各种频率的正弦信号的产生、传输、分离和变换容易工程实现。③正弦量只需三要素即可描述，LTI系统的输入和输出的差别只有两要素，即系统的作用只改变信号的振幅和相位。①

是LTI系统的特征函数，响应易求且简单。1、傅里叶分析的基本信号单元傅里叶分析的工程意义②各种频率的正弦信号的产生、传输、分离和212、适用于广泛的信号

由虚指数或正弦信号的线性组合可以组成工程中各种信号，使得对任意信号作用下的LTI系统进行频域分析成为一件容易的事情。利于滤波、压缩处理。2、适用于广泛的信号由虚指数或正弦信号的线性223、频域分析的优势①任意信号分解成不同频率虚指数（正弦）信号的线性组合，分析LTI系统对这些不同频率单元信号作用的响应特性的过程就是频域分析。②频率分析可以方便求解系统响应。例如相量法。③频域分析的结果具有明显的物理意义，例如抽样定理和无失真传输概念都是频域分析的结果。④可直接在频域内设计可实现的系统，例如滤波器的设计。狄里赫利条件1、在一个周期内只有有限个间断点；2、在一个周期内有有限个极值点；3、在一个周期内函数绝对可积，即3、频域分析的优势①任意信号分解成不同频率虚指数（正弦）信号23正交函数与正交函数集正交函数：若两个函数g1(t)、g2(t)在区间(t1,t2)内满足则说明这两个函数在区间(t1,t2)正交，或称它们是区间(t1,t2)上的正交函数。正交函数与正交函数集正交函数：若两个函数g1(t)、g2(t24正交函数与正交函数集正交函数集：若函数集{gi(t)}在区间(t1,t2)内且函数g1(t)，...gn(t)满足则这个函数集就是正交函数集，当ki=1时为归一化正交函数集。正交函数与正交函数集正交函数集：若函数集{gi(t)}在区25满足一定条件的信号可以被分解为正交函数的线性组合若正交函数集是完备的，则：满足一定条件的信号可以被分解为正交函数的若正交函数集是完备的26三角函数集是最重要的完备正交函数集三角函数是基本函数；用三角函数表示信号，建立了时间与频率两个基本物理量之间的联系；单频三角函数是简谐信号，易于产生、传输、处理；三角函数信号通过LTI系统后，仍为同频三角函数信号。三角函数集是最重要的完备正交函数集三角函数是基本函数；27三角函数集：完备正交函数集复指数函数集：三角函数集：完备正交函数集复指数函数集：281、傅里叶级数的三角形式设周期信号x(t)，其周期为T1，角频率ω1=2/T1，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数——称为x(t)的傅里叶级数

系数ak,bk称为傅里叶系数

可见，ak

是k的偶函数，bk是k的奇函数。2.2.1周期信号的傅里叶级数1、傅里叶级数的三角形式设周期信号x(t)，其周期为T1，角29式中，C0=a0上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。其中，C0为直流分量；

C1cos(ω1t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同；

C2cos(2ω1t

+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍；一般而言，Ckcos(kω1t+k)称为k次谐波。

可见Ck是k的偶函数，k是k的奇函数。ak=Ckcosk，bk=–Cksink，k=1,2,…将上式同频率项合并，可写为式中，C0=a0上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦30由前知引入了负频率其中由欧拉公式指数级数2、傅里叶级数的指数形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用cosx=(ejx+e–jx)/2由前知引入了负频率其中由欧拉公式指数级数2、傅里叶级数的指数31称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。(k=0,±1,±2，…)表明：任意周期信号x(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。X0=C0为直流分量。两种傅氏级数的系数间的关系:

称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。(k=0,±323、三角形式与指数形式的比较三角形式便于电路计算，便于对称性分析指数形式是本课程研究的主要形式③可推出傅里叶变换①表达最简练k=0,±1,±2，…指数形式的优势②代表频谱3、三角形式与指数形式的比较三角形式便于电路计算，便于对称性332.2.2典型周期信号的频谱

从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即将Ck~ω和k~ω的关系分别画在以ω为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为k≥0，所以称这种频谱为单边谱。也可画|Xk|~ω和k~ω的关系，称为双边谱。若Xk为实数，也可直接画Xk

。2.2.2典型周期信号的频谱从广义上说，信341、周期矩形脉冲信号的频谱周期矩形脉冲信号的脉冲宽度为τ，脉冲幅度为A，周期为T1，求频谱。

1、周期矩形脉冲信号的频谱周期矩形脉冲信号的脉冲宽度为τ，脉35离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密；各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比；各谱线的幅度按包络线变化；过零点为：；主要能量在第一过零点内。主频带宽度为：●周期矩形脉冲信号频谱的特点：离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密；●周期36●谱线的结构与波形参数的关系：(a)T1一定，变小，此时ω1（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目增多。周期不变时，脉冲宽度越窄，其频谱包络线第一个零值点的频率越高，即信号的带宽越大，频带内所含的分量越多。●谱线的结构与波形参数的关系：(a)T1一定，变小，此时37如果周期无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。

(b)一定，T1增大，间隔ω1减小，频谱变密。幅度减小。如果周期无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线(b)382、周期三角脉冲信号的频谱2、周期三角脉冲信号的频谱392.3非周期信号的傅里叶变换2.3.1从傅里叶级数到傅里叶变换

非周期信号x(t)可看成是周期T1→∞时的周期信号。前已指出当周期T1趋近于无穷大时，谱线间隔ω1趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令

(单位频率上的频谱）

称X(ω)为频谱密度函数。2.3非周期信号的傅里叶变换2.3.1从傅里叶级数到傅40考虑到：T1→∞，ω1→无穷小，记为dω；

kω1

→ω（由离散量变为连续量），而同时，∑→∫于是，傅里叶变换式“-”傅里叶反变换式X(ω)称为x(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。x(t)称为X(ω)的傅里叶反变换或原函数。根据傅里叶级数考虑到：T1→∞，ω1→无穷小，记为dω；同时，∑→∫于是41也可简记为或

x(t)←→X(ω)X(ω)是一个密度函数的概念X(ω)是一个连续谱X(ω)包含了从零到无限高频的所有频率分量各频率分量的频率不成谐波关系●非周期信号FT的物理意义也可简记为或x(t)←→X(ω)X(ω)是一个密度函数42X(ω)一般是复函数，写为说明：

(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数x(t)的傅里叶变换存在的充分条件:(2)用下列关系还可方便计算一些积分。|X(ω)|~ω幅度谱

(ω)~ω相位谱非周期信号的幅度频谱是频率的连续函数，其形状与相应周期信号频谱的包络线相同。

X(ω)一般是复函数，写为说明：(1)前面推导并未遵循严格432.3.2典型非周期信号的频谱单边指数信号x(t)=e–tε(t)，

>0实数2.3.2典型非周期信号的频谱单边指数信号x(t)=442.矩形脉冲信号（门函数）

2.矩形脉冲信号（门函数）453.符号函数

3.符号函数464.单位冲激信号

5.直流信号(t)←→1代入反变换定义式，有将→t，t→-再根据傅里叶变换定义式4.单位冲激信号5.直流信号(t)47有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t)等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。

可构造一函数序列{xn(t)}逼近x

(t)

，即而xn(t)满足绝对可积条件，并且{xn(t)}的傅里叶变换所形成的序列{Xn()}是极限收敛的。则可定义x(t)的傅里叶变换X

()为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。●广义傅里叶变换有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t)等，但486.单位阶跃信号

7.双边指数信号x(t)=e–t,

>06.单位阶跃信号7.双边指数信号x(t)492.3.3傅里叶变换的性质1.线性(LinearProperty)若，则对于任意常数a1和a2，有

证明:

F[a1

x1(t)+a2

x2(t)]=[a1

X1(ω)+a2

X2(ω)]2.3.3傅里叶变换的性质1.线性(LinearPr502.对偶性(SymmetricalProperty)若x(t)←→X(ω)则证明:（1）in(1)t→ω，ω→tthen

（2）in(2)ω→-ωthen∴X(t)←→2πx(–ω)endX(t)←→2πx(–ω)2.对偶性(SymmetricalProperty)若513.尺度变换性质(ScalingTransformProperty)若x(t)←→X(ω)则其中“a”

为不等于零的实常数。证明：F

[x(at)]=Fora>0F

[x(at)]fora<0F[x(at)]Thatis,如果

a=-1,有x(-t)←→X(-ω)3.尺度变换性质(ScalingTransformPr52

尺度变换性质表明，时域信号的压缩与扩展，对应于频域频谱函数的扩展与压缩。

若要压缩信号持续时间，提高通信速率，则不得不以展宽频带作代价例如尺度变换性质表明，时域信号的压缩与扩展，对应于频域频53若x(t)←→X(ω)则其中“t0”为实常数。证明：

F[x(t–t0)]4.时移性质(TimeshiftingProperty)

时移性质表明，信号在时间轴上的移位，其频谱函数的幅度谱不变，而相位谱产生附加相移。若x(t)←→X(ω)则其中“t0”为实常数。证54若x(t)←→X(ω)则证明：其中“ω0”为实常数。F[ejω0t

x(t)]=X(ω-ω0)end5.频移性质(FrequencyShiftingProperty)频移性质表明，若要使一个信号的频谱在频率轴上右移单位，在时域就对应于其时间信号x(t)乘以。若x(t)←→X(ω)则证明：其中“ω0”55例1x(t)=ej3t←→X(ω)=?Ans:1←→2πδ(ω)ej3t×1←→2πδ(ω-3)例2x(t)=cosω0t

←→X(ω)=?Ans:X(ω)=π[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]例1x(t)=ej3t←→X(ω)=?Ans:56例3Giventhatx(t)←→X(ω)Themodulatedsignalx(t)cosω0t←→?Ans:

例3Giventhatx(t)←→X(ω)Th576.时域微分(Differentiationintimedomain)证明：若

则

两边对t求导，得

所以

6.时域微分(Differentiationintim58x(t)=1/t2←→?例1Ans:x(t)=1/t2←→?例1Ans:59例2Determinex(t)←→X

(ω)Ans:x

”(t)=(t+2)–2(t)+(t–2)X2(ω)=F[x”(t)]=(jω)2

X

(ω)=ej2ω–2+e–

j2ω=2cos(2ω)–2X

(ω)=例2Determinex(t)←→X(ω)Ans:607.卷积定理(ConvolutionProperty)时域卷积（Convolutionintimedomain）：Ifx1(t)←→X1(ω)，x2(t)←→X2(ω)Thenx1(t)*x2(t)←→X1(ω)X2(ω)频域卷积（Convolutioninfrequencydomain）：Ifx1(t)←→X1(ω)，x2(t)←→X2(ω)Thenx1(t)x2(t)←→X1(ω)*X2(ω)7.卷积定理(ConvolutionProperty)61证明：

F[x1(t)*x2(t)]=利用时移性质，所以

F[x1(t)*x2(t)]==X1(ω)X2(ω)证明：F[x1(t)*x2(t)]=利用时移性质，所62已知为矩形脉冲信号,求的傅里叶变换。根据时域卷积定理，有的傅里叶变换为门函数其实，y(t)是脉宽为2τ、脉高为τ的三角脉冲。例1Ans:已知为矩形脉冲信号,求的傅里叶变换。根据时域卷积定理，有的傅63例2Ans:利用对偶性，例2Ans:利用对偶性，64例3调制解调例3调制解调652.4周期信号的傅里叶变换1.正、余弦信号的傅里叶变换1←→2πδ(ω)由频移特性得

ejω0t←→2πδ(ω–ω0)e–jω0t←→2πδ(ω+ω0)cos(ω0t)=½(ejω0t+e–jω0t)←→π[δ(ω–ω0)+δ(ω+ω0)]sin(ω0t)=(ejω0t-e–jω0t)/(2j)←→jπ[δ(ω+ω0)–δ(ω–ω0)]2.4周期信号的傅里叶变换1.正、余弦信号的傅里叶变换662.从傅里叶级数到傅里叶变换(1)周期信号的傅里叶级数傅里叶系数（频谱）Xk与X0(ω)的关系x(t)中一个周期的傅里叶变换周期信号的频谱非周期信号的频谱密度Xk是对X0(ω)以ω0为间隔离散化的结果。2.从傅里叶级数到傅里叶变换(1)周期信号的傅里叶级数傅里67(2)周期信号的傅里叶变换（1）周期信号的傅里叶变换是由冲激函数组成的冲激串。特点：（2）冲激串的频率间隔为ω0=2π/T，冲激位于周期信号的谐频处，冲激强度为Xk的2π倍。Xk易求时X0(kω0)易求时

(2)周期信号的傅里叶变换（1）周期信号的傅里叶变换是由冲激68例1：周期为T的单位冲激周期函数T(t)=解：冲激周期函数的傅里叶系数例1：周期为T的单位冲激周期函数T(t)=解：冲激周期函69例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。解：周期信号x(t)也可看作一时限非周期信号x0(t)的周期拓展。周期信号傅里叶级数的系数

例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。解：周期信号x(t)也可70

频域分析以虚指数信号ejωt为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2tε(t);（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。在这一节将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。本节引入复频率s=σ+jω,以复指数函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率s

，故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。频域分析以虚指数信号ejωt为基本信号，任意712.5连续信号的拉普拉斯变换2.5.1拉普拉斯变换的定义1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号x(t)，适当选取的值，使乘积信号x(t)e-t当t∞时信号幅度趋近于0，从而使x(t)e-t的傅里叶变换存在。相应的傅里叶逆变换为2.5连续信号的拉普拉斯变换2.5.1拉普拉斯变换的定义72

令复变量s=+j,d=ds/j，有双边拉氏变换（象函数）拉氏逆变换（原函数）说明：①X(s)=L[x(t)]象函数，自然界中不存在，复函数，无法直接测量；x(t)=L-1[X(s)]原函数，实际存在，实函数，可以感觉和测量。

令复变量s=+j,d=ds/j，有双73②关键在于这个衰减因子e-σt

的引入，满足更多信号。ω只能描述振荡频率，而s不仅能给出重复频率，还可表示振荡幅度的增长速率或衰减速率。③把x(t)变到s域的目的：方便计算－微分方程变为代数方程，卷积变成相乘。单边拉氏变换信号x(t)的单边拉氏变换即为x(t)ε(t)（因果信号）的双边拉氏变换，单边拉氏变换的反变换应是因果信号，即x(t)ε(t)。②关键在于这个衰减因子e-σt的引入，满足更多信号。ω只74●单边拉氏变换的工程背景

因为本书仅研究线性时不变且为因果系统，故仅讨论单边拉氏变换。

在系统分析中，一般认为信号在0时刻加入，对于因果系统其响应在才出现，实际响应一定也是因果信号。

实际信号x(t)都有起始时刻，一般认为起始时刻为0时刻，故把实际信号看成因果信号是符合实际的。●积分下限取0_考虑到信号x(t)在t=0时可能出现冲激，故采用0_。●单边拉氏变换的工程背景因为本书仅研究线性时不变752、拉氏变换的收敛域ROC

使x(t)拉氏变换存在的=Re{s}取值范围称为收敛域。对于单边拉氏变换，X(s)存在的条件是被积函数收敛,从而要求满足当>0时收敛域收敛边界即单边拉氏变换的ROC为：Re[s]=>02、拉氏变换的收敛域ROC使x(t)拉氏变换存在的=R76可以归纳出ROC的以下性质：1.ROC是S平面上平行于轴的带状区域。2.在ROC内无任何极点。3.时限信号的ROC是整个S平面。4.右边信号的ROC是S平面内某一条平行于轴的直线的右边。TheRegionofConvergenceforLaplaceTransforms可以归纳出ROC的以下性质：TheRegionofCo77若，则表明也在收敛域内。若是右边信号,,在ROC内，则有绝对可积，即：若，则表明也在收敛域内。若是右边785.左边信号的ROC是S平面内的一条平行于轴的直线的左边。

若是左边信号，定义于,在ROC内，，则表明也在收敛域内。5.左边信号的ROC是S平面内的一条平行于轴的直796.双边信号的ROC如果存在，一定是S平面内平行于轴的带形区域。例1.6.双边信号的ROC如果存在，一定是S平面内平行于80考查零点，令得例2.有极点

显然在也有一阶零点，由于零极点相抵消，致使在整个S平面上无极点。考查零点，令得例2.有极点显然在81当时，上述ROC有公共部分，当时，上述ROC无公共部分，表明不存在。当时，上述ROC有公共部分，当82

当是有理函数时，其ROC总是由的极点分割的。ROC必然满足下列规律：

1.右边信号的ROC一定位于最右边极点的右边。

2.左边信号的ROC一定位于最左边极点的左边。

3.双边信号的ROC可以是任意两相邻极点之间的带状区域。当是有理函数时，其ROC总是由83例3.可以形成三种ROC：

ROC：此时是右边信号。

ROC：此时是左边信号。

ROC：此时是双边信号。例3.可以形成三种ROC：84(1)(t)←→1，>-∞(2)(t)或1←→1/s，>0☆利用0_系统，可以计算信号在t=0时发生的冲激。☆全s域内均存在拉氏变换。注意：阶跃信号只在的区域内存在拉氏变换，是区域边界。是的极点实部。当s

的实部时，，故

3、常见信号的拉氏变换(1)(t)←→1，>-∞(2)(t)或1←85时，有注意：指数信号只在的区域内存在拉氏变换，是区域边界。cos0t=(ej0t+e-j0t)/2←→sin0t=(ej0t–e-j0t)/2j←→(3)指数函数e-s0t←→>-Re[s0]=0时，有注意：指数信号只在的区域864、拉氏变换的性质

线性时移频移尺度变换t域微分s域微分t域积分s域积分t域卷积4、拉氏变换的性质线性时移频移尺度变换t域微分s域微分87例1:求如图信号的单边拉氏变换。解：x1(t)=(t)–(t-1)，

x2(t)=(t+1)–(t-1)X1(s)=X2(s)=X1(s)注意:X2(s)≠例2:求x(t)=e-2(t-1)ε(t－1)←→X

(s)=?例3:求x(t)=e-2(t-1)ε(t)←→X

(s)=?x(t)=e-2te2ε(t)例1:求如图信号的单边拉氏变换。解：x1(t)=(t)88例4:已知x1(t)←→X1(s),

求x2(t)←→X2(s)。解：x2(t)=x1(0.5t)–x1[0.5(t-2)]x1(0.5t)←→2X1(2s)x1[0.5(t-2)]←→2X1(2s)e-2sx2(t)←→2X1(2s)(1–e-2s)例5:已知因果信号x(t)的象函数X(s)=求e-tx(3t-2)的象函数。解：e-tx(3t-2)←→

例4:已知x1(t)←→X1(s),解：x2(t)89例6:

(n)(t)←→?

例7:例9:t2(t)←→?解:例8:t(t)←→?例6:(n)(t)←→?例7:例9:t2(t)90例10：例11:已知因果信号x(t)如图,求X(s)。解:由于x(t)为因果信号，故x(0-)=0结论：若x(t)为因果信号，已知x(n)(t)←→Xn(s)

则x(t)←→Xn(s)/sn例10：例11:已知因果信号x(t)如图,求X(s)。解:912.5.2拉普拉斯逆变换1、基本思想

根据线性性质，把象函数分解为基本单元的组合，再求取拉普拉斯逆变换。

直接求取相当困难！2.5.2拉普拉斯逆变换1、基本思想根据线性性92的根称为X(s)的极点，用表示的根称为X(s)的零点，用表示例如：2、零极点的根称为X(s)的极点，用93若象函数X(s)是s的有理分式，可写为

若M≥N（假分式）,可用多项式除法将象函数X(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。

由于L-1[1]=(t)，L

-1[sn]=(n)(t)，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。3、部分分式展开法若象函数X(s)是s的有理分式，可写为若M≥N（假分式）94(1)单极点互不相等下面主要讨论有理真分式的情形。

D(s)称为X(s)的特征多项式，方程D(s)=0称为特征方程，它的根称为特征根，也称为X(s)的固有频率（或自然频率）。(1)单极点95(2)复数极点k1和k2也呈共轭关系假定复数极点必以共轭形式出现，令(2)复数极点k1和k2也呈共轭关系假定复数极点必以共轭形96(3)重极点

X(s)含有r重极点p1

(3)重极点X(s)含有r重极点p197解:例1：已知，求其逆变换。例2：已知，求其逆变换。解:解:例1：已知，求其逆变换。例2：已知，求其逆变换。解:98例3：已知，求其逆变换。解:令例3：已知，求其逆变换。解:令99例4:

已知函数试求信号。解:例4:已知函数试求信号100理解冲激信号与斜坡、阶跃、冲激偶函数的关系以及指数信号，掌握冲激信号的性质；理解任意连续信号可以表示为无限多个不同加权的冲激信号之和；理解三角形式和指数形式傅里叶级数的关系，掌握周期信号的频谱概念及特点，尤其是周期矩形波的频谱；理解非周期信号的傅里叶变换，尤其是频谱密度概念。熟悉常用的傅里叶变换性质；理解周期信号的傅里叶变换；理解拉氏变换与傅氏关系，熟悉常用拉氏变换及逆变换。学习要求理解冲激信号与斜坡、阶跃、冲激偶函数的关系以及指数信号，掌握101重点：冲激信号，频谱难点：周期信号的频谱及频谱图；正确理解信号的时域、频域及复频域关系重点和难点重点：冲激信号，频谱重点和难点1022-1（1）（3）（6）2-22-52-8（a）（b）2-9（a）（b）2-11（1）2-142-152-17（2）（4）2-18（3）（4）2-212-22（1）（3）（5）作业2-1（1）（3）（6）作业1032.1连续时间信号的时域分析

2.1.1基本连续时间信号

2.1.2连续时间信号的冲激表示2.2周期信号的傅里叶分析

2.2.1周期信号的傅里叶级数

2.2.2典型周期信号的频谱2.3非周期信号的傅里叶变换

2.3.1从傅里叶级数到傅里叶变换

2.3.2典型非周期信号的傅里叶变换

2.3.3傅里叶变换的性质2.4周期信号的傅里叶变换2.5

连续信号的拉普拉斯变换

2.5.1拉普拉斯变换的定义

2.5.2

拉普拉斯逆变换第二章连续时间信号的分析2.1连续时间信号的时域分析第二章连续时间信号的分析104

时域分析

以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而yf(t)=h(t)*f(t)。这里用于系统分析的独立变量是时间。频域分析

本章将以正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。这里用于系统分析的独立变量是频率。

1052.1连续时间信号的时域分析2.1.1基本连续时间信号1、单位斜变信号数学描述：2.1连续时间信号的时域分析2.1.1基本连续时间信号1062、单位阶跃信号突然接入的直流电压突然接通又马上断开电源（1）阶跃信号的物理背景（开关作用）n→∞函数序列γn(t)阶跃信号和冲激信号都是奇异信号,阶跃信号与冲激信号是两种最基本的理想信号模型。阶跃信号和冲激信号在信号分析与处理中占有重要地位。2、单位阶跃信号突然接入的直流电压突然接通又马上断开电源（1107（2）阶跃信号的数学描述延迟时间的阶跃函数

单位阶跃函数（3）阶跃信号的单边特性对函数t＞0部分的截取

（2）阶跃信号的数学描述延迟时间的阶跃函数单位阶跃函数（108（5）用阶跃函数闭式表示分段光滑信号x(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)（4）阶跃信号的加窗特性对脉冲范围内的截取

（5）用阶跃函数闭式表示分段光滑信号x(t)=2ε(t)109（6）单位阶跃函数的积分为单位斜坡信号（1）冲激信号的物理背景

冲激信号反映一种持续时间极短，函数值极大的脉冲信号的极限，如：雷击电闪、短促而强烈的干扰信号、瞬间作用的冲击等等。3、单位冲激信号（6）单位阶跃函数的积分为单位斜坡信号（1）冲激信号的物理背110单位冲激信号的特征：宽度无穷小（脉宽）、高度无穷大（脉高）、面积为1（强度为1）的窄脉冲。单位冲激信号的特征：宽度无穷小（脉宽）、高度无穷大（脉高）、111注意：图中K为强度，要括住！（2）冲激信号δ(t)的数学描述

延迟单位冲激1）δ(t)的狄拉克定义单位冲激函数一般冲激信号注意：图中K为强度，要括住！（2）冲激信号δ(t)的数学描述1122）脉冲函数极限定义法矩形脉冲逼近：

脉冲逼近：对γn(t)求导矩形脉冲pn(t)

2）脉冲函数极限定义法矩形脉冲逼近：脉冲逼近：对γn(t113（3）冲激函数的性质

1）与普通函数x(t)的乘积——筛分性质若x(t)在t=0、t=t0处存在，则

x(t)δ(t)=x(0)δ(t)，x(t)δ(t–t0)=x(a)δ(t–t0)冲激函数把信号在充激时刻的值“筛分”出来，赋给冲激函数作为冲激强度。连续信号与冲激函数相乘再积分，等于冲激时刻的信号值,这就是抽样性质。

2）与普通函数x(t)的乘积再积分——抽样性质（3）冲激函数的性质1）与普通函数x(t)的乘积——114（4）冲激函数与阶跃函数关系：可见，引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。如x(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)x′(t)=2δ(t+1)-2δ(t-1)求导n→∞n→∞（4）冲激函数与阶跃函数关系：可见，引入冲激函数之后，间断点115

4、冲激函数的导数δ’(t)

（也称冲激偶信号）

δ(–t)=δ(t)为偶函数

δ’(–t)=–δ’(t)为奇函数（1）冲激偶信号的数学描述4、冲激函数的导数δ’(t)（也称冲激偶信号）116（2）冲激偶信号的性质

1）与普通函数x(t)的乘积——筛分性质

2）抽样性质

（2）冲激偶信号的性质1）与普通函数x(t)的乘积—1170ε(t)例：简化下列表达式。0ε(t)例：简化下列表达式。118

5、指数信号（1）指数信号的数学描述1）实指数信号指数规律增长指数规律衰减直流5、指数信号（1）指数信号的数学描述1）实指数信号指数规律1192）复指数信号增幅振荡衰减振荡等幅振荡复指数信号是连续信号与系统的复频域分析中使用的基本信号。其中复频率s中的实部绝对值的大小反映了信号增长或衰减的速率，虚部的大小反映了信号振荡的频率。2）复指数信号增幅振荡衰减振荡等幅振荡复指数信号是连续信号与120（2）用复指数信号表示正余弦信号

6、抽样信号抽样信号的数学描述：（2）用复指数信号表示正余弦信号6、抽样信号抽样信号1212.1.2连续时间信号的冲激表示任意连续信号可以表示为无限多个不同加权的冲激信号之和。

2.1.2连续时间信号的冲激表示任意连续信号可以表示为无限122傅里叶生平1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”拉格朗日反对发表1822年首次发表在“热的分析理论”一书中1829年狄里赫利第一个给出收敛条件★非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示

傅立叶的两个最主要的贡献★周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和2.2周期信号的傅里叶分析傅里叶生平1768年生于法国★非周期信号都可用正弦信号的加权123傅里叶分析的工程意义②各种频率的正弦信号的产生、传输、分离和变换容易工程实现。③正弦量只需三要素即可描述，LTI系统的输入和输出的差别只有两要素，即系统的作用只改变信号的振幅和相位。①

是LTI系统的特征函数，响应易求且简单。1、傅里叶分析的基本信号单元傅里叶分析的工程意义②各种频率的正弦信号的产生、传输、分离和1242、适用于广泛的信号

由虚指数或正弦信号的线性组合可以组成工程中各种信号，使得对任意信号作用下的LTI系统进行频域分析成为一件容易的事情。利于滤波、压缩处理。2、适用于广泛的信号由虚指数或正弦信号的线性1253、频域分析的优势①任意信号分解成不同频率虚指数（正弦）信号的线性组合，分析LTI系统对这些不同频率单元信号作用的响应特性的过程就是频域分析。②频率分析可以方便求解系统响应。例如相量法。③频域分析的结果具有明显的物理意义，例如抽样定理和无失真传输概念都是频域分析的结果。④可直接在频域内设计可实现的系统，例如滤波器的设计。狄里赫利条件1、在一个周期内只有有限个间断点；2、在一个周期内有有限个极值点；3、在一个周期内函数绝对可积，即3、频域分析的优势①任意信号分解成不同频率虚指数（正弦）信号126正交函数与正交函数集正交函数：若两个函数g1(t)、g2(t)在区间(t1,t2)内满足则说明这两个函数在区间(t1,t2)正交，或称它们是区间(t1,t2)上的正交函数。正交函数与正交函数集正交函数：若两个函数g1(t)、g2(t127正交函数与正交函数集正交函数集：若函数集{gi(t)}在区间(t1,t2)内且函数g1(t)，...gn(t)满足则这个函数集就是正交函数集，当ki=1时为归一化正交函数集。正交函数与正交函数集正交函数集：若函数集{gi(t)}在区128满足一定条件的信号可以被分解为正交函数的线性组合若正交函数集是完备的，则：满足一定条件的信号可以被分解为正交函数的若正交函数集是完备的129三角函数集是最重要的完备正交函数集三角函数是基本函数；用三角函数表示信号，建立了时间与频率两个基本物理量之间的联系；单频三角函数是简谐信号，易于产生、传输、处理；三角函数信号通过LTI系统后，仍为同频三角函数信号。三角函数集是最重要的完备正交函数集三角函数是基本函数；130三角函数集：完备正交函数集复指数函数集：三角函数集：完备正交函数集复指数函数集：1311、傅里叶级数的三角形式设周期信号x(t)，其周期为T1，角频率ω1=2/T1，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数——称为x(t)的傅里叶级数

系数ak,bk称为傅里叶系数

可见，ak

是k的偶函数，bk是k的奇函数。2.2.1周期信号的傅里叶级数1、傅里叶级数的三角形式设周期信号x(t)，其周期为T1，角132式中，C0=a0上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。其中，C0为直流分量；

C1cos(ω1t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同；

C2cos(2ω1t

+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍；一般而言，Ckcos(kω1t+k)称为k次谐波。

可见Ck是k的偶函数，k是k的奇函数。ak=Ckcosk，bk=–Cksink，k=1,2,…将上式同频率项合并，可写为式中，C0=a0上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦133由前知引入了负频率其中由欧拉公式指数级数2、傅里叶级数的指数形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用cosx=(ejx+e–jx)/2由前知引入了负频率其中由欧拉公式指数级数2、傅里叶级数的指数134称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。(k=0,±1,±2，…)表明：任意周期信号x(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。X0=C0为直流分量。两种傅氏级数的系数间的关系:

称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。(k=0,±1353、三角形式与指数形式的比较三角形式便于电路计算，便于对称性分析指数形式是本课程研究的主要形式③可推出傅里叶变换①表达最简练k=0,±1,±2，…指数形式的优势②代表频谱3、三角形式与指数形式的比较三角形式便于电路计算，便于对称性1362.2.2典型周期信号的频谱

从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即将Ck~ω和k~ω的关系分别画在以ω为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为k≥0，所以称这种频谱为单边谱。也可画|Xk|~ω和k~ω的关系，称为双边谱。若Xk为实数，也可直接画Xk

。2.2.2典型周期信号的频谱从广义上说，信1371、周期矩形脉冲信号的频谱周期矩形脉冲信号的脉冲宽度为τ，脉冲幅度为A，周期为T1，求频谱。

1、周期矩形脉冲信号的频谱周期矩形脉冲信号的脉冲宽度为τ，脉138离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密；各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比；各谱线的幅度按包络线变化；过零点为：；主要能量在第一过零点内。主频带宽度为：●周期矩形脉冲信号频谱的特点：离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密；●周期139●谱线的结构与波形参数的关系：(a)T1一定，变小，此时ω1（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目增多。周期不变时，脉冲宽度越窄，其频谱包络线第一个零值点的频率越高，即信号的带宽越大，频带内所含的分量越多。●谱线的结构与波形参数的关系：(a)T1一定，变小，此时140如果周期无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。

(b)一定，T1增大，间隔ω1减小，频谱变密。幅度减小。如果周期无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线(b)1412、周期三角脉冲信号的频谱2、周期三角脉冲信号的频谱1422.3非周期信号的傅里叶变换2.3.1从傅里叶级数到傅里叶变换

非周期信号x(t)可看成是周期T1→∞时的周期信号。前已指出当周期T1趋近于无穷大时，谱线间隔ω1趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令

(单位频率上的频谱）

称X(ω)为频谱密度函数。2.3非周期信号的傅里叶变换2.3.1从傅里叶级数到傅143考虑到：T1→∞，ω1→无穷小，记为dω；

kω1

→ω（由离散量变为连续量），而同时，∑→∫于是，傅里叶变换式“-”傅里叶反变换式X(ω)称为x(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。x(t)称为X(ω)的傅里叶反变换或原函数。根据傅里叶级数考虑到：T1→∞，ω1→无穷小，记为dω；同时，∑→∫于是144也可简记为或

x(t)←→X(ω)X(ω)是一个密度函数的概念X(ω)是一个连续谱X(ω)包含了从零到无限高频的所有频率分量各频率分量的频率不成谐波关系●非周期信号FT的物理意义也可简记为或x(t)←→X(ω)X(ω)是一个密度函数145X(ω)一般是复函数，写为说明：

(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数x(t)的傅里叶变换存在的充分条件:(2)用下列关系还可方便计算一些积分。|X(ω)|~ω幅度谱

(ω)~ω相位谱非周期信号的幅度频谱是频率的连续函数，其形状与相应周期信号频谱的包络线相同。

X(ω)一般是复函数，写为说明：(1)前面推导并未遵循严格1462.3.2典型非周期信号的频谱单边指数信号x(t)=e–tε(t)，

>0实数2.3.2典型非周期信号的频谱单边指数信号x(t)=1472.矩形脉冲信号（门函数）

2.矩形脉冲信号（门函数）1483.符号函数

3.符号函数1494.单位冲激信号

5.直流信号(t)←→1代入反变换定义式，有将→t，t→-再根据傅里叶变换定义式4.单位冲激信号5.直流信号(t)150有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t)等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。

可构造一函数序列{xn(t)}逼近x

(t)

，即而xn(t)满足绝对可积条件，并且{xn(t)}的傅里叶变换所形成的序列{Xn()}是极限收敛的。则可定义x(t)的傅里叶变换X

()为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。●广义傅里叶变换有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t)等，但1516.单位阶跃信号

7.双边指数信号x(t)=e–t,

>06.单位阶跃信号7.双边指数信号x(t)1522.3.3傅里叶变换的性质1.线性(LinearProperty)若，则对于任意常数a1和a2，有

证明:

F[a1

x1(t)+a2

x2(t)]=[a1

X1(ω)+a2

X2(ω)]2.3.3傅里叶变换的性质1.线性(LinearPr1532.对偶性(SymmetricalProperty)若x(t)←→X(ω)则证明:（1）in(1)t→ω，ω→tthen

（2）in(2)ω→-ωthen∴X(t)←→2πx(–ω)endX(t)←→2πx(–ω)2.对偶性(SymmetricalProperty)若1543.尺度变换性质(ScalingTransformProperty)若x(t)←→X(ω)则其中“a”

为不等于零的实常数。证明：F

[x(at)]=Fora>0F

[x(at)]fora<0F[x(at)]Thatis,如果

a=-1,有x(-t)←→X(-ω)3.尺度变换性质(ScalingTransformPr155

尺度变换性质表明，时域信号的压缩与扩展，对应于频域频谱函数的扩展与压缩。

若要压缩信号持续时间，提高通信速率，则不得不以展宽频带作代价例如尺度变换性质表明，时域信号的压缩与扩展，对应于频域频156若x(t)←→X(ω)则其中“t0”为实常数。证明：

F[x(t–t0)]4.时移性质(TimeshiftingProperty)

时移性质表明，信号在时间轴上的移位，其频谱函数的幅度谱不变，而相位谱产生附加相移。若x(t)←→X(ω)则其中“t0”为实常数。证157若x(t)←→X(ω)则证明：其中“ω0”为实常数。F[ejω0t

x(t)]=X(ω-ω0)end5.频移性质(FrequencyShiftingProperty)频移性质表明，若要使一个信号的频谱在频率轴上右移单位，在时域就对应于其时间信号x(t)乘以。若x(t)←→X(ω)则证明：其中“ω0”158例1x(t)=ej3t←→X(ω)=?Ans:1←→2πδ(ω)ej3t×1←→2πδ(ω-3)例2x(t)=cosω0t

←→X(ω)=?Ans:X(ω)=π[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]例1x(t)=ej3t←→X(ω)=?Ans:159例3Giventhatx(t)←→X(ω)Themodulatedsignalx(t)cosω0t←→?Ans:

例3Giventhatx(t)←→X(ω)Th1606.时域微分(Differentiationintimedomain)证明：若

则

两边对t求导，得

所以

6.时域微分(Differentiationintim161x(t)=1/t2←→?例1Ans:x(t)=1/t2←→?例1Ans:162例2Determinex(t)←→X

(ω)Ans:x

”(t)=(t+2)–2(t)+(t–2)X2(ω)=F[x”(t)]=(jω)2

X

(ω)=ej2ω–2+e–

j2ω=2cos(2ω)–2X

(ω)=例2Determinex(t)←→X(ω)Ans:1637.卷积定理(ConvolutionProperty)时域卷积（Convolutionintimedomain）：Ifx1(t)←→X1(ω)，x2(t)←→X2(ω)Thenx1(t)*x2(t)←→X1(ω)X2(ω)频域卷积（Convolutioninfrequencydomain）：Ifx1(t)←→X1(ω)，x2(t)←→X2(ω)Thenx1(t)x2(t)←→X1(ω)*X2(ω)7.卷积定理(ConvolutionProperty)164证明：

F[x1(t)*x2(t)]=利用时移性质，所以

F[x1(t)*x2(t)]==X1(ω)X2(ω)证明：F[x1(t)*x2(t)]=利用时移性质，所165已知为矩形脉冲信号,求的傅里叶变换。