无穷级数与微分方程相关知识简介

无穷级数一、数项级数二、幂级数讨论敛散性求收敛范围，将函数展开为幂级数，求和。1.数项级数及收敛定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第

n

项叫做级数的一般项,级数的前

n

项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛,则称无穷级数并称S为级数的和。

等比级数(又称几何级数)(q

称为公比).级数收敛,级数发散

.其和为P-级数2.无穷级数的基本性质

性质1.

若级数收敛于S,则各项乘以常数

c

所得级数也收敛,即其和为cS.性质2.

设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级的和.推论:

若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:

收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.性质5：设收敛级数则必有可见:

若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.*例1.判断级数的敛散性:解:该级数是下列两级数之差故原级数收敛.(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数则有收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,

(常数k>0),3.正项级数审敛法

(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当

l=

0(3)当

l=∞设两正项级数满足(1)当0<l<∞时,的敛散性.例3.判别级数解:根据比较审敛敛法的极限形形式知发散比值审敛法(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当时,级数收敛;或时,级数发散..根值审敛法(Cauchy判别法)设为正项级数,且则因此级数收敛.解:4.交错级数及其其审敛法则各项符号正正负相间的级级数称为交错级数.(Leibnitz判别法)若交错级数满满足条件:则级数收敛。5.绝对收敛与条条件收敛定义:对任意项级数数若若原级数收敛敛,但取绝对值以以后的级数发发散,则称原级收敛,数绝对收敛；；则称原级数条件收敛.绝对收敛的级级数一定收敛敛.由绝对收敛概概念和莱布尼尼兹定理知:交错级数例5.证明下列级数数绝对收敛:证:而收敛,收敛因此绝对收敛.判断数项级数数敛散的方法法1、利用已知结结论：等比级级数、P-级数及级数性性质2、利用必要条条件：主要判判别发散3、求部分和数数列的极限4、正项级数的的审敛法1）比值审敛法法（根值审敛敛法）2）比较审敛法法（或极限形形式）5、交错级数审审敛法：莱布布尼兹定理6、一般级数审审敛法：先判判断是否绝对对收敛，如果果绝对收敛则则一定收敛；；否则判断是是否条件收敛敛发散发散收敛收敛发散1.Abel定理若幂级数则对满足不等等式的一切x幂级数都绝对对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发发散.时该幂级数发发散,则对满足不等等式二、求幂级数数收敛域*例6.已知幂级数在处收敛，则该该级数在处是收敛还是是发散？若收收敛，是条件件收敛还是绝对收敛敛？解：由Abel定理，该幂幂级数在处绝对收敛，，故在绝对收收敛。。例7.已知处条件件收敛敛,问该级级数收收敛半径是是多少少?答:根据Abel定理可可知,级数在在收敛,时发散散.故收敛敛半径径为若的系数数满足足1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝∞时时,则的收敛敛半径径为2.求收敛敛半径径对端点点x=－1,的收敛敛半径径及收收敛域域.解:对端点点x=1,级数为为交错错级数数收敛;级数为为发散.故收敛敛域为为例8..求幂级级数例9.求下列列幂级级数的的收敛敛域:解:(1)所以收收敛域域为(2)所以级级数仅仅在x=0处收敛敛.规定:0!=1例10.的收敛敛域.解:令级数变变为当t=2时,级数为为此级数数发散散;当t=––2时,级数为为此级数数条件件收敛敛;因此级级数的的收敛敛域为为故原级级数的的收敛敛域为为即三、求求函数数的幂幂级数数展开开式1、对函函数作作恒等等变形形（如如果需需要的的话））2、利用用已知知结论论，用用变量量代换换或求求导积积分得得所求求函数数的幂幂级数数3、写出出收敛敛范围围的幂级级数展展开式式展开成成解：例10.求函数数微分方方程一、微微分方方程的的基本本概念念二、解解微分分方程程三、微微分方方程应应用含未知知函数数及其其导数数的方方程叫叫做微分方方程.方程中中所含含未知知函数数导数数的最最高阶阶数叫叫做微微分方方程一、微微分方方程的的基本本概念念的阶.例如：：一阶微微分方方程二阶微微分方方程—使方程程成为为恒等等式的的函数数.通解—解中所所含独独立的的任意意常数数的个个数与与方程程—确定通通解中中任意意常数数的条条件.初始条条件(或边值值条件件):的阶数数相同同.特解微分方方程的的解—不含任任意常常数的的解,定解条条件其图形形称为为积分曲曲线.例1.验证函函数是微分分方程程的解.解:是方程程的解解.二、解解微分分方程程1.一阶微微分方方程可分离离变量量，一一阶线线性2.高阶微微分方方程可降阶阶微分分方程程，二二阶线线性常常系数数齐次次，二二阶线线性常常系数数非齐齐次只只要求求写出出特解解形式式。分离变变量方方程的的解法法:(2)两边边积积分分①②(3)得到到通通解解称②②为为方方程程①①的的隐式式通通解解,或通积积分分.(1)分离离变变量量*例2.求微微分分方方程程的通通解解.解:分离离变变量量得得两边边积积分分得即(C为任任意意常常数数)因此此可可能能增增、、减解解.一阶阶线线性性微微分分方方程程一阶阶线线性性微微分分方方程程标标准准形形式式:若Q(x)0,若Q(x)0,称为为非齐齐次次方方程程.1.解齐齐次次方方程程分离离变变量量两边边积积分分得得故通通解解为为称为为齐次次方方程程;对应应齐齐次次方方程程通通解解齐次次方方程程通通解解非齐齐次次方方程程特特解解2.解非非齐齐次次方方程程用常数数变变易易法法:则故原原方方程程的的通通解解即即作变变换换两端端积积分分得得解*例3.利用用一一阶阶线线性性方方程程的的通通解解公公式式得得：：例4.解方方程程解:先解解即积分分得得即用常数数变变易易法法求特特解解.令则代入入非非齐齐次次方方程程得得解得得故原原方方程程通通解解为为令因此此即同理理可可得得依次次通通过过n次积积分分,可得得含含n个任任意意常常数数的的通通解解.型的的微微分分方方程程例5.解:型的的微微分分方方程程设原方方程程化化为为一一阶阶方方程程设其其通通解解为为则得得再一一次次积积分分,得原原方方程程的的通通解解例6.求解解解:代入入方方程程得得分离离变变量量积分分得得利用用于是是有有两端端再再积积分分得得利用用因此此所所求求特特解解为为型的的微微分分方方程程令故方方程程化化为为设其其通通解解为为即得得分离离变变量量后后积积分分,得原原方方程程的的通通解解例7.求解解代入入方方程程得得两端端积积分分得得(一阶阶线线性性齐齐次次方方程程)故所所求求通通解解为为解:*例8.解初初值值问问题题解:令代入方方程得得积分得得利用初初始条条件,根据积分得得故所求求特解解为得二阶线线性齐齐次方方程解解的结结构是二阶阶线性性齐次次方程程的两个个解,也是该该方程程的解解.定理1.机动目目录录上上页下下页页返返回结结束束定理2.是二阶阶线性性齐次次方程程的两两个线线性无关关特解解,则数)是该方方程的的通解解.例如,方程有特解解且常数,故方程程的通通解为为(自证)特征方方程:实根特征根通解二阶线线性常常系数数齐次次微分分方程程求解解例9.的通解解.解:特征方方程特征根根:因此原原方程程的通通解为为例10.求解初初值问问题解:特征方方程有重根根因此原原方程程的通通解为为利用初初始条条件得得于是所所求初初值问问题的的解为为*例11.的通解解.解:特征方方程特征根根:因此原原方程程通解解为例12.解：因因是一个个特解解，所所以是特征征方程的的重根根，故故特征征方程程为：：所对应应微分分方程程为二阶线线性非非齐次次方程程解的的结构构是二阶阶非齐齐次方方程的一个个特解解,Y(x)是相应应齐次次方程程的通通解,定理3.则是非齐齐次方方程的的通解解.②①(2)若是是特征征方程程的单根特解形形式为为(3)若是特征征方程程的重根特解形形式为为(1)若不不是特特征方方程的的根特解形形式