几何图形的归纳,猜想,证明问题

几何图形的归纳，猜想，证明问题【前言】实行新课标以来，中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。根据学生反映，这种问题一般较难，得分率很低，经常有同学选择+填空就只错了这一道。对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的，所以一下我们通过今年的一二模真题来看看如何应对这种新题型。第一部分真题精讲【例1】如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2DC的面积为S，担3D2c2的面积为$，ABn+DnCn的面积为Sn，则S=；Sn=——（用含n的式子表示）.【思路分析】拿到这种题型，第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。本题还好，将阴影部分标出，不至于看错。但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是△B2AC2,皿3AC3这种的，第二步就是看这些图形之间有什么共性和联系.首先S2所代表的三角形的底边C2D2是三角形AC2D2的底边，而这个三角形和△AC3&是相似的.所以边长的比例就是AC2与AC3的比值.于是S=1图1葭=2叵.接下来通过总结，我们发现所求的~23三角形有一个最大的共性就是高相等，为点（连接上面所有的B点，将阴影部分放在反过来的等边三角形中看）。那么既然是求面积，高相等，剩下的自然就是底边的问题了。我们发现所有的B,C点连线的边都是平行的，于是自然可以得出Dn自然是所在边上的n+1等分点.例如D2就是B2C2的一个三等分点.于是nP=n+1_1.（n+1-1是什么意思？为什么要DnCn-2减1?)112n-3nSbec”=一DnCn33=22n1n1［例2］在平面直角坐标系中，我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形，如图，麦形ABCD的四个顶点坐标分别是（_80）,（04）,（80），（0.）,则菱形ABCD能覆盖的单位格点正方形的个数是个；若菱形△n的（0）-4）AnBnCnDn四个顶点坐标分别为（_2n,0），（0,n），（2n,0），（0,—n）（n为正整数），则菱形AnBnCnDn能覆盖的单位格点正方形的个数为（用含有n的式子表示）.【思路分析】此题方法比较多，例如第一空直接数格子都可以数出是48（笑）。这里笔者提供一种方法，其他方法大家可以自己去想想看。因为求的是菱形包涵的正方形个数，所以只需求出被X,Y轴所分的四个三角形包涵的个数，再乘以4即可。比如我们来看第二象限那个三角形。第二象限菱形那条边过（-2n,0）（0,n）,自然可以写出直线解析式为1,，斜率1意味着什么？看上图，注意箭头标注的那些空白三角形，这些RT三角形一y二一xn,22共有2n/2=n个，他们的纵直角边与横直角边的比是不是就是1?而且这些直角三角形都是全2等的，面积均为两个单位格点正方形的一半.那么整个的△AOB的面积自然就是1。，所2nn‘2有n个空白小三角形的面积之和为n121,相减之后自然就是所有格点正方形的面积222.n-n,也就是数量了.所以整个菱形的正方形格点就是4n-4n.

【例3】如图，ZAOB=45。，过OA上到点O的距离分别为1,3,57911...的点作0A的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为GGGG….则第一个黑色梯形的面积SIsS2sS3sS4，S=;观察图中的规律，第n（n为正整数）个黑色梯形的面积GSn一【思路分析】本题方法也比较多样。所有阴影部分都是一个直角梯形，而因为/AOB=45©,所以梯形的上下底长度分别都对应了垂足到0点的距离，而高则是固定的2。-1,CC■第一个梯形上底是1,下底是3,所以SI=-I+3）2=4.第二个梯形面积11S2=2e7）2=12第三个是&=万（9）2=2。，至此，我们发现本题中梯形面积数值上其实就是上下底的和.而且各个梯形的上底都是前一个梯形上底加上4。于是第n个梯形的上—匕「A3J-ki3iy1-—11—-j——D3I一)A22D211Ai1Di1F=1T1-3-2-1O231xB1-1ciii・■J--B2-2C211B311-3T—Ct!一1底就是1+4（n-1）=4n-3,（第一个梯形的上底1加上（n-1）个4.）下底自然就是4n-1,于是&就是8n-4.【例4】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点.请你观察图中正方形A1B1C1D1,A2B2C2D2,A3B3C3D3……每个正方形四条边上的整点的个数.按此规律推算出正方形A10B10C10D10四条边上的整点共有个.【思路分析】此题看似麻烦，但是只要把握住“正方形”这个关键就可以了。对于ABnCnDn来说，每条边的长度是2n,那么自然整点个数就是2n+1,所以四条边上整点一共有（2n+1）x4-4=8n（个）（要减去四个被重复算的顶点）,于是A0B10G0D10就是80个.［例5］如图，4ABC中，ZACB=90,AC=BC=1,取斜边的卜中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去,直到所画直角三角形的斜边与4ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为【思路分析】本题依然要找出每个三角形和上一个三角形之间的规律联系。关键词“中点”“垂线”“等腰直角”。这就意味着每个三角形的锐角都是45度，并且直角边都是上一个三角形直角边的一半。绕一圈是360度，包涵了8个45。。于是绕到第八次就可以和1BC重叠了，此时边长为△ABC的—，故而得解。8【例6】如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形△，再以等腰直角三角形△的斜边为直角ABA］ABA）边向外作第3个等腰直角三角形ABB，，，，如此作下去，若0A=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积S=（n为正整数）.【思路分析】和上题很类似的几何图形外延拓展问题。还是一样慢慢找小三角形面积的规律。由题可得S=",S2=2,S3=4...,分子就是1,2,4,8,16这样的数列。于是S=22222【总结】几何图形的归纳总结问题其实就包括了代数方面的数列问题，只不过需要考生自己找出图形与图形之间的联系而已。对于这类问题，首先就是要仔细读题，看清楚题目所求的未知量是什么，然后找出各个未知量之间的联系，这其中就包括了寻找未知量的拓展过程中，哪些变了，哪些没有变。最后根据这些联系列出通项去求解。在遇到具体关系很难找的问题时，不妨先写出第一项，第二项，第三项然后去找数式上的规律，如上面例6就是一例，如果纠结于几何图形当中等腰三角形直角边的平方，反而会使问题复杂化，直接列出前几项的面积就可以大胆的猜测出来结果了。这类题目计算量往往不大，重在思考和分析的方法，还请考生细心掌握。

第二部分发散思考【思考1】如图，在平面直角坐标系xOy中，巳（01）,b（03）,&（0,6），b4第二部分发散思考【思考1】如图，在平面直角坐标系xOy中，巳（01）,b（03）,&（0,6），b4（0,10），…以bB2为对角线作第一个正方形Ab1cle2，以口口为对角线作第二个正方形ARrR，以aa为对角线作第三个正L^B3^^2B2c2B3B3B4方形A3B3c3B4…如果所作正方形的对角线BB斗都在y轴上，且B&平的长度依次增加1个单位，顶点4都在第一象限内5>1,且门为整数）.那An么a的纵坐标为;用n的代数式表示八的纵坐标:An【思考2】如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点p处开始跳动，第次跳到点P关于x轴的对称点口处，接着跳到点p关于y轴的对称点P2处，第三次再跳到点p关于原点的对称点处,如此循环下去.当跳动第2009次时，棋子落点处的坐标是【思考3】对于大于或等于2的自然数n的平方进行如下“分裂”，分裂成n个连续奇数的和，则自然数72的分裂数中最大的数是,自然数n2的分裂数中最大的数是【思考4】一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动,在第一秒钟,它从原点运动到（。,1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0q）t（0,1）T（"）-）（1,0）T…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是21y31n【思考5】如图，将边长为——（n=1,2,3,…）的正方形纸片从左到右顺次摆放,2其