2019版河北省中考数学一轮复习《课题16：利用二次函数解决实际问题》课件

课题16利用二次函数解决实际问题课题16利用二次函数解决实际问题1基础知识梳理考点一利用二次函数解决抛物线型问题考点二利用二次函数解决“最大(或最小)值”问题基础知识梳理考点一利用二次函数解决抛物线型问题考点二2中考题型突破题型一考查利用二次函数解决抛物线型问题题型二考查利用二次函数解决最大(小)值问题中考题型突破题型一考查利用二次函数解决抛物线型问题题3易错没有考虑到实际问题中自变量的取值范围易混易错突破易错没有考虑到实际问题中自变量的取值范围易混易错突破4考点年份题号分值考查方式二次函数的应用20182612以解答题的形式,与反比例函数相结合,考查二次函数的应用20172612以解答题的形式,与一次函数、反比例函数相结合,考查二次函数的应用20162612以解答题的形式,以求函数图象最高点的坐标为问题情境,考查二次函数的应

用备考策略:二次函数的应用是我省中考的常考内容,主要内容包括利用待定系数法确定二次函数表达式,二次函数与一元二次方程的关系,二次函数的最大(小)值等,这些知识常隐含于实际问题中,题目的

难度较大.河北考情探究考点年份题号分值考查方式二次函数的应用20182612以解答5考点一利用二次函数解决抛物线型问题某些建筑的外形或物体的运动路线(如拱形桥、抛出去的铅球的运行轨迹)

等,可看做抛物线的一部分,因此可通过建立①

适当

的直角坐标系,把这

些建筑的外形或物体的运动路线转化为②

二次

函数的图象,然后利用二

次函数的有关知识解决这个实际问题.基础知识梳理基础知识梳理6考点二利用二次函数解决“最大(或最小)值”问题利用二次函数解决实际问题中的最大(或最小)值问题时,应先利用图形周

长、③

面积

等计算公式或有关各量之间的④

数量关系

,得到与之相

关的二次函数关系式,然后通过求二次函数的最大(或最小)值,使实际问题得

到解决.考点二利用二次函数解决“最大(或最小)值”问题7题型一考查利用二次函数解决抛物线型问题该题型主要考查利用二次函数解决抛物线型问题,包括怎样根据抛物线中的

信息确定二次函数表达式、当图中没有直角坐标系时怎样建立适当的直角

坐标系等.中考题型突破中考题型突破8典例1

(2017山东德州中考)随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越

来越美丽,小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池,在水池中心竖直安装

了一根高为2米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离

为1米处达到最高,水柱落地处离池中心3米.(1)请你建立适当的平面直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析式;(2)求出水柱的最大高度.

典例1

(2017山东德州中考)随着新农村的建设和旧城9答案(1)以水管与地面交点O为原点,点O与水柱落地点A所在直线为x轴,水

管所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.

设喷水点为B,水柱的最高点为C,过点C作x轴的垂线交x轴于点D,则点O(0,0),

A(3,0),B(0,2),D(1,0),直线CD为抛物线形水柱的对称轴.设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+h(a≠0),答案(1)以水管与地面交点O为原点,点O与水柱落地点A所在10把点A(3,0),B(0,2)的坐标代入,得

解得

∴抛物线的解析式为y=-

(x-1)2+

=-

x2+

x+2(0≤x≤3).(2)∵抛物线的解析式为y=-

(x-1)2+

,x的取值范围为0≤x≤3,∴水柱的最大高度为

m.把点A(3,0),B(0,2)的坐标代入,得 解得 11变式训练1

(2017唐山模拟)如图,拱门的地面宽度为200米,两侧距地面高15

0米处各有一个观光窗,两窗的水平距离为100米,则拱门的最大高度为

(C)

A.100米

B.150米

C.200米

D.300米变式训练1

(2017唐山模拟)如图,拱门的地面宽度为12答案

C以CD所在的直线为x轴,CD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标

系,则抛物线与x轴的交点为C(-100,0),D(100,0)的坐标,设这条抛物线的解析

式为y=ax2+h(a≠0),把点B(50,150),D(100,0)代入,得

解得

∴y=-

x2+200,∴拱门的最大高度为200米.答案

C以CD所在的直线为x轴,CD的垂直平分线为y13题型二考查利用二次函数解决最大(小)值问题该题型主要考查利用二次函数解决最大(小)值问题,如图形的最大面积、图

形的最小周长、销售问题中的最大利润等,解决这类问题时,先确定与之有关

的二次函数表达式,从而把问题转化为求二次函数的最大(小)值问题.题型二考查利用二次函数解决最大(小)值问题14典例2九(1)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤9

0)天的售价与销量的相关信息如下表:时间x(天)1≤x<5050≤x≤90售价(元/件)x+4090每天销量(件)200-2x已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品每天的利润为y元.(1)求出y与x的函数关系式;(2)问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少?(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?典例2九(1)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在15答案(1)当1≤x<50时,y=(200-2x)(x+40-30)=-2x2+180x+2000;当50≤x≤90时,y=(200-2x)(90-30)=-120x+12000.综上所述,y=

(2)当1≤x<50时,∵y=-2x2+180x+2000=-2(x-45)2+6050,且-2<0,答案(1)当1≤x<50时,16∴当x=45时,y最大值=6050.当50≤x≤90时,∵y随x的增大而减小,∴当x=50时,y最大值=6000.∵6000<6050,∴第45天时,该商品当天销售利润最大,最大利润是6050元.(3)当1≤x<50时,由-2x2+180x+2000=4800,解得x1=20,x2=70.∴当20≤x<50时,每天的销售利润不低于4800元.当50≤x≤90时,由-120x+12000=4800,∴当x=45时,y最大值=6050.17解得x=60.∴当50≤x≤60时,每天的销售利润不低于4800元.综上所述,当20≤x≤60时,每天销售利润不低于4800元.名师点拨

在分类讨论的题目中,分类标准起着非常重要的作用,如本题(2)

中,对于不同的销售时段,按照不同的函数表达式求最大利润;在(3)中,对于不

同的销售时段,解不同的函数表达式转化而成的方程,并按照分类标准对所得

的解进行取舍,难度较大,要认真对待.解得x=60.名师点拨

在分类讨论的题目中,分类标准起18变式训练2有一个窗户形状如图①,上部是一个半圆,下部是一个矩形,如果

制作窗框的材料总长为6m,如何设计这个窗户,使透光面积最大?这个问题的答案是:当窗户半圆的半径约为0.35m时,透光面积最大值约为1.0

5m2.我们如果改变这个窗户的形状,上部改为由两个正方形组成的矩形,如图②,

材料总长仍为6m,利用图③,解答下列问题:(1)若AB为1m,求此时窗户的透光面积;(2)与图①比较,改变窗户形状后,窗户透光面积的最大值有没有变大?请通过

计算说明.变式训练2有一个窗户形状如图①,上部是一个半圆,下部是一个19

20答案(1)根据矩形周长公式可得:AD=

=

(m),则S=AB·AD=1×

=

(m2).(2)设AB=xm,则AD=(3-

x)m.∵3-

x>0,∴0<x<

.设窗户的面积为S,根据题意,得S=AB·AD=x·

=-

x2+3x=-

+

.∵x=

在0<x<

的范围内,∴S最大值=

m2>1.05m2,∴与图①比较,改变窗户形状后,窗户透光面积的最大值变大.答案(1)根据矩形周长公式可得:AD= = (m),∴S21易错

没有考虑到实际问题中自变量的取值范围典例

(2017秦皇岛模拟)小明家门前有一块空地,空地外有一面长10米的围

墙,为了美化生活环境,小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃,他买回了32

米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏(如图所示),花圃的一边AD(垂直围墙的

边)究竟应为多少米才能使花圃的面积最大?最大面积是多少平方米?

易混易错突破易混易错突破22易错警示

本题的易错之处是不结合实际,直接利用抛物线顶点坐标的意义

求其最大值,其原因是忽略了“空地外有一面长10米的围墙”这个限制条件,

由此可知x=16并不在这个二次函数的取值范围内.实际上,在实际问题中求二

次函数的最大(小)值时,首先应考虑自变量的取值范围,如果x=-

在自变量的取值范围内,那么其最大(小)值为

;如果x=-

不在自变量的取值范围内,那么应结合二次函数的增减性求其最大(小)值.易错警示

本题的易错之处是不结合实际,直接利用抛物线顶23解析设AB的长为x米,矩形的面积为y平方米,则y=x·

=-

(x-16)2+128.∵0<x≤10,且当x<16时,y随x的增大而增大,∴当x=10时,y取得最大值,y最大值=-

×(10-16)2+128=110(平方米),此时,AD=

=11(米).答:花圃的一边AD(垂直围墙的边)应为11米才能使花圃的面积最大,最大面积

是110平方米.解析设AB的长为x米,矩形的面积为y平方米,241.n支球队进行单循环比赛(参加比赛的任何一支球队都与其他所有的球队各

赛一场),总的比赛场数为y,则有

(D)A.y=2n

B.y=n2C.y=n(n-1)

D.y=

n(n-1)随堂巩固检测随堂巩固检测252.用长为30cm的一根绳子围成一个矩形,其面积的最大值为

(C)A.225cm2B.112.5cm2C.56.25cm2D.100cm2

3.一个小球被抛出后,如果距离地面的高度h(米)和运行时间t(秒)的函数关系

式为h=-5t2+10t+1,那么小球到达最高点时距离地面的高度是

(D)A.1米

B.3米

C.5米

D.6米2.用长为30cm的一根绳子围成一个矩形,其面积的最大值为264.向空中发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y米,且高度与时间的关系式为y=ax2

+bx+c(a≠0).若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列时间中炮弹

所在高度最高的是

(B)A.第8秒

B.第10秒

C.第12秒

D.第15秒4.向空中发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y米,且高度与时间的275.如图,用长为23m的篱笆,一面利用墙(墙足够长)围成一块留有一扇1m宽的

门的长方形花圃,则当AB的长为

6

m时,花圃的面积最大,最大面积是

72

m2.

5.如图,用长为23m的篱笆,一面利用墙(墙足够长)围成一286.一个直角三角形的两条直角边长的和为20cm,其中一直角边长为xcm,面

积为ycm2,则y有

最大

(填“最大”或“最小”)值,且这个值为

50

.7.如图,已知线段AB=10,点C是线段AB上的一个动点,分别以AC和BC为直径

作半圆,用S表示这两个半圆的面积之和,则当AC=

4或6

时,S=

π.

6.一个直角三角形的两条直角边长的和为20cm,其中一直角298.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够

长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=xm.(1)若花园的面积为192m2,求x的值;(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花

园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值.8.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(30答案∵AB=xm,∴BC=(28-x)m.(1)根据题意,得x(28-x)=192,解得x1=12,x2=16.∵x1=12,x2=16都符合实际问题的意义,∴x的值为12或16.(2)根据题意,得S=x(28-x)=-x2+28x.∵点P在矩形ABCD内,∴

解得6≤x≤13.∵抛物线S=-x2+28x的对称轴为直线x=-

=14,且-1<0,答案∵AB=xm,∴BC=(28-x)m.31∴当x<14时,S随x的增大而增大,则当x=13时,S有最大值,且S最大值=-132+28×13=

195.故花园面积S的最大值为195m2.∴当x<14时,S随x的增大而增大,则当x=13时,S有最大32海纳百川有容乃大海纳百川有容乃大33谢谢您的观看谢谢您的观看34课题16利用二次函数解决实际问题课题16利用二次函数解决实际问题35基础知识梳理考点一利用二次函数解决抛物线型问题考点二利用二次函数解决“最大(或最小)值”问题基础知识梳理考点一利用二次函数解决抛物线型问题考点二36中考题型突破题型一考查利用二次函数解决抛物线型问题题型二考查利用二次函数解决最大(小)值问题中考题型突破题型一考查利用二次函数解决抛物线型问题题37易错没有考虑到实际问题中自变量的取值范围易混易错突破易错没有考虑到实际问题中自变量的取值范围易混易错突破38考点年份题号分值考查方式二次函数的应用20182612以解答题的形式,与反比例函数相结合,考查二次函数的应用20172612以解答题的形式,与一次函数、反比例函数相结合,考查二次函数的应用20162612以解答题的形式,以求函数图象最高点的坐标为问题情境,考查二次函数的应

用备考策略:二次函数的应用是我省中考的常考内容,主要内容包括利用待定系数法确定二次函数表达式,二次函数与一元二次方程的关系,二次函数的最大(小)值等,这些知识常隐含于实际问题中,题目的

难度较大.河北考情探究考点年份题号分值考查方式二次函数的应用20182612以解答39考点一利用二次函数解决抛物线型问题某些建筑的外形或物体的运动路线(如拱形桥、抛出去的铅球的运行轨迹)

等,可看做抛物线的一部分,因此可通过建立①

适当

的直角坐标系,把这

些建筑的外形或物体的运动路线转化为②

二次

函数的图象,然后利用二

次函数的有关知识解决这个实际问题.基础知识梳理基础知识梳理40考点二利用二次函数解决“最大(或最小)值”问题利用二次函数解决实际问题中的最大(或最小)值问题时,应先利用图形周

长、③

面积

等计算公式或有关各量之间的④

数量关系

,得到与之相

关的二次函数关系式,然后通过求二次函数的最大(或最小)值,使实际问题得

到解决.考点二利用二次函数解决“最大(或最小)值”问题41题型一考查利用二次函数解决抛物线型问题该题型主要考查利用二次函数解决抛物线型问题,包括怎样根据抛物线中的

信息确定二次函数表达式、当图中没有直角坐标系时怎样建立适当的直角

坐标系等.中考题型突破中考题型突破42典例1

(2017山东德州中考)随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越

来越美丽,小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池,在水池中心竖直安装

了一根高为2米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离

为1米处达到最高,水柱落地处离池中心3米.(1)请你建立适当的平面直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析式;(2)求出水柱的最大高度.

典例1

(2017山东德州中考)随着新农村的建设和旧城43答案(1)以水管与地面交点O为原点,点O与水柱落地点A所在直线为x轴,水

管所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.

设喷水点为B,水柱的最高点为C,过点C作x轴的垂线交x轴于点D,则点O(0,0),

A(3,0),B(0,2),D(1,0),直线CD为抛物线形水柱的对称轴.设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+h(a≠0),答案(1)以水管与地面交点O为原点,点O与水柱落地点A所在44把点A(3,0),B(0,2)的坐标代入,得

解得

∴抛物线的解析式为y=-

(x-1)2+

=-

x2+

x+2(0≤x≤3).(2)∵抛物线的解析式为y=-

(x-1)2+

,x的取值范围为0≤x≤3,∴水柱的最大高度为

m.把点A(3,0),B(0,2)的坐标代入,得 解得 45变式训练1

(2017唐山模拟)如图,拱门的地面宽度为200米,两侧距地面高15

0米处各有一个观光窗,两窗的水平距离为100米,则拱门的最大高度为

(C)

A.100米

B.150米

C.200米

D.300米变式训练1

(2017唐山模拟)如图,拱门的地面宽度为46答案

C以CD所在的直线为x轴,CD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标

系,则抛物线与x轴的交点为C(-100,0),D(100,0)的坐标,设这条抛物线的解析

式为y=ax2+h(a≠0),把点B(50,150),D(100,0)代入,得

解得

∴y=-

x2+200,∴拱门的最大高度为200米.答案

C以CD所在的直线为x轴,CD的垂直平分线为y47题型二考查利用二次函数解决最大(小)值问题该题型主要考查利用二次函数解决最大(小)值问题,如图形的最大面积、图

形的最小周长、销售问题中的最大利润等,解决这类问题时,先确定与之有关

的二次函数表达式,从而把问题转化为求二次函数的最大(小)值问题.题型二考查利用二次函数解决最大(小)值问题48典例2九(1)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤9

0)天的售价与销量的相关信息如下表:时间x(天)1≤x<5050≤x≤90售价(元/件)x+4090每天销量(件)200-2x已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品每天的利润为y元.(1)求出y与x的函数关系式;(2)问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少?(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?典例2九(1)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在49答案(1)当1≤x<50时,y=(200-2x)(x+40-30)=-2x2+180x+2000;当50≤x≤90时,y=(200-2x)(90-30)=-120x+12000.综上所述,y=

(2)当1≤x<50时,∵y=-2x2+180x+2000=-2(x-45)2+6050,且-2<0,答案(1)当1≤x<50时,50∴当x=45时,y最大值=6050.当50≤x≤90时,∵y随x的增大而减小,∴当x=50时,y最大值=6000.∵6000<6050,∴第45天时,该商品当天销售利润最大,最大利润是6050元.(3)当1≤x<50时,由-2x2+180x+2000=4800,解得x1=20,x2=70.∴当20≤x<50时,每天的销售利润不低于4800元.当50≤x≤90时,由-120x+12000=4800,∴当x=45时,y最大值=6050.51解得x=60.∴当50≤x≤60时,每天的销售利润不低于4800元.综上所述,当20≤x≤60时,每天销售利润不低于4800元.名师点拨

在分类讨论的题目中,分类标准起着非常重要的作用,如本题(2)

中,对于不同的销售时段,按照不同的函数表达式求最大利润;在(3)中,对于不

同的销售时段,解不同的函数表达式转化而成的方程,并按照分类标准对所得

的解进行取舍,难度较大,要认真对待.解得x=60.名师点拨

在分类讨论的题目中,分类标准起52变式训练2有一个窗户形状如图①,上部是一个半圆,下部是一个矩形,如果

制作窗框的材料总长为6m,如何设计这个窗户,使透光面积最大?这个问题的答案是:当窗户半圆的半径约为0.35m时,透光面积最大值约为1.0

5m2.我们如果改变这个窗户的形状,上部改为由两个正方形组成的矩形,如图②,

材料总长仍为6m,利用图③,解答下列问题:(1)若AB为1m,求此时窗户的透光面积;(2)与图①比较,改变窗户形状后,窗户透光面积的最大值有没有变大?请通过

计算说明.变式训练2有一个窗户形状如图①,上部是一个半圆,下部是一个53

54答案(1)根据矩形周长公式可得:AD=

=

(m),则S=AB·AD=1×

=

(m2).(2)设AB=xm,则AD=(3-

x)m.∵3-

x>0,∴0<x<

.设窗户的面积为S,根据题意,得S=AB·AD=x·

=-

x2+3x=-

+

.∵x=

在0<x<

的范围内,∴S最大值=

m2>1.05m2,∴与图①比较,改变窗户形状后,窗户透光面积的最大值变大.答案(1)根据矩形周长公式可得:AD= = (m),∴S55易错

没有考虑到实际问题中自变量的取值范围典例

(2017秦皇岛模拟)小明家门前有一块空地,空地外有一面长10米的围

墙,为了美化生活环境,小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃,他买回了32

米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏(如图所示),花圃的一边AD(垂直围墙的

边)究竟应为多少米才能使花圃的面积最大?最大面积是多少平方米?

易混易错突破易混易错突破56易错警示

本题的易错之处是不结合实际,直接利用抛物线顶点坐标的意义

求其最大值,其原因是忽略了“空地外有一面长10米的围墙”这个限制条件,

由此可知x=16并不在这个二次函数的取值范围内.实际上,在实际问题中求二

次函数的最大(小)值时,首先应考虑自变量的取值范围,如果x=-

在自变量的取值范围内,那么其最大(小)值为

;如果x=-

不在自变量的取值范围内,那么应结合二次函数的增减性求其最大(小)值.易错警示

本题的易错之处是不结合实际,直接利用抛物线顶57解析设AB的长为x米,矩形的面积为y平方米,则y=x·

=-

(x-16)2+128.∵0<x≤10,且当x<16时,y随x的增大而增大,∴当x=10时,y取得最大值,y最大值=-

×(10-16)2+128=110(平方米),此时,AD=

=11(米).答:花圃的一边AD(垂直围墙的边)应为11米才能使花圃的面积最大,最大面积

是110平方米.解析设AB的长为x米,矩形的面积为y平方米,581.n支球队进行单循环比赛(参加比赛的任何一支球队都与其他所有的球队各

赛一场),总的比赛场数为y,则有

(D)A.y=2n

B.y=n2C.y=n(n-1)

D.y=

n(n-1)随堂巩固检测随堂巩固检测592.用长为30cm的一根绳子围成一个矩形,其面积的最大值为

(C)A.225cm2B.112.5cm2C.56.25cm2D.100cm2

3.一个小球被抛出后,如果距离地面的高度h(米)和运行时间t(秒)的函数关系

式为h=-5t2+10t+1,那么小球到达最高点时距离地面的高度是

(D)A.1米

B.3米

C.5米

D.6米2.用长为30cm的一根绳子围成一个矩形,其面积的最大值