五年级上册数学讲义-同步讲练：多边形的面积（含答案解析）人教版

多边形的面积1．通过对学生观察\注意力的有效训练，促使学生集中精神学习，激发学生观察的主动性2．通过合理规划学习，培养学生时间管理能力，提高学生的条理\效率性3．通过构建观察法，提升学生自我认知能力，引导学生掌握多边形面积的方法及技巧（5分钟）（5分钟）1、公式：长方形：周长=(长+宽)×2面积=长×宽字母公式：C=(a+b)×2S=aba=S÷b正方形：周长=边长×4面积=边长×边长字母公式：C=4aa=C÷4S=a×a平行四边形：面积=底×高字母公式：S=ahh=S÷a三角形：面积=底×高÷2【底=面积×2÷高；高=面积×2÷底】字母公式：S=ah÷2h=2S÷aa=2S÷h梯形：面积=（上底+下底）×高÷2字母公式：S=（a+b）h÷2a=2S÷h-bb=2S÷h-aa+b=2S÷hh=2S÷（a+b）平行四边形面积公式推导：剪拼、平移平行四边形可以转化成一个长方形；长方形的长相当于平行四边形的底；长方形的宽相当于平行四边形的高；长方形的面积等于平行四边形的面积，因为长方形面积=长×宽，所以平行四边形面积=底×高。三角形面积公式推导：旋转两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底相当于三角形的底；平行四边形的高相当于三角形的高；平行四边形的面积等于三角形面积的2倍，因为平行四边形面积=底×高，所以三角形面积=底×高÷2梯形面积公式推导：旋转两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底相当于梯形的上、下底之和；平行四边形的高相当于梯形的高；平行四边形的面积等于梯形面积的2倍，因为平行四边形面积=底×高，所以梯形面积=（上底+下底）×高÷25、等底等高的平行四边形面积相等；（2）等底等高的三角形面积相等；（3）等底等高的三角形和平行四边形，平行四边形面积是三角形面积的2倍。6、长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小。7、组合图形：转化成已学的简单图形，通过加、减进行计算。整体要求：将本节课用到的知识(概念、定理、公式、原理、规律等）用图片、现象描述、图形、知识导图、动态图等呈现出来，引导学生观察（30（30分钟）例11如图平行四边形的高是6厘米，它的面积是（）平方厘米．A．35B．42C．30D．无法确定构建观察：笔记区域此环节老师指导学生用画图或者划线的形式来记录关键词和重要条件，并由学生在笔记区域写出解题思路：老师正常讲解，学生复述并逐条记录解题思路1．2．3．……例22一个长方形长8米，宽6米，从这个长方形中剪下一个最大的正方形，这个正方形的面积是（）A．36平方米B．49平方米C．64平方米构建观察：笔记区域此环节老师指导学生用画图或者划线的形式来记录关键词和重要条件，并由学生在笔记区域写出解题思路：老师正常讲解，学生复述并逐条记录解题思路1．2．3．……例33边长是1分米的正方形，面积是1平方分米，那么边长是3分米的正方形，面积是（）A．3平方分米B．6平方分米C．9平方分米D．10平方分米构建观察：笔记区域此环节老师指导学生用画图或者划线的形式来记录关键词和重要条件，并由学生在笔记区域写出解题思路：老师正常讲解，学生复述并逐条记录解题思路1．2．3．……例44用两个边长2CM的正方形，摆一个长方形，长方形的面积是（）A．2C㎡B．4C㎡C．8c㎡构建观察：笔记区域此环节老师指导学生用画图或者划线的形式来记录关键词和重要条件，并由学生在笔记区域写出解题思路：老师正常讲解，学生复述并逐条记录解题思路1．2．3．……例551、把一个直角三角形按3：1进行放大，面积会扩大（）倍．A．3B．9C．62、已知长方形的长与宽的比是3：2，周长是20厘米，则此长方形的面积是（）平方厘米．A．96B．24C．40D．20构建观察：笔记区域此环节老师指导学生用画图或者划线的形式来记录关键词和重要条件，并由学生在笔记区域写出解题思路：老师正常讲解，学生复述并逐条记录解题思路1．2．3．……例661、如图，平行四边形底边的中点是A，阴影部分面积占平行四边形面积的（）A．B．C．D．无选项2、如图平行四边形的面积是15cm2，阴影部分的面积是．构建观察：笔记区域此环节老师指导学生用画图或者划线的形式来记录关键词和重要条件，并由学生在笔记区域写出解题思路：老师正常讲解，学生复述并逐条记录解题思路1．2．3．……例77从一个上底3cm、下底6cm、高4cm的梯形纸板上取一个最大的长方形，这个长方形的面积是（）cm2．A．12B．18C．24D．30构建观察：笔记区域此环节老师指导学生用画图或者划线的形式来记录关键词和重要条件，并由学生在笔记区域写出解题思路：老师正常讲解，学生复述并逐条记录解题思路1．2．3．……例881、一个长方形周长与一个边长是8厘米的正方形周长相等，这个长方形的面积最大应该是平方厘米．（长宽都为整厘米数）2、一个长方形与一个边长为8分米的正方形面积相等，已知这个长方形的宽是4分米，它的长是分米．构建观察：笔记区域此环节老师指导学生用画图或者划线的形式来记录关键词和重要条件，并由学生在笔记区域写出解题思路：老师正常讲解，学生复述并逐条记录解题思路1．2．3．……例99计算下列图形的面积：（单位：m）构建观察：笔记区域此环节老师指导学生用画图或者划线的形式来记录关键词和重要条件，并由学生在笔记区域写出解题思路：老师正常讲解，学生复述并逐条记录解题思路1．2．3．……例1010计算如图的面积．（单位：cm）构建观察：笔记区域此环节老师指导学生用画图或者划线的形式来记录关键词和重要条件，并由学生在笔记区域写出解题思路：老师正常讲解，学生复述并逐条记录解题思路1．2．3．……例1111计算下面图形的面积．（单位：cm）构建观察：笔记区域此环节老师指导学生用画图或者划线的形式来记录关键词和重要条件，并由学生在笔记区域写出解题思路：老师正常讲解，学生复述并逐条记录解题思路1．2．3．……例1212计算下面阴影部分的面积．构建观察：笔记区域此环节老师指导学生用画图或者划线的形式来记录关键词和重要条件，并由学生在笔记区域写出解题思路：老师正常讲解，学生复述并逐条记录解题思路1．2．3．……方法提炼：解题的方法技巧、观察法的方法技巧或指导学生探究的技巧，至少一种。老师点拨，学生提炼，并呈现在下面。（15（15分钟）第一关：A组和B组的题目在难易程度、知识点设置上都是一样的，要求:学生如果能在规定的时间内完成A组，则可以顺利通关，如果没有按时完成，那么B组需要回家当作课后作业完成。计时：_______根据题目的难易程度来设置时间，要求学生在规定时间内完成A组1．计算阴影部分的面积．（单位：cm）2、计算如图图形的面积．（单位：cm2）B组1．计算阴影部分的面积．（单位：cm）2．计算下面图形的面积．第二关：A组和B组的题目在难易程度、知识点设置上都是一样的，要求:学生如果能在规定的时间内完成A组，则可以顺利进行下去，如果没有按时完成，那么B组需要回家当作课后作业完成。计时：根据题目的难易程度来设置时间，要求学生在规定时间内完成A组1．看图求面积（单位；厘米）3．计算下列图形的面积（单位：厘米）B组1．看图计算面积．2．计算图形面积（5（5分钟）由学生填写练习过程中的易错点、难点、重点，主要目的是提高学生的主动性（30（30分钟）时间管理表是否完成计时（所用时间）备注任务A是□否□任务B1.是□否□2.是□否□3是□否□4是□否□5是□否□6是□否□任务A：自行总结本节课重难点（方法、规律），可以用文字、导图、表格等形式呈现出。任务B：与例题相同知识点、相关难度的习题1、计算下面各图的面积．2、计算直角梯形ABCD的面积．3、求下面这个图形的面积4．篮球场的长是28米，宽是15米，它的面积是多少平方米？半场的面积是多少平方米？如图平行四边形的高是6厘米，它的面积是（）平方厘米．A．35B．42C．30D．无法确定【分析】根据平行四边形的特征知，平行四边形的高小于它底边外另外一条平行四边形的边，所以平行四边形的高是6厘米，则它的底边是5厘米边上的高，根据平行四边形的面积=底×高进行计算即可．【解答】解：5×6=30（平方厘米）答：它的面积是30平方厘米．故选：C．【点评】本题的关键是根据平行四边形的高确定底边是多少厘米，再根据平行四边形的面积公式进行计算．例2一个长方形长8米，宽6米，从这个长方形中剪下一个最大的正方形，这个正方形的面积是（）A．36平方米B．49平方米C．64平方米【分析】在一张长8厘米，宽6厘米的长方形纸中剪下一个最大的正方形，剪下的正方形的边长就是6厘米，根据正方形的面积公式：S=a2可求出它的面积．【解答】解：6×6=36（平方米）答：这个正方形的面积是36平方米．故选：A．【点评】本题的关键是让学生理解剪下的正方形的边长最大是6厘米．例3边长是1分米的正方形，面积是1平方分米，那么边长是3分米的正方形，面积是（）A．3平方分米B．6平方分米C．9平方分米D．10平方分米【分析】根据正方形的面积公式：S=a2，求出边长为3分米的正方形的面积，再进行判断．【解答】解：3×3=9（平方分米）答：它的面积是9平方分米．故选：C．【点评】本题主要考查了学生对正方形面积公式的掌握．例4用两个边长2CM的正方形，摆一个长方形，长方形的面积是（）A．2C㎡B．4C㎡C．8c㎡【分析】用2个边长是2cm的正方形拼成一个长方形，拼成后长方形的面积是原来2个正方形面积的和，根据正方形的面积=边长×边长，求出正方形的面积，再乘2即可．【解答】解：2×2=4（平方厘米）4×2=8（平方厘米）答：面积是8平方厘米．故选：C．【点评】本题的重点是让学生知道，拼成后长方形的面积是原来正方形面积的和．例51、把一个直角三角形按3：1进行放大，面积会扩大（）倍．A．3B．9C．6【分析】一个图形按3：1放大后，就是把这个图形的各边长放大3倍，也就是各边乘3，所得到的新图形的各边都是原图形的3倍，它的面积将是原图形的32倍，即9倍．据此解答．【解答】解：把一个直角三角形按3：1进行放大，面积会扩大32=9倍．故选：B．【点评】本题是考查图形的放大与缩小．一个图形放大或缩小n倍，它的面积将放大或缩小n2倍．2、已知长方形的长与宽的比是3：2，周长是20厘米，则此长方形的面积是（）平方厘米．A．96B．24C．40D．20【分析】已知长方形的长与宽的比是3：2，周长是20厘米，可知一条长与宽的和是20÷2=10厘米，长占了一条长与宽的，宽占了一条长与宽的，用乘法可求出长和宽是多少，再根据长方形的面积=长×宽进行计算即可．【解答】解：20÷2=10（厘米）10×=6（厘米）10×=4（厘米）6×4=24（平方厘米）答：长方形的面积是24平方厘米．故选：B．【点评】本题的重点是根据按比例分配的方法求出长方形的长和宽，再根据长方形的面积公式进行解答．例6如图，平行四边形底边的中点是A，阴影部分面积占平行四边形面积的（）A．B．C．D．无选项【分析】设平行四边形的底为a，高为b，则阴影三角形的面积的底为底，高为b，将这些数据分别代入平行四边形和三角形面积公式，再用阴影三角形的面积除以平行四边形的面积就可求出答案．【解答】解：设平行四边形的底为a，高为b，则阴影三角形的面积的底为底，高为b，平行四边形的面积=ab，阴影三角形的面积=ab×=ab，ab÷ab=；答：阴影部分面积占平行四边形面积的．故选：C．【点评】解答此题的关键是：分别利用平行四边形和三角形的面积公式，表示出二者的面积，即可求解．2、如图平行四边形的面积是15cm2，阴影部分的面积是7.5平方厘米．【分析】由图意可知，阴影部分是一个三角形，且这个三角形与平行四边形等底等高，则三角形的面积是平行四边形的面积的一半．【解答】解：15÷2=7.5（平方厘米），答：阴影部分的面积是7.5平方厘米．故答案为：7.5平方厘米．【点评】解答此题的关键是明白，三角形的面积是与其等底等高的平行四边形面积的一半．例7从一个上底3cm、下底6cm、高4cm的梯形纸板上取一个最大的长方形，这个长方形的面积是（）cm2．A．12B．18C．24D．30【分析】从一个上底3cm、下底6cm、高4cm的梯形纸板上取一个最大的长方形，这个长方形的长应该是4厘米，宽是3厘米，由此利用长方形的面积公式S=ab进行解答．【解答】解：从一个上底3cm、下底6cm、高4cm的梯形纸板上取一个最大的长方形，这个长方形的长应该是4厘米，宽是3厘米．所以面积是：3×4=12（平方厘米）答：这个长方形的面积是12平方厘米．故选：A．【点评】根据是明确如何从梯形中截去最大的长方形，再利用长方形的面积公式解答．例81、一个长方形周长与一个边长是8厘米的正方形周长相等，这个长方形的面积最大应该是63平方厘米．（长宽都为整厘米数）【分析】首先根据正方形的周长公式：c=4a，把数据代入公式求出周长，要使这个长方形的面积最大，也就是长与宽差越小它的面积就越多，用周长除以2求出长与宽和，进而确定长、宽，然后根据长方形的面积公式：s=ab，把数据代入公式解答．【解答】解：8×4÷2=32÷2=16（厘米），因为16=9+7．所以长方形的长是9厘米、宽是7厘米时面积最大，9×7=63（平方厘米），答：这个长方形的面积最大是63平方厘米．故答案为：63．【点评】此题主要考查正方形的周长公式、长方形的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．2、一个长方形与一个边长为8分米的正方形面积相等，已知这个长方形的宽是4分米，它的长是16分米．【分析】因长方形的面积等于正方形的面积，根据正方形的面积=边长×边长，用8乘8可求出正方形的面积，即长方形的面积，再根据长方形的面积=长×宽，可求出长方形的长是多少，据此解答．【解答】解：8×8÷4=64÷4=16（分米）答：它的长是16分米．故答案为：16．【点评】本题主要考查了学生对长方形和正方形面积公式的掌握．例9计算下列图形的面积：（单位：m）【分析】可用“分割法”求出这个图形的面积，按虚线分成两个长方形，分别求出两个长方形面积，二者相加就是这个图形的面积．【解答】解：如图，4×7+（9﹣7）×7=28+14=42（平方米）答：这个图形的面积是42平方米．【点评】此题主要是考查长方形面积的计算．关键是添加辅助线，将这个图形分割成两个长方形，再根据长方形面积计算公式“S=ab”求出各部分面积．例10计算如图的面积．（单位：cm）【分析】用三角形的面积加上平行四边形的面积，根据三角形面积和梯形面积公式，代入数据，计算即可．【解答】解：12×4÷2+（12+6）×4÷2=24+36=60（平方厘米）答：图形的面积是60平方厘米．【点评】此题主要考查了组合图形的面积的求法，解答此题的关键是熟练掌握三角形、梯形的面积的求法．三角形面积公式：s=a×h÷2；梯形面积公式：s=（a+b）×h÷2．例11计算下面图形的面积．（单位：cm）【分析】（1）根据平行四边形的面积公式S=ah进行解答；（2）此图形的面积为长方形和梯形的面积和，由此利用长方形的面积公式S=ab和梯形的面积公式S=（a+b）h÷2进行解答．（3）此图形的面积为长方形和梯形的面积和，由此利用长方形的面积公式S=ab和梯形的面积公式S=（a+b）h÷2进行解答．【解答】解：（1）6×7=42（平方厘米）（2）3×5+（3+6）×（8﹣5）÷2=15+9×3÷2=15+27÷2=15+13.5=28.5（平方厘米）（3）如图：4×10+（10+4）×（8﹣4）÷2=40+14×4÷2=40+28=68（平方厘米）．【点评】此题主要考查梯形、平行四边形、和长方形的面积的计算方法的灵活应用．例12计算下面阴影部分的面积．【分析】由图意可知：阴影部分是一个三角形，其底和高分别为6米和8米，利用三角形的面积公式S=ah÷2即可求解．【解答】解：6×8÷2=48÷2=24（平方米）答：阴影部分的面积是24平方米．【点评】此题主要考查三角形的面积公式的灵活应用．第一关（A组）1、计算阴影部分的面积．（单位：cm）【分析】根据正方形的面积公式：s=a2，梯形的面积公式：s=（a+b）h÷2，把数据代入公式求出两个正方形的面积和减去空白部分梯形的面积即可．【解答】解：5×5+4×4﹣（5+2）×（5+4）÷2=25+16﹣7×9÷2=41﹣31.5=9.5（平方厘米），答：阴影部分的面积是9.5平方厘米．【点评】解答求组合图形的面积，关键是观察分析图形是由哪几部分组成的，是求各部分的面积和，还是求各部分的面积差，然后利用相应的面积公式解答．2、计算如图图形的面积．（单位：cm2）【分析】此图形的面积为正方形和梯形的面积和，由此利用正方形的面积公式S=a2和梯形的面积公式S=（a+b）h÷2进行解答．【解答】解：20×20+（20+30）×（30﹣20）÷2=400+50×10÷2=400+250=650（平方厘米）答：图形的面积是650平方厘米．【点评】此题主要考查梯形和正方形的面积的计算方法的灵活应用．注意图形分割．第一关（B组）1、求阴影部分的面积．（单位：cm）【分析】（1）图一的阴影部分的面积是边长为3厘米的等腰直角三角形面积，与边长这5厘米等腰直角三角形面积的和再减去一个长为5厘米，宽为5﹣3=2厘米的三角形面积的差，根据三角形的面积公式：S=ah÷2解答；（2）图中阴影部分是一个梯形，这个梯形的上底是5厘米，下底是5﹣3=2厘米，高是3.6厘米，根据梯形的面积公式：S=（a+b）×h÷2进行解答即可．【解答】解：（1）5×5÷2+3×3÷2﹣5×（5﹣3）÷2=12.5+4.5﹣5×2÷2=12.5+4.5﹣5=12（平方厘米）答：阴影部分的面积是12平方厘米．（2）（5+5﹣3）×3.6÷2=7×3.6÷=12.6（平方厘米）答：阴影部分的面积是12.6平方厘米．【点评】本题主要考查了学生对三角形和梯形面积公式的掌握．2、计算下面图形的面积．【分析】（1）已知三角形的底是22米，高是76米，根据三角形的面积公式：S=ah÷2解答即可；（2）已知梯形的上底是2厘米，下底是3.5厘米，高是1.8厘米，根据梯形的面积公式：S=（a+b）h÷2解答即可；（3）组合图形是由平行四边形和三角形组成，平行四边形的底是24米，底是8米，根据平行四边形的面积：S=ah可求出平行四边形的面积，三角形的底是10米，高是24米，根据据三角形的面积公式：S=ah÷2可求出三角形的面积，再相加即可．【解答】解：（1）22×76÷2=1672÷2=836（平方米）答：三角形的面积是836平方米．（2）（2+3.5）×1.8÷2=5.5×1.8÷2=9.9÷2=4.95（平方米）答：面积是4.95平方厘米．（3）24×8+24×10÷2=192+120=312（平方米）答：面积是312平方厘米．【点评】本题主要考查了学生主要考查了学生三角形、梯形和平行四边形面积公式的掌握．第二关（A组）1、看图求面积（单位；厘米）【分析】根据三角形的面积公式：s=ah÷2，梯形的面积公式：s=（a+b）×h÷2，把数据分别代入公式求出它们的面积和即可．【解答】解：11×8÷2+（11+22）×10÷2=88÷2+33×10÷2=44+165=209（平方厘米）答：这个组合图形的面积是209平方厘米．【点评】此题主要考查三角形的面积公式、梯形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．2、计算下列图形的面积（单位：厘米）【分析】（1）已知底是12厘米，高是8厘米，根据平行四边形面积公式：S=ah可求出它的面积；（2）已知底是6厘米，高是5厘米，根据三角形的面积公式：S=ah÷2可求出它的面积；（3）已知上底是5厘米，下底是7厘米，高是6厘米，根据梯形的面积公式：S=（a+b）h÷2可求出它的面积；（4）可把图形分割成中间一个长6厘米、宽1+2+1=4厘米的长方形，两边各一个上底为2厘米、下底为1+2+1=4厘米、高为2厘米的两个梯形，依据长方形的面积公式：s=ab，梯形的面积公式：S=（a+b）h÷2可分别求出它们的面积，再相加即可．【解答】解：（1）12×8=96（平方厘米）；答：平行四边形面积是96平方厘米．（2）6×5÷2=30÷2=15（平方厘米）；答：三角形的面积是15平方厘米．（3）（5+7）×6÷2=12×6÷2=36（平方厘米）；答：梯形的面积是36平方厘米．（4）6×（1+2+1）+（2+1+2+1）×2÷2×2=6×4+6×2=24+12=36（平方厘米）；答：组合图形的面积是36平方厘米．【点评】本题主要考查了学生对三角形、平行四边形和梯形面积公式的掌握；也考查了组合图形的面积，通过转化为规则图形的面积的和或差，再利用公式解决．第二关（B组）1、看图计算面积．【分析】根据平行四边形的面积公式：s=ah，梯形的面积公式：s=（a+b）×h÷2，三角形的面积公式：s=ah÷2，把数据分别代入公式解答．【解答】解：12×4=48（平方米）；答：这个平行四边形的面积是48平方米．（32+48）×16÷2=80×16÷2=640（平方分米）；答：这个梯形的面积是640平方分米．14×12÷2=168÷2=84（平方厘米）；答：阴影部分的面积是84