倒立摆系统毕业设计

I页目录1引言…………11.1问题的提出及研究意义………………11.2国内外研究现状……………………21.3课题中面临的问题以及工作重点……………………42.倒立摆系统………………62.1单级倒立摆的数学模型…………62.2系统和传递函数的推导……………83现代控制理论在倒立摆平台上的应…………………103.1基于倒立摆的PID控制器设计分析…………………103.2现代控制理论在倒立摆平台上的应用………………123.3基于Segeno模糊建模及控制器的设计………………23结论……………………29致谢……………………30参考文献…………………31本科毕业设计说明书（论文）第33页共32页1.引言1.1问题的提出及研究意义1.1.1问题的提出倒立摆系统是非线性、强耦合、多变量和自然不稳定的系统，在控制过程中它能有效地反应诸如可镇定行、鲁棒性、随动性以及跟踪等许许多多的控制中的关键问题，是检验各种控制理论的理想模型。正是由于倒立摆系统在控制理论研究中的典型地位，国内许多大学都配置了倒立摆实物模型，用于本科生的教学实验以及研究生的课题研究。由于倒立摆系统本身的复杂性，控制系统的开发通常需要涉及到几个工作组，如算法设计组（数学仿真）、软件开发组、硬件实现组和测试组等，每个阶段使用的工具也不尽相同，造成开发和调试的工作量十分庞大，周期很长。由于这几个工作阶段的独立性，实验者很难深入参与到实验设计过程中，实验效果并不理想.这种系统开发方式与现代的产品开发手段严重脱节，高校落后的实验体系越来越难以满足开展现代化实验的要求，迫切需要更新实验系统.本文基于近年来硬件在回路实时仿真技术、航天及军事上的成功应用，提出了利用MATLABRTW（RealTimeWorkshop）技术构建一个倒立摆控制系统硬件在回路仿真实验平台的构想，希望直接将Simulink生成的仿真模型下载到目标实时内核中运行，驱动外部硬件设备，在线调整参数，让系统开发者和实验者能够自由地往返于各个工作阶段，螺旋式地完成开发和实验。1.1.2研究意义及应用前景倒立摆的控制方法在军工、航天、机器人领域和一般工业过程中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等均涉及到倒置问题，因此对倒立摆系统的研究在理论和方法论上均有着深远的意义。由于倒立摆系统的控制策略和杂技运动员顶杆平衡表演的技巧有异曲同工之处，极富趣味性，而且许多抽象的控制理论概念如系统的稳定性、可控性和系统的抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来，因此在欧美发达国家的高等院校，它已经成为必备的控制理论教学实验设备.学习自动控制理论的学生通过倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法，非常的直观、简便，在轻松的实验中对所学的课程加深了理解。1.2国内外研究现状倒立摆系统稳定与控制的研究在国外始于60年代，我国则从70年代中期开始研究。首先根据经典控制理论与现代控制理论应用极点配置法，设计模拟控制器，国内外专家学者先后控制了单级倒立摆与二级倒立摆的稳定.随着微机的广泛应用，又陆续实现了数控二级摆的稳定.随着摆杆级数的增加，多级倒立摆由于其高度非线形和不确定性，其控制成为世界公认的难题.被控对象越复杂，数学模型越难精确推导，加上系统本身的非线形以及某些不确定性，使针对线形化模型进行控制系统设计的各种理论对解决这些复杂系统无能为力.在这样复杂的控制面前，把人工智能的方法引入控制系统，得到新的突破.相应的模糊智能控制、神经网络控制和仿人智能控制在倒立摆的控制上也取得了瞩目的成绩.2002年8月北京师范大学数学系李洪兴教授领导的科研团队采用“变论域自适应模糊控制理论”成功地实现了全球首例“四级倒立摆实物系统控制”.而由此项理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。对倒立摆这样的一个典型被控对象进行研究，无论在理论上和方法上都具有重要意义.不仅由于其级数增加而产生的控制难度是对人类控制能力的有力挑战，更重要的是实现其控制稳定的过程中不断发现新的控制方法，探索新的控制理论，并进而将新的控制方法应用到更广泛的受控对象中.各种控制理论和方法都可以在这里得以充分实践，并且可以促成相互间的有机结合。目前有关倒立摆的研究主要集中在亚洲，如中国的北京师范大学、北京航空航天大学、中国科技大学、日本的东京工业大学、东京电机大学、东京大学、韩国的釜山大学、忠南大学，此外俄罗斯的圣彼得堡大学、美国的东佛罗里达大学、俄罗斯科学院、波兰的波兹南技术大学、意大利的佛罗伦萨大学也对这个领域有持续的研究.近年来，虽然各种新型倒立摆不断问世，但是可自主研发生产倒立摆装置的厂家并不多，目前国内厂家还包跨（韩国）奥格斯科技发展有限公司和加拿大Quanser公司（FT-2840型倒立摆）、保定航空技术事业有限公司，最近，郑州微纳科技有限公司的微纳科技直线电机倒立摆的研制取得了成功。倒立摆的研究具有重要的工程背景：1)机器人的站立与行走类似双倒立摆系统，尽管第一台机器人在美国问世至今已有三十年的历史，机器人的关键技术——机器人的行走控制至今仍未能很好解决。2)在火箭等飞行器的飞行过程中，为了保持其正确的姿态，要不断进行实时控制。3)通信卫星在预先计算好的轨道和确定的位置上运行的同时，要保持其稳定的姿态，使卫星天线一直指向地球，使它的太阳能电池板一直指向太阳.4)侦察卫星中摄像机的轻微抖动会对摄像的图像质量产生很大的影响，为了提高摄像的质量，必须能自动地保持伺服云台的稳定，消除震动。5)为防止单级火箭在拐弯时断裂而诞生的柔性火箭(多级火箭)，其飞行姿态的控制也可以用多级倒立摆系统进行研究.由于倒立摆系统与双足机器人，火箭飞行控制和各类伺服云台稳定有很大相似性，因此对倒立摆控制机理的研究具有重要的理论和实践意义。智能控制为倒立摆系统提供了简单有效的处理方法.采用智能控制中基于特征模型的多模态控制方式、启发式逻辑和知识推理机制来实现非线性处理.在倒立摆系统中用到的智能控制方法主要有模糊控制、神经网络控制、云模型控制和拟人智能控制等。1）模糊控制经典的模糊控制器利用模糊集合理论将专家知识或操作人员经验形成的语言规则直接转化为自动控制策略(专家模糊规则查询表)，其设计不依靠对象精确数学模型，而是利用其语言知识模型进行设计和修正控制算法.程福雁等运用模糊规则控制，将现代控制理论与模糊控制理论相结合，成功稳定住了二级倒立摆系统.研究结果证明，将成熟的现代控制理论用于模糊控制器中处理多变量问题，是一种可行的方法和思路。从这些文献中可以看出，常规的模糊控制器的设计方法有很大的局限性。首先难以建立一组比较完善的多维模糊控制规则。针对以上问题，R.Langari应用双层多变量模糊控制器与解耦的二级倒立摆系统，低层子系统的模糊控制器构成执行器，高层子系统的模糊控制器起协调作用；张乃尧等采用模糊双闭环的方案，成功稳定住了单级倒立摆.另外一种方法是基于模糊模型的模糊控制器.马小军等引入单级倒立摆的模糊状态空间模型，该模型建模方法的本质在于：一个整体非线性的动力学模型可以看成是许多个局部线性模型的模糊逼近.并证明了适用于线性系统的分离原理同样适用于模糊系统，独立设计的模糊控制器和观测器成功稳定单级倒立摆。2)神经网络控制80年代以来，神经网络逐渐被运用于倒立摆系统的研究，ChariesW.Andorson在1988年应用自学习模糊神经网络控制单摆获得成功。周建波等采用基于BP网络的规则控制也解决了倒立摆的稳定控制问题。徐红兵等提出了基于变结构的模糊神经网络控制方法，实现了二级倒立摆系统的控制。神经网络控制方法存在的主要问题是：缺乏一种专门适用于控制问题的动态神经网络，而且多层网络的层数、隐层神经元的数量、激发函数类型的选择缺乏指导性原则以及如何进行动态网络的稳定性分析等。3)模糊神经网络控制与传统的神经网络不同，模糊神经网络中的结构和权值有一定的物理意义，它的结构和初始权值可根据先验知识人为的加以选择。这样网络的学习速度大大加快，泛化能力增加，并在一定程度上回避了梯度优化算法带来的局部极小值问题。J.R.Jang采用反向传播方法实现模糊神经网络的自学习，形成模糊控制器。试验结果证明这一方法的有效性和控制器较强的鲁棒性。4)基于遗传算法的控制方法遗传算法GA是一种自适应启发式的全局性搜索优化方法，是基于自然选择和进化遗传等生物进化机制的迭代自适应概率性搜索方法.其优点是简单、鲁棒性强，是一种随机优化技术。5)拟人智能控制张明廉等运用问题规约原理，成功地解决了从一级到三级倒立摆系统的稳定控制.该原理是将一个复杂的问题进行层层分析，得到一系列的子问题，如果能够找到这些子问题的解决方法，然后进行逆向求解，则原问题也就迎刃而解.问题规约原理提出了一种很好的思想，很值得在其他问题研究中加以借鉴。6)利用云模型实现智能控制倒立摆用云模型实现智能控制倒立摆的定性控制机理，给出定性定量之间转换的云模型的形式化表示，以反映语言值中蕴涵的模糊性和随机性，依此理论进行智能控制倒立摆的机理探讨及不确定性推理方法研究。1.3课题研究中面临的问题以及工作重点1）收集资料，查阅文献，了解倒立摆控制系统的原理及模型建立方法；2）了解智能控制（模糊控制）发展的概况、特点及主要方法；3）进行基于T-S模糊模型的倒立摆智能控制器设计；4）运用MATLAB语言进行倒立摆模糊控制系统的仿真研究；5）为了对被控对象有一个充分的认识，文中首先建立了倒立摆系统的数学模型，并在平衡点附近对系统进行了线性化处理，得到了系统的线性化模型；基于此模型，分析系统的稳定性、能控性和能观性；阐述了倒立摆系统的运动规律和各个变量之间的相互关系;6）目前已有多种控制方法实现了倒立摆的稳定控制，本文综述了五种主要的控制方法，它们包括极点配置、二次型线性性能指标最优控制和fuzzy控制，基于上述理论方法设计了控制器，并实现了对倒立摆的半实物仿真，分析了它们的特点。2.倒立摆系统倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台.对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等.通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力.同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自有连接（即无电动机或其他驱动设备）.现在由中国的北京师范大学李红兴教授领导的“模糊系统与模糊信息研究中心”暨复杂系统智能控制实验室采用变论域自适应模糊控制成功地实现了四级倒立摆.是世界上第一个成功完成四级倒立摆实验的国家。倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度.当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。倒立摆系统的输入为小车的位移（即位置）和摆杆的倾斜角度期望值，计算机在每一个采样周期中采集来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制.直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动.作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动.当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）.为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。2.1单级倒立摆的数学建模在忽略了空气阻力、各种摩擦之后,可将单级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统。如图2.1为单级倒立摆系统物理模型，有关倒立摆的参数符号、数值及含义如表1.图2.1单级倒立摆系统物理模型采用牛顿动力学方法可建立单级倒立摆系统的微分方程如下：倒立摆的平衡是使倒立摆的摆杆垂直于水平方向倒立,所以假设,为足够小的角度,即可近似处理得:，，。用u来代表被控对象的输入力F,线性化后两个方程如下：表一参数符号数值及含义符号数值含义M1.32kg小车质量m0.07kg摆杆质量b0.1N/m/s小车摩擦系数l0.20m摆杆转动轴心到杆质心的距离I0.0009kgm2摆杆转动惯量F加在小车上的力x小车位移摆杆与垂直向上方向的夹角摆杆与垂直向下方向的夹角如果取状态变量为:即摆杆的角度和角速度以及小车的位移和速度四个状态变量。则系统的状态方程为：将上式写成向量和矩阵的形式,就成为线性系统的状态方程：将倒立摆的参数代入,则有：，，.2.2系统传递函数的推导对方程组进行拉普拉斯变换，得到：（1）推倒传递函数时假设初始条件为0.由于输出为角度，求解方程组可以得到：（2）整理后得到传递函数：（3）其中：.3现代控制理论在倒立摆平台上的应用3．1基于倒立摆的PID控制器设计分析3.1.1PID控制方法PID控制器是一种线性控制器，通过对误差信号e(t)进行比例、积分和微分运算，其结果的加权得到控制器的输出u(t)，该值就是所需控制量的大小。PID控制器的数学描述为：式中u(t)为控制输入，e(t)=r(t)-c(t)为误差信号，r(t)为输入量，c(t)为输出量。其控制输出由三部分组成：1)比例环节：根据偏差量成比例的调节系统控制量，以此产生控制作用，减少偏差。其作用是加快系统的响应速度，比例系数越大，系统响应速度越快，系统的调节精度越高，但容易产生超调，甚至会导致系统的不稳定；比例系数过小，会降低系统调节精度，响应速度变慢，调节时间变长，动态、静态特性变坏。2)积分环节：用于消除静差，提高系统的无差度。积分作用的强弱取决于积分时间常数的大小，越小，积分作用越强。需要注意的是积分作用过强，可能引起系统的不稳定。3)微分环节：根据偏差量的变化趋势调节系统控制量，在偏差信号发生较大的变化以前，提前引入一个早期的校正信号，起到加快系统动作速度，减少调节时间的作用。微分作用过强，可能引起系统的振荡。3.1.2摆角PID控制器设计仿真分析设计PID控制器，观察倒立摆PID闭环控制系统阶跃响应曲线。通过在MATLAB环境下M语言编程进行仿真分析，程序如下：Pid.m:M=1.096;m=0,109;b=0.1;l=0.034;g=9.8;l=0.25;q=(M+m)*(l+m*l^2)-(m*l)^2;%simplifiesinputnum=[m*l/q00]den=[1b*(l+m*l^2)/q-(M+m)*m*g*l/q-b*m*g*l/q0]kd=20kp=1000ki=1numPID=[kdkpki];denPID=[10];numc=conv(num,denPID)denc=polyadd(conv(denPID,den),conv(numPID,num))t=0:0.01:5;step(numc,denc,t)Polyadd函数内容polyadd.m如下：function[poly]=polyadd(poly1,poly2)iflength(pily1)<length(poly2)short=poly1;long=poly2;elseshort=poly2;long=poly1;endmz=length(long)-length(short)ifmz>0poly=[zeros(l,mz),short]+long;elsepoly=long+short;end通过临界比例法调节PID参数对系统进行仿真。取=1000,=1,=20，阶跃响应曲线如图3.1所示。可以看出，此时系统的稳态及暂态性能都已经比较合适。图3.1PID控制器输出从以上matlab仿真结果来看，对单级小车倒立摆进行PID的控制是可行的，且有良好的动态特性及稳态特性。具有PID控制器具有结构简单、稳定性好、可靠性高以及易于工程实现等优点,同时具有模糊控制对于倒立摆这种时变、非线性的的复杂系统有较好的鲁棒性的优点。3.2现代控制理论在倒立摆平台上的应用3.2.1极点配置法针对直线单级倒立摆系统应用极点配置法设计控制器，这样既可以对摆杆位置加以控制，也可以对小车位置加以控制。根据式我们可以推导出倒立摆系统的非线性动力学方程:上式是两元联立二阶常微分方程，如果取状态变量为：即摆杆的角度和速度以及小车的位置和速度四个状态变量。则系统状态方程为：将上式写成向量和矩阵的形式，就成为线性系统的状态方程：是四维的状态向量，而系统矩阵A和输入矩阵B为下列形式：系统矩阵,输入矩阵.其中参数a,b,c,d为下列表达式确定的常数：，，选择摆杆的倾斜角度θ和小车的水平位置x作为倒立摆杆/小车系统的输出，则输出方程为：所谓状态反馈，就是用状态向量与一个系数矩阵的积作为控制向量：,控制力u是一个加给小车水平方向的力u，状态变量有四个，所以反馈系数是个1×4阶的矩阵：,则系统状态反馈控制力可用状态变量与各自系数k1,k2,k3,k4乘积之和的形式表示，即：，状态反馈控制系统的方块图如图3.2所示：倒立摆杆倒立摆杆状态变量k1k2k3k4控制力u++++图3.2状态反馈控制系统框图极点配置法是以线性系统为对象设计的状态反馈控制器，使闭环控制系统的特征根（极点）分布在指定位置的控制器设计方法.得到系统矩阵A和输入矩阵B为：,，矩阵A的特征值是方程的根.因此，该系统的特征根分别为：特征根之一S3的实部是正值，所以该系统是不稳定的。由此可知：u=0时，倒立摆系统是不稳定系统。对这一不稳定系统应用状态反馈，可使摆杆垂直并使小车处于基准位置，即达到稳定状态.在用状态方程表示的系统中，应用状态反馈构成的控制系统的特征根，以矩阵(A+BK)的特征值给出。系统稳定的充要条件是所有特征值都要处于复平面的左半平面.矩阵(A+BK)的特征方程式的根：可表示为：适当选择反馈系数k1，k2，k3，k4，系统的特征根可以取得所希望的值.把四个特征根λ1,λ2,λ3,λ4设为四次代数方程式的根，则有：比较上述两式有下列联立方程式：如果给出的是实数或共轭复数，则联立方程式的右边全部为实数.据此可求解出实数.当将特征根指定为下列两组共轭复数时：利用方程式可列出关于的方程组，求解后得：则施加在小车水平方向上的控制力：上式给出的状态反馈控制器，可以使处于任意初始状态的系统稳定在平衡状态，即所有的状态变量,都可稳定在0的状态.这就意味着即使在初始状态或因存在外扰时，摆杆稍有倾斜或小车偏离基准位置，依靠该状态反馈控制也可以使摆杆垂直竖立，使小车保持在基准位置.一级倒立摆系统是一个不稳定的系统.控制器的目的是使倒立摆系统动态稳定,即保持倒立摆在垂直的位置,使小车在外力作用下其位移以较小的误差跟随输入的变化.由于系统的动态响应主要是由他的极点位置决定的,同时容易证明一级倒立摆系统是一个能控而且能观的系统.通过极配置状态反馈控制器来使系统保持稳定.状态反馈控制方程为：闭环系统的方程为:选取所期望的闭环极点位置：根据如下MATLAB程序可求得状态反馈增益K(假设小车的质量为3kg,摆杆的质量为0.1kg,摆杆的长度为0.5m),程序如下:M=3;m=0.1;l=0.5;g=9.81;A21=(M+m)/M/l*g;A41=-m/M*g;B21=-1/M/l;B41=1/M;A=[0100;A21000;0001;A41000]B=[0;B21;0;B41]C=[1000;0100;0010;0001]D=0M=[BA*BA^2*BA^3*B];J=[(-2-j*2*sqrt(3))000;0(-2+j*2*sqrt(3))00;00-100;000-10];jj=poly(J);Phi=polyvalm(poly(J),A);K=[0001]*(inv(M))*Phi求得：应用MATLAB中的Simulink设计用极点配置控制的一级倒立摆系统的仿真模型如下图所示。图中State-Space模块填入了上面程序计算所得的A,B,C,D值。然后用1个BusSelector输出转角、角速度、位移和速度4个量,之后用4个Gain(分别输出参数K(1)K(2)K(3)K(4))和1个Sum构成状态反馈,同时用示波器输出转角、角速度、位移和速度4个量。如图为3.3simulink构成的状态反馈图：3.3simulink构成的状态反馈图上述状态反馈可以使处于任意初始状态的系统稳定在平衡状态,即所有的状态变量都可以稳定在零状态。这就意味着即使在初始状态或因存在外界干扰时,摆杆稍有倾斜或小车偏离基准位置导轨中心,依靠该状态反馈控制也可以使摆杆垂直竖立,并使小车保持在基准位置。相对平衡状态的偏移,得到迅速修正的程度要依赖于指定的特征根的位置.输出结果如下图3.4所示，在设置仿真时间为10s的情况下得出的的仿真图形：图3.4仿真输出结果以倒立摆为研究对象,讨论了将极点配置在期望的区域内的状态反馈控制方法.从仿真结果可以看出,该方法可以保证系统具有一定的动态和稳态性能,不仅满足闭环系统的内部动态特性要求,也兼顾了抑制外部扰动对系统的影响.由此可知,极点配置控制方法可以实现摆杆的倒立平衡控制。从本文的研究结果还可看出,倒立摆系统是研究各种控制理论的一个理想实验装置.3.2.2LQR控制器设计及仿真分析根据LQR的原理,针对状态空间方程通过确定最佳控制量中的反馈增益矩阵K使得控制性能指标达到极小.其中Q为半正定实对称矩阵，R为正定实对称矩阵Q和R分别为X和的加权矩阵.将LQR控制方法用于倒立摆控制的原理如图3.5所示.K*uK*uConstant0+——图3.5LQR倒立摆控制原理图控制器的设计步骤：1）解黎卡提方程，求得矩阵P.2）按计算反馈增益矩阵K.3）得到最优控制律.要求反馈增益矩阵K，首先确定Q和R，它们用于平衡状态变量和输入量的权重，理论上可以任意选取.初始情况下假设：，R=1，在matlab中运用命令K=lqr（A，B，Q，R）可首先求出反馈增益矩阵K,研究Q和R发现，随意改变Q和R摆杆超调量和调整时间都会不断变化，系统产生振荡当R增大时，被控量幅值显著减小，其对应的动态性能指标有所改善，但不显著；当Q矩阵中某一元素的值增大时，与其对应的动态响应过程好转，系统振荡幅度很大后趋向稳。手工对Q和R进行优化选择很难达到精确要求.故对于LQR控制，最重要的是首先确定Q，R矩阵，选取时主要考虑了以下几个方面：1)由于是线性化后的模型，应使各状态尽量工作在系统的线性范围内；2)闭环系统的主导极点最好能有一对共轭复数极点，有利于克服系统的摩擦非线性，但系统主导极点的模不应过大，以免系统的频带过宽，系统对噪声过于敏感；3)加权矩阵R的减小，会导致大的控制量，应注意控制u（<10）的大小，要超过系统执行机构的能力，使得放大器处于饱和状态。选用Q和R为对角线矩阵，将R值固定，然后改变Q的数值，最优控制的确定通常在经过仿真或实际比较后得到的。当控制输入只有一个时，R为一个标量（一般选R=1）。首先固定R不变，调整Q中各状态变量对应的权值。因为摆角是主要的控制变量，取得相对大一些。通过MATLAB函数“lqr(A,B,Q,R)”可以获得该反馈增益矩阵K。倒立摆系统的LQR控制框图与极点配置法一致，两者的不同在于状态反馈矩阵的求取方法。如图3.6为matlabsimulink下的LQR控制方法下的仿真模型。图3.6直线一级倒立摆LQR控制仿真模型参数调节过程可知，当阵中某一元素的权值增大时，与其相对应的的动态响应过程好转，显著下降，系统快速性得到明显提高；同时，也引进了一些振荡，而控制量的幅值会相应增大。这表明要求输入能量增大，即提高动态性能必须以较大的能量消耗为代价。下图为系统的阶跃响应(3.7-3.10为各个变量响应图，图3.11为总图)。图3.7小车在设定位置下的位移图3.8小车在设定位置下的速度图3.9小车的角度变化图3.10小车角速度的变化图3.11系统阶跃响应曲线综上,通过增大Q矩阵中的和，系统的稳定时间和上升时间变短，超调量和摆杆的角度变化也同时减小。能量消耗随R增大而减小，对应的动态性能指标有所改善，但并不显著。结论：对很多大系统，LQR控制方法能够使目标函数达到最优，提高系统的相对稳定性或者使不稳定系统得以镇定。最优控制系统中Q和R的选择是相互制约、相互影响的，如果要求控制状态的误差平方积分减少，必然会导致增大能量的消耗；反之，为了节省控制能量，就不得不牺牲对控制性能的要求。3.3基于Sugeno模糊建模及控制器的设计3.3.1T-S模糊模型T-S模糊系统是由Takagi和Sugeno于1985年提出的。它首先用于非线性系统的辨识，随后用于非线性系统的控制。T-S模糊系统的前提是采用模糊语言值，结论部分是一个线性或常值型的隶属度函数。这种模糊系统得到了广泛的应用，因为它具有许多的优点，其中之一就是它提供了一个精确的系统方程，给模糊系统的模糊控制器设计和稳定性分析带来了很大的方便。近年来的许多关于模糊系统的稳定性成果基本上都是基于T-S模糊系统的。T-S模糊系统是连续性的倒立摆系统模糊状态方程模型为；若x1（t）是and……andxn（t）是；则：（1）式中：控制对象的第i条模糊规则，i=1，2，……，n；:模糊集合，j=1，2，……，n；x（t）：状态向量，x（t）=[x1（t）x2（t）]T；u(t):输出控制向量；y（t）：输出向量．将整个n维空间分为1个模糊子空间集合Mi，对每个模糊子空间系统的动力学特性是这些局部线性模型的加权和。T-S模糊模型将一个整体非线性的动力学模型分解为许多个局部．T-S模糊系统T-S模糊系统结构的基本框图如3.12：图3.12T-S模糊系统基本结构图Fig.12StructureofT-Sfuzzysystem线性模型的模糊逼近，则整个系统的状态方程表达形式为:（2）式中：；；;;;；假设：,,因此，，．上述模糊状态空间模型可以作如下物理解释：将整个维状态空间分为个模糊子空间集合模糊直积集合，为的模糊直积集合。对于每个模糊子空间，系统的动力学特性可用一个局部线性状态方程来描述，整个系统动力学特性是这些局部线性模型的加权和。T-S模糊动态模型的意义局部地表达了非线性系统的输入－输出关系。从上面的系统描述可以看出，整个系统的状态方程形式上近似线性模型，但其系数矩阵均为状态函数，因而实质上描述的是非线性模型。3.3.2控制器的设计1)输入和输出变量的确定以状态变量()为模糊控制器输入量，作用力F输出量．确定小车的位移x的论域［－3，3］，划为3个变量“far”，“middle”，“near”，速度的论域［－10，10］，划分为3个变量fast，middle，slow．摆角的论域［－0.3，0.3］，将其划分为3个语言变量big，middle，small，摆角速度的论域［－1，1］，划分为“fast”，“middle”，“slow”，输出论域［0，1］．图3.13为小车位移隶属度函数.图3.13小车位移隶属度函数2)模糊规则库Sugeno模糊推理器的输入变量为状态变量，每个变量均采用3个隶属度函数进行描述，共有34条.表示x属于Mi的隶属度函数，同时它也表示第i条模糊规则的适用度，表示第i条模糊规则归一化后的适用度，在（x1，x2）平面上进行模糊分割，网络划分为：3x3，在九个子区域中对倒立摆系统模型进行局部线性化，得到五个线性化方程，模糊规则为:Ifx1为ZRandx2为ZR，thenx=A1x+B1u(4-1)Ifx1为ZRandx2为NG或PO，thenx=A2x+B2u(4-2)Ifx1为NG或POandx2为ZR，thenx=A3x+B3u(4-3)Ifx1为POandx2为PO，thenx=A4x+B4u(4-4a)Ifx1为NGandx2为NG，thenx=A4x+B4u(4-4b)Ifx1为POandx2为NG，thenx=A5x+B5u(4-5a)Ifx1为NGandx2为PO，thenx=A5x+B5u(4-5b）式中:,,,,',．3)模糊控制输出采用Sugeno型模糊推理的优点在于其输出的精确量，因此采用线性隶属度函数作为输出，针对“Big”，“Middle”，“Small”3种情况的隶属度参数分别为［26，19，－74，－14，0.1］，［28，21，－75，－15，0.1］，［30，24，－76，－18，0.2］.3.3.3仿真及系统分析本文采用MATLAB软件中的模糊推理系统FIS(FuzzyInterferenceSystem)来设计前述各模糊推理。各个输入量均做了仿真．给定初始值，系统经过一段时间后，只有位移误差很小，但系统可稳定运行，其他3个量都已达到稳定状态存在摆角时，小车发生位移，以保证摆杆的稳定，小车运行在一定的误差范围内．在MATLAB命令窗口输入fuzzy，进入FIS编辑器界面，建立相关模糊规则，再在命令窗口输入simulink，进入simulink的主界面，单击file选项下的NEW菜单中的model，进行建模。如图3.14所示。图3.14t-s模型模糊控制系统的建立当系统初始状态均为0时，各个变量的状态均保持0不变，即各个变量仿真图的幅度值始终保持0不变，当给与初始状态权重不为0时（平衡点状态的系数给予较大的权重，为0.5；其他位置的权重为0.2），假定初始状态权为（0.2，0）时，得出的摆角和角加速度的仿真曲线如图3.15所示图3.15初始状态为（0.2，0）时的摆角和角速度而当初始状态改为（0，0.2）时，得出的摆角和角加速度的仿真曲线如图3.16所示。图3.16初始状态为（0，0.2）时的摆角和角速度由上述两种不同起始状态可知，系统在t=2.5秒左右就达到稳定了啊。3.3.4系统分析相对于传统LQR控制器，Sugeno模型模糊控制器具有超调量小好的稳定性和快速性等优点。系统分析：(1)上升时间模糊控制作用下，系统上升时间小于1s，LQR上升时间大于1s。2)峰值时间模糊控制作用下，系统峰值时间在1s之内，LQR峰值时间明显长于1S。3)超调量模糊控制作用下，系统超调量都在1/1000之内，LQR超调量在1/100之内．模糊控制的系统稳定性明显高。4)调整时间模糊控制作用下，系统调整时间在3S之内，LQR调整时间大于3S，在4S之内．模糊控制使系统快速性和平稳性变好。综上，从仿真结果可知，倒立摆系统采用模糊控制后，其快速性和平稳性都较采用LQR控制时有所改善．这正是Sugeno模糊模型控制器通过在线调整控制参数，引入了类人的控制思想，使系统具有智能性。结论本论文首先用牛顿力学方法建立了直线一级倒立摆的非线性数学模型，并在平衡点附近进行线性化，得到系统的状态方程。为了进一步了解倒立摆系统的特性，给出了李雅普诺夫稳定性定理和判据，并基于倒立摆系统的状态方程，用MATLAB软件对系统进行定性分析。通过分析，我们得知，倒立摆系统是不稳定的系统，必须设计相应的控制器使得系统变成稳定系统。通过现代控制理论证明系统的能控能观性，对倒立摆物理系统进行相平面的分析，把了实际系统运行的内部规律。采用极点配置法、LQR设计了控制器，能很好地稳定倒立摆，通过相应参数的选取、调试，较好的掌握了这两种控制的基本原理和控制器设计方法。讨论分析了参数对系统控制的影响，得出了分析结果完全与理论相符的结论。针对倒立摆的非线性，研究了非线性控制方法中变结构控制的基本思想，并设计了控制器，仿真分析说明达到了预期的控制效果。研究了倒立摆的起摆控制，但成功率不高，对能量函数或模糊控制规则的选取还需要进一步优化。在课设过程中，我发现自己许多知识自己都还没有掌握，而且欠缺一些理论应用的能力。通过这次课设，我熟悉了倒立摆实际控制系统的硬件结构形式和倒立摆控制系统软件。同时复习了MATLAB应用的一些知识，看到了自己的不足，也学习了许多。致谢本论文是在周川老师的悉心指导下完成的。在这四五个多月的毕业设计中，谢谢周川老师耐心的指导，以及倾注了大量的精力来启发我，开拓我的思路，培养我发现问题，解决问题的能力。在毕业设计过程中还得到了诸多同学的帮助，在此表示衷心地感谢。最后还要感谢大学四年来所有帮助过我的老师，是在他们的教诲下，我接触并喜欢上了电气自动化专业，掌握了坚实的专业知识，为以后的学习工作打下坚实的基础。感谢国家、社会、学校、老师家人和朋友的支持和关心，争取做一个对社会有用的人！参考文献[1].TakagiT,SugenoM.Fuzzyidentificationofsystemanditsapplicationtomodelingandcontrol.IEEETransonSysMa&,Cyber,1985,SMC-15:116-132.[2].ZHANGH，BILLINGSSA．Analysingthetransferfunctionofnonlinearsystermsinthefrequencydomain［J］．JMechanismSystermsandSignalProcessing，1993，7(5):531-550．[3].王磊,王为民．模糊控制理论及应用．国防工业出版社.1997，22（3），109-112.[4].郭钊侠，方建安，苗清影。倒立摆系统及其智能控制研究.东北大学学报.2003-3,29(2),122-126[5].付莹，张广立，杨汝清.倒立摆系统的非线性稳定控制及起摆问题的研究上海交通大学学报.2003-3，12（1），15-17.[6].马志涛，侯涛，张红兵等.倒立摆系统的T-S模糊控制研究.微计算机信息.2006，22（10-1），69-71[7].张志祥，颜丽莎.一级倒立摆的模糊控制.郑州铁路职业技术学院学报.2007-12，19（4），12-13[8].张乃尧，C.Ebert，R.Belschner等.倒立摆的双闭环模糊控制.控制与决策，1996，11（1）:85-88[9].马志涛,候涛等.倒立摆系统的T-S模糊控制研究.微计算机信息,2006,22(10):69-71[10].黄祖毅,李东海,姜学智