最新北师大版九年级数学上册课件45-相似三角形判定定理的证明

第四章

图形的相似*4.5相似三角形判定定理的证明2022/12/261第四章*4.5相似三角形判定定理的证明2022/12/21.会证明相似三角形判定定理；（重点）2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点）学习目标2022/12/2621.会证明相似三角形判定定理；（重点）学习目标2022/12问题：相似三角形的判定方法有哪些？①两角对应相等，两三角形相似.②两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.③三边对应成比例,两三角形相似.导入新课2022/12/263问题：相似三角形的判定方法有哪些？①两角对应相等，两三角形证明相似三角形的判定定理在上两节中，我们探索了三角形相似的条件，稍候我们将对它们进行证明．定理1：两角分别相等的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC

和△A'B'C'中，∠A

=∠A'，∠B

=∠B'.求证：△ABC

∽△A'B'C'．A′B′C′ABC讲授新课知识点12022/12/264证明相似三角形的判定定理在上两节中，我们探索了∠1=∠B，∠2=∠C，过点

D

作

AC

的平行线,交

BC

于点

F,则∴ ∴∵DE∥BC,DF∥AC,∴四边形

DFCE

是平行四边形．∴DE=CF.∴ ∴A′B′C′ABC证明：在

△ABC

的边AB（或它的延长线）上截取AD=A'B'，过点D作BC的平行线，交AC

于点E，则EDF122022/12/265∠1=∠B，∠2=∠C，A′B′C′ABC证明：在△A而∠1=∠B，∠DAE=∠BAC，∠2=∠C，∴△ADE∽△ABC.∵∠A=∠A'，∠ADE=∠B=∠B'，AD=A'B'，∴△ADE≌△A'B'C'

．∴△ABC∽△A'B'C.

A′B′C′ABCEDF12而∠1=∠B，∠DAE=∠BAC，∠2=我们来证明一下前面得出的结论：如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D，使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E.∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.求证：△ABC∽△A′B′C′.BACDEB'A'C'∴定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2022/12/267我们来证明一下前面得出的结论：如图，在△ABC与△A′B′C∴A′E=AC.

又∠A′=∠A，∴△A′DE≌△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC.BACDEB'A'C'∵A′D=AB，∴2022/12/268∴A′E=AC.BACDEB'A'C'∵A′D=定理3：三边成比例的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC

和△A'B'C'

中，求证：△ABC

∽

△A'B'C'.A′B′C′ACEDB2022/12/269定理3：三边成比例的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC∴C′B′A′证明:在线段AB(或延长线)上截取AD=A′B′，过点D作DE∥BC交AC于点E.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴DE=B′C′，EA=C′A′.

∴△ADE≌△A′B′C′，△A′B′C′∽△ABC.BCADE又，AD=A′B′，∴，.

2022/12/2610∴C′B′A′证明:过点D作DE∥BC交AC于点相似三角形判定定理的运用

例1：已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2,AC=8，求AB.CDAB解：∵∠

A=∠

A,∠ABD=∠C,

∴△ABD

∽△ACB

,∴AB

:

AC=AD

:

AB,∴AB2=AD·AC.∵AD=2,AC=8,∴AB=4.知识点22022/12/2611相似三角形判定定理的运用例1：已知:如图,∠ABD=∠C，例2

如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=，当AB的长为

时，△ACB与△ADC相似．CABD例2如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=解析：∵∠ADC=90°，AD=2，CD=，要使这两个直角三角形相似，有两种情况：(1)当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有AC

:AD＝AB

:AC，即:2

=AB:，解得AB=3；∴CABD2解析：∵∠ADC=90°，AD=2，CD=(2)当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有AC

:CD＝AB

:AC，即:

=AB:，解得AB=．∴当AB的长为3或时，这两个直角三角形相似．CABD2(2)当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有AC:

在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.(1)∠A=35°，∠B′=55°：

；(2)AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8：

；(3)AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15：

.练一练相似相似相似在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中1.如下图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）①②③④①③随堂练习1.如下图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（2.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=

，求AD的长.解:∵AB=6，BC=4，AC=5，CD=∴

又∠B=∠ACD,∴△ABC∽△DCA，∴∴AD=ABCD2022/12/26172.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6相似三角形判定定理的证明定理1：两角分别相等的两个三角形相似.定理的运用定理证明定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.定理3：三边成比例的两个三角形相似.课堂小结2022/12/2618相似三角形判定定理的证明定理1：两角分别相等的两个三角形相似第四章

图形的相似*4.5相似三角形判定定理的证明2022/12/2619第四章*4.5相似三角形判定定理的证明2022/12/21.会证明相似三角形判定定理；（重点）2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点）学习目标2022/12/26201.会证明相似三角形判定定理；（重点）学习目标2022/12问题：相似三角形的判定方法有哪些？①两角对应相等，两三角形相似.②两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.③三边对应成比例,两三角形相似.导入新课2022/12/2621问题：相似三角形的判定方法有哪些？①两角对应相等，两三角形证明相似三角形的判定定理在上两节中，我们探索了三角形相似的条件，稍候我们将对它们进行证明．定理1：两角分别相等的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC

和△A'B'C'中，∠A

=∠A'，∠B

=∠B'.求证：△ABC

∽△A'B'C'．A′B′C′ABC讲授新课知识点12022/12/2622证明相似三角形的判定定理在上两节中，我们探索了∠1=∠B，∠2=∠C，过点

D

作

AC

的平行线,交

BC

于点

F,则∴ ∴∵DE∥BC,DF∥AC,∴四边形

DFCE

是平行四边形．∴DE=CF.∴ ∴A′B′C′ABC证明：在

△ABC

的边AB（或它的延长线）上截取AD=A'B'，过点D作BC的平行线，交AC

于点E，则EDF122022/12/2623∠1=∠B，∠2=∠C，A′B′C′ABC证明：在△A而∠1=∠B，∠DAE=∠BAC，∠2=∠C，∴△ADE∽△ABC.∵∠A=∠A'，∠ADE=∠B=∠B'，AD=A'B'，∴△ADE≌△A'B'C'

．∴△ABC∽△A'B'C.

A′B′C′ABCEDF12而∠1=∠B，∠DAE=∠BAC，∠2=我们来证明一下前面得出的结论：如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D，使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E.∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.求证：△ABC∽△A′B′C′.BACDEB'A'C'∴定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2022/12/2625我们来证明一下前面得出的结论：如图，在△ABC与△A′B′C∴A′E=AC.

又∠A′=∠A，∴△A′DE≌△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC.BACDEB'A'C'∵A′D=AB，∴2022/12/2626∴A′E=AC.BACDEB'A'C'∵A′D=定理3：三边成比例的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC

和△A'B'C'

中，求证：△ABC

∽

△A'B'C'.A′B′C′ACEDB2022/12/2627定理3：三边成比例的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC∴C′B′A′证明:在线段AB(或延长线)上截取AD=A′B′，过点D作DE∥BC交AC于点E.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴DE=B′C′，EA=C′A′.

∴△ADE≌△A′B′C′，△A′B′C′∽△ABC.BCADE又，AD=A′B′，∴，.

2022/12/2628∴C′B′A′证明:过点D作DE∥BC交AC于点相似三角形判定定理的运用

例1：已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2,AC=8，求AB.CDAB解：∵∠

A=∠

A,∠ABD=∠C,

∴△ABD

∽△ACB

,∴AB

:

AC=AD

:

AB,∴AB2=AD·AC.∵AD=2,AC=8,∴AB=4.知识点22022/12/2629相似三角形判定定理的运用例1：已知:如图,∠ABD=∠C，例2

如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=，当AB的长为

时，△ACB与△ADC相似．CABD例2如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=解析：∵∠ADC=90°，AD=2，CD=，要使这两个直角三角形相似，有两种情况：(1)当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有AC

:AD＝AB

:AC，即:2

=AB:，解得AB=3；∴CABD2解析：∵∠ADC=90°，AD=2，CD=(2)当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有AC

:CD＝AB

:AC，即:

=AB:，解得AB=．∴当AB的长为3或时，这两个直角三角形相似．CABD2(2)当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有AC:

在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°