《数学归纳法》教用课件人教版1

新课导入回顾旧知数学归纳法的步骤：(1)证明当n=n0时命题成立；(2)假设当n=k时命题成立，证明n=k+1时命题也成立.新课导入回顾旧知数学归纳法的步骤：(1)证明当n=n0时命题14.1用数学归纳法证明不等式4.1用数学归纳法证明不等式2教学目标知识与能力

会运用数学归纳法证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努力不等式).教学目标知识与能力会运用数学归纳法证明含有任意正整3过程与方法

通过例题的学习，能够证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努力不等式).过程与方法通过例题的学习，能够证明含有任意正整数n的4情感态度与价值观

培养学生严密的逻辑思维能力和严谨的态度.情感态度与价值观培养学生严密的逻辑思维能力和5教学重难点重点难点

会运用数学归纳法证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努利不等式).灵活运用数学归纳法.教学重难点重点难点会运用数学归纳法证明含有任意正整数6例1

观察下面两个数列，从第几项起an

始终小于bn？证明你的结论.{an=n2}:1,4,9,16,25,36,…;{bn=2n}:2,4,8,16,32,64,…《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1例1观察下面两个数列，从第几项起an始7分析由数列的前几项猜想，从第5项起，an<bn即n2<2n(nN+,n≥5)，用数学归纳法证明上述猜想时，第(1)步应该证明n=5的情形.《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1分析由数列的前几项猜想，从第5项起，an<bn即n2<2n(8证明(1)当n=5时，52<25，命题成立.(2)假设n=k(k≥5)时，命题成立，即k2<2k.当n=k+1时，因为(k+1)2=k2+2k+1<k2+3k<2k2<2k+1由(1)(2)知，n2<2n(nN+,n≥5)所以(k+1)2<2k+1,即当n=k+1时命题成立.《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1证明(1)当n=5时，52<25，命题成立.(2)假9例2证明不等式│sinnθ│≤n│sinθ│(nN+)《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1例2证明不等式│sinnθ│≤n│sinθ│(nN+)《10分析

这是个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关，在证明递推关系时，应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式.《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1分析这是个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关11证明(1)当n=1时，左边=右边，命题成立.(2)假设当n=k(k≥1)时命题成立,即有│sinkθ│≤k│sinθ│《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1证明(1)当n=1时，左边=右边，命题成立.(2)假12由(1)(2)可知，不等式对一切正整数n均成立.当n=k+1时，│sin(k+1)θ│=│sinkθcosθ+coskθsinθ│≤│sinkθcosθ│+│coskθsinθ│=│sinkθ││cosθ│+│coskθ││sinθ│≤k│sinθ│+│sinθ│=(k+1)│sinθ│《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1由(1)(2)可知，不等式对一切正整数n均成立.当n=k+113例3证明贝努利不等式：如果x是实数，且x>-1,x0,n为大于1的自然数，那么有(1+x)n>1+nx《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1例3证明贝努利不等式：《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归14分析

贝努利不等式中涉及两个字母，x表示大于-1且不等于0的任意实数,n是大于1的自然数，我们用数学归纳法只能对n进行归纳.《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1分析贝努利不等式中涉及两个字母，x表示大于-1且不等15证明(1)当n=2时，由x≠0得(1+x)2>1+2x,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立，即有(1+x)k>1+kx.当n=k+1时，（1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx）>1+(k+1)x《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1证明(1)当n=2时，由x≠0得(1+x)2>116所以当n=k+1时不等式成立.由(1)(2)可知，贝努利不等式成立.《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1所以当n=k+1时不等式成立.《数学归纳法》教用课件人教版117例4证明：如果n(n为正整数)个正数a1,a2,…,an的乘积a1,a2,…,an，那么它们的和a1+a2…+an=1.《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1例4证明：《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课18

在数学研究中，经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1+x)n缩小为简单的1+nx的形式.这在数值估计和放缩法证明不等式中可以发挥作用.《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1在数学研究中，经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1+19事实上，贝努利不等式的一般形式是：当a是实数，并且满足a>1或者a<0时，有(1+x)a≥1+ax(x>-1);当a是实数，并且满足a>1或者0<a<1时，有(1+x)a≤1+ax(x>-1).《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1事实上，贝努利不等式的一般形式是：当a是实数，并且满足a>120分析

这是与正整数密切相关的不等式，它的形式简洁和谐.用数学归纳法证明它时，应注意利用n个正数的乘积为1的条件，并对什么时归纳假设和由它要递推的目标心中有数.《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1分析这是与正整数密切相关的不等式，它的形式简洁和谐.21证明(1)当n=1时，有a1=1，命题成立.(2)假设当n=k时，命题成立，即若k个正数的乘积a1a2…ak=1，则a1+a2+…+ak≥k.当n=k+1时，已知k+1个正数a1,a2,…,ak满足条件a1a2…ak+1=1.《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1证明(1)当n=1时，有a1=1，命题成立.(2)假22若这k+1个正数a1,a2,…,ak+1都相等，则它们都是1.其和为k+1，命题成立.若这k+1个正数a1,a2,…,ak+1不全相等，则其中必有大于1的数，也有小于1的数.不妨设a1>1,a2<1有归纳假设可得到：a1+a2+…+ak+ak+1≥k(1)《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1若这k+1个正数a1,a2,…,ak+1都相等，则它们都是123我们要证a1+a2+…+ak+ak+1≥k+1(2)由(1)(2)得：a1+a2-a1a2≥1.(3)则(1)+(3)=(2).由于a1>1,a2<1得(a1-1)(a2-1)<0,即a1+a2-a1a2>1.于是目标得证，即：当n=k+1时命题成立.由(1)(2)可知，原命题成立.《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1我们要证a1+a2+…+ak+ak+1≥k+1(2)由24课堂小结

本节用数学归纳法证明不等式通过4个例题由浅入深的讨论如何通过“奠基”“假设和递推”证明含有任意正整数n的不等式.《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1课堂小结本节用数学归纳法证明不等式通过4个例题由浅入25随堂练习1.对任意的nN+,试比较n!与2n-1的大小，证明你的结论.《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1随堂练习1.对任意的nN+,试比较n!与2n-1的大小，26解:对任意的nN+,有n!≥2n-1可用数学归纳法证明此结论.(1)当n=1时，命题成立.(2)假设当n=k(k≥1)时，命题成立.即k!≥2k-1.当n=k+1时，(k+1)!=k!(k+1)≥2k-1(k+1)≥2k.所以，当n=k+1时，命题成立.由(1)(2)知，命题对一切正整数成立.《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1解:对任意的nN+,有n!≥2n-1可用数学归纳法证明此272.用数学归纳法证明：对于任意大于1的正整数n,不等式

都成立.《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版12.用数学归纳法证明：对于任意大于1的正整数n,不等式28《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版129再见《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1再见《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教30新课导入回顾旧知数学归纳法的步骤：(1)证明当n=n0时命题成立；(2)假设当n=k时命题成立，证明n=k+1时命题也成立.新课导入回顾旧知数学归纳法的步骤：(1)证明当n=n0时命题314.1用数学归纳法证明不等式4.1用数学归纳法证明不等式32教学目标知识与能力

会运用数学归纳法证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努力不等式).教学目标知识与能力会运用数学归纳法证明含有任意正整33过程与方法

通过例题的学习，能够证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努力不等式).过程与方法通过例题的学习，能够证明含有任意正整数n的34情感态度与价值观

培养学生严密的逻辑思维能力和严谨的态度.情感态度与价值观培养学生严密的逻辑思维能力和35教学重难点重点难点

会运用数学归纳法证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努利不等式).灵活运用数学归纳法.教学重难点重点难点会运用数学归纳法证明含有任意正整数36例1

观察下面两个数列，从第几项起an

始终小于bn？证明你的结论.{an=n2}:1,4,9,16,25,36,…;{bn=2n}:2,4,8,16,32,64,…《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1例1观察下面两个数列，从第几项起an始37分析由数列的前几项猜想，从第5项起，an<bn即n2<2n(nN+,n≥5)，用数学归纳法证明上述猜想时，第(1)步应该证明n=5的情形.《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1分析由数列的前几项猜想，从第5项起，an<bn即n2<2n(38证明(1)当n=5时，52<25，命题成立.(2)假设n=k(k≥5)时，命题成立，即k2<2k.当n=k+1时，因为(k+1)2=k2+2k+1<k2+3k<2k2<2k+1由(1)(2)知，n2<2n(nN+,n≥5)所以(k+1)2<2k+1,即当n=k+1时命题成立.《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1证明(1)当n=5时，52<25，命题成立.(2)假39例2证明不等式│sinnθ│≤n│sinθ│(nN+)《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1例2证明不等式│sinnθ│≤n│sinθ│(nN+)《40分析

这是个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关，在证明递推关系时，应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式.《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1分析这是个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关41证明(1)当n=1时，左边=右边，命题成立.(2)假设当n=k(k≥1)时命题成立,即有│sinkθ│≤k│sinθ│《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1证明(1)当n=1时，左边=右边，命题成立.(2)假42由(1)(2)可知，不等式对一切正整数n均成立.当n=k+1时，│sin(k+1)θ│=│sinkθcosθ+coskθsinθ│≤│sinkθcosθ│+│coskθsinθ│=│sinkθ││cosθ│+│coskθ││sinθ│≤k│sinθ│+│sinθ│=(k+1)│sinθ│《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1由(1)(2)可知，不等式对一切正整数n均成立.当n=k+143例3证明贝努利不等式：如果x是实数，且x>-1,x0,n为大于1的自然数，那么有(1+x)n>1+nx《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1例3证明贝努利不等式：《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归44分析

贝努利不等式中涉及两个字母，x表示大于-1且不等于0的任意实数,n是大于1的自然数，我们用数学归纳法只能对n进行归纳.《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1分析贝努利不等式中涉及两个字母，x表示大于-1且不等45证明(1)当n=2时，由x≠0得(1+x)2>1+2x,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立，即有(1+x)k>1+kx.当n=k+1时，（1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx）>1+(k+1)x《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1证明(1)当n=2时，由x≠0得(1+x)2>146所以当n=k+1时不等式成立.由(1)(2)可知，贝努利不等式成立.《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1所以当n=k+1时不等式成立.《数学归纳法》教用课件人教版147例4证明：如果n(n为正整数)个正数a1,a2,…,an的乘积a1,a2,…,an，那么它们的和a1+a2…+an=1.《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1例4证明：《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课48

在数学研究中，经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1+x)n缩小为简单的1+nx的形式.这在数值估计和放缩法证明不等式中可以发挥作用.《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1在数学研究中，经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1+49事实上，贝努利不等式的一般形式是：当a是实数，并且满足a>1或者a<0时，有(1+x)a≥1+ax(x>-1);当a是实数，并且满足a>1或者0<a<1时，有(1+x)a≤1+ax(x>-1).《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1事实上，贝努利不等式的一般形式是：当a是实数，并且满足a>150分析

这是与正整数密切相关的不等式，它的形式简洁和谐.用数学归纳法证明它时，应注意利用n个正数的乘积为1的条件，并对什么时归纳假设和由它要递推的目标心中有数.《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1分析这是与正整数密切相关的不等式，它的形式简洁和谐.51证明(1)当n=1时，有a1=1，命题成立.(2)假设当n=k时，命题成立，即若k个正数的乘积a1a2…ak=1，则a1+a2+…+ak≥k.当n=k+1时，已知k+1个正数a1,a2,…,ak满足条件a1a2…ak+1=1.《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1证明(1)当n=1时，有a1=1，命题成立.(2)假52若这k+1个正数a1,a2,…,ak+1都相等，则它们都是1.其和为k+1，命题成立.若这k+1个正数a1,a2,…,ak+1不全相等，则其中必有大于1的数，也有小于1的数.不妨设a1>1,a2<1有归纳假设可得到：a1+a2+…+ak+ak+1≥k(1)《数学归纳法》教用课件人教版1《数学归纳法》教用课件人教版1若这k+1个正数a1,a2,…,ak+1都相等，则它们都是153我们要证a1+a2+…+ak+ak+1≥k+1(2)由(1)(2)得：a1+a2-a1a2≥1.(3)则(1)+(3)=(2).由于a1>1,a2<1得(a1-1)(a2-1)<0,即a1+a2-a1a2>1.于是目