向量的极化恒等式与等和线的应用-学生版

向量的极化恒等式与等和线的应用-学生版何模型。

何模型。

平方和极化恒等式引例：平行四边形是表示向量加法和减法的几你能用向量方法证明：平行四边形的对角线的等于两条邻边平方和的两倍.证明：不妨设AB=a,AD=b,则AC=ab,DB=a-b,ac=AC2=(a+b2T2一f=a+2abDB2.2..2=DB=a-b=2_:a-2ab(2)(1)(2)两式相加得：同十阚、2.十盯=2同十阿j结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.思考1:如果将上面(1)(2)两式相减，能得到什么结论呢？ab=ab=»a+b2」a-bf]4.极化恒等式对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的1.4即："Tac|"db|2](平行四边形模式)思考：在图1的三角形ABD中（M为BD的中点），此恒等式如何表示呢？因为AC=2AM）所以「b=AM|2-1|DB2（三角形模式）例1.（2012年浙江文15）在AABC中，M是BC的中点,AM=3,BC=10,贝（J7B7C=/^^.'^'^^'XBMCB标检测（2012北京文13改编）已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，则黄DA+的值为.例2.（自编）已知正三角形ABC内接于半径为2勺圆O,点P是圆O上的一个动点,则pApB的取值范围是.B标检测22（2010福建文11）若点O和点F分别为椭圆亍+4=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP，FP的最大值为（）A2B.3C.6D.8例3.（2013浙江理7）在AABC中，P0是边AB上一定点）满足P0B=；AB点）满足P0B=；AB且对于边41PBPC-P)BP0Co贝U()A./ABC=90，B./BAC=90AC=BC例4.（2017全国2理科12）已知mbc是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则羡（PB+PC）的最小是（）A.-2A.-2B.-jC.D.1课后检测.在MBC中）/BAC=60，若AB=2）BC=V3）D在线段AC上运动）DBDA的最小值为.已知AB是圆O的直径，AB长为2,C是圆O上异于AB的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则（PA+PB）7C的最小值为.在MBC中）AB=3）AC=4）/BAC=60，）若P是&ABC所在平面内一点）且AP=2）则1PBPC的最大值为2.右点。和点F（—2，。）分别是双曲线ay2=1（a>0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上任意一点则oPfp的取值范围是..在RtMBC）AC=BC=2）已知点P是SBC内一点）贝UPC（PA+PB）的最小值是^

.已知A、B是单位圆上的两点）O为圆心）且/AOB=120o,MN是圆O的一条直径）点C在圆内）且满/!LOc=xOA+（i-z）Ob（0<z<1））贝UCMCN的取值范围是（）A卜川B.Li,i）C.「4，0C.「4，0D.Li,0)7,正aabc边长等于"3）点p在其外接圆上运动,则辞丽的取值范围是（）A，_-!，!B.「2,2C.A，_-!，!B.「2,2C._13IL2,2D.「2,2.在锐角MBC中已知B=±AB-AC=2贝AB-AC的‘3''取值范围是.(2008折江理9)已知±6是平面内2个互相垂直的单位向量,若向量C满足.(a-c)(b-c)=0,则c的最大值是()■.2A.1B.2C.2D.——2平面向量基本定理系数的等和线【适用题型】平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。【基本定理】（一）平面向量共线定理已知O"A/O即―0若％+N=1,则A,B,C三点共线；反之亦然（二）等和线平面内一组基底O^A~O鼓任一向量OP,o"p=x"oA「（O而阪）若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则九+N=k（定值），反之也成立，叭我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为费「柒和线。当等和线恰为直线AB时，k=i?A\本当等和线在。点和直线AB之间时，k『0,1）；当直线AB在点O和等和线之间时，kw（1,~）；当等和线过o点时，k=o；若两等和线关于o点对称，则定值k互为相反数;

【解题步骤及说明】1、确定等值线为1的线；2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。【典型例题】,例1、给定两个长度为1的平面向量oA*尻，母、们的夹角为1200,如图所示，点C在以。为圆心的圆弧变动。若OC=xOA+yOB?其中x”R,则x+y的最大值跟踪练习：已知。为&ABC的外心）若cos/ABCAO=?.AB+kAC5则九+□的最大值为例2、在平面直角坐标系中，o为坐标原点，两定点A,B满足|OA|=|OB|=OAOB=2)则点集{P|OP=x0a+1^0b,|九|十|小1,九卜R}所表示的区域面积为例3、如图)在扇形OAB中)/AOB=600)C为弧AB上不与A,B重合的一个动点，OC-xOayOB,若u=x1y(10)存在最大值，则九的取值范围为.跟踪练习：在正方形ABCD中）E为BC中点）P为以AB为直径的半圆弧上任意一点，设AE=xAD+yAP）则2x+y的最小值为【强化训练】1、在正六边形ABCDEF中）P是三角形CDE内（包括边界）的动点，设AP=xAB+yAF,则x+y的取值范围.2、如图）在平行四边形ABCD中）M,N为CD边的三等份点，S为AM,BN的交点，P为边AB上的一动点，Q为ASMN内一点（含边界），若PQ=xjM+或Q^―7则x+y的取值范围./

3、设D，E分别是AABC的边AB）BC上的点）AD='AB3、BE=|BC,若DE的值为=iAB2AC；（九?2为实数））则%+九24、梯形ABCD中）AD_LAB）AD=DC=1）AB=3）P为三角形BCD内一点（包括边界），AP=xAB+yAD,则x+y的取值范围.5、已知|OA1=1忌1=6,OAob=o,点c在2aob内，且/AOC=300,设OC=mOA+nOB,则m的值为n6、在正方形ABCD中）E为AB中点）P为以A为圆心）AB为半径的圆弧上的任意一点，设AC=xDE+yAP）则x+y的最小值为7、已知|OMHON|=1)OP=xOM+yON(x,y为实数)。若APMN为以M为直角顶点的直角三角形，则x—y取值的集合为8、平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA,OB夹角为1200OA,OC的夹角为300且|OA|qOB|=1|OC|=2J3若ZZZQC=mOA+nQB)则m+n的值为9、如图)A,B,C是圆。上的三点)CO的延长线与线段B