八年级数学下册同步课件-2

八年级数学下册同步课件-21知识点一

全等三角形的性质与判定判定方法1.定义法:能够完全重合的两个三角形全等

2.SAS:两条边及其夹角对应相等的两个三角形全等

3.ASA:两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等

4.AAS:两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等

5.SSS:三条边对应相等的两个三角形全等性质1.全等三角形的对应边相等

2.全等三角形的对应角相等不能判定三角形全等的两种情况1.SSA:有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等

2.AAA:有三个角对应相等的两个三角形不一定全等知识点一

全等三角形的性质与判定判定方法1.定义法:能2八年级数学下册同步课件-23例1

(2017四川泸州中考)如图1-1-1,点A、F、C、D在同一条直线上,

已知AF=DC,∠A=∠D,BC∥EF,求证:AB=DE.

图1-1-1分析

欲证明AB=DE,只要证明△ABC≌△DEF即可.例1

(2017四川泸州中考)如图1-1-1,点A、F4证明

∵AF=DC,∴AF+FC=DC+FC,∴AC=DF.∵BC∥EF,∴∠ACB=∠DFE.在△ABC和△DEF中,

∴△ABC≌△DEF(ASA),∴AB=DE.证明

∵AF=DC,∴AF+FC=DC+FC,∴AC=5知识点二

等腰三角形的性质及推论

内容几何语言等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等.简述为:等边对等角在△ABC中,若AB=AC,则∠B=∠C

推论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.简述为:三线合一在△ABC中,因为AB=AC,AD平分∠BAC,所以AD⊥BC,BD=CD,或因为AB=AC,AD⊥BC,所以AD平分∠BAC,BD=CD,或因为AB=AC,BD=CD,所以AD平分∠BAC,AD⊥BC

拓展等腰三角形两底角的平分线相等;等腰三角形两腰上的高相等,两腰上的中线相等;底边的中点

到两腰的距离相等

知识点二

等腰三角形的性质及推论内容几何语言等腰三角6例2如图1-1-2所示,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC.(1)求∠ADB的度数;(2)若∠BAC=100°,求∠B,∠C的度数;(3)若BC=3cm,求BD的长.

图1-1-2例2如图1-1-2所示,在△ABC中,AB=AC,AD平分7解析

(1)因为AB=AC,AD平分∠BAC,所以AD⊥BC,所以∠ADB=90°.(2)因为∠BAC=100°,所以∠B+∠C=80°.因为AB=AC,所以∠C=∠B=40°.(3)因为AB=AC,AD平分∠BAC,所以BD=

BC=

×3=1.5(cm).解析

(1)因为AB=AC,AD平分∠BAC,8知识点三

等边三角形的性质定理:等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°.用符号语言表示:如图1-1-3所示,在△ABC中,∵AB=BC=AC,∴∠A=∠B

=∠C=60°.

图1-1-3温馨提示

(1)等边三角形具有等腰三角形的一切性质;(2)等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴.知识点三

等边三角形的性质温馨提示

(1)等边三9例3如图1-1-4,△ABC为等边三角形,P为BC上一点,△APQ为等边三角

形.求证:AB∥CQ.

图1-1-4例3如图1-1-4,△ABC为等边三角形,P为BC上一点,10证明

∵△ABC和△APQ都是等边三角形,∴AB=AC,AP=AQ,∠BAC=∠PAQ=60°,∴∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC,∴∠BAP=∠CAQ.在△ABP和△ACQ中,

∴△ABP≌△ACQ(SAS),∴∠B=∠ACQ,又∵∠B=∠BAC=60°,∴∠BAC=∠ACQ,∴AB∥CQ.证明

∵△ABC和△APQ都是等边三角形,111.等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形

(简述为等角对等边).用符号语言表示:如图1-1-5所示,在△ABC中,

图1-1-5∵∠B=∠C,∴AB=AC.知识点四

等腰三角形的判定2.等腰三角形的判定方法:(1)定义法.(2)判定定理.1.等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角12例4如图1-1-6所示,D为△ABC的边AB的延长线上一点,过D作DF⊥

AC,垂足为F,交BC于E,且BD=BE.求证:△ABC是等腰三角形.

图1-1-6分析

首先依据等腰三角形的性质得到∠BDE=∠BED,然后结合对顶

角的性质可得到∠BDE=∠CEF,依据直角三角形两锐角互余、等角的

余角相等可得到∠A=∠C,最后,再依据等角对等边进行判断即可.例4如图1-1-6所示,D为△ABC的边AB的延长线上一点13证明

∵BD=BE,∴∠BDE=∠BED,又∵∠BED=∠CEF,∴∠BDE=∠CEF,又∵DF⊥AC,∴∠A+∠BDF=90°,∠C+∠CEF=90°,∴∠A=∠C,∴AB=BC(等角对等边),∴△ABC是等腰三角形.证明

∵BD=BE,∴∠BDE=∠BED,14知识点五

反证法先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定

理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立,这种证明

方法叫做反证法.反证法是证明命题成立的一种重要方法.用反证法证明的一般步骤:(1)假设命题的结论不成立;(2)从假设出发,推

导矛盾;(3)否定假设,从而肯定命题的结论成立.知识点五

反证法15证明

假设等腰三角形的底角不是锐角,则底角大于或等于90°.根据等腰三角形的两个底角相等,得两个底角的和大于或等于180°,则该三角形的内角和一定大于180°,这与三角形的内角和定理矛盾,故

假设不成立,所以等腰三角形的底角是锐角.例5用反证法证明等腰三角形的底角是锐角.证明

假设等腰三角形的底角不是锐角,则底角大于或等于916知识点六

等边三角形的判定判定定理:(1)三条边都相等的三角形是等边三角形.(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.拓展延伸

等边三角形的判定方法:(1)利用一般三角形进行判定:

的三角形是等边三角形.(2)利用等腰三角形进行判定:

的等腰三角形是等边三角形.知识点六

等边三角形的判定17例6如图1-1-7,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,BE⊥AC于点D,且DE

=BD,试判断△CBE的形状,并说明理由.

图1-1-7例6如图1-1-7,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=118解析

△CBE是等边三角形.理由如下:证法一:因为AB=BC,BE⊥AC,∠ABC=120°,所以∠CBD=

∠ABC=60°.因为BD=DE,BE⊥AC,所以CD垂直平分BE.所以BC=EC.所以△CBE是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).证法二:因为AB=BC,∠ABC=120°,所以∠ACB=∠A=30°.因为BE⊥AC,BD=DE,所以CD垂直平分BE,∠CBE=60°.所以∠BCD=∠ECD=30°.所以∠BCE=60°.所以△CBE是等边三角形(有两个角是60°的三角形是等边三角形).点拨

当判定一个三角形是等边三角形时,若已知两边相等,一般通过

已知条件再求一个角为60°即可;若只知道角,一般证明有两个角为60°

即可.解析

△CBE是等边三角形.理由如下:所以∠BCD=∠19知识点七

含30°角的直角三角形的性质定理注意

(1)此定理只适用于含有30°角的直角三角形,而非一般的直角三

角形或非直角三角形.(2)应用定理时,要找准30°角所对的直角边,明确斜边.(3)此定理通常用于证明线段的倍分问题.

内容应用格式含30°角的直角三角形的性质定理在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么

它所对的直角边等于斜边的一半在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A=30°,则BC=

AB

知识点七

含30°角的直角三角形的性质定理注意

20例7如图1-1-8,△ABC中,∠BAC=90°,AD是△ABC的高,∠C=30°,BC=4,

求BD的长.

图1-1-8解析

∵在△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,AD是△ABC的高,∴∠ADB=90°,∠B=60°,∴∠BAD=∠C=30°,∴在直角△ABC中,AB=

BC=2,在直角△ABD中,BD=

AB=1.∴BD的长为1.例7如图1-1-8,△ABC中,∠BAC=90°,AD是△21题型一

等腰三角形的判定与性质的综合应用例1如图1-1-9所示,已知△ABC中,AB=AC,BD和CE分别是∠ABC和∠

ACB的平分线,且相交于O点.

图1-1-9(1)试说明△OBC是等腰三角形;(2)连接OA,试判断直线OA与线段BC的关系,并说明理由.题型一

等腰三角形的判定与性质的综合应用例1如图1-22分析

(1)根据“等边对等角”得到∠ABC=∠ACB,再结合角平分线的

定义得到∠OBC=∠BCO,从而证明OB=OC;(2)首先根据全等三角形的

判定和性质得到AO平分∠BAC,再根据等腰三角形的“三线合一”的

性质得到直线OA垂直平分线段BC.分析

(1)根据“等边对等角”得到∠ABC=∠ACB,23解析

(1)证明:在△ABC中,AB=AC,∴∠ABC=∠BCA.∵BD,CE分别平分∠ABC,∠BCA,∴∠ABD=∠OBC,∠ACE=∠BCO,∴∠OBC=∠BCO,∴OB=OC,∴△OBC为等腰三角形.(2)直线OA垂直平分线段BC.理由:在△AOB和△AOC中,

∴△AOB≌△AOC(SSS),∴∠BAO=∠CAO,∴AO平分∠BAC,∴直线OA垂直平分线段BC(等腰三角形顶角的平分线,底边上的高,底边上的中线互相重合).解析

(1)证明:在△ABC中,AB=AC,∴AO平分24题型二

等边三角形的性质与判定的应用例2如图1-1-10所示,点C为线段AB上一点,△ACM与△CBN都是等边

三角形.

图1-1-10(1)如图1-1-10(1)所示,线段AN与线段BM是否相等?证明你的结论;(2)如图1-1-10(2)所示,AN与MC交于点E,BM与CN交于点F,连接EF,试探

究△CEF的形状,并证明你的结论.题型二

等边三角形的性质与判定的应用例2如图1-1-25分析

(1)由等边三角形的性质可以得出△ACN,△MCB的两边及其夹

角分别对应相等,两个三角形全等,得出线段AN与线段BM相等.(2)由平

角的定义得出∠MCN=60°,通过证明△ACE≌△MCF得出CE=CF,根据

等边三角形的判定定理得出△CEF的形状.分析

(1)由等边三角形的性质可以得出△ACN,△MC26解析

(1)相等.证明如下:∵△ACM与△CBN都是等边三角形,∴AC=MC,CN=CB,∠ACM=∠BCN=60°,∴∠ACN=∠MCB,在△ACN和△MCB中,

∴△ACN≌△MCB(SAS),∴AN=BM.(2)△CEF是等边三角形.证明如下:由(1)知△ACN≌△MCB,∴∠CAE=∠CMF.解析

(1)相等.27∵∠ACM=∠BCN=60°,∴∠MCN=60°,在△ACE和△MCF中,

∴△ACE≌△MCF(ASA),∴CE=CF,又∠ECF=60°,∴△CEF是等边三角形.∵∠ACM=∠BCN=60°,28例3如图1-1-11,在等边△ABC中,AE=CD,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD

于点Q.求证:BP=2PQ.

图1-1-11题型三

利用含30°角的直角三角形的性质和等边三角形的性质证明

线段之间的数量关系分析

要证BP=2PQ,由于PQ,BP分别是Rt△PBQ的直角边和斜边,则只

需证出∠PBQ=30°.由已知条件可证△ACD与△BAE全等,进而得出∠

BPQ=60°,也就得到∠PBQ=30°,结论可证.例3如图1-1-11,在等边△ABC中,AE=CD,AD、29证明

∵△ABC为等边三角形,∴AC=BC=AB,∠C=∠BAC=60°.在△ACD和△BAE中,

∴△ACD≌△BAE,∴∠CAD=∠ABE.∵∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°,∴∠ABE+∠BAP=60°,∴∠BPQ=60°.∵BQ⊥AD,∴∠BQP=90°.∴∠PBQ=90°-60°=30°.∴BP=2PQ.点拨

证明一条线段是另一条线段的一半或2倍,常用含30°角的直角三

角形的性质定理.证明

∵△ABC为等边三角形,∴BP=2PQ.点拨

30易错点

解与等腰三角形有关的问题时考虑不全面例等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,求顶角的度数.错解

如图1-1-12,AB=AC,BD⊥AC,∠1=40°,则∠A=90°-40°=50°.

图1-1-12易错点

解与等腰三角形有关的问题时考虑不全面例等腰三31

图1-1-13正解

如图1-1-13(1),当∠A为锐角时,解法如上,∠A=50°.如图1-1-13(2),当∠BAC为钝角时,∠1=40°,则∠2=90°-40°=50°,∴∠BAC=180°-50°=130°.综上得顶角的度数为50°或130°.错因辨析

涉及等腰三角形腰上的高的问题时,要注意分类讨论. 正解

如图1-1-13(1),当∠A为锐角时,解法如32知识点一

全等三角形的性质与判定1.(2018福建龙岩上杭期中)如图1-1-1,△ABC≌△DEF,BE=2,AE=1,则

DE的长是

.

图1-1-1解析

∵BE=2,AE=1,∴AB=BE+AE=2+1=3,∵△ABC≌△DEF,∴DE=AB=3.故答案为3.答案

3知识点一

全等三角形的性质与判定1.(2018福建龙岩332.如图1-1-2,E、A、C三点共线,AB∥CD,∠B=∠E,AC=CD,求证:BC=

ED.

图1-1-2证明

∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ECD.在△ABC和△CED中,

∴△ABC≌△CED(AAS),∴BC=ED.2.如图1-1-2,E、A、C三点共线,AB∥CD,∠B=∠343.(2015江苏苏州中考)如图1-1-3,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,∠

BAD=35°,则∠C的度数为

()

图1-1-3A.35°

B.45°C.55°

D.60°知识点二

等腰三角形的性质及推论答案

C∵AB=AC,D为BC的中点,∴∠CAD=∠BAD=35°,AD⊥DC,∴

在△ADC中,∠C=90°-∠DAC=55°,故选C.3.(2015江苏苏州中考)如图1-1-3,在△ABC中,A354.(2017广东深圳龙岗平湖中学期中)如图1-1-4,在等边三角形ABC中,D

是AC边上的中点,延长BC到点E,使CE=CD,则∠E的度数为

()

图1-1-4A.15°

B.20°

C.30°

D.40°知识点三

等边三角形的性质4.(2017广东深圳龙岗平湖中学期中)如图1-1-4,在等36答案

C∵△ABC是等边三角形,D是AC的中点,∴∠ACB=60°,∴∠

ACE=180°-∠ACB=120°,∵CD=CE,∴∠E=∠CDE,∵∠DCE+∠E+∠CDE=180°,∴2∠E=180°-∠DCE=60°,∴∠E=30°.答案

C∵△ABC是等边三角形,D是AC的中点,∴∠375.如图1-1-5,已知AD是等边三角形ABC的高,且BD=1cm,那么BC的长是

cm.

图1-1-5答案

2解析

在等边△ABC中,∵AD⊥BC,∴BD=

BC=1cm,∴BC=2cm.5.如图1-1-5,已知AD是等边三角形ABC的高,且BD=386.如图1-1-6所示,一条船8时从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北方

向航行,10时到达海岛B处.分别从海岛A,B望灯塔C,测得∠NAC=38°,∠

NBC=76°,则海岛B到灯塔C的距离为

.

图1-1-6知识点四

等腰三角形的判定答案

30海里解析

由已知得AB=(10-8)×15=30海里,∵∠NBC=∠A+∠C=76°,∠A=38°,∴∠C=76°-38°=38°,∴∠C=∠A,∴BC=AB=30海里.6.如图1-1-6所示,一条船8时从海岛A出发,以15海里/397.(2018云南期中)如图1-1-7,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,

∠BAC的平分线分别交BC、CD于E、F.试说明△CEF是等腰三角形.

图1-1-77.(2018云南期中)如图1-1-7,已知Rt△ABC中,40证明

∵∠ACB=90°,∴∠B+∠BAC=90°.∵CD⊥AB,∴∠CAD+∠ACD=90°.∴∠ACD=∠B.∵AE是∠BAC的平分线,∴∠CAE=∠EAB.∵∠EAB+∠B=∠CEA,∠CAE+∠ACD=∠CFE,∴∠CFE=∠CEF,∴CF=CE,∴△CEF是等腰三角形.证明

∵∠ACB=90°,∴∠B+∠BAC=90°.418.已知:△ABC的三个内角分别是∠A,∠B,∠C.求证:∠A,∠B,∠C中至少有一个角大于或等于60°.知识点五

反证法证明

假设∠A,∠B,∠C中没有一个角大于或等于60°,即∠A<60°,∠B<60°,∠C<60°,∴∠A+∠B+∠C<60°×3=180°,根据三角形内角和定理可知∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A+∠B+∠C<180°与∠A+∠B+∠C=180°相矛盾,∴假设不成立,即原命题正确.8.已知:△ABC的三个内角分别是∠A,∠B,∠C.知识点五429.等腰三角形补充下列条件后,仍不一定是等边三角形的是

()A.有一个内角是60°B.有一个外角是120°C.有两个角相等D.腰与底边相等知识点六

等边三角形的判定答案

C

A选项是判定定理,故能判定;B选项可得有一个内角为60°,故

B选项也能判定;等腰三角形有两个底角相等,故C选项不能判定为等边

三角形;D选项中腰与底边相等,得出三角形的三边相等,故此三角形为

等边三角形.9.等腰三角形补充下列条件后,仍不一定是等边三角形的是

4310.将一副三角尺按如图1-1-8所示叠放在一起,若AB=14cm,则阴影部分

的面积是

cm2.

图1-1-8知识点七

含30°角的直角三角形的性质定理答案

10.将一副三角尺按如图1-1-8所示叠放在一起,若AB=144解析

在Rt△ABC中,∠B=30°,AB=14cm,∴AC=

AB=7cm,又∵∠E=∠ACB=90°,∴BC∥ED,如图,设AD与BC交于点F,则∠AFC=∠D=45°,∴

AC=FC=7cm,∴S阴影=

×7×7=

cm2.

解析

在Rt△ABC中,∠B=30°,AB=14cm4511.如图1-1-9,在△ABC中,AB=AC,AE⊥AB交BC于点E,∠BAC=120°,AE=

3cm,求BC的长.

图1-1-911.如图1-1-9,在△ABC中,AB=AC,AE⊥AB交46解析

∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠BAC=120°,∴∠B=∠C=

(180°-∠BAC)=30°.∵AE⊥AB,∴∠BAE=90°,∴∠EAC=∠BAC-∠BAE=120°-90°=30°,∴∠C=∠EAC,∴EC=AE=3cm.∵在Rt△ABE中,∠B=30°,∴BE=2AE=6cm.∴BC=BE+EC=6+3=9(cm).解析

∵AB=AC,∴∠B=∠C.471.下列三角形:①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰

三角形;③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④一腰

上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形,其中是等边三角形的为

()A.①②③

B.①②④

C.①③

D.①②③④1.下列三角形:①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于48答案

D①三角形的两个角等于60°,则第三个角也等于60°,这个三角

形是等边三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形,这是

等边三角形的判定定理;③三角形的三个外角(每个顶点处各取一个外

角)都相等时,三个内角相等,都为60°,这个三角形是等边三角形;④由

“一腰上的中线也是这条腰上的高”知这个等腰三角形的腰长与底边

长相等,所以这个三角形是等边三角形.答案

D①三角形的两个角等于60°,则第三个角也等于492.若等腰三角形的顶角为40°,则它的底角的度数为

()A.40°

B.50°

C.60°

D.70°答案

D因为等腰三角形的两个底角相等,顶角是40°,所以其底角为

=70°.故选D.2.若等腰三角形的顶角为40°,则它的底角的度数为 ()503.(2016河南平顶山宝丰五校联考)下列能判断△ABC为等腰三角形的

是

()A.∠A=30°,∠B=60°

B.∠A=50°,∠B=80°C.AB=AC=2,BC=4

D.AB=3,BC=7,周长为13答案

B

A选项中,若∠A=30°,∠B=60°,则∠C=90°,△ABC是直角三角

形.B选项中,若∠A=50°,∠B=80°,则∠C=50°=∠A,∴△ABC为等腰三角形.C选项中,若AB=AC=2,BC=4,则不能构成三角形.D选项中三条线段也不能构成三角形.3.(2016河南平顶山宝丰五校联考)下列能判断△ABC为等514.如图,已知∠3=∠4,要说明△ABC≌△DCB.(1)若以“SAS”为依据,则需添加一个条件是

;(2)若以“AAS”为依据,则需添加一个条件是

;(3)若以“ASA”为依据,则需添加一个条件是

.

答案

(1)AC=DB(2)∠5=∠6(3)∠ABC=∠DCB(或∠1=∠2)4.如图,已知∠3=∠4,要说明△ABC≌△DCB.答案

52解析

△ABC和△DCB有一条公共边BC,又已知一组角相等,则以

“SAS”为依据,需要再加一组边相等,观察题图中边角关系知要添加

的一个条件是AC=DB;以“AAS”为依据,需添加一组角相等,观察题图

中边角关系知要添加的一个条件是∠5=∠6;以“ASA”为依据,需添加

一组角相等,观察题图中边角关系知要添加的一个条件是∠ABC=∠

DCB.又∵∠3=∠4,∴添加∠1=∠2也可.解析

△ABC和△DCB有一条公共边BC,又已知一组角535.用反证法证明“三角形中至多有1个钝角”时,第一步的假设是

.答案

三角形中至少有2个钝角解析

第一步的假设是提出与结论相反的假设.5.用反证法证明“三角形中至多有1个钝角”时,第一步的假设是546.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB+BC=12cm,则AB等于

cm.答案

8解析

设BC=xcm,∵∠C=90°,∠A=30°,∴AB=2BC=2xcm,∵AB+BC=12cm,∴2x+x=12,∴x=4,∴AB=8cm.6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB557.(2017四川内江中考,18)如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE

∥AC.求证:△BDE是等腰三角形.

7.(2017四川内江中考,18)如图,AD平分∠BAC,A56证明

如图,∵DE∥AC,∴∠1=∠3.∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3.∵AD⊥BD,∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°,∴∠B=∠BDE,∴BE=DE,∴△BDE是等腰三角形.

证明

如图,∵DE∥AC,∴∠1=∠3.571.(2018北京期末)已知,如图1-1-10,△ABC中,AB=AC,BE=CD,BD=CF,则

∠EDF=

()

图1-1-10A.2∠A

B.90°-2∠AC.90°-∠A

D.90°-

∠A1.(2018北京期末)已知,如图1-1-10,△ABC中,58答案

D∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵BD=CF,BE=CD,∴△BDE≌△CFD,∴∠BDE=∠CFD,∴∠EDF=180°-(∠BDE+∠CDF)=180°-(∠CFD+∠CDF)=180°-(180°-

∠C)=∠C,∵∠A+∠B+∠C=180°,∠B=∠C,∴∠A+2∠EDF=180°,∴∠EDF=90°-

∠A.故选D.答案

D∵AB=AC,∴∠B=∠C,592.等腰△ABC的顶角A为120°,过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于

E,交BA的延长线于F,则△AEF是

()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰但非等边三角形2.等腰△ABC的顶角A为120°,过底边上一点D作底边BC60答案

A如图,∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠AEF=∠DEC=90°-∠C,∠F=90°-∠B,∴∠AEF=∠F,即AE=AF.又∵∠BAC=120°,∴∠FAE=60°.∴△AEF是等边三角形.故选A.

答案

A如图,∵AB=AC,∴∠B=∠C.613.如图1-1-11所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A、B是

两格点,如果C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则点C共有

()

图1-1-11A.6个

B.7个

C.8个

D.9个3.如图1-1-11所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点62答案

C要使△ABC为等腰三角形,可以使AC=BC或AC=AB或BC=

AB.当AC=BC时,点C在线段AB的垂直平分线上,可以找到4个符合题意

的点C;当AC=AB时,可以找到2个符合题意的点C;当BC=AB时,也可找到

2个符合题意的点C.故符合题意的点C共有8个.答案

C要使△ABC为等腰三角形,可以使AC=BC或634.(2016陕西西安七十中月考)如图1-1-12,已知:∠MON=30°,点A1、A2、

A3、…在射线ON上,点B1、B2、B3、…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A

3、△A3B3A4、…均为等边三角形,若OA1=1,则△A6B6A7的边长为

(

)

图1-1-12A.6

B.12

C.32

D.644.(2016陕西西安七十中月考)如图1-1-12,已知:∠64答案

C∵△A1B1A2是等边三角形,∴∠A1B1A2=∠B1A1A2=60°,A1B1=A1A2=B1A2.又∵∠O=30°,∴∠OB1A1=∠B1A1A2-∠O=30°,∴A1B1=OA1=1,∠OB1A2=90°.∴B1A2=

OA2=1.同理,B2A3=

OA3=2,B3A4=

OA4=4.……∴B6A7=25=32.答案

C∵△A1B1A2是等边三角形,655.如图1-1-13,E在△ABC的AC边的延长线上,D点在AB边上,DE交BC于

点F,DF=EF,BD=CE.求证:△ABC是等腰三角形.

图1-1-135.如图1-1-13,E在△ABC的AC边的延长线上,D点在66证明

过点D作DG∥AC交BC于点G,如图所示.∵DG∥AC,∴∠GDF=∠E,∠DGB=∠ACB.在△GDF和△CEF中,

∴△GDF≌△CEF(ASA),∴GD=CE.∵BD=CE,∴BD=GD,∴∠B=∠DGB=∠ACB,∴△ABC是等腰三角形.证明

过点D作DG∥AC交BC于点G,如图所示.∴GD671.如图,过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P作PE⊥AC于E,Q为BC

延长线上一点,当PA=CQ时,连接PQ交AC于D,则DE的长为

()

A.

B.

C.

D.

1.如图,过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P作PE⊥A68答案

A过P作PF∥BC交AC于F,如图所示.∵PF∥BC,△ABC是等边三角形,

∴∠PFD=∠QCD,△APF是等边三角形,∴AP=PF=AF.∵PE⊥AC,∴AE=EF,∵AP=PF,AP=CQ,∴PF=CQ.答案

A过P作PF∥BC交AC于F,如图所示.69在△PFD和△QCD中,

∴△PFD≌△QCD(AAS),∴FD=CD.∵AE=EF,∴EF+FD=AE+CD,∴AE+CD=DE=

AC,∵AC=1,∴DE=

.故选A.在△PFD和△QCD中, 702.(2017黑龙江哈尔滨中考模拟)等腰三角形的一个内角为70°,它一腰上

的高与底边所夹的角的度数为

.答案

35°或20°解析

在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC.①当∠A=70°时,∠ABC=∠C=55°,∵BD⊥AC,∴∠DBC=90°-55°=35°;②当∠C=70°时,∵BD⊥AC,∴∠DBC=90°-70°=20°.故答案为35°或20°.2.(2017黑龙江哈尔滨中考模拟)等腰三角形的一个内角为7713.(2018广西玉林北流扶新月考)如图所示是两块完全一样的含30°角的

三角板,分别记作△ABC和△A1B1C1,现将两块三角板重叠在一起,设较

长直角边的中点为M,绕中点M转动三角板ABC,使其直角顶点C恰好落

在三角板A1B1C1的斜边A1B1上,当∠A=30°,AC=10时,两直角顶点C,C1间

的距离是

.

3.(2018广西玉林北流扶新月考)如图所示是两块完全一样的72答案

5解析

如图,连接CC1,

∵两块三角板重叠在一起,较长直角边的中点为M,∴M是AC、A1C1的中点,AC=A1C1,∴CM=A1M=C1M=

AC=5,∴∠A1=∠A1CM=30°,∴∠CMC1=60°,∴△CMC1为等边三角形,∴CC1=CM=5,即两直角顶点C,C1间距离是5.答案

5解析

如图,连接CC1,∴∠CMC1=6734.(2018江苏徐州沛县期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=40°,在

直线AC上找点P,使△ABP是等腰三角形,则∠APB的度数为

.

答案

20°或40°或70°或100°4.(2018江苏徐州沛县期中)如图,在△ABC中,∠ACB74解析

如图,∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=40°,∴当AB=BP1时,∠BAP1=∠BP1A=40°;当AB=AP3时,∠ABP3=∠AP3B=

∠BAC=

×40°=20°;当AB=AP4时,∠ABP4=∠AP4B=

×(180°-40°)=70°;当AP2=BP2时,∠BAP2=∠ABP2,∴∠AP2B=180°-40°×2=100°.∴∠APB的度数为20°或40°或70°或100°.

解析

如图,∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B755.如图,已知等边△ABC中,点D是AB的中点,过点D作DF⊥AC,垂足为点

F.过点F作FH⊥BC,垂足为点H,若等边△ABC的边长为4,求BH的长.

5.如图,已知等边△ABC中,点D是AB的中点,过点D作DF76解析

∵△ABC是等边三角形,∴AC=AB=4,∠C=∠A=60°.∵DF⊥AC,∴∠ADF=90°-60°=30°,∵D是AB的中点,∴AD=

AB=2,∴在Rt△ADF中,AF=

AD=1,∴FC=AC-AF=3.∵FH⊥BC,∴∠CFH=90°-∠C=30°,∴HC=

FC=

,∴BH=BC-HC=4-

=

.解析

∵△ABC是等边三角形,77一、选择题1.(2018河南郑州实验学校期中,10,★☆☆)如图1-1-14,在四边形ABCD

中,对角线AC与BD相交于点E,若AC平分∠DAB,且AB=AC,AC=AD,有如

下四个结论:①AC⊥BD;②BC=DC;③∠DBC=∠DAC;④△ABD是等边

三角形.则正确的结论是

()

图1-1-14A.①②③

B.①②④

C.①②

D.①②③④一、选择题A.①②③

B.①②④

C.①②78答案

C∵AB=AC,AC=AD,∴AB=AD,又∵AC平分∠DAB,∴AC⊥BD(等腰三角形三线合一),①正确;由已知条件根据“SAS”,可

证得△ABC≌△ADC,∴BC=DC,故②正确;③④无法判定,故选C.答案

C∵AB=AC,AC=AD,∴AB=AD,792.(2018重庆十一中期中,11,★☆☆)如图1-1-15,D为△ABC内一点,CD平

分∠ACB,BE⊥CD,垂足为点D,交AC于点E,∠A=∠ABE,若AC=10,BC=6,

则BD的长为

()

图1-1-15A.5

B.3

C.4

D.22.(2018重庆十一中期中,11,★☆☆)如图1-1-1580答案

D∵∠A=∠ABE,∴AE=BE,∵CD平分∠ACB,∴∠BCD=∠ECD,∵BE⊥CD,∴∠BDC=∠EDC=90°,又∵DC=DC,∴△BDC≌EDC(ASA),∴EC=BC=6,BD=ED,∴BE=AE=AC-EC=10-6=4,∴BD=

BE=2,故选D.答案

D∵∠A=∠ABE,∴AE=BE,81二、填空题3.(2017广东深圳锦华实验学校第一次月考,14,★★☆)如图1-1-16,在等

边△ABC中,AD=BE,BD、CE交于点P,CF⊥BD于F,若PF=3cm,则CP=

cm.

图1-1-16答案

6二、填空题答案

682解析

在等边三角形ABC中,AB=BC,∠A=∠EBC=60°.又AD=BE,∴△ADB≌△BEC(SAS),∴∠ABD=∠BCE,∴∠DPC=∠PBC+∠PCB=∠ABP+∠CBP=60°,又∵FC⊥BD,∴∠PCF=30°,∴PC=2PF=6cm.解析

在等边三角形ABC中,AB=BC,∠A=∠EBC83三、解答题4.(2018山东济南章丘期中,28,★☆☆)在△ABC中,AB=AC,点D是BC上

一点(不与B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠

DAE=∠BAC,连接CE.(1)如图1-1-17①,若△ABC是等边三角形,且AB=AC=2,点D在线段BC上.①求证:∠BCE+∠BAC=180°;②当四边形ADCE的周长取最小值时,求BD的长;(2)若∠BAC≠60°,当点D在射线BC上移动时,如图1-1-17②,∠BCE和∠

BAC之间有怎样的数量关系?并说明理由.图1-1-17三、解答题图1-1-1784解析

(1)①证明:∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE,又∵AB=AC,AD=AE,∴△ABD≌△ACE,∵△ABC是等边三角形,∴∠ACE=∠ABD=∠BAC=∠ACB=60°,∴∠BCE+∠BAC=∠BCA+∠ACE+∠BAC=180°.②∵△ABD≌△ACE,∴BD=CE,四边形ADCE的周长=AD+DC+CE+AE=AD+DC+BD+AE=BC+2AD.∴当AD最短,即AD⊥BC时,四边形ADCE的周长最小.∵△ABC是等边三角形,AD⊥BC,解析

(1)①证明:∵∠BAC=∠DAE,85∴BD=

CB=1.(2)∠BCE+∠BAC=180°.理由如下:如图,∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE.又∵AB=AC,AD=AE,∴△ABD≌△ACE,∴∠ADB=∠AEC,∵∠AFE=∠CFD,∴∠EAF=∠ECD,∵∠BAC=∠FAE,∴∠BAC=∠ECD,又∵∠BCE+∠ECD=180°,∴∠BCE+∠BAC=180°.∴BD= CB=1.861.(2017河北唐山玉田期末,11,★★☆)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD

是斜边AB上的高,∠ACD=30°,那么下列结论正确的是

()

A.AD=

CD

B.AC=

ABC.BD=

BC

D.CD=

AB1.(2017河北唐山玉田期末,11,★★☆)如图,Rt△A87答案

B∵∠ADC=90°,∠ACD=30°,∴AD=

AC,A错误;∵∠ACD+∠A=90°,∠B+∠A=90°,∴∠ACD=∠B=30°,∴AC=

AB,B正确;BD≠

BC,CD=

BC,C、D错误.故选B.答案

B∵∠ADC=90°,∠ACD=30°,∴AD882.(2016山西农大附中水平测试,9,★☆☆)已知:在△ABC中,AB≠AC,求

证:∠B≠∠C.若用反证法来证明这个结论,可以假设

()A.∠A=∠B

B.AB=BCC.∠B=∠C

D.∠A=∠C答案

C反证法的第一步是提出与结论相反的假设.2.(2016山西农大附中水平测试,9,★☆☆)已知:在△A893.(2018辽宁灯塔二中期中,15,★☆☆)如图,△ABC为等边三角形,BD⊥

AB,BD=AB,则∠DCB=

.

答案

15°3.(2018辽宁灯塔二中期中,15,★☆☆)如图,△ABC90解析

∵BD⊥AB,∴∠ABD=90°,∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,AB=BC,∴∠DBC=∠ABD+∠ABC=150°,又∵BD=AB,∴BD=BC,∴∠DCB=∠CDB=

=15°.解析

∵BD⊥AB,∴∠ABD=90°,914.(2018江西吉安第二次质检,15,★☆☆)操作实践:在△ABC中,已知∠A

=90°,∠B=22.5°,请画出一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形,并标

出分割成的两个等腰三角形底角的度数.(要求用两种不同的分割方法)

解析

如图所示.

4.(2018江西吉安第二次质检,15,★☆☆)操作实践:在925.(2016江西崇仁二中期中,23,★★★)已知,M是等边△ABC边BC上的点.(1)如图1,过点M作MN∥AC,交AB于点N,求证:BM=BN;(2)如图2,连接AM,过点M作∠AMH=60°,MH与∠ACB的邻补角的平分线

交于点H,过H作HD⊥BC于点D.①求证:MA=MH;②猜想CB,CM,CD之间的数量关系式,并加以证明;(3)如图3,(2)中其他条件不变,若点M在BC的延长线上时,(2)中两个结论

还成立吗?若不成立,请直接写出新的数量关系式(不必证明).5.(2016江西崇仁二中期中,23,★★★)已知,M是等边93解析

(1)证明:∵在等边△ABC中,MN∥AC,∴∠BMN=∠C=60°,∠BNM=∠A=60°,∴∠BMN=∠BNM,∴BM=BN.(2)①证明:过点M作MN∥AC交AB于N,则BM=BN,∠ANM=120°,∠NMC=120°.∵AB=BC,∴AN=MC,∵CH是∠ACB的邻补角的平分线,所以∠ACH=60°,∴∠MCH=∠ACB+∠ACH=120°,又∵∠NMC=120°,∠AMH=60°,∴∠HMC+∠AMN=60°.又∵∠MAN+∠AMN=∠BNM=60°,解析

(1)证明:∵在等边△ABC中,MN∥AC,94∴∠HMC=∠MAN,在△AMN和△MHC中,

∴△AMN≌△MHC(ASA),∴MA=MH.

②CB=CM+2CD.证明:过点M作MG⊥AB于G,∵△AMN≌△MHC,∴MN=HC,∴∠HMC=∠MAN,95∵MN=MB,∴HC=BM,∵在Rt△BMG中,∠B=60°,∴∠GMB=30°,∴BM=2BG,在△BMG和△CHD中,

∴△BMG≌△CHD(AAS),∴CD=BG,∴BM=2CD.∴CB=MC+BM=MC+2CD.(3)(2)中结论①成立,②不成立,CB=2CD-CM.∵MN=MB,∴HC=BM,96一、选择题1.(2018山东淄博中考,11,★☆☆)如图1-1-18,在Rt△ABC中,CM平分∠

ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN

=1,则BC的长为

()

图1-1-18A.4

B.6

C.4

D.8一、选择题A.4

B.6

C.4 

97答案

B∵CM平分∠ACB,MN∥BC,且MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NMC=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC,∴∠ACB=2∠B,NM=NC,∵∠BAC=90°,∴∠B=30°,∴∠AMN=30°,∵∠A=90°,∴MN=2AN=2,∴NC=MN=2,AC=AN+NC=3,又∵∠B=30°,∠A=90°,∴BC=2AC=6.答案

B∵CM平分∠ACB,MN∥BC,且MN平分∠98二、填空题2.(2018黑龙江哈尔滨中考,19,★☆☆)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,

点D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADC的度数为

.答案

90°或130°二、填空题答案

90°或130°99解析

∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,∴∠B=∠C=40°,∵点D在BC边上,△ABD为直角三角形,∴当∠BAD=90°时,如图(1),则∠ADB=90°-∠B=50°,∴∠ADC=130°;当∠ADB=90°时,如图(2),则∠ADC=90°,故答案为90°或130°.

解析

∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,1001.(2016河北中考,16,★★★)如图,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.

若点M,N分别在OA,OB上,且△PMN为等边三角形,则满足上述条件的△

PMN有

()

A.1个

B.2个

C.3个

D.3个以上1.(2016河北中考,16,★★★)如图,∠AOB=120101答案

D如图所示,过点P分别作OA,OB的垂线,垂足分别为C,D,连接

CD,则△PCD为等边三角形.在OC,DB上分别取M,N,使CM=DN,则△

PCM≌△PDN,所以∠CPM=∠DPN,PM=PN,∠MPN=60°,则△PMN为等

边三角形,因为满足CM=DN的M,N有无数对,所以满足题意的三角形有

无数个.

答案

D如图所示,过点P分别作OA,OB的垂线,垂足1022.(2015浙江义乌中考,13,★★☆)由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的

时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套

进衣服后松开即可.如图①,衣架杆OA=OB=18cm,若衣架收拢时,∠AOB

=60°,如图②,则此时A,B两点之间的距离是

cm.

2.(2015浙江义乌中考,13,★★☆)由于木质衣架没有柔103解析

OA=OB,衣架收拢时,∠AOB=60°,连接AB,则△AOB是等边三角形,∴AB=OA=OB=18cm,故答案为18.答案

18解析

OA=OB,衣架收拢时,∠AOB=60°,连接A1043.(2018陕西中考,18,5分,★★☆)如图,AB∥CD,E、F分别为AB、CD上

的点,且EC∥BF,连接AD,分别与EC、BF相交于点G、H.若AB=CD,求

证:AG=DH.

3.(2018陕西中考,18,5分,★★☆)如图,AB∥CD105证明

∵AB∥CD,∴∠A=∠D.∵EC∥BF,∴∠BHA=∠CGD.在△ABH和△DCG中,∵AB=CD,∠A=∠D,∠AHB=∠CGD,∴△ABH≌△DCG,∴AH=DG,∴AG=DH.证明

∵AB∥CD,∴∠A=∠D.1064.(2018辽宁沈阳中考,24,★★★)已知:△ABC是等腰三角形,CA=CB,0°<

∠ACB≤90°,点M在边AC上,点N在边BC上(点M、点N不与所在线段端

点重合),BN=AM,连接AN,BM.射线AG∥BC,延长BM交射线AG于点D,点

E在直线AN上,且AE=DE.(1)如图,当∠ACB=90°时:①求证:△BCM≌△ACN;②求∠BDE的度数;(2)当∠ACB=α,其他条件不变时,∠BDE的度数是

;(用含α的代

数式表示)4.(2018辽宁沈阳中考,24,★★★)已知:△ABC是等107

备用图1备用图2(3)若△ABC是等边三角形,AB=3

,点N是BC边上的三等分点,直线ED与直线BC交于点F,请直接写出线段CF的长. (3)若△ABC是等边三角形,AB=3 ,点N是BC边上的108解析

(1)①证明:∵CA=CB,BN=AM,∴CB-BN=CA-AM,即CN=CM,∵BC=AC,∠MCB=∠ACN,CM=CN,∴△BCM≌△ACN.②∵△BCM≌△ACN,∴∠MBC=∠NAC,∵EA=ED,∴∠EAD=∠EDA,∵AG∥BC,∴∠GAC=∠ACB=90°,∠ADB=∠DBC,解析

(1)①证明:∵CA=CB,BN=AM,109∴∠ADB=∠NAC,∴∠ADB+∠EDA=∠NAC+∠EAD=180°-90°=90°,∴∠BDE=90°.(2)α或180°-α.(3)4

或

.∴∠ADB=∠NAC,1101.我们知道,利用三角形全等可以证明两条线段相等,但是我们会碰到这

样的“和差”问题:“如图1-1-19(1)所示,AD为△ABC的高,∠ABC=2∠

C,求证CD=AB+BD”.我们可以用“截长补短”的方法将这类问题转化

为证明两条线段相等的问题.在CD上截取DE=BD,连接AE.

图1-1-19(1)请补写完这个证明;(2)如图1-1-19(2)所示,AD平分∠BAC,∠ABC=2∠C,运用上述方法证明

BD=AC-AB.1.我们知道,利用三角形全等可以证明两条线段相等,但是我们会111证明

(1)在CD上截取DE=BD,连接AE,∵AD⊥BC,易得AB=AE,∴∠B=∠AEB,∵∠B=2∠C,∠AEB=∠C+∠EAC,∴∠C=∠EAC,∴EC=AE=AB,∴CD=CE+DE=AB+BD.(2)如图所示,在AC上截取AE=AB,连接DE,

证明

(1)在CD上截取DE=BD,连接AE,112∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,在△BAD和△EAD中,∵AD=AD,∠1=∠2,AB=AE,∴△BAD≌△EAD(SAS),∴BD=DE,∠B=∠AED,∵∠B=2∠C,∠AED=∠C+∠EDC,∴∠C=∠EDC,∴DE=EC=DB,∵AC-AE=EC,EC=BD,AE=AB,∴BD=AC-AB.∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,1132.如图1-1-20,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α.以OC为

一边作等边三角形OCD,连接AD.(1)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;(2)当α为多少度时,△AOD是等腰三角形?

图1-1-202.如图1-1-20,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=1114解析

(1)△AOD是直角三角形.理由如下:∵△OCD是等边三角形,∴OC=CD,∠OCD=∠ODC=60°,又∵△ABC是等边三角形,∴BC=AC,∠ACB=60°,∵∠ACB=∠OCD=60°,∴∠BCO=∠ACD.在△BOC与△ADC中,

∴△BOC≌△ADC,∴∠BOC=∠ADC=150°,解析

(1)△AOD是直角三角形.理由如下:115∴∠ADO=150°-60°=90°.∴△AOD是直角三角形.(2)由(1)得,∠ADO=α-60°,结合题图易知∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α,∴∠OAD=180°-(α-60°)-(190°-α)=50°.①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO,∴190°-α=α-60°,∴α=125°.②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO,∴50°=α-60°,∴α=110°.③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD,∴50°=190°-α,∴α=140°.综上,当α为110°或125°或140°时,△AOD是等腰三角形.∴∠ADO=150°-60°=90°.∴50°=190°-α116如图,△ABC中,AB=BC=AC=12cm,现有两点M、N分别从点A、点B

同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1cm/s,点N的速度为2

cm/s.当点N第一次到达B点时,M、N同时停止运动.(1)点M、N运动几秒后,M、N两点重合?(2)点M、N运动几秒后,可得到等边三角形AMN?(3)当点M、N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰三角形

AMN?如果能,请求出此时M、N运动的时间.如图,△ABC中,AB=BC=AC=12cm,现有两点M117解析

(1)设点M、N运动x秒后,M、N两点重合,则x×1+12=2x,解得x=12,

故点M、N运动12秒后,M、N两点重合.(2)设点M、N运动t秒后,可得到等边三角形AMN,如图①,

图①AM=t×1=tcm,AN=AB-BN=(12-2t)cm,∵△AMN是等边三角形,∴t=12-2t,解得t=4,∴点M、N运动4秒后,可得到等边三角形AMN.解析

(1)设点M、N运动x秒后,M、N两点重合,则x118(3)当点M、N在BC边上运动时,可以得到以MN为底边的等腰三角形

AMN.由(1)知12秒时M、N两点重合,恰好在C处,∴超过12秒后,M、N都

在BC上,且N更靠近B.如图②,假设△AMN是等腰三角形,

图②则AN=AM,∴∠AMN=∠ANM,∴∠AMC=∠ANB,(3)当点M、N在BC边上运动时,可以得到以MN为底边的等腰119∵AB=BC=AC,∴△ACB是等边三角形,∴∠C=∠B,在△ACM和△ABN中,

∴△ACM≌△ABN,∴CM=BN,此时,设M、N运动的时间为y秒,则CM=(y-12)cm,NB=(36-2y)cm,∴y-12=36-2y,解得y=16.故假设成立.∴当点M、N在BC边上运动时,能得到以MN为底边的等腰三角形AMN,

此时M、N运动的时间为16秒.∵AB=BC=AC,120八年级数学下册同步课件-2121知识点一

全等三角形的性质与判定判定方法1.定义法:能够完全重合