对数函数及其性质优质课

关于对数函数及其性质优质课第一页，共二十九页，2022年，8月28日复习:1.一般地,函数y=ax(a＞0,且a≠1)叫做

指

数函数,其中x是自变量.a>10<a<1

图象

性质定义域:

值域:两点：定点(0,1),特征点(1,a)；

两线：x=1与y=1

在R

上是增函数在R

上是减函数x∈Ry∈（0,+∞）y=1yx0(0,1)y=axx=1●(1,a)●yx(0,1)y=10y=axx=1(1,a)●●第二页，共二十九页，2022年，8月28日2、指数和对数的互化：第三页，共二十九页，2022年，8月28日

我们研究指数函数时，曾讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂成x次后，得到细胞个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=2x

表示。124y=2x……yX次二、探究第四页，共二十九页，2022年，8月28日第五页，共二十九页，2022年，8月28日通常，我们习惯将x作为自变量，y作为函数值，所以写为对数函数：当已知指数函数值求指数时，可将指数函数改写为与之等价的对数函数进行求值。y=log2x第六页，共二十九页，2022年，8月28日第七页，共二十九页，2022年，8月28日判断下列函数哪些是对数函数第八页，共二十九页，2022年，8月28日在同一坐标系中用描点法画出对数函数

的图象。作图步骤:

①列表②描点③连线对数函数:y=logax(a＞0,且a≠1)图象与性质探究：第九页，共二十九页，2022年，8月28日X1/41/2124…y=log2x-2-1012…列表描点作y=log2x图象连线21-1-21240yx3对数函数:y=logax(a＞0,且a≠1)图象与性质第十页，共二十九页，2022年，8月28日列表描点连线21-1-21240yx3x1/41/2124

2 1 0 -1 -2-2 -1 0 12

对数函数:y=logax(a＞0,且a≠1)图象与性质………………第十一页，共二十九页，2022年，8月28日图象特征代数表述

定义域:(0,+∞)

值域:R增函数在(0,+∞)上是：探索发现:认真观察函数y=log2x

的图象填写下表图象位于y轴右方图象向上、向下无限延伸自左向右看图象逐渐上升探究：对数函数:y=logax(a＞0,且a≠1)图象与性质21-1-21240yx3第十二页，共二十九页，2022年，8月28日图象特征函数性质

定义域:(0,+∞)

值域:R减函数在(0,+∞)上是：图象位于y轴右方图象向上、向下无限延伸自左向右看图象逐渐下降探究：对数函数:y=logax(a＞0,且a≠1)图象与性质探索发现:认真观察函数

的图象填写下表21-1-21240yx3第十三页，共二十九页，2022年，8月28日

一般地，对数函数y=logax在a>1及0<a<1这两种情况下的图象和性质如下表所示：

a＞10＜a＜1图象性质⑴定义域：⑵值域：⑶两点：⑷单调性：⑷单调性：（0，+∞）R定点（1，0），特征点（a，1）；两线：x=1与y=1在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0当x＞1时，y＜0(a,1)(a,1)第十四页，共二十九页，2022年，8月28日oy=axy=x依据对数函数y=㏒ax和指数函数y=ax的图象关于直线y=x对称．第十五页，共二十九页，2022年，8月28日oy=㏒xy=

xy=x依据

对数函数y=㏒

x和指数函数

的图象关于直线y=x对称．y=

x第十六页，共二十九页，2022年，8月28日五、应用举例：例1：求下列函数的定义域：①y=logax2②y=loga(4-x)③y=loga(9-x2)①因为x2>0,即x≠0，所以函数y=logax2

的定义域是{x│x≠0}

②因为4-x>0,即x<4,

所以函数y=loga(4-x)的定义域是{x│x<4}

③因为9-x2>0,即-3<x<3,

所以函数y=loga(9-x2)的定义域是{x│-3<x<3}解：第十七页，共二十九页，2022年，8月28日例2比较下列各组数中两个值的大小：

⑴log23.4,log28.5⑵log0.31.8,log0.32.7⑶loga5.1,loga5.9(a＞0,a≠1)解：⑴考察对数函数y=log2x,因为它的底数2＞1,所以它在(0,+∞)上是增函数,于是log23.4＜log28.5⑵考察对数函数y=log0.3x,因为它的底数为0.3,即0＜0.3＜1,所以它在(0,+∞)上是减函数,于是

log0.31.8＞log0.32.7log23.4log28.5y03.48.5xy=log2x0log0.32.7log0.31.8y1.82.7xy=log0.3x第十八页，共二十九页，2022年，8月28日⑶loga5.1,loga5.9(a＞0,a≠1)y05.15.9xloga5.9loga5.1y=logax(a>1)05.15.9xloga5.9loga5.1yy=logax(0<a<1)对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大,因此需要对底数a进行讨论:

当a＞1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,于是

loga5.1＜loga5.9

当0＜a＜1时,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,于是

loga5.1＞loga5.9第十九页，共二十九页，2022年，8月28日＜＜＞＞练习:比较下列各题中两个值的大小:⑴log106

log108⑵log0.56

log0.54⑶log0.10.5

log0.10.6⑷log1.51.6

log1.51.4（5）log0.50.3＿＿log20.8＞2.当底数不确定时,要对底数a与1的大小进行分类讨论.钥匙1.当底数相同时,利用对数函数的单调性比较大小.第二十页，共二十九页，2022年，8月28日例3：比较下列各组数中两个值的大小：log27

与log57解:∵log75

＞log72＞0∴log27

＞log57xoy17log57log27第二十一页，共二十九页，2022年，8月28日例4:比较下列各组数中两个值的大小：log76

log77

log67

log76

log32

log20.8钥匙当底数不相同，真数也不相同时，利用“介值法”常需引入中间值0或1(各种变形式).log67

log66log32

log31log20.8

log21＞＜

＞＜=1=1＞=0=0＞log67

log76

log32

log20.8＞＞第二十二页，共二十九页，2022年，8月28日（一）同底数比较大小

1.当底数确定时，则可由函数的单调性直接进行判断；

2.当底数不确定时，应对底数进行分类讨论。（三）若底数、真数都不相同,则常借助1、0等中间量进行比较。小结：两个对数比较大小（二）同真数比较大小

1.通过换底公式；

2.利用函数图象。第二十三页，共二十九页，2022年，8月28日Clog,log,log,log则下列式子中正确的是（）的图像如图所示，

函数xyxyxyxydcba====第二十四页，共二十九页，2022年，8月28日1、2、3、4、例2:比较大小第二十五页，共二十九页，2022年，8月28日对于y=ax，可以改写为函数x=logay，即，把y作为自变量，x作为函数值，这时我们就说x=logay是函数y=ax的反函数，并且y=ax与x=logay互为反函数。由于我们常把x作为自变量，y作为函数值，所以把x=logay写成y=logax，即y=ax与y=logax互为反函数。应注意，必须是两个函数才可以互为反函数，即定义域内的任意一个自