浙江省杭州市2022-2023学年高考5月数学测试模拟试题（三模）有答案

浙江省杭州市2022届高考5月数学测试模拟试题（三模）题号一二三四总分得分注意事项：.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息.请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选一选）.已知集合"={小＜1}*=«卜2＜》＜2},则/口8=（）A{x|x＜-2} B.{xl-2＜x＜1}C.白卜＜-2或》＞1} 口.{xlx＜1}.欧拉公式e“=cosx+isinx（其中i是虚数单位，e是自然对数的底数）是数学中的一个神奇公式.根据欧拉公式，复数z=e，在复平面上所对应的点在（ ）A.象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限35/2A.B.35/2A.B.TOC\o"1-5"\h\zV2 41c.T D.Tfx+2y+3>0<2x-y-3<0.若实数x,y满足约束条件〔X+2-°，则z=x-3y的值是（ ）A.-6 B.2 C.4 D.6.已知平面a,P,直线加满足机0夕，a'B,贝『，机La"是II夕,，的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件.等差数列｛""｝的前〃项和为E，，。5=7,。1=29,5.=198,则"=（ ）A.10 B.11 C.12 D.13x2+\y= .函数.Mn|x|的图象可能是( )面角的余弦值为（)面角的余弦值为（)3 旦A.V2-1 B.4 C.2a-3 D,T9.椭圆5+)一的左右焦点为不心「("。，'。"'。'。/。',为椭圆上一点，直线2=尸耳，尸鸟分别交椭圆于M,N两点，则当直线入加的斜率为§时，为( )A.2 B.3 C.4 D.5.用㈤表示不超过实数X的整数.数列｛""｝满足："“=[(2+6)],则/22的末两位数是( )A.93 B.53 C.33 D.13第H卷(非选一选) y=1.双曲线9-的渐近线方程为，离心率为.〃、J2\ x>0,.已知函数 K+x",x<0,则/(/(-3))= .若/(/(。))=0(。€1<),则a=]3若(x-l)(x+2)6=a。+<i](x+1)+a?(x+ Fa7(x+1)7则q=al+a2+---+a1=14.甲乙两袋装有大小相同的红球和黑球，甲袋有2个红球2个黑球，乙袋有2个红球3个黑球，现从两袋中各取2个球，则取到4个红球的概率是,取到红球的个数的数学期望是.15,函"G)=Gsinx+cosx,/3)=或叫不引，则cosa= .ab+bc16.已知正数a，"。，贝的值为.-]____ 1--1I——I___|x|=_|y|=|z|=x・y=] -x+z+-v-z17.已知平面向量％,—z,2 ,则2 21 ।的取值范围是.评卷人得分一一 一3AD=2,2cosC-cos2(J+8)=—.在a/8C中，。的边8c的中点， 2.⑴求角C；(2)求a/8C面积的取值范围..如图，四棱锥尸-48。的底面是梯形，BC//AD,AB=BC=CD=1,AD=2,PB=—,PA=PC=y[32 ,E为线段尸。中点.(1)证明：ACLBP.(2)求直线8E与平面PCD所成角的正弦值.20.数列｛%｝的前〃项和为S”，数列也｝满足'=叫(〃€")，且数列也｝的前〃项和为(〃-l)S“+2〃(1)求"「勺，并求数列血｝的通项公式；(2)抽去数列｛凡｝中点第1项，第4项，第7项，…，第3〃-2项，余下的项顺序不变,组成一个新数列数列上"｝的前〃项和为北，求证：5T"3.21.已知椭圆与抛物线『=2px(p>0)有一个相同的焦点人(1,0),椭圆的长轴长为2P.(1)记椭圆于抛物线的公共弦为MN,求|MN|：(2)P为抛物线上一点，E为椭圆的左焦点，直线2片交椭圆于48两点，直线尸鸟与\AB\抛物线交于P,。两点，求1尸°的值.g(x)=—22.已知函数 e、.⑴若8(占)=8(匕)=%(大尸与)，求实数机的取值范围并证明：2x,x2<x,+x2；(2)是否存在实数,,使得g(x)21nx+/x2-/+l恒成立，且g(x)=lnx+*T+l仅有解?若存在，求出f的值：若不存在，请说明理由.答案:B【分析】根据集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为集合/={xk<l}l={H-2<x<2},所以"c8=3-2<x<1},故选：B.A【分析】由复数的几何意义判断.【详解】由欧拉公式，z=e，=cosl+isinl在复平面内对应点(cosl,sinl)在象限.故选：A.D【分析】判断出几何体的结构，从而计算出几何体的体积.【详解】由三视图可知，几何体是如下图所示三棱锥，以Llx⑸,亚故体积为312 ；3 3_故选：D

【分析】作出可行域，画直线x-3y=°并平移，求出点“坐标，代入可得z的值.【详解】3x3x=—59 0y= M5.得395，-5_3=0_[x+2y+3=0由3 9z=—+3x—=6取到5 5故选：D.A【分析】根据原命题和逆命题的真假可判断两者之间的条件关系.【详解】设an0=〃,若/«_La,则过夕内一点A作〃的垂线，垂足为8,因为a'/,aCiP=〃，ABu0,ABLn,故/8_La,因为加上a,WAB〃m,而“0夕，月8u夕，故所||夕故命题“若"‘a,则为真命题.如图，在正方体44GA中，平面的0"平面Z8CO,8c〃平面平面44Ao，但8c与平面/8CO不垂直.故命题“若川则加工。”为假命题.故“团,a”是II力”的充分不必要条件.故选：A.充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p则力'是真命题，“若q则p”是假命题，则p是的充分不必要条件；若“若夕则q”是真命题，“若q则p”是真命题，则p是q的充分必要条件；若“若。则是假命题，“若q则p”是真命题，则。是勺的必要不充分条件；若“若户则是假命题，“若q则p”是假命题，则。是q的既不充分也不必要条件.B【分析】根据等差数列的通项的性质和前“项和公式求解.【详解】S一/(4+。“)”(％+4i)因为2 2 ,又％=7,。“_4=29,S.=198,所以18〃=198,所以〃=11,故选：B.D【分析】根据函数的奇偶性和零点，值法进行判断即可.【详解】

〃x)=x2+1

xln〃x)=x2+1

xln|x|显然且"±1//、x2+1f(-x)= 因为.rdn|x|X2+1 //、 =_/(x)xln|x|八所以该函数是奇函数，又因为/+1>0,所以函数没有零点，排除B、C,/(e)=e+->0当x=e时，'e故选：D.8.C【分析】作出二面角的平面角，利用余弦定理解三角形即可求出二面角的余弦值.【详解】过点X作ZWPC交尸C于点”，过点、M作MNLPC交PB于点N,如图,则4MN是二面角/一尸C-8的平面角，设ZM=x,则MN=x,Z尸=PN=2x,在“尸V和"MN中，由余弦定理，AN2=AP2+PN2-2APPN-cosNAPN=AM2+MN2-2AM-MN-cosNAMN,所以cosNZA/N=2夜-3,故选：CD【分析】写出直线°耳的方程，与椭圆联立求出A/点的坐标，同理可得N点坐标，通过计算直线MN的斜率即可得结果.【详解】由已知得耳(一2,0),6(2,0),所以直线°片的方程为：卜=尢(乂+2)(其中1%+2),与椭圆方程联立得6*+1*+2g+20#—5=0,x+x--20奸_-204 ”「20"%一9%+20由韦达定理"°次：+14北+9,所以“4%+9° 4/+9,yy=J”(x“+2)= ——故%+2)4x0+9；x=9/-2°y,_凡类似得“4%-9, “4x0-9,k_KwXv=■()% —oyo _—o__J_n包_5所以MLx“-Xm-9片-45_9(5-5M)45一嬴一3二,故选：D.A【分析】设“=(2+G广+(2-G)［得出％与"的关系式，再令c，三"(modlOO)发现£｝呈现周期性，进而可得结果.【详解】记4=(2+扬2"+(2-⑨"则有々=14,%=6；一2,故可得”均为整数，且％="一1,再令cn="(mod100),则有q=14,q=94,q=34,q=54,且cn_4=cH,所以422=6=94,故a2O22的末两位数为93故选:A.【分析】求出。、b、c的值，可求得该双曲线的渐近线方程与离心率.【详解】由W"可知"3,)=1得C=J/+〃=而,渐近线方程为'=土丁，离心率为Vioe= 3,VioTOC\o"1-5"\h\zy=+-x ――故.3； 3.12. 16-I【分析】根据函数的解析式，先求出了(一3),再将该值代入对应的函数式，求得/(/(-3))；因为当xNO时，/(x)=2'21,则由函数值为0可知〃。)<°,.(。)+/(。)-2=0,故〃口)=-2,贝.<0,再解方程。2+°_2=-2得出a的值.【详解】由该分段函数的解析式可得：/(-3)=(-3)2+(-3)-2=4则八/(-3))="4)=24=16；由函数解析式可知，当x2°时，/G)=2、2l,则由，(/("))=0知/'(。)<0,且/(/(a))=/2(a)+/(a)_2=0,所以"a)=-2<0,"0则W+a-2=-2,解得a=-l.故16；-1.

【分析】令x+l=，，将原问题转化为二项式的展开式的相关问题，二项式展开式和系数和的性质求解.【详解】令x+l=f,则X="l,原式可以转化成(-2)(/+1)6=4+"+。2/+…+"]则能为「前面的系数，所以•一+(-2)-C：/•『，所以4=T°,令，=0,可得4=<,令，=],可得旬+q+%+…+%=_&*,所以q+%+…+%=-62,故-10,-62.960 5##1.8【分析】根据古典概型概率公式求取到4个红球的概率，再求出随机变量取到红球的个数的分布列并由期望公式求其期望值.【详解】甲袋有2个红球2个黑球，乙袋有2个红球3个黑球，共4个红球，所以取到4个红球的c-q_j_概率是C：c}60设取到红球个数为3设取到红球个数为34的可能取值为0,1,2,3,4,当小。时，3°)合等金✓"»lZ~»l q当4=1时，Gc：C；C：C；10

z-»2「2 z^242 7p(产=？、二55 5555 55二/当4=2时,当4=当4=2时,当4=3时,✓^•1 Z^»2 Z^»2Z^IX~»l尸(g=3)=^^■•号十号.^2'v)c\ cl c：cl尸(g=4)—=」-当4=4时， C4cg60,i3 7iiq£■(《)=0•—+1•—+2——+3—+4——=一则取到红球的个数的数学期望是 20 10 15 6 605,9故而54-3010【分析】sinfa+—^=— a+—利用辅助角公式化简可得(6J5,a的范围可得 6的范围，进而确定cos7Va+—cos7Va+—6cosa=cos的值，由6」，利用两角和差余弦公式可求得结果.【详解】JTv/(x)=V3sinx+cosx=2sin|x+—/./(a)=2sin|a+3sin71CL+—6ae5JTv/(x)=V3sinx+cosx=2sin|x+—/./(a)=2sin|a+3sin71CL+—6ae5,又n5471,/sin7Va+一6nCX,+—£6・•・cosa+工I6cosa=cos7Ta+—6=cosa+—I6cos—+sin

67T71ex,h—Isin—二3

——x5104-36故答案为.I。■y/C4【分析】

(2a2+h2]+(-b2+c2]将分母变为I3113 ),分别利用基本不等式即可求得值.【详解】ab+bc2a2+〃ab+bc2a2+〃+。2ab+bc .ab+be2/+汨+序》2)2南+2gbe4(当且仅当屈h3时取等号),ab+bc 瓜

l/c CE=CF所以存在点尸l/c CE=CF所以存在点尸（＜，°）,使得2 ..•.|l；+zl+l|；-z|=|-O£+OC|+1|OS-OC|=|£c|+l|cs|ICFI+U02且直线8尸的方程为‘-7"+2),即x-岛+2=0,圆心。到直线的距离为1.|CF|+|CB| 幽地所以8尸与圆相切，所以当8,C,/三点共线时， 2取得最小值为2如图，C在G位置时,因为阳=23©8|+匕尸|=25，且2—>26,由椭圆定义可知，此时G在以8,尸为焦点的椭圆上，当C在其他位置时，C在椭圆内部，|CF|+|C8|所以(QI+I5)的值为|C网+|C/|=2>/7,即2的值为史•••支+)+-^|y-z|e[\/3,>/7]

本题轨迹问题与椭圆的定义，用建系的思想解决向量的问题.c=-(1) 3(2)(0,2>/3]【分析】(1)根据内角和公式和二倍角余弦公式化简求角C;(2)由余弦定理可得0力的关系，基本不等式求打的值，根据三角形面积公式求8c面积的取值范围.3TOC\o"1-5"\h\z2cosC-cos2(A+B)=—因为 2,32cosC-cos2C=—所以 2「1, cosC=— ―/八、所以4cos?C-4cosc+1=0,故2,又Ce(0,%)：C=-所以3.在中,由余弦定理可得AC>2=CD。+CA2-在中,因为40=2,所以4所以21所以21, .a~t_2、—H>+4=—+b>ab，当且仅当a=4,6=2时等号成立,所以"48,又必>0,当且仅当°=4,6=2时等号成立,S=-a/>sinC=—afee(0,2x/3]所以“8C面积 2 4(1)证明见解析;3x/7⑵14【分析】(1)取中点尸，连接8尸交"C于点。，连接尸尸，尸°,利用线线垂直证明面P8尸即可；(2)解析1：几何法，先根据线面垂直的性质证明面”PCJ.面PCO,再作O//LPC,证明B到面PCO距离等于。"，进而求得线面夹角的正弦值；解析2：向量法，以°8为x轴，℃为卜轴，。尸为z轴建立空间直角坐标系，求面尸8的法向量，进而求得线面角的正弦值即可(1)取中点尸，连接8尸交"C于点。，连接刊尸。，尸C,由/8=8C=C£)=1,ZO=2,且梯形/8C。，有BC=AF=1且BC"FA,故平行四边形SC",又4B=BC=l,故BCF4为菱形,所以。为"C,8尸的中点，故8FJ./C.又因为P"=PC=G,故尸O_LAC,因为8尸_L/C,P0_L/C,P0n8F=。，B尸,POu面pBF,故4C_L面尸8尸，又BPu面PBF,故4c_L8P.⑵解析1:几何法AO=-,BO=-在aZB厂中，力8=4尸=1,284尸=60。，故2 2,瓜 PO=- PB=— , , ,因为尸4=6,故 2,由2,BpPO+BO-^PB-,即尸。_L80,8尸J,/C,POrMC=O,故8尸J.面4PC,又BFUCD,故8,面/PC,CDu面PCD,故面4PC_L面PC。，作O〃_LPC,面"PCn面尸CO=PC,CWu面ZPC,故CW_L面PC。,

OH=- OH=-在△POC中， 4,因为8尸〃。，故8到面PC。距离等于 4,BE=^L设此与平面PCQ所成角为氏 2,解析2解析2：向量法在“"中，在“"中，AB=AF=\,ZBAF=^i故"。岑叫f- PO=- PB=— , , 2因为尸4=6,故 2,由2,即PO-+8O-=尸炉,即尸OJ.8O,尸O_LZC,BOrMC=O,故尸。，面/BCO,以08为x轴，℃为y轴，。尸为z轴建立空间直角坐标系,尸（。崂,。,东哈。,0尸（。崂,。,东哈。,0）/舄,在2=(-1,0,0),5£,=-1,PC=故G3

T'4设面PCD的法向量为万=(x,y,Z), J3设面PCD的法向量为万=(x,y,Z), J33n-PC^—y——z=02-2n-CD=-x=0 令y=G故万=(O,G,1),所以3ULTr-sin0=|cos<BE-n>|= ——=,7>—x223a/7,故BE与平面PCD所成角的正弦值为14.20.⑴4=2,。2=4,q2”(2)证明见解析【分析】(1)由4+2%+3。3+~+"%=(〃-1)5,+2"得出《,心,再由前〃项和与通项的关系得出数列S,｝的通项公式；.(2)分类讨论”=2左-1,〃=2%两种情况，由分组求和法得出北，再由北，的单调性得出艮<-11证明5T”3.⑴由题意得4+2%+3%+…+k=(〃-1电+2〃，①当“=1时，6=2；当“=2时，a]+2a2=S2+4=at+a2+4^>a2=4当2时，%+2%+3a3+…+ =5-2)S,i+2(n-D,②①-②得，叫=(〃T)S“一(〃-2)S“|+2=S“+(〃-2)见+2=>S,=2a„-2(〃>2),当”=1时，4=2,也适合上式，所以S”=2a“-2(〃eN)所以S,_=2%-2,两式相减得曰=24-1(〃22),所以数列｛4J是以2为首项，2为公比的等比数列，所以4=21⑵数列匕｝为：22,23,25,26,28,2",……，所以奇数项是以4为首项，8为公比的等比数列，偶数项是以8为首项，8为公比的等比数列.所以当"=2"-l("eN)时,4=。|+。2+…+°21=(。|+。3+…+。2*-1)+(。2+。4+…+°2*-2)=(2?+2$+…+ )+(23+26+---+2*-3)=4(1-8)+8{-8J=5^_12TOC\o"1-5"\h\z' 7v 7 1-8 1-8 7 7T_T4"_5-8* 12 3* 12-8* 12所以”“一〒丁 =〒一亍，12-8*12 84"“"一亍」24-1212।不Tn58*12 5-84-12 55-8*-12所以 力一—亍 ，显然T“是关于人的减函数，所以所以当"=2左(AeN*)时，7；=C1+c2+-+c2t=(cl+c3+-+c2*.1)+(c2+c4+-+c2J=0+25+…+231)+0+26+…+产)=3+9=些-2\ 7v 7 1-8 1-8 7 712-8*12 3*+240-8*12所以却广”"〒丁=亍7，40-8412一〒一?40®-12-10। 7Tn12-8*_1212-8*-12 33-8*-3所以7-7 ，显然看是关于人的减函数，所以综上所述,|A^V|=—21.(1) 36(2)7【分析】(1)根据题意易得抛物线与椭圆的方程，联立方程组求得交点坐标进而得弦长公式；(2)设叩-l,PQ:x=〃y+l,联立方程组弦长公式求出H用和归目，根据两直线

|西的交点为尸，建立机，〃之间的关系式，将1尸。1表示为关于m的函数，求出函数的值即可.（1）根据题意得：c-'-L2a_2p_4,I/—?=+2 ..2J匕=1••・抛物线方程：y2=4x,椭圆方程：43一/=4x3x~+16x—12=0,x=—,x=—63 3x~+16x—12=0,x=—,x=—63 （舍）（2）^.AB:x=my-l,PQ:x=ny+^.AB:x=my-l,PQ:x=ny+1,A（占,必）,B（x2,j2）,P（x3,y3）,0（x4,.y4）6m -9“一切+必=―T乂必=,2,所以3小+43m+4弦长公式:"1=g-卜衍匹赛子叵12（/n弦长公式:"1=g-卜衍匹赛子叵12（/n2+l）3m2+4联立户。与抛物线:x= +1y2=4x,整理得：/-4ny-4=0所以％+居=4«,^4=-4弦长公式:|PQ|=，[+”2昆_”|=Jl+〃2j（-4"）」-4（-4）=4（l+n2）[x=my-1PQ:\联立与"=〃y+lm-n尸在抛物线上：^m-n）（加一〃人整理得：加2—“2=],gp„2=m2-l,m2>112M+1）3/+43刎+1） 3 i3 ；6|P0| 4（l+n2）m2（3m2+4）3p+1\__J——23-2---2'... v7/n2+l 2\AB\6JPQ的值为7,当机=±i时取到值.直线与圆锥曲线相交的弦长主要通过联立方程组弦长公式以阴='1+〃上一百或|第=J1+77I凹-闾'k求得，该题中通过求出两直线的交点达到消元的目的是解题的关键.22.(1)°22.(1)°〈机<1,证明见解析1⑵存在，‘-2【分析】(1)求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得到函数的最值，即可求出参数■j~2~H-=1 /(/)= >1加的取值范围，依题意可得山X2-m± ，令 2Vt)t利用导数说明函数的单调性，即可得证；(2)设Mx)=g(x)-lnx+x2-l+l,可得见1)=0,则加(1)=0,求出函数的导函数，即可求出，的值，再利用导数研究函数的单调性，从而得证；(1)ex,e(l-x)4 ,g(x)=-74g(x)=「)解：因为e,所以 e*,令g'(x)>0,得x<l,令g'(x)<°,得x>l,故g(x)在(-8,1)上单调递增，在(1,内)上单调递减.当xe(-co,0)时，g(x)<°且单调递增，当xe