初三+圆难题压轴题答案解析

圆难题压轴题答案解析1.解：(1)如图1,设。O的半径为r,1.当点A在OC上时，点E和点A重合，过点A作AH，BC于H,BH=AB?cosB=4,AH=3,CH=4,•・AC=」H'|-；'=5,・•・此时CP=r=5;(2)如图2,若AP//CE,APCE为平行四边形,•••CE=CP,，四边形APCE是菱形，连接AC、EP,贝UACXEP,AM=CM=,由(1)知，AB=AC,则/ACB=ZB,CP=CE=——=笠coeZ^ACB8EF=2J「二(3)如图3:过点C作CNXAD于点N,cosB=—,5•/B<45°,•/BCG<90°,./BGC>45°,••/AEG=/BC0/ACB=/B,•・当/AEG=/B时，A、E、G重合,・只能/AGE=/AEG,••AD//BC,•.△GAE^AGBC,•里茎,即延一熄[CBBG8AE+5解得：AE=3,EN=AN-AE=1,ce=VeN2-CN2=732M2^^-2.解：（1）①若圆P与直线l和12都相切，2.当点P在第四象限时，过点P作PH，x轴，垂足为H,连接OP,如图1所示.设y=\/取的图象与x轴的夹角为a.当x=1时，y=73，tana=\i丐.卡60°.，由切线长定理得：/POH=_(180-60°)=60°.2•.PH=1,tan/POH=—=—=\^3.OHOH・•.OH=3.••点P的坐标为（叵-1）.3]同理可得：当点p在第二象限时，点p的坐标为（-虫，1）；3当点P在第三象限时，点P的坐标为（-V3,-1）;②若圆P与直线1和11都相切，如图2所示.同理可得：当点P在第一象PM时，点P的坐标为（江1）；|3|当点p在第二象限时，点p的坐标为（-V5,D；当点p在第三象限时，点p的坐标为（-虫，-1）；_3当点P在第四象限时，点P的坐标为（有,-1）.③若圆P与直线11和12都相切，如图3所示.同理可得:当占.=1八、、P在x轴的正半轴上时，占八、、P的坐标为（竽0);当占.=1八、、P在x轴的负半轴上时，占八、、P的坐标为（-V，0）；当占.=1八、、P在y轴的正半轴上时，占八、、P的坐标为（0,2);当占.=1八、、P在y轴的负半轴上时,占八、、P的坐标为（0,-2).综上所述：其余满足条件的圆P的圆心坐标有:

(2)用线段依次连接各圆心，所得几何图形，如图4所示.由图可知：该几何图形既轴对称图形，又是中心对称图形，由对称性可得：该几何图形的所有的边都相等.，该图形的周长=12X(jj-Y3)=8/3.3

3.(1)解：连接OB,OD,3.•・•/DAB=120°,，而fj所对圆心角的度数为240°,・./BOD=120°,•・・。0的半径为3,，劣弧BD的长为：兀3=2兀；180(2)证明：连接AC,.AB=BE,.••点B为AE的中点,••.F是EC的中点，，BF为4EAC的中位线，BF=—AC,2「J=.।;•'”,=.••1=I幻BD=AC,

・•.BF=2BD;2P,(3)解：过点B作AE的垂线，与。O的交点即为所求的点P,.BF为丁EAC的中位线，BF//AC,/FBE=/CAE,AD=BC,/CAB=/DBA,•・由作法可知BPXAE,・./GBP=/FBP,.G为BD的中点，•.BG=1BD,2.•.BG=BF,在△PBG和^PBF中，(BG二BFZPBG=ZPBF,BF=BFPBG^APBF(SAS),•.PG=PF.4.解：(1)11112,。。与11,12都相切，・./OAD=45°,--AB=4\/3cm,AD=4cm,.CD=4V"cm,AD=4cm,.tan/DAC=®=-b/j=/3,AD4./DAC=60°,・•/OAC的度数为：/OAD+/DAC=105°,故答案为：105;(2)如图位置二，当O1,A1,C1恰好在同一直线上时，设。O1与11的切点为巳连接OiE,可得O1E=2,O1EX11,在Rt^A1D1C1中，.•A1D1=4,C1D1=4/3,，tan/C1A1D1=百，C1A1D1=60°,在Rt^A1O1E中，/O1A1E=ZC1A1D1=60°,-A1E=——2—上”tanGO3-A1E=AA1-OO1-2=t-2,-OO2=3t,t-OO2=3t,t1=2.・t=1+2,•・OO1=3t=2V5+6;(3)①当直线AC与。。第一次相切时，设移动时间为t1,如图，此时OO移动到OO2的位置，矩形ABCD移动到A2B2c2D2的位置,设OO2与直线11,A2c2分别相切于点F,G,连接O2F,O2G,02A2,•O2FX11,O2GXA2G2,由(2)得，/C2A2D2=60°,.GA2F=12002A2F=60°,—2眄在Rt^A2O2F中，O2F=2,，A2FT^,3AF=AA2+A2F=4t1+—3②当直线AC与。。第二次相切时，设移动时间为t2,记第一次相切时为位置一，点O1,A1,C1共线时位置二，第二次相切时为位置三,由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等,•■--^-^+2-(2—^^)=t2-(^^+2),333解得：t2=2+2-

综上所述，当d<2时，t的取值范围是：2-空ivt〈2+2jl.5.解：（1）证明：如图1,.「CE为。O的直径，/CFE=ZCGE=90•.EGXEF,/FEG=90°./CFE=ZCGE=/FEG=90°.•・四边形EFCG是矩形.（2）①存在.连接OD,如图2①，•・四边形ABCD是矩形，/A=ZADC=90°.・・点O是CE的中点，.•.OD=OC..・•点D在。O上.••ZFCE=ZFDE,/A=/CFE=90°,•.△CFE^ADAB..AD=4,AB=3,2、?Sadab▲>3>42.•.BD=5,SACFE2、?Sadab▲>3>42-记_3CF2_8S矩形abcd_2Sacfe3c屋-•.四边形EFCG是矩形，•.FC//EG./FCE=/CEG.・•/GDC=/CEG,/FCE=/FDE,/GDC=/FDE.•••/FDE+/CDB=90°,•••/GDC+/CDB=90°./GDB=90°I.当点E在点A(E')处时，点F在点B(F')处，点G在点D(G处，如图2①所示.此时，CF=CB=4.II.当点F在点D(F〃)处时，直径F〃G'」BD,如图2②所示，

此时。0与射线BD相切，CF=CD=3.m.当CF^BD时，CF最小，此时点F到达F"；如图2③所示.SABCD=-BC?CD=-BD?CF'•・4X3=5XCF”'•.CF〃="5112八••—公FR.5■>42.4,・以£•矩形ABCD司2.25・•.矩形EFCG的面积最大值为12,最小值为②・••/GDC=/FDE=定值，点G的起点为D,终点为G〃,.••点G的移动路线是线段DG〃.・•/GDC=/FDE,/DCG"=/A=90°,・•.△DCG"s^DAB..DCDG”——=.DADB，点G移动路线的长为图2①图16.解：(1)以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC,以点C为圆心，AC为半径作OC,交y轴于点Pi、P2.在优弧APiB上任取一点P,如图1,贝叱APB=LACB=1>€0°=30°.22••使/APB=30°的点P有无数个.故答案为：无数.(2)①当点P在y轴的正半轴上时，过点C作CGLAB,垂足为G,如图1.・•点A(1,0),点B(5,0),.•.OA=1,OB=5..•.AB=4.・・点C为圆心，CGXAB,.•.AG=BG=—AB=2.2.OG=OA+AG=3..「△ABC是等边三角形，.•.AC=BC=AB=4.cg=a/acj-ag2二二一=2■..••点C的坐标为(3,2\石).过点C作CD，y轴，垂足为D,连接CP2,如图1,・•点C的坐标为(3,2、乃)，，CD=3,OD=2V3..「Pi、P2是。C与y轴的交点，/AP1B=ZAP2B=30°..CP2=CA=4,CD=3,DP^JqZ2=-^^・・点C为圆心，CDXP1P2,•.PiD=P2D=Vr.•.P2（0,2A-雨）.Pi（0,2x/3+Vt）.②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P3（0,-2X/3-VV）,P4（0,-2/34/7）.综上所述：满足条件的点P的坐标有：（0,2B"、（0,2代+中）、（0,一孤-5）、（0,-a/3+Vt）.（3）当过点A、B的。E与y轴相切于点P时，/APB最大.①当点P在y轴的正半轴上时，连接EA,作EH^x轴，垂足为H,如图2.••・OE与y轴相切于点P,••PEXOP.EHXAB,OPXOH,/EPO=ZPOH=/EHO=90°.四边形OPEH是矩形..OP=EH,PE=OH=3EA=3.••/EHA=90°,AH=2,EA=3,ehTeA2fM==二.•.OP=.-.•.P（0,立）.②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P（0,-超）.理由：①若点P在y轴的正半轴上，在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），连接MA,MB,交。E于点N,连接NA,如图2所示.••/ANB是△AMN的外角，••/ANB>/AMB.••/APB=/ANB,••/APB>/AMB.②若点P在y轴的负半轴上，同理可证得：/APB>/AMB.

综上所述：当点P在y轴上移动时，/APB有最大值,此时点综上所述：当点P在y轴上移动时，/APB有最大值,此时点P的坐标为（0,正）和（0,-在j）.。P与x轴，y轴分别相切于点M和点N,••PMIMF,PNXON1.PM=PN,./PMF=/PNE=90°且/NPM=90°,「PELPF,ZNPE=ZMPF=90°-ZMPE,'/NPE二NMPF在△PMF和^PNE中，4PN=PM,PMF^APNE(ASA),tZFHE=ZFNlF.•.PE=PF,(2)解：①当t>1时，点E在y轴的负半轴上，如图，由(1)得^PMF^APNE,NE=MF=t,PM=PN=1,.b=OF=OM+MF=1+t,a=NE-ON=t-1,1-b-a=1+t-(t-1)=2,1.b=2+a,②0vtwi时，如图2,点E在y轴的正半轴或原点上，

同理可证^PMF^APNE,.b=OF=OM+MF=1+t,a=ON-NE=1-t,b+a=1+t+1—t=2,b=2-a,(3)如图3,(I)当1vtv2时，.F(1+t,0),F和F'关于点M对称，•.F/(1-t,0)•••经过M、E和F'三点的抛物线白^对称轴交x轴于点Q,.•.Q(1-It,0)OQ=1-耳22由(1)得^PMF^APNE••.F/(1-t,0)•••经过M、E和F'三点的抛物线白^对称轴交x轴于点Q,.•.Q(1--t,0)OQ=-t-1,22由(1)得^PMF^APNENE=MF=t,「.OE=t-1It-1当△OEQs^MPF.,.还=旦@，工_^上,无解，MPMF1t当^OEQs^MFP时,，幽里上二！二2,解得，t=2却为，HFMPt1所以当t」+仍工t=1力，t=2工用时，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、4为顶点的三角形相似.8.答：：(1)---DF±AB,EFXAC,./BDF=ZCEF=90°..「△ABC为等边三角形，.B=/C=60°../BDF=ZCEF,/B=/C,.△BDF^ACEF.2)/BDF=90°,/B=60°,sin60°=-£!J-=X-?,cos60°=^2=.BE2BF•••BF=m,DF=2J?m,BD=.2•••AB=4,AD=4-.S；aadf=AD?DF同理：Saaef同理：Saaef=AE?EF(4—m)=-上^m2+2U’3.8S=Saadf+Saaef=--^m2+'f3m+2/~34=-'空(m2-4m-8)4=-—(m—2)2+3“l.其中0vmv4.-■<0,0<2<4,・•・当m=2时，S取最大值，最大值为sS与m之间的函数关系为:(m-2)2+3--f3(其中0vmv4).当m=2时，S取到最大值，最大值为第.(3)如图2,.「A、D、F、E四点共圆,・./EDF=ZEAF.・./ADF=ZAEF=90°,AF是此圆的直径..tan/EDF=2-2,•.tan/EAFEA2•••/0=60°,-^=tan60°=^r3|.EC设E0=x,贝UEF=j3x,EA=2x.A0=a,2x+x=A.x=.EF=-£la,AE=£3.3./AEF=90°,.♦・此圆直径长为且守.319.9.解答:解：(1)连接OA,过点B作BH，AC,垂足为H,如图1所示.•・AB与。。相切于点A,••OAIAB./OAB=90.OQ=QB=1,OA=1.，AB=.「丁==.「△ABC是等边三角形，AC=AB=/S,/CAB=60.HB.sin/HAB=AB,HB=AB?sinZHABV3=VJx2=.••SAABC=AC?BH=X-■乂=。._•.△ABC的面积为4.(2)①当点A与点Q重合时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时”=0；②当线段A1B所在的直线与圆O相切时，如图2所示，线段A1B与圆O只有一个公共点，此时OA1LBA1,OA1=1,OB=2,

A1。.cos/A1OB=1'=.A1OB=60.A点）时,.•・当线段AB与圆O只有一个公共点a的范围为：0°<aA点）时,(3)连接MQ,如图3所示.PQ是。O的直径，/PMQ=90.••OA，PM,/PDO=90../PDO=ZPMQ.PD8△PMQ.PDDOFU=7"；PO=OQ=PQPD=PM,OD=MQ.同理：MQ=AO,BM=AB.••AO=1,MQ=.OD=../PDO=90,PO=1,OD=,THpd=q.运PPM=.DM='I../ADM=90,AD=A0-OD=,.•,AM=-I"'ir'.「△ABC是等边三角形，AC=AB=BC/CAB=60.•••BM=AB,AM=BM.•••CMXAB.通AM=2_,BM=2,AB=d&.二.cmM铲（遍）■.•.CM的长度为210.解答：（1）证明：.「CD是。。的直径,，/DFC=90,•・四边形ABCD是平行四边形，./A=ZC,AD//BC,/ADF=ZDFC=90,DE为。O的切线，DE±DC,./EDC=90,/ADF=ZEDC=90,/ADE=ZCDF,./A=/C,.△AD®△CDE;2）解：:CF:FB=1:2,,・设CF=xFB=2x,贝UBC=3x,••AE=3EB•・设EB=y,贝UAE=3y,AB=4y,•・四边形ABCD是平行四边形，AD=BC=3xAB=DC=4y.△AD®△CDF,CF•瓦五，盘上，=••x、y均为正数，x=2y,

BC=6y,CF=2y在RUDFC中，/DFC=90,由勾股定理得：DF=VDC•AC=2BC,■.AB2=BC2+AC2=5BC2,-PC2y（4y）-'y）=2•AC=2BC,■.AB2=BC2+AC2=5BC2,四边形ABCD的面积为BC?DF=6y?2/3y=12\/ly2,，。0与四边形ABCD的面积之比为471y212^丫2=兀：.11.…日(1)证明：AC=AD,----'-nJ17・•./DPF=180°-/APD=180&所对的圆周角=180°-A。所对的圆周角=ALC所对的圆周角=/APC.在APAC和4PDF中,fZAPC=ZDPF,(NFM=/PDFAPAC^APDF.(2)解：如图1,连接PO,贝U由AP-BP,有POXAB,且/PAB=45°,AAPO>AAEF都为等腰直角三角形.图1B都为等腰直角三角形.图1B在RtAABC中,•AB=5,.BC=.二，.AC=2R,.CE=AC?sin/BAC=ACAE=AC?cos/BAC=AC-AB=2,AB=4,•••AAEF为等腰直角三角形,EF=AE=4,FD=FC+CD=(EF—CE)+2CE=EF+CE=4+2=6.••AAPO为等腰直角三角形，AO=?AB=,AP=-^Z1.2••APDF^APAC,,FD-CA，雨6一2西■吁沂・PD-.2(3)解：如图2,过点G作GHXAB,交AC于H,连接HB,以HB为直径作圆,连接CG并延长交OO于Q,图2A1一」BhHCXCB,GH±GB,•・C、G都在以HB为直径的圆上，/HBG=/ACQ,C、D关于AB对称，G在AB上,•・Q、P关于AB对称，/PCA=/ACQ,/HBG=/PCA.••APAC^APDF,/PCA=/PFD=/AFD,y=tanZAFD=tan/PCA=tan/HBG="^.bGHG=tan/HAG?AG=tan/BAC?AG==的於■柚,OH,如图①所示.12.解答：解：(1)证明：连接••・四边形ABCD是矩形，AB=CD.ZADC=ZBAD=90,BC=AD,AB=CD.•.HP//AB,ZANH+ZBAD=180\ZANH=90\.HN=PN=HP=.-.OH=OA=.•.sinZHON=—=^.OH2.ZHON=60,BD与。。相切于点H,.OH±BD..ZHDO=30.OD=2.AD=3.BC=3-ZBAD=90,ZBDA=30..tanZBDA=AD.•.AB=3.-.HP=3,.•.AB=HP.AB//HP,二•四边形ABHP是平行四边形.ZBAD=90,AM是。O的直径,「•BA与。O相切于点A.••・BD与。。相切于点H,BA=BH.「•平行四边形ABHP是菱形.(2)AEFG的直角顶点G能落在OO上.如图②所示，点G落到AD上.EF//BD,ZFEC=ZCDB.ZCDB=90-30=60,ZCEF=60\由折叠可得：ZGEF=ZCEF=60°.ZGED=60\,.CE=x,GE=CE=x.ED=DC-CE=3-x...cosZGED=ED^=.GEix=2..•.GE=2,ED=1..•.GD=V3..•.OG=ad-AO-gd=3>/3-V3-V3-/3..•.OG=OM.•・•点G与点M重合.的值为2.x的值为2.此时4EFG的直角顶点G落在。O上，对应的x・••当4EFG的直角顶点的值为2.x的值为2.(3)①如图①，在RtAEGF中，tanZFEG=-^=—=a/3.GEx.•.FG=h/3x.S=GE?FG=x?/3x=^x2.2②如图③，图③ED=3-x,RE=2ED=6—2x,GR=GE—ER=x—(6—2x)=3x-6.•.tan/SRG=•.tan/SRG=三=：；3k-63.•.SG=后(x-2).••.Sasgr=SG?RG=?\/5(x-2)?(3x-6).=(x-2)2.22Sagef=^—x,2S=Sagef-Sasgr=^x2_3篇(x-2)2.22=-V3x2+6"/3x-6V3.综上所述：当0aq时，s="x2；当2Vx小时，s=-V3x2+©^/3x-a/3.当FG与。。相切于点T时，延长FG交AD于点Q,过点F作FK^AD,垂足为K,如图④所示.••・四边形ABCD是矩形，BC//AD,/ABC=/BAD=90°/AQF=/CFG=60°.•.OT=.•.OQ=2..•.AQ=一一+2.•••/FKA=/ABC=/BAD=90°,，四边形ABFK是矩形.=2-2^/S+/3x.FK=AB=3=2-2^/S+/3x.KQ=AQ-AK=(6+2)-(3'/3-V5x)在Rt^FKQ中，tan/FQK=J1|=/iiFK=二QK.3=V3(2-2^/3+V3x).解得：x=3-2婴..•.S="x2=^x(3--^?)2223-31忖6-66，FG与。O相切时，S的值为-6.613解答：(1)证明：连结OC、OE,OE交AB于H,如图1,E是弧AB的中点，OE±AB,••/EHF-90,••/HEF-+ZHFE-90,而/HFE-ZCFD,••/HEF4ZCFD-90,••DC-DF,••/CFD-ZDCF,而OC-OE••/OCE-/OEC••/OCE吆DCE-ZHEF+ZCFD-90,••OCXCD,・・直线DC与。O相切；(2)解：连结BC,E是弧AB的中点，:弧AE-MBE,••/ABE-/BCE而/FEB-/BEC.△EBM△ECBEF:BE-BEEC,EF?EC-B2-(r)2-r2;(3)解：如图2,连结OA,•・弧AE-MBE,AE-BE-r设OH-x,贝UHE-r—x,在R「OAH中，AH2+OH2-OA2,即AH2+x2-r2,在R「EAH中，AH2+EH2-EA2,即AH2+(r-x)2-(r)2,.x2-(r—x)2-r2—(r)2,即得x-r,HE-r-r-r,/-另$[2_〃、之丸&在R「OAH中，AHN0A—OH-'Jr9r-gOE±AB,

AH=BH,而F是AB的四等分点,2仔HF=AH=9,在Rt^EFH中,•••EF?EC=2,2V3I.r?EC=r2,EC=:-r.14.解：（1）连结O1A、O2B,如图，设。O1的半径为r,。O2的半径为R,14.O1与。O2外切与点D,・・・直线O1O2过点D,MO2=MD+O2D=4：：""r,•・•直线l与两圆分别相切于点A、B,O1A±AB,O2BXAB,码•.tanZAM01=3,・•/AM01=30,在RtAMBO2中，MO2=O2B=2R,.•.4E+R=2R解得R=4、几，即。O2的半径为4«;(2)/AM02=30,•••/MO2B=60,而O2B=O2D,

•.△O2BD为等边三角形，BD=O2B=4\/5,/DBO2=60,/ABD=30,/AM01=30,••/MO1A=60,而O1A=O1D,./O1AD=ZO1DA,/O1AD=ZMO1A=30,/DAB=60,./ADB=180-30-60=90°,困在Rt^ABD中，AD=3BD=4,AB=2AD=8,AD+BD-AB4+4^3-3•.△ADB内切圆的半径=2=2=2/32,•.△ADB内切圆的面积=兀？(2、K-2)2=(16-3)兀；(3)存在.在Rt^MBO2中，MB=\Z1o2B=/^x/=12,15.当^MO2Ps△MDB时,02P|15.当^MO2Ps△MDB时,02P|mo2O2PDB=MD,即02PBQj02P而加,即章=W3,解得02P=875;=12,解得02P=8,当^MO2Ps△MBD时,解：（1）连接PA,如图1所示.P0>±AD,AO=DO.•••AD=2:;,oa='/3.••点P坐标为(-1,0),OP=1.PA='I:=2.BP=CP=2B(-3,0),C(1,0).(2)连接AP,延长AP交。P于点M,连接MB、MC.如图2所示，线段MB、MC即为所求作.四边形ACMB是矩形.理由如下：「△MCB由4ABC绕点P旋车专180°所得，•・四边形ACMB是平行四边形..「BC是。P的直径,/CAB=90.•・平行四边形ACMB是矩形.过点M作MHLBC,垂足为H,如图2所示.在△MHP和△AOP中，./MHP=/AOP,/HPM=/OPAMP=AP,・.△MHP^AAOP.•.MH=OA=7^,PH=PO=1.OH=2.••点M的坐标为(-2,右).(3)在旋转过程中/MQG的大小不变.•・四边形ACMB是矩形，/BMC=90.EG±BO,/BGE=90./BMC=ZBGE=90.・・点Q是BE的中点，QM=QE=QB=QG.•・点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，如图3所示.・./MQG=2/MBG../COA=90,OC=1,OA='3OAtan/OCA=OC=VS./OCA=60./MBC=ZBCA=60.・./MQG=120.，在旋转过程中/MQG的大小不变，始终等于120°.16.解：(1)如图1,.「AB是。O的直径,16./AEB=90°.•••AEXBC.(2)如图1,•••BF与。O相切，/ABF=90°./CBF=90-/ABE=/BAE.•••/BAF=2/CBF./BAF=2/BAE./BAE=/CAE./CBF=/CAE.•••CGXBF,AEXBC,/CGB=/AEC=90°.•••/CBF=/CAE,/CGB=/AEC,△BCGACE.(3)连接BD,如图2所示.•/DAE=/DBE,/DAE=/CBF,./DBE=ZCBF.AB是。O的直径，./ADB=90°..BD±AF./DBC=/CBF,BD±AF,CG±BF,.CD=CG./F=60°,GF=1,/CGF=90°,.tan/F=7^=CG=tan60°=V3GF•CG=：'；,.CD=二./AFB=60°,./BAF=30°./ADB=90°,/ABF=90°,ZBAF=30°,AB=2BD.•••/BAE=/CAE,/ABE=/ACE.AB=AC.设。O的半径为r,•••/ADB=90°,1.AD=二r.DC=AC-AD=2r.・r=2J3+3.OO的半径长为/AEB=/AEC,贝UAC=AB=2r,BD=r.273+3.解答：解：(1)当k=1时，抛物线解析式为y=x2-1,直线解析式为y=x+1.联立两个解析式，得：x2-1=x+1,解得：x=-1或x=2,当x=-1时，y=x+1=0;当x=2时，y=x+1=3,.•.A(T,0),B(2,3).(2)设P(x,x2-1).如答图2所示，过点P作PF//y轴，交直线AB于点F,则F(x,x+1).--PF=yF-yP=(x+1)-(x2-1)=-x2+x+2.Saabp=Sapfa+Sapfb=PF(xF-xA)+PF(xB-xF)=PF(xB-xA)=PF.•.SAABP=(-x2+x+2)=-(x-)2T当x=时，yP=x2-1=-.・•.△ABP面积最大值为—此时点P坐标为(，-).(3)设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F,则E(一,0),F(0,1),OE=,OF=1.在Rt^EOF中，由勾股定理得：EF=J(1)二十1令y=x2+(k—1)x-k=0,即(x+k)(x—1)=0,解得：x=—k或x=1..•.C(-k,0),OC=k.假设存在唯一一点Q,使得/OQC=90°,如答图3所示，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q,根据圆周角定理，此时/OQC=90°.设点N为OC中点，连接NQ,则NQXEF,NQ=CN=ON=•.EN=OE—ON=-.•••ZNEQ=ZFEO,ZEQN=ZEOF=90°,••.△EQN^AEOF,I0F-EFI0F-EF解得：k=/5,|5l•.k>0,・•・存在唯一一点Q,使得ZOQC=90°,此时k=24T5解：(1)设抛物线为y=a(x-4)2-1,;抛物线经过点A(0,3),3=a(0-4)2-1,.；.•・抛物线为y=4G—4)2-1=vS£-2z+3;(3分)44(2)相交.证明：连接CE,贝UCEXBD,当=1西一4)2-1=0时，X1=2x2=6.4A(0,3),B(2,0),C(6,0),对称轴x=4,OB=2,AB=।।：；-'=.；,BC=4,AB±BD,•••/OAB+/OBA=90°,/OBA+/EBC=90°,△AOBs^BEC,BCCE,解得CE=dd!W,138V^、22,13•,・抛物线的对称轴l与。C相