高一数学常见知识点梳理

集合一、集合的含义与表示L集合的概念：一般地，我们把特定的研究对象的总体统称为集合，简称“集”，通常用大写字母4优C,…表示集合；集合中的研究对象叫做这个集合的元素，简称“元”，通常用小写字母a,6,c,…表示.2集合的元素特性(1)确定性:给定一个集合，则任何一个对象是不是这个集合的元素，必须是明确的.(2)互异性:一个给定集合的元素之间必须是互异的，即一个集合中的任意两个元素(对象)应该是不同的，相同对象在构成集合时只能作为一个元素出现在集合中.⑶无序性:集合中的元素是没有顺序的，集合与其中元素的排列次序无关..元素与集合的关系(1)如果a是集合4的元素，就说a属于集合4,记作aeZ.(2)如果a不是集合力的元素，就说a不属于集合4,记作.集合的表示(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合，一般形式是kw/|p(x)},其中x是集合中元素的代表形式，/是元素的取值(或变化)范围，p(x)是这个集合中元素所具有的共同特征.(3)图示法：用数轴或韦恩图来表示集合..常用数集及其记法常用数集一览表掌握打J常用数集简称记法□全体非负整数组成的集合非负整数集(或自然数集)N□所有正整数组成的集合正整数集N'/N+□全体整数组成的集合整数集Z□全体有理数组成的集合有理数集Q□全体实数组成的集合实数集R

二、集合间的基本关系补充说明：若集合4有〃(〃21)个元素，则:⑴力有2"个子集⑵力有2"-1个真子集4有2"-1个非空子集/有2"-2非空真子集

三、集合的基本运算1.交集、并集、补集名称交集并集补集记号AUBCVA意义[x\xeA，且xw8}{x\xeA9或xw团{x\xeU,且xe4}四、含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法1.一元二次不等式的解法判别式△=〃-4acL>0A=0A<0二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象ak¥一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根-b±yjb2-4ac52a（其中X]=X2）X=b"-五无实根ax2+6x+c>0（q>0）的解集{x|x<?%或X>%2}<x\.bv0 >2aRax2+bx+c<0^a>0）的解集{x|X]<X<x2]00

2.分式不等式不等式解集f(x)g(x)/(x)-g(x)>0/（X）/(x)g(x)NO且g(x)HO44<og(x)/(x)g(x)<0/（X）/(x>g(x)40且g(x)wO3.含单绝对值的不等式的解法不等式解集|x|< >0)[x\-a<x<|x|> >0)(x|x<-a,或x>a}\ax+/>|<c(c>0)把ax+b看成一个整体，化成k|<Q（a>0）型求解|ax+6]>c(c>0)把ax+b看成一个整体，化成国>〃（4〉0）型求解函数的概念和性质一、函数及其表示.函数的概念给定两个非空的数集48,如果按照某个确定的对应关系/,使对于集合4中的任意一个数X,在集合8中都有唯一确定的数/(X)和它对应，那么就称对应/：/f8为从集合4到集合8的一个函数，记作y=/(x),xe4.其中x叫做直变量:与x的值相对应的歹值叫做函数值..函数的三要素(1)定义域:自变量x的取值范围Z,叫做函数的定义域.(2)值域:函数值的集合｛y=/(x),xeN｝叫做值域.(3)对应法则:从4到8的对应关系叫做对应法则..同一函数定义域相同、值域相同、对应法则也相同的函数是同一函数..区间的概念设a,b是两个实数,且a<x<b我们规定：(1)满足不等式aWxWb的实数x的集合叫做闭区恒L，表示为［。,可.(2)满足不等式a<x<6的实数x的集合叫做五区恒［,表示为(％b).(3)满足不等式aWx<b或a<x《b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为［a,b),(a,6］.⑷实数集H可以用区间表示为(TO,+00),“00”读作"无穷大”，"-8”读作“负无穷大”，“+8”读作“正无穷大”..函数定义域的求法(1)若/(x)为分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合.(2)若/(x)是偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合.⑶/(X)=的定义域是{x€RIXH0}.(4)若/(X)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各个部分都有意义的实数的集合的交集..函数解析式的求法(1)待定系数法：如果已知函数类型，可设出函数解析式，再代入条件解方程(组)，求出参数确定函数解析式.(2)换元法：已知/(g(x))的解析式，要求的解析式时，可令f=g(x),再求出/⑺的解析式，再将，用x代替即可.⑶配凑法：已知/(g(x))的解析式，要求/(x)的解析式时，从/(g(x))的解析式中配凑出g(x),即用g(x)来表示，再将g(x)用X代替即可.二、函数的基本性质.单调性的定义一般地，设函数/(X)的定义域为/：(1)增函数:如果对于定义域/内某个区间。上的任意两个自变量的值再,々，当再<X2时，都有/(为)</(々)，那么就说函数/(X)在区间。上是埴函数，区间。称为/(X)的单调递增区间;⑵减函数:如果对于定义域/内某个区间。上的任意两个自变量的值项广2，当x,<x2时，都有/&)>/仁)，那么就说函数“X)在区间。上是通函数，区间。称为F(x)的单调递减区间.(3)复合函数的单调性如果函数y=/(")的定义域为Z.函数〃=g(x)的定义域为。，值域为C,且时，称函数/(g(x))为了与g在。上的复合函数，其中"叫中间变量，〃=g(x)叫做内层函数，y=/(“)叫做外层函数。若内外层函数同为增函数或者减函数，则/(g(x))单调递增；若这两个函数一增一减，则/(g(x))为减函数，简称为“同增异减”..奇偶性的定义⑴偶函数:一般地，如果对于函数/(x)的定义域内任意一个x,都有/(—x)=/(x)成立，那么函数就叫做偶函数.(2)奇函数:一般地，如果对于函数/(x)的定义域内任意一个x,都有/(T)=—/(X)成立，那么函数就叫做奇函数.(3)判断函数的奇偶性几个常用结论设〃x),g(x)的定义域分别是A，。2,在他们的公共区域上，有下列结论：

函数奇偶性的运算性质“X)偶函数偶函数奇函数奇函数g(x)偶函数奇函数偶函数奇函数/(x)±g(x)偶函数非奇非偶非奇非偶奇函数/(x)g(x)偶函数奇函数奇函数偶函数基本初等函数一、指数与指数嘉的运算.整数指数爆堂(1)正整数指数嘉定义：an=aaa……a(aeAT,).(2)正整数指数嘉的运算法则：①a-③4加+a"=am~n(m> 0)④(")"=a〃b〃⑶规定a°=l(a*0),aT=5(a#0,〃GN*)..根式(1)根式的概念根式概念一览表掌握打J根式符号表示备注□一般地，如果x"=a,那么x叫做a的"次方根，其中n>\,且〃eN*.无无□当〃为奇数时，正数的〃次方根是一个正数，负数的〃次方根是一个负数Va零的〃次方根是零□当〃为偶数时，正数的〃次方根是有两个，它们互为相反数±\[a(a>0)负数没有偶次方根(2)根式的性质①(折丫=。(当后有意义时)②当〃是奇数时，|\[a"=a;当〃是偶数时，'一Q,Q<0.分数指数第(1)分数指数嘉的意义m ①规定正数的正分数指数嘉的意义是a〃=y[a^[a>0,m,〃gN*且〃>1).②正数的负分数指数累的意义与负整数指数号的意义相仿，my规定a"=—^-(a>Q,m,neN*,S.n>1).an③0的正分数指数嘉等于0,0的负分数指数氟没有意义.(2)有理数指数嘉的运算性质整数指数嘉的运算性质对于有理数指数氟也同样适用，即对于任意有理数r,s,均有下列运算性质：①优・相=ar+s(a>0,r,sgQ)②(优丁=ars(a>0,r,se0)③(a“=arbr(a>0,6〉0,re0)上述有理数指数嘉的运算性质可推广到无理数指数嘉的情况.

二、指数函数及其性质.指数函数的概念一般地，函数、=优（4>0且。旬/€/?）叫做指数函数.三、对数与对数运算.对数的概念与基本性质（1）对数的概念①对数：一般地，如果优=N（a>0且。¥1）,那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log.N,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.②常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，loggN简记为IgN.③自然对数：在科学技术中常使用以无理数e=2.71828••为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，为了简便，log'N简记为InN.（2）对数的基本性质对数loguN（a>0,且aH1）有如下性质:①负数和零没有对数，即N>0.②1的对数是0,Wlogal=0.③底数的对数是1,即log/=l.④对数恒等式：由/=N可得b=log“N,将，=N中的6写成log“N,那么*=从.对数的运算性质如果a>0,且那么：log“(MV)=log“M+log“N,即积的对数等于对数的和.1。&—=log(,M—1。&N,即商的对数等于对数的差.N(3)10瓦""=〃108”“(“€尺)，即指数嘉的对数等于底数的对数的指数倍.底公式及其变形公式对数换底公式为：log"N=g&C(a力均大于0且不等于它的推论有:log/⑴log„6-logAa=l⑵logb"=—\ogabam⑶产;代四、对数函数及其性质1.对数函数的概念一般地，函数yulogoxl〉。,且awl）叫做对数函数，其中X是自变量，对数函数y=log。x的定义域是（0,+oo）.特别地，以10为底的对数函数y=lgx叫做常用对数函数，以e为底的对数函数y=lnx叫做自然对数函数.2.对数函数的图象与性质三角函数一、任意角和弧度制‘正角一逆时针旋转而成的角L任意角（负角一顺时针旋转而成的角零角一射线没旋转而成的角.角a的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，a就叫做第几象限角,终边在坐标轴上的角不是象限角，称之坐标角（或象限界角、轴线角等）..弧度制：半径为r的圆心角a所对弧长为/,则a=，（弧度或/W）.r.与角a（弧度）终边相同的角的集合为{夕|尸=0+2%],〃€2},其意义在于a的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变.注：弧度或%/可省略.两制互化：周角=360°=亚=27（弧度），即〃=180°.r（弧度）=（国）小7.3°=57°18'故在进行两制互化时，只需记忆力=180°,1。=工两个换算单位即可.180.弧长公式：/=a/（a£（0,21]）扇形面积公式：S=—lr=—ar22 2注：关于扇形面积公式的记忆，可以采用类似三角形面积公式的方法，把扇形的弧长类比成三角形的底，半径类比成三角形的高，则有s=1•底.高=!•"2 2二、任意角的三角函数1.定义已知角a终边上的任一点尸（x,y）（非原点O）,则尸到原点O的距离r=\OP\—^x24-j2>0.sina=上,cosa=',tana二）.r r x此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广.类比，对ry,邻nx,斜如下图所示.三、同角三角函数的基本关系、诱导公式.同角三角函数的基本关系平方关系：sin2a+cos2a=1 商数关系：tana=S^ncosa.诱导公式xsina（〃为偶数） cosa（〃为偶数）⑴sMa+*=「ina（〃为奇数） 3（a+叫=「°sa（〃为奇数）tan（a+〃乃）=tana（〃为整数）（2）奇偶性：sin（-«）=-sina,cos（-（z）=cosa,tan（-a）=-tana.，c、.（乃、 （万）• （万）1<2 ） {2J{2 Jtana奇变偶不变，符号看象限①先将诱导三角函数式中的角统一写作〃•王土a2②无论有多大，一律视为锐角，判断〃•王土a所处的象限，并判断题设三角函数

2在该象限的正负③当〃为奇数时，“奇变”，正变余，余变正；当〃为偶数时，"偶不变''函数名保持不变即可.

四、三角函数的图象与性质y=sinxy=cosx在［0,2句上的图象1o...Xi/2万X定义域(-00,4-00)(-00,+00)值域（有界性）[-M][-M]最小正周期（周期性）2乃2/r奇偶性（对称性）奇函数偶函数单调增区间-.7T5. TC2k九——,2攵)十—(I)[2%)一]，2左乃](%gZ)单调减区间2k7T+-,2k7T+—_ 2 2_(左eZ)［2%］，2左加十乃］（女gZ）对称轴方程x—k九+5(左£Z)x=k;r(ksZ)对称中心坐标（左肛0）（左GZ）0)(keZ)最大值及对应自变量值冗x=2k"—时[sinx] =12L 」maxx-2knfttFcosx]=1L Jmax最小值及对应自变量值X[s…3兀、=2k7VH 时2>inx]=-1JminX[*=2k兀+兀时:osx]mi„=T

函数正切函数^=tanx,(xHk"+')•vA i,图象J-K0\n_x定义域<JIx\x^kjr-\--,kgZ>值域(—oo,+oo)周期性T=兀奇偶性奇函数，图象关于原点对称单调性在‘"小畀左不卜eZ）上是单调增函数对称轴无对称中心传，。）S三角恒等变换一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式.两角和与差的余弦公式cos(«-/?)=cosacos夕+sinasin(3cos(«