《复变函数与积分变换》习题册

第一章复数与复变函数本章知识点和基本要求掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算；熟悉复平面、模与辐角的概念；熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式;了解区域的概念；理解复变函数的概念；理解复变函数的极限和连续的概念。一、填空题1、若等式i(5-7i)=(x+i)(y-i)成立，则1=,y=.2、设(l+2i)x+(3-5i)y=l—3i,则1=,y=c 12+3i.■—3、若z= ,则z=i1-/ 4、若”"则Re「 2i5,若z=i4—则2=+Z6、设z=(2+/)(-2+/),则argz=¥7复数z=l-i的三角表示式为,指数表示式为O8、复数z=-的三角表示式为,指数表示式为9、设Z]=2i,Z2=1-，，则4喈(2亿2)=..7T设z=三，贝ijRez=.Im(z)=oz—.方程Z，+27=0的根为.12、一曲线的复数方程是|z-i|=2,则此曲线的直角坐标方程为。13、方程InXi-z)=3表示的曲线是.

z一214、复变函数卬=二^的实部〃(x,y)= ，虚部似乂)，)=15、不等式|z-l|+|z+l|v4所表示的区域是曲线的内部。16、祖= 二、判断题(正确打J,错误打x)TOC\o"1-5"\h\z1 、 复 数 7+6/>1+3/ .()2、若z为纯虚数，则ZW3. ()3、若“为实常数，则乙=〃 ()4、复数0的辐角为0.5、/(z)=〃+功在7=x0+iy0点连续的充分必要条件是u(x,y),v(xyy)在(x()，Vo)点连续。6、设Z],Z2为复数，则|Z[Z21Tzi卜㈤。 ()7、|马+马|=㈤+冈 < )8、参数方程z=〃+"(，为实参数)所表示的曲线是抛物线)'=/. ()三、单项选择题•z二Re(z•z)1•z二Re(z•z)B.z•z=Im(z•z)D.z•z=1z2、方程炉=8的复根的个数为 ( )A.3个 B.1个C.2个 D.0个3、当z=W时，z侬+z”+z50的值等于 ( )1-ZA/ B-z C1 D-14、方程|z+2—3,[=点所代表的曲线是A中心为2-3，，半径为四的圆周B中心为—2+3i,半径为2的圆周&C中心为一2+3"半径为的圆周D中心为2—3"半径为2的圆周四、计算题.求出复数2=（-1+，括）4的模和辐角。.设z=x+iy满足Re（z?+3）=4,求x与）,的关系式3、将复数z=厄-6i化为三角表示式和指数表示式。4、求复数l—cosw+isinp(0SwS7r)的三角表示式、指数表示式及幅角主值。5.将直线方程2x+3y=1化为复数形式°6、求以下根式的值:(1)V-2+2/第二章解析函数本章知识点和基本要求理解复变函数的导数及复变函数解析的概念；掌握复变函数解析的C-R条件，并能利用C-R条件判断复变函数的可导性和解析性；(掌握解析函数的基本性质；了解指数函数、三角函数及对数函数的定义及它们的主要性质。一、填空题1、+的主值为 2、Ln(-i)=,主值为3、设炉=-3+4i,则Re(iz)=4、3'=.)5、(1+/),=.6、产=7、指数函数相的周期是8、设/(z)=(l—z)e-?,贝U_Hz)=9、设/(z)=丁+y'+ix2y2,则/(1+j)=10、已知函数/(z)=(2x+l)y+v(a;y)i解析，则ff(i)=11、.函数/(z)=〃+i»在z()=%+认点连续是/(z)在该点解析的条件。二、判断题(正确打J,错误打x).若尸(z)在区域D内处处为零，则/(Z)在D内必恒为常数。()TOC\o"1-5"\h\z.若/(z)在z0点不解析，则/'(z)在Z。点必不可导。 ()3、函数/(z)=〃(x,y)+iv(x,y)在点q=x0+iy0可微等价于u(x,y)和y(x,y)在点(小，)'())可微。 ()4、卜in2]<1.. ( )5、函数/是周期函数。 ()6、设函数/(Z)在点Zo处可导，则/(Z)在点Zo处解析。 ()7、对于任意的复数Z],Z2,等式£〃亿4)=心陷+力%2恒成立。()8、不等式Re(z)«2表示的是有界闭区域。 ()9、对于任意的复数Z,整数〃，等式力疝=/山%恒成立 ( )三、单项选择题1、下列点集是单连域的是 ( )A.Re(z)>2 B.1<|^|<3C.|2|<1 D.2<argZ<2h-tt2、下列所示区域中是多连域的为 ( )A.bn>0B.Rez<0C.0<|z|<1D.<arg<y3、函数/(z)在点z可导是/(z)在点z解析的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件4、下列说法正确的是 ( )A、/(Z)在Zo可导的充要条件是/'(Z)在Zo处解析。B、/(z)在Zo可导的充要条件是在Zo处偏导数连续且满足C-R条件。C、/(z)在可导的充要条件是/(z)在2。处连续。D,/(z)在可导的充要条件是〃力在％。处可微且满足C-R条件5、在复平面上，下列关于正弦函数sinz的命题中，错误的是( )是解析函数是周期函数是解析函数C.Isinz|D.(sinzy=cosC.Isinz|6、以下说法中，错误的是A.复指数函数/具有周期 B.嘉函数(a为非零的复常数)是多值函数C.对数函数为多值函数D,在复数域内sinz和cosz都是有界函数7、设/(z)=sinz,则下列命题中错误的是()oA.在复平面内处处解析 B.f(z)以2万为周期C./(z)=-，一 D.是无界的乙四、计算题判断下列函数在何处可导，在何处解析(l)/(Z)=2x3+3/f(2)f(z)=(x-y)2+2(x+y)i第三章复变函数的积分本章知识点和基本要求了解复变函数积分的定义及性质；会求复变函数的积分；理解柯西积分定理，掌握柯西积分公式；0<掌握解析函数的高阶导数公式；了解解析函数无限次可导的性质；会综合利用各定理计算闭路积分。一、填空题1、设曲线C是正向圆周岗=2,则勺;以cZ-1《一!~^以二Tu-ir2、设C为从点a=—i到点Z2=0的直线段，贝|〕，4血=3、若C为正向圆周忖=2,则心1位=Z4、若/&)=j2］二+，，修上2,则/(3+5/)=_kHT>/(1)=广⑴=5、g，-二dz(c：同=4)的值是 二、单项选择题1、若f(z)在D内解析，①(0为f(z)的一个原函数，则( )A.f(z)=①(Z)B./"⑵=①⑵C.①'(z)=/(z)D.①”(z)=f(z)2、下列积分中，积分值不为0的是 ( )A.03+2%)旅，|^-1|=2B.<^e'dz.,|耳=2C.J包上Jz,同=1 D. ,同=2cZ cZ-l三、计算题1、沿下列路径计算积分J(.Mz(1)从原点到3+i的直线段(2)从原点沿实轴到3,再从3垂直向上到3+A2、沿下列路径计算积分J,z2dz⑴从原点到1+i的直线段(2)从原点沿实轴到1,再从1垂直向上到1+八3、计算［coszdz。 4、计算积分lJ(2z-3)dz.5、卜x—y+沃2Mz,其中C是从点0到1+i的直线段。6、设C为从-2到2的上半圆周，计算积分(三二心的值。7、©J产,C为正向圆周同=2,其中。为圆周图=3,且取正向。8、计算积分4——-——,其中。为圆周图=3,且取正向。9、计算心2z+l+2i

9、计算心2z+l+2i

(z+l)(z+2i)4z,其中C为正向圆周同=3.10、求下列积分之值（积分沿闭曲线的正向）(1)6——!—“z,|z|=34z(z-2) ।।(2)第七章傅里叶变换本章知识点和基本要求掌握傅氏积分定理、理解傅氏积分公式；理解俾立叶变换及傅立叶逆变换的概念；了解6函数的概念、性质及其傅氏变换，了解傅氏变换的物理意义；掌握傅氏变换的性质，熟悉常用傅氏变换对。一、填空题0J<01、设/⑺则尸"(6=5 0,r<0一2、设%)=一夕…7则尸"“)]= e,t>03、F[l]=4、设尸"。)]=-^―，贝4/«)=：a+10)5、设/Q)=sin",则/"«)]=：6、设/"0)]=/(5,则川«+5)/。)]=7、设/"。)]=尸3),%为实常数，则尸""一幻]=—8、F[J(r-%)]=：9、设尸"")]=尸Q),则〃1一1的傅氏变换尸[f(lT)]=TOC\o"1-5"\h\z10、F[/(r)]=F{co),则 =7 o11、已知/“)=，，且尸"0)]=—-,贝ijF”——CO (67—2)二、单项选择题1、下列变换中，正确的是( )A.尸碎⑹=1A.尸碎⑹=1C.F',[J(6y)]=l2、设尸"«)]=尸3),则尸卬—1)/⑴]为A.iF\co)+F(co)-iF\co)+F[cd)3、6。一幻的傅里叶变换尸做IT。)]为A.1 BoCo6一""° Do4、设尸"")]=尸⑷,则尸[⑵—3)/(。]=A.2沪3)-3尸3)C.-2沪(助+3/(⑼5、设尸"([)]=/3),则尸口一2)")]=A.尸3)-2尸(助C.沪3)-2/3)6、设/(f)=cos6V，则/"(/)]= (A./f[6(g+4)+3(啰一4)](C.沅[5(。+4)—5(0—4)]7、设/⑺=演2—1)+/%,则尸[/«)]=A产+2初0_%)Ce"+2•3+4)D.F-,[1]=W(Z)()B.D.F-,[1]=W(Z)()B.iF\co)-F{co)D.-i-'(⑼一尸(。)()，0暖。()B.2iF'(co)+3F(co)D.一2户(。)一3/(⑼()B.一93)-2歹(⑼D.T尸3)-2厂(。))B.加8(6?+。])一3(公一例JD.，乃[万(0+4)+3(0—。0)]()B+2乃53-刃0)D/°+2婚3+4)A.［6（刃+供））一3（少一4）］B.讥眸（。+4）-5（。一g）］C.加5（G+4）-5（6?-4）］D.，乃［3（。+9））+3（啰一。0）］三、计算题Q-s<f<—11、已知函数/«）=2,-l<r1、已知函数/«）=2,-l<r<0l,0<r<2,求它的傅里叶变换。0,2<r<+oo-2,-1</<02、求函数/（/）=2,0</<1的傅里叶变换;0,其他3、求函数/（/）=1；’<°八（其中Z?>0）的傅氏变换及其积分表达式。ep/>04、求函数/"）=<sin/|d</r 4、求函数/"）=<—sinrjr|<7r2 11 ;W—sinrjr|<7r2 11 ;W坤%、丁口口r+asinty/rsina,并证明Jo-j——:——dco=5、利用定义或查表求下列函数的傅里叶逆变换*（1）/q）=£［8（=+3o）_6（£_3。）］(2)F((j)=--[^(―4-aJ0)4-^(——a;0)]6、用傅里叶变换求解下面的微分方程Xf(t)+x(t)=5(f),-co<r<+co7、设尸"（［）］=/（。），列表给出下列函数的付里叶变换:。r<0"（，）@（fTo）»（f+f。），/«）= 6；八e>0并证明付里叶变换的微分性质和位移性质。第八章拉普拉斯变换本章知识点和基本要求理解拉普拉斯变换及拉普拉斯逆变换的概念；了解拉普拉斯变换存在定理；掌握拉普拉斯变换的性质；掌握用留数求拉氏逆变换的方法；了解拉氏变换卷积概念及卷积定理；应用拉氏变换求解常微分方程及常微分方程组。一、填空题1、设尸⑸=3，则匚卜-勺⑸]二S-2、A[(sin3/)1= 3、L[e'sinr]= J4、设/(f)=〃(3/—5),L[e-3tf(t)]=5、L[efcos“= 26、设〃/«)]= ,则L[e-3tf(t)]= s+47、设/(/)=(1"L[f(t)]=8、设/⑸=J一则厂[/(s)]=(s-+rr9、设= F[/2(r)]=F2(5),则〃/«)*人(力=o1O10、设E")=一则厂仍($)]=匚+16二、单项选择题TOC\o"1-5"\h\z1、下列变换中，不正确的是( )A.F[J(r)]=1 B.L[J(r)]=1C.L[l]=J(r) D.7qi]=2痴3)2、设〃/(/)]=尸(s),其中正确的是( )A.HfXt)]=sF(s) BoL[eatf(t)]=F(s+a)C.L[f(at)]=-F(s) DoL[^/(r)]=F(s-6/)a3、f(t)=tea,(a>0)的拉氏变换为( )—B.-C.―D.7、S-a s-a (s-〃)~ (s-。)-瓢若尸⑸"七二'则NF⑸]=（）A.sin(r-l)"(f-l)sinfA.sin(r-l)C.M(r)sin(r-1)5、设f(t)=e-2rcos3t则Uf(t)]=((S+2)2+9C.3s(S+2)2+96、函数小厂乐的拉氏逆变换为D.w(r-l)sin(r-l))B.S+J(5+2)2+93(S+2)，(S+2)2+9)A.6(f)cosfA.6(f)cosfB.5(f)—cosf C.J(r)(l-sinZ)D.3(f)-sint-s7、设厂⑻二不一，则L[F(S)]=( )A/"”“(/-I) BC匕1—>3加(”1) D匕〃⑺-1％"1)]2 2三、计算题1、利用定义或查表求下列函数的拉普拉斯变换。(1)/(r)=^sin2r (2)/(/)=cos2-(3)/(/)=2sinat—tsinat(5)/(，)=/'+56(，)(6)f(Z)=e21+te(7)f(t)=eaisint(8)/(r)=sin22r(9) (9) =tcosat（10）/（，）="2浮f(t)=sinrz/(r-2)/(r)=sin(r-2)(13)/(/)=te^!sin2t(14)(13)/(/)=te^!sin2t2、已知力⑺=° 八"）=。求工⑺与优）的卷积sin/,/>0 cos/,t>03、用定义或查表求下列函数的拉普拉斯逆变换。(1)F(S)=(1)F(S)=1S(S+1)⑶F6)=b

(S-a)(S-b)⑶F6)=b

(S-a)(S-b)(4)F(5)=一!一s(s—l)(5)F(S)=S+3(S+2XS-3)⑹「⑸⑺尸⑸=昔(5)F(S)=S+3(S+2XS-3)⑹「⑸⑺尸⑸=昔+9(8)F(5)=4(s+4)(s+2)(9)尸(9)尸(s)=+2s—1ND?4、用拉普拉斯变换求解下列微分方程。(1)y〃-3y+2y=6],y(0)=0,y'(0)=0(2)= y(0)=0⑶y'+y=，，y(o)=o(4)y”(/)—2)，")+2y=2，cosf满足初始条件：y(0)=0尸(0)=0的特解。

⑸，")-3y'(f)+2y=2/满足初始条件：y(o)=2,歹(0)=-1的特解。5、用拉普拉斯变换求解微分方程组。/、x'+x-y=/(1) , 一x(0)=y(0)=1y+4x-2y=1\e2Z-/+x=lxf-y=O,x(0)=0,1(0)=0,y(0)=0x+x-y=e, ,x(0)=y(0)=ly+3x-2y=2e(x(0)=0,y(0)=0)21_,(x(0)=0,y(0)=0)参考答案第一章复数与复变函数一、填空题

115n

=y111=、27-2

+1-2、3d134、-y后94-)4

n•1s・〜江-48,4(cos--/sin—),4/'^

6 69、2k?r+土，kcZ10.1,1,1-/IL-+— -3, 12、V+(v—1)2=44 2 2 2■c- - 115n

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+1-2、3d134、-y后94-)4

n•1s・〜江-48,4(cos--/sin—),4/'^

6 69、2k?r+土，kcZ10.1,1,1-/IL-+— -3, 12、V+(v—1)2=44 2 2 2■c- - x2+ -2-x 2y13、)'=2 14、 ； ;-， ; r(x+\y+)广 (x+1)-+厂15、£+21=i4 3二、判断题（正确打J,错误打x）1、x2、x3、J4、x5、J6、J7、x8、x三、单项选择题1、A2、A3、B4、C四、计算题2!、闫=16;A侬=2k/+]/r,k£Z,c.a( 九一a..n-a4、2sin—cos +1sin 2l2 25、一、填空题1、InV2+—/42、6、（略）°a2sin—e227t-aarg■—第二章解析函数口3、-Arg(-3+4i)乙4、”而3-2匕Y9、3+2，flnT?-；j+2A/TJ5、c10.2-i11、必要条件二、判断题（正确打J,错误打X）1、J2、x3、x4x5、J6、x7、J8、义9、x单项选择题四、计算题1、仅在直线四、计算题1、仅在直线y=±巫工上可导。函数在复平面上处处不解析2、仅在直线y=x—l上的点处可导，函数在复平面上处处不解析。对于直线y=x-l上任意点Z3、仅在(0,0)点处可导。函数在复平面上处处不解析。第三章复变函数的积分一、填空题2、2、3、04、0,8/ri,10疝二、单项选择题三、计算题1、2、3、sinz4、-l+3z5、—l+i6、1、2、3、sinz4、-l+3z5、—l+i6、3疝+8 7、8、2疝

4+79、10、八.4乃+16%7 .2m, ,一加，第七章17傅里叶变换一、填空题1、—1、—2、5+icoP+ico4、f(t)=6、iF\co)+5F[co)5、.一"!■乃[6(。+2)+6(/6、iF\co)+5F[co)7、/5歹®) 8、e-胸 9、e-iaF{-co)1