2022届高考数学课标版数学(文理通用)一轮题型专项练课件-专题5-立体几何

专题五立体几何专题五立体几何-1-5.1几何体的三视图与面积、

体积的专项练5.1几何体的三视图与面积、

体积的专项练-2--3-1.空间几何体的三视图(1)三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.(2)几何体的摆放位置不同,其三视图一般也不同.(3)一般地,一个几何体的侧视图和正视图高度一样,俯视图和正视图长度一样,侧视图与俯视图宽度一样.2.由三视图还原几何体的方法先根据俯视图确定几何体的底面,再根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,最后确定几何体的形状.-3-1.空间几何体的三视图-4-3.空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体的侧面积及表面积公式:①S柱侧=Ch(C为底面周长,h为高);(2)柱体、锥体的体积公式:①V柱体=Sh(S为底面面积,h为高);-4-3.空间几何体的两组常用公式(2)柱体、锥体的体积公式-5-一二一、选择题(共12小题,满分60分)1.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(

)答案解析解析关闭根据三视图原则,从上往下看,看不见的线画虚线,则A正确.答案解析关闭A-5-一二一、选择题(共12小题,满分60分)答案解析解-6-一二2.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为(

)A.90πB.63πC.42πD.36π答案解析解析关闭答案解析关闭-6-一二2.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的-7-一二3.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半径为r的圆.若该几何体的体积为9π,则它的表面积是(

)A.27π B.36πC.45π D.54π答案解析解析关闭答案解析关闭-7-一二3.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半径为-8-一二4.已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥内切球的半径为(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-8-一二4.已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥内切球-9-一二5.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是(

)A.2 B.4C.6 D.8答案解析解析关闭答案解析关闭-9-一二5.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几-10-一二6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是(

)A.17π B.18πC.20π D.28π答案解析解析关闭答案解析关闭-10-一二6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每-11-一二7.某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为(

)A.1 B.2C.3 D.4答案解析解析关闭答案解析关闭-11-一二7.某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中-12-一二8.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为(

)A.10 B.12 C.14 D.16答案解析解析关闭答案解析关闭-12-一二8.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图-13-一二9.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为(

)A.20π B.24π C.28π D.32π答案解析解析关闭答案解析关闭-13-一二9.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,-14-一二10.已知一个简单几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为24π+48,则该几何体的表面积为(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-14-一二10.已知一个简单几何体的三视图如图所示,若该几-15-一二11.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M在正(主)视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在侧(左)视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-15-一二11.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如-16-一二12.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-16-一二12.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长-17-一二二、填空题(共4小题,满分20分)13.由一个长方体和两个

圆柱体构成的几何体的三视图如下图,则该几何体的体积为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-17-一二二、填空题(共4小题,满分20分)答案解析解-18-一二14.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-18-一二14.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形-19-一二15.已知一个圆锥的母线长为2,侧面展开是半圆,则该圆锥的体积为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-19-一二15.已知一个圆锥的母线长为2,侧面展开是半圆,-20-一二16.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-20-一二16.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,5.2空间关系、球与几何体组合练5.2空间关系、球与几何体组合练-21--22-1.空间两条直线的位置关系有平行、相交、异面.2.空间线面位置关系有平行、相交、在平面内.3.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理:a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b.4.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理:m⊂α,n⊂α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理:a⊂β,a⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.-22-1.空间两条直线的位置关系有平行、相交、异面.-23-5.异面直线的夹角与线面角(1)异面直线的夹角:当直线l1与l2是异面直线时,在直线l1上任取一点A作AB∥l2,我们把直线l1和直线AB的夹角叫做异面直线l1与l2的夹角.(2)直线与平面的夹角:平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫做该直线与此平面的夹角.6.球的表面积及体积(1)S球=4πr2(r为球的半径).-23-5.异面直线的夹角与线面角-24-7.球与几何体的外接、内切(1)球与长方体外接:长方体的体对角线的交点为球心;长方体的体对角线的长为球的直径;-24-7.球与几何体的外接、内切-25-一二一、选择题(共12小题,满分60分)1.已知α,β是相异两平面,m,n是相异两直线,则下列命题中错误的是(

)A.若m∥n,m⊥α,则n⊥αB.若m⊥α,m⊥β,则α∥βC.若m⊥α,m∥β,则α⊥βD.若m∥α,α∩β=n,则m∥n答案解析解析关闭答案解析关闭-25-一二一、选择题(共12小题,满分60分)答案解析-26-一二2.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作平面α,使得正方体的各棱与平面α所成的角均相等,则满足条件的平面α的个数是(

)A.1 B.4 C.6 D.8答案答案关闭B-26-一二2.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作-27-一二3.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,则直线AM和CN所成的角的余弦值是(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-27-一二3.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1-28-一二4.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-28-一二4.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为-29-一二5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-29-一二5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=-30-一二6.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为(

)A.36π B.64π C.144π D.256π答案解析解析关闭答案解析关闭-30-一二6.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90-31-一二7.在底面为正方形的四棱锥S-ABCD中,SA=SB=SC=SD,异面直线AD与SC所成的角为60°,AB=2,则四棱锥S-ABCD的外接球的表面积为(

)A.6π B.8π C.12π D.16π答案解析解析关闭答案解析关闭-31-一二7.在底面为正方形的四棱锥S-ABCD中,SA=-32-一二8.已知点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB=BC=,∠ABC=90°.若四面体ABCD体积的最大值为3,则这个球的表面积为(

)A.2π B.4π C.8π D.16π答案解析解析关闭答案解析关闭-32-一二8.已知点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB-33-一二9.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-33-一二9.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个-34-一二10.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为(

)A解析:(方法一)∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1.∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,∴n∥CD1.∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即∠B1D1C等于m,n所成的角.∵△B1D1C为正三角形,∴∠B1D1C=60°,-34-一二10.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的-35-一二(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF∥平面CB1D1,所以平面AEF即为平面α,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为△AEF是正三角形,所以∠EAF=60°,故m,n所成角的正弦值为-35-一二(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD--36-一二11.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-36-一二11.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面-37-一二12.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(

)C-37-一二12.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠AB-38-一二解析:方法一:如图,取AB,BB1,B1C1的中点M,N,P,连接MN,NP,PM,可知AB1与BC1所成的角等于MN与NP所成的角.-38-一二解析:方法一:如图,取AB,BB1,B1C1的中-39-一二-39-一二-40-一二方法二:把三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如图,连接C1D,BD,则AB1与BC1所成的角为∠BC1D.-40-一二方法二:把三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱A-41-一二二、填空题(共4小题,满分20分)13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-41-一二二、填空题(共4小题,满分20分)答案解析解-42-一二14.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-42-一二14.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这-43-一二15.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有

.(填写所有正确命题的序号)

答案解析解析关闭对于①,若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α,β的位置关系无法确定,故错误;对于②,因为n∥α,所以过直线n作平面γ与平面α相交于直线c,则n∥c.因为m⊥α,所以m⊥c,所以m⊥n,故②正确;对于③,由两个平面平行的性质可知正确;对于④,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确.故正确命题的序号有②③④.答案解析关闭②③④-43-一二15.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列-44-一二16.已知一个三棱锥的所有棱长均为,则该三棱锥的内切球的体积为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-44-一二16.已知一个三棱锥的所有棱长均为,5.3立体几何大题5.3立体几何大题-45--46-1.证明线线平行和线线垂直的常用方法(1)证明线线平行常用的方法:①利用平行公理,即证两条直线同时和第三条直线平行;②利用平行四边形进行平行转换;③利用三角形的中位线定理证线线平行;④利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.(2)证明线线垂直常用的方法:①利用等腰三角形底边上的中线即高线的性质;②勾股定理;③线面垂直的性质:即要证两直线垂直,只需证明一直线垂直于另一直线所在的平面即可,即l⊥α,a⊂α⇒l⊥a.-46-1.证明线线平行和线线垂直的常用方法-47-2.证明线面平行和线面垂直的常用方法(1)证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理把证明线面平行转化为证明线线平行;②利用面面平行的性质定理把证明线面平行转化为证明面面平行.(2)证明线面垂直的常用方法:①利用线面垂直的判定定理把线面垂直转化为证明线线垂直;②利用面面垂直的性质定理把证明线面垂直转化为证明面面垂直;③利用常见结论,如两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面等.-47-2.证明线面平行和线面垂直的常用方法-48-3.证明面面平行和面面垂直的常用方法(1)证明面面平行的方法证明面面平行,依据判定定理,只要找到一个平面内两条相交直线与另一个平面平行即可,从而将证明面面平行转化为证明线面平行,再转化为证明线线平行.(2)证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即证明一个面过另一个面的一条垂线,将证明面面垂直转化为证明线面垂直,一般从现有直线中寻找,若图中不存在这样的直线,则借助中点、高线或添加辅助线解决.-48-3.证明面面平行和面面垂直的常用方法-49-4.利用空间向量证明平行与垂直设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α,β的法向量分别为μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3),则:(1)线面平行:l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.(2)线面垂直:l⊥α⇔a∥μ⇔a=kμ⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2.(3)面面平行:α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3.(4)面面垂直:α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v=0⇔a2a3+b2b3+c2c3=0.-49-4.利用空间向量证明平行与垂直-50-5.利用空间向量求空间角(1)线线夹角的计算:设l,m的方向向量分别为a,b,且它们的夹角为(2)线面夹角的计算:设平面α的法向量为n,直线AB与平面α所成的角为θ,如下图,-50-5.利用空间向量求空间角(2)线面夹角的计算:设平面-51-(3)面面夹角的计算:设平面α,β的法向量分别为n1,n2,α与β的夹角为θ,如下图,6.求点到平面的距离

-51-(3)面面夹角的计算:设平面α,β的法向量分别为n15.3.1

空间中的平行与垂直5.3.1空间中的平行与垂直-52--53-考向一考向二平行与垂直关系的证明解题策略一

几何法

例1如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.-53-考向一考向二平行与垂直关系的证明-54-考向一考向二证明:(1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BC⊂平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD,所以BC⊥AD.又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC,所以AD⊥AC.-54-考向一考向二证明:(1)在平面ABD内,因为AB⊥A-55-考向一考向二解题心得从解题方法上说,由于线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)之间可以相互转化,因此整个解题过程始终沿着线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的转化途径进行.-55-考向一考向二解题心得从解题方法上说,由于线线平行(垂-56-考向一考向二对点训练1在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1.求证:(1)AB∥平面A1B1C;(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.-56-考向一考向二对点训练1在平行六面体ABCD-A1B1-57-考向一考向二证明:(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C,所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC,所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.-57-考向一考向二证明:(1)在平行六面体ABCD-A1B-58-考向一考向二解题策略二

解析法

例2如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,PA=AB=2,∠BAD=60°,E是PA的中点.求证:(1)直线PC∥平面BDE;(2)BD⊥PC.-58-考向一考向二解题策略二解析法

-59-考向一考向二-59-考向一考向二-60-考向一考向二(1)设平面BDE的法向量为n1=(x1,y1,z1),

又PC⊄平面BDE,所以PC∥平面BDE.

-60-考向一考向二(1)设平面BDE的法向量为n1=(x1-61-考向一考向二解题心得向量坐标法:利用空间向量证明空间的平行或垂直关系,首先建立空间直角坐标系,然后用坐标表示直线的方向向量及平面的法向量,最后利用向量的数量积或数乘运算证明.用向量方法证明直线a∥b,只需证明向量a=λb(λ∈R)(其中a,b分别是直线a,b的方向向量);证直线和平面垂直,只需证直线的方向向量与平面的法向量共线;证直线和平面平行,除证直线的方向向量与平面的法向量垂直外,还需强调直线在平面外.-61-考向一考向二解题心得向量坐标法:利用空间向量证明空间-62-考向一考向二对点训练2如图,由直三棱柱ABC-A1B1C1和四棱锥D-BB1C1C构成的几何体中,∠BAC=90°,AB=1,BC=BB1=2,C1D=CD=

,平面CC1D⊥平面ACC1A1.(1)求证:AC⊥DC1;(2)若M为DC1的中点,求证:AM∥平面DBB1;-62-考向一考向二对点训练2如图,由直三棱柱ABC-A1B-63-考向一考向二(1)证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,故AC⊥CC1.因为平面CC1D⊥平面ACC1A1,且平面CC1D∩平面ACC1A1=CC1,所以AC⊥平面CC1D.又C1D⊂平面CC1D,所以AC⊥DC1.(2)证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥AB,AA1⊥AC,又∠BAC=90°,所以建立如图空间直角坐标系Axyz,-63-考向一考向二(1)证明:在直三棱柱ABC-A1B1C-64-考向一考向二依据已知条件可得

-64-考向一考向二依据已知条件可得-65-考向一考向二所以AM与平面DBB1所成角为0°,又AM⊄平面DBB1,即AM∥平面DBB1.-65-考向一考向二所以AM与平面DBB1所成角为0°,-66-考向一考向二与平行、垂直有关的存在性问题例3如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=

.(1)求证:PD⊥平面PAB;(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD?若存在,求

的值;若不存在,请说明理由.-66-考向一考向二与平行、垂直有关的存在性问题-67-考向一考向二(1)证明:因为平面PAD⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD,所以PD⊥平面PAB.(2)解:取AD的中点O,连接PO,CO.因为PA=PD,所以PO⊥AD.又因为PO⊂平面PAD,平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.因为CO⊂平面ABCD,所以PO⊥CO.因为AC=CD,所以CO⊥AD.如图建立空间直角坐标系Oxyz.由题意,得A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),-67-考向一考向二(1)证明:因为平面PAD⊥平面ABCD-68-考向一考向二-68-考向一考向二-69-考向一考向二解题心得1.先假设题中的数学对象存在(或结论成立),再在这个前提下进行逻辑推理.若由此导出矛盾,则否定假设;否则,给出肯定结论.2.空间向量最适合解决这类探索性问题,解题时无需进行复杂的作图、论证、推理,只需把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解”,即通过坐标运算进行判断,这就是计算推理法.-69-考向一考向二解题心得1.先假设题中的数学对象存在(或-70-考向一考向二对点训练3如图,在三棱锥P-ABC中,侧棱PA=2,底面△ABC为正三角形,边长为2,顶点P在平面ABC上的射影为D,AD⊥DB,且DB=1.(1)求证:AC∥平面PDB;(2)求二面角P-AB-C的余弦值;(3)在线段PC上是否存在点E使得PC⊥平面ABE?若存在,求

的值;若不存在,请说明理由.-70-考向一考向二对点训练3如图,在三棱锥P-ABC中,侧-71-考向一考向二(1)证明:因为AD⊥DB,且DB=1,AB=2,因为△ABC为正三角形,所以∠CAB=60°.所以DB∥AC.因为AC⊄平面PDB,DB⊂平面PDB,所以AC∥平面PDB.(2)解:由点P在平面ABC上的射影为D,可得PD⊥平面ACBD,所以PD⊥DA,PD⊥DB.如图,以D为原点,DB为x轴,DA为y轴,DP为z轴,建立空间直角坐标系,-71-考向一考向二(1)证明:因为AD⊥DB,且DB=1,-72-考向一考向二-72-考向一考向二-73-考向一考向二所以在线段PC上不存在点E使得PC⊥平面ABE.-73-考向一考向二所以在线段PC上不存在点E使得PC⊥平面5.3.2

角与距离5.3.2角与距离-74--75-考向一考向二利用空间向量求空间角(多维探究)题型1

求异面直线所成的角

例1如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点.(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.-75-考向一考向二利用空间向量求空间角(多维探究)-76-考向一考向二-76-考向一考向二-77-考向一考向二-77-考向一考向二-78-考向一考向二(2)因为Q为BC的中点,-78-考向一考向二(2)因为Q为BC的中点,-79-考向一考向二-79-考向一考向二-80-考向一考向二对点训练1如图,已知正四棱锥P-ABCD,PA=AB=2,点M,N分别在PA,BD上,且

.(1)求异面直线MN与PC所成角的大小;(2)求二面角N-PC-B的余弦值.-80-考向一考向二对点训练1如图,已知正四棱锥P-ABCD-81-考向一考向二解:(1)设AC与BD的交点为O,以点O为坐标原点,建立空间直角坐标系Oxyz,则A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0).∴θ=30°,故异面直线MN与PC所成角为30°.-81-考向一考向二解:(1)设AC与BD的交点为O,以点O-82-考向一考向二-82-考向一考向二-83-考向一考向二题型2

求线面角

例2如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.-83-考向一考向二题型2求线面角

-84-考向一考向二(1)证明:由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)解:作PH⊥EF,垂足为H.由(1)得,PH⊥平面ABFD.建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.-84-考向一考向二(1)证明:由已知可得,BF⊥PF,BF-85-考向一考向二解题心得求线面角可以用几何法,即“先找,后证,再求”,也可以通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.-85-考向一考向二解题心得求线面角可以用几何法,即“先找,-86-考向一考向二对点训练2如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)证明:AB1⊥平面A1B1C1;(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.-86-考向一考向二对点训练2如图,已知多面体ABCA1B1-87-考向一考向二解法一

(1)证明:由AB=2,AA1=4,BB1=2,AA1⊥AB,BB1⊥AB,-87-考向一考向二解法一(1)证明:由AB=2,AA1=-88-考向一考向二(2)如图,过点C1作C1D⊥A1B1,交直线A1B1于点D,连接AD.由AB1⊥平面A1B1C1,得平面A1B1C1⊥平面ABB1,由C1D⊥A1B1,得C1D⊥平面ABB1,所以∠C1AD是AC1与平面ABB1所成的角.-88-考向一考向二(2)如图,过点C1作C1D⊥A1B1,-89-考向一考向二解法二

(1)证明:如图,以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下:-89-考向一考向二解法二(1)证明:如图,以AC的中点O-90-考向一考向二(2)设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ.-90-考向一考向二(2)设直线AC1与平面ABB1所成的角-91-考向一考向二题型3

求二面角

例3如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.-91-考向一考向二题型3求二面角

-92-考向一考向二(1)证明:由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.-92-考向一考向二(1)证明:由题设知,平面CMD⊥平面A-93-考向一考向二建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.-93-考向一考向二建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.-94-考向一考向二设n=(x1,y,z)是平面MAB的法向量,-94-考向一考向二设n=(x1,y,z)是平面MAB的法向-95-考向一考向二解题心得如图,设平面α,β的法向量分别为n1,n2,二面角的平面角为θ(0≤θ≤π),则|cos

θ|=|cos<n1,n2>|=

.结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.-95-考向一考向二解题心得如图,设平面α,β的法向量分别为-96-考向一考向二对点训练3如图,AD∥BC,且AD=2BC,AD⊥CD,EG∥AD,且EG=AD,CD∥FG,且CD=2FG,DG⊥平面ABCD,DA=DC=DG=2.(1)若M为CF的中点,N为EG的中点,求证:MN∥平面CDE;(2)求二面角E-BC-F的正弦值;(3)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60°,求线段DP的长.-96-考向一考向二对点训练3如图,AD∥BC,且AD=2B-97-考向一考向二-97-考向一考向二-98-考向一考向二-98-考向一考向二-99-考向一考向二(3)设线段DP的长为h(h∈[0,2]),则点P的坐标为(0,0,h),-99-考向一考向二(3)设线段DP的长为h(h∈[0,2]-100-考向一考向二空间点到面的距离例4如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,四边形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,DE=2,M为线段BF的中点.(1)求点M到平面DEC的距离及三棱锥M-CDE的体积;(2)求证:DM⊥平面ACE.-100-考向一考向二空间点到面的距离-101-考向一考向二(1)解:设AC∩BD=O,以O为原点,OB为x轴,OC为y轴,过O作平面ABCD

的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,-101-考向一考向二(1)解:设AC∩BD=O,以O为原点-102-考向一考向二解题心得求空间的距离用找公垂线的方法比较难下手,用向量代数的方法则简捷,高效.-102-考向一考向二解题心得求空间的距离用找公垂线的方法比-103-考向一考向二对点训练4在底面为菱形的直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱A1B1,A1D1的中点.(1)在图中作一个平面α,使得BD⊂α,且平面AEF∥α;(不必给出证明过程,只要求作出α与直棱柱ABCD-A1B1C1D1的截面)(2)若AB=AA1=2,∠BAD=60°,求点C到所作截面α的距离.-103-考向一考向二对点训练4在底面为菱形的直棱柱ABCD-104-考向一考向二解:(1)取B1C1的中点G,D1C1的中点H,连接BG,GH,DH,则平面BDHG就是所求的平面α.(2)取BC的中点M,∵AB=AA1=2,∠BAD=60°,∴以D为原点,DA为x轴,DM为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,-104-考向一考向二解:(1)取B1C1的中点G,D1C1专题五立体几何专题五立体几何-105-5.1几何体的三视图与面积、

体积的专项练5.1几何体的三视图与面积、

体积的专项练-106--107-1.空间几何体的三视图(1)三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.(2)几何体的摆放位置不同,其三视图一般也不同.(3)一般地,一个几何体的侧视图和正视图高度一样,俯视图和正视图长度一样,侧视图与俯视图宽度一样.2.由三视图还原几何体的方法先根据俯视图确定几何体的底面,再根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,最后确定几何体的形状.-3-1.空间几何体的三视图-108-3.空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体的侧面积及表面积公式:①S柱侧=Ch(C为底面周长,h为高);(2)柱体、锥体的体积公式:①V柱体=Sh(S为底面面积,h为高);-4-3.空间几何体的两组常用公式(2)柱体、锥体的体积公式-109-一二一、选择题(共12小题,满分60分)1.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(

)答案解析解析关闭根据三视图原则,从上往下看,看不见的线画虚线,则A正确.答案解析关闭A-5-一二一、选择题(共12小题,满分60分)答案解析解-110-一二2.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为(

)A.90πB.63πC.42πD.36π答案解析解析关闭答案解析关闭-6-一二2.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的-111-一二3.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半径为r的圆.若该几何体的体积为9π,则它的表面积是(

)A.27π B.36πC.45π D.54π答案解析解析关闭答案解析关闭-7-一二3.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半径为-112-一二4.已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥内切球的半径为(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-8-一二4.已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥内切球-113-一二5.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是(

)A.2 B.4C.6 D.8答案解析解析关闭答案解析关闭-9-一二5.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几-114-一二6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是(

)A.17π B.18πC.20π D.28π答案解析解析关闭答案解析关闭-10-一二6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每-115-一二7.某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为(

)A.1 B.2C.3 D.4答案解析解析关闭答案解析关闭-11-一二7.某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中-116-一二8.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为(

)A.10 B.12 C.14 D.16答案解析解析关闭答案解析关闭-12-一二8.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图-117-一二9.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为(

)A.20π B.24π C.28π D.32π答案解析解析关闭答案解析关闭-13-一二9.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,-118-一二10.已知一个简单几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为24π+48,则该几何体的表面积为(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-14-一二10.已知一个简单几何体的三视图如图所示,若该几-119-一二11.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M在正(主)视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在侧(左)视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-15-一二11.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如-120-一二12.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-16-一二12.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长-121-一二二、填空题(共4小题,满分20分)13.由一个长方体和两个

圆柱体构成的几何体的三视图如下图,则该几何体的体积为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-17-一二二、填空题(共4小题,满分20分)答案解析解-122-一二14.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-18-一二14.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形-123-一二15.已知一个圆锥的母线长为2,侧面展开是半圆,则该圆锥的体积为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-19-一二15.已知一个圆锥的母线长为2,侧面展开是半圆,-124-一二16.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-20-一二16.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,5.2空间关系、球与几何体组合练5.2空间关系、球与几何体组合练-125--126-1.空间两条直线的位置关系有平行、相交、异面.2.空间线面位置关系有平行、相交、在平面内.3.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理:a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b.4.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理:m⊂α,n⊂α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理:a⊂β,a⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.-22-1.空间两条直线的位置关系有平行、相交、异面.-127-5.异面直线的夹角与线面角(1)异面直线的夹角:当直线l1与l2是异面直线时,在直线l1上任取一点A作AB∥l2,我们把直线l1和直线AB的夹角叫做异面直线l1与l2的夹角.(2)直线与平面的夹角:平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫做该直线与此平面的夹角.6.球的表面积及体积(1)S球=4πr2(r为球的半径).-23-5.异面直线的夹角与线面角-128-7.球与几何体的外接、内切(1)球与长方体外接:长方体的体对角线的交点为球心;长方体的体对角线的长为球的直径;-24-7.球与几何体的外接、内切-129-一二一、选择题(共12小题,满分60分)1.已知α,β是相异两平面,m,n是相异两直线,则下列命题中错误的是(

)A.若m∥n,m⊥α,则n⊥αB.若m⊥α,m⊥β,则α∥βC.若m⊥α,m∥β,则α⊥βD.若m∥α,α∩β=n,则m∥n答案解析解析关闭答案解析关闭-25-一二一、选择题(共12小题,满分60分)答案解析-130-一二2.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作平面α,使得正方体的各棱与平面α所成的角均相等,则满足条件的平面α的个数是(

)A.1 B.4 C.6 D.8答案答案关闭B-26-一二2.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作-131-一二3.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,则直线AM和CN所成的角的余弦值是(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-27-一二3.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1-132-一二4.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-28-一二4.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为-133-一二5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-29-一二5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=-134-一二6.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为(

)A.36π B.64π C.144π D.256π答案解析解析关闭答案解析关闭-30-一二6.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90-135-一二7.在底面为正方形的四棱锥S-ABCD中,SA=SB=SC=SD,异面直线AD与SC所成的角为60°,AB=2,则四棱锥S-ABCD的外接球的表面积为(

)A.6π B.8π C.12π D.16π答案解析解析关闭答案解析关闭-31-一二7.在底面为正方形的四棱锥S-ABCD中,SA=-136-一二8.已知点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB=BC=,∠ABC=90°.若四面体ABCD体积的最大值为3,则这个球的表面积为(

)A.2π B.4π C.8π D.16π答案解析解析关闭答案解析关闭-32-一二8.已知点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB-137-一二9.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-33-一二9.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个-138-一二10.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为(

)A解析:(方法一)∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1.∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,∴n∥CD1.∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即∠B1D1C等于m,n所成的角.∵△B1D1C为正三角形,∴∠B1D1C=60°,-34-一二10.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的-139-一二(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF∥平面CB1D1,所以平面AEF即为平面α,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为△AEF是正三角形,所以∠EAF=60°,故m,n所成角的正弦值为-35-一二(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD--140-一二11.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-36-一二11.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面-141-一二12.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(

)C-37-一二12.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠AB-142-一二解析:方法一:如图,取AB,BB1,B1C1的中点M,N,P,连接MN,NP,PM,可知AB1与BC1所成的角等于MN与NP所成的角.-38-一二解析:方法一:如图,取AB,BB1,B1C1的中-143-一二-39-一二-144-一二方法二:把三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如图,连接C1D,BD,则AB1与BC1所成的角为∠BC1D.-40-一二方法二:把三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱A-145-一二二、填空题(共4小题,满分20分)13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-41-一二二、填空题(共4小题,满分20分)答案解析解-146-一二14.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-42-一二14.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这-147-一二15.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有

.(填写所有正确命题的序号)

答案解析解析关闭对于①,若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α,β的位置关系无法确定,故错误;对于②,因为n∥α,所以过直线n作平面γ与平面α相交于直线c,则n∥c.因为m⊥α,所以m⊥c,所以m⊥n,故②正确;对于③,由两个平面平行的性质可知正确;对于④,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确.故正确命题的序号有②③④.答案解析关闭②③④-43-一二15.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列-148-一二16.已知一个三棱锥的所有棱长均为,则该三棱锥的内切球的体积为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-44-一二16.已知一个三棱锥的所有棱长均为,5.3立体几何大题5.3立体几何大题-149--150-1.证明线线平行和线线垂直的常用方法(1)证明线线平行常用的方法:①利用平行公理,即证两条直线同时和第三条直线平行;②利用平行四边形进行平行转换;③利用三角形的中位线定理证线线平行;④利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.(2)证明线线垂直常用的方法:①利用等腰三角形底边上的中线即高线的性质;②勾股定理;③线面垂直的性质:即要证两直线垂直,只需证明一直线垂直于另一直线