18-19第1章构成空间几何体的基本元素

18-19第1章构成空间几何体的基本元素1.1.1构成空间几何体的基本元素学习目标：1.以长方体的构成为例，认识构成几何体的基本元素，同时在运动变化的观点下，体会空间中的点、线、面与几何体之间的关系. (重点)2.了解轨迹与圆形的关系.(重点)3.初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系.(重点)4.理解平面的无限延展性，学会判断平面的方法.摊点)［自主预习探新知］.几何体只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素、那么这个空间部分叫做一个几何体..长方体长方体可以看彳^由六个矩形(包括它的内部)所围成的几何体.(1)长方体的面：围成长方体的各个矩形，叫做长方体的面、它共有6个面.(2)长方体的棱：相邻两个面的公共边，叫做长方体的棱，它共有 12条棱.(3)长方体的顶点：棱和棱的公共点，叫做长方体的顶点、它共有8个顶点..构成空间几何体的基本元素直、绿皿足构成空间几何体的基本元素..平面及其表示方法(1)平面的概念：平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的.(2)平面的表示方法：图形表示在立体几何中，通常画一个平行四边形表示一个平面、并把它想象成无限延展的符号表示平面一般用希腊字母“也了••来命名,还可以用表示它的平行四边形对角顶点的字母来命名5.用运动的观点理解空间基本图形之间的关系(3)面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体.6.空间中直线与直线的位置关系空间中直线与直线有相交^平行与既不相交也不平行三种位置关系.7.空间中直线与平面的位置关系(1)直线在平面内；(2)直线与平面平行：直线与平面没有公共点:(3)直线与平面相交：直线与平面有且只有一个公共点.①直线与平面垂直：如图1-1-1,观察直线AAi和平面AC,我们看到直线AAi和平面内的两条相交直线AB和AD都垂直，容易想象，当AD在平面AC内绕点A旋转到任何位置时，都会与AA1垂直.直线AA1给我们与平面AC垂直的形象，这时我们说直线AA1和平面AC垂直，点A为垂足.记作直线AA1，平面AC.直线AA1称作平面AC的垂线，平面AC称作直线AA1的垂面.图1-1-1②点到平面的距离：在上图中，容易验证，线段AA1为点A1到平面AC内的点所连线段的最短的一条.线段AA1的长称作点A1到平面AC的距离.8.空间中平面与平面的位置关系(1)两个平面相交：两个平面相交于一条直线，此时我们说这两个平面相交.如果两个平面相交，并且其中一个平•面通过另一个平•面的一条垂线，这两个平面就给我们互相垂直的形象，这时，我们就说两个平面互相垂直.(2)两个平面平行：如果两个平面没有公共点，那么说这两个平面平行.如图1-1-1,在长方体ABCD—A1B1C1D1中，如果面ABCD和面A1B1C1D1分别作为长方体的底面，那么棱AA1,BB1,CC1,DD1都与底面垂直且等长、我们知道它们都是这个底面上的高，它们的长度称作两个底面间的距离.［基础自测］TOC\o"1-5"\h\z.判断(正确的打'、，〃，错误的打"X〃 )(1)几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起的内部部分. ( )(2)直线的移动只能形成平面.()(3)平静的太平洋就是一个平面.( )［解析］(1)正确.(2)直线移动可能形成曲面，故错误.(3)平面是没有大小的，故错误.［答案］(1)，(2)X(3)X2．以下说法正确的选项是 ．(1)长方体是由六个平面围成的几何体；(2)长方体可以看作一个矩形 ABCD上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形A'B'C'D'所围成的几何体；(3)长方体一个面上的任一点到对面的距离相等 .【导学号： 90662019】[解析] (1)错．因长方体由 6个矩形(包括它的内部 )围成，注意 〝平面〞与〝矩形〞的本质区别； (2)正确； (3)正确．[答案](2)(3)3．以下说法：①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；②一个几何体可以没有顶点；③一个几何体可以没有棱；④一个几何体可以没有面．TOC\o"1-5"\h\z其中正确的个数是 ( )A、1 B、2C、3 D、4B [球只有一个曲面围成，故 ①错， ②对， ③对，由于几何体是空间图形，故一定有面， ④错． ]4．以下关于长方体的表达不正确的选项是 ( )【导学号： 90662019】A、将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体B、长方体中相对的面都相互平行C、长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离D、两底面之间的棱互相平行且等长A[A中只有移动相同距离才能形成长方体．][合作探究攻重难]平面概念的理解以下判断正确的选项是.①平面是无限延展的；②一个平面长3cm,宽4cm；③两个平面重叠在一起，比一个平面厚；④通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内.［解析］①正确.平面是无限延展的.②不正确.平面没有大小.③不正确.平面没有厚薄.④正确.平面可以看成是直线平行移动形成的，所以直线通过改变其位置，可以放在某个平面内.［答案］①④［规律方法］.准确理解平面与平面图形的区别与联系是解题的关键..平面是无限延展的、无厚薄、无大小的图形，但平面图形，如三角形、平行四边形、圆等是有大小的..可以用三角形、平行四边形、圆等平面图形表示平面，但不能说它们是平面.［跟踪训练］.以下四个结论：①铺得很平的一张白纸是一个平面；②平面的形状是平行四边形；③一个平面的面积可以等于1m2.其中正确结论的个数是（ ）A、0 B、1D、3CD、3A［在立体几何中，平面是无限延展的，所以①③错误；通常我们画一个平行四边形来表示一个平面，但并不是说平面就是平行四边形，故②错.］从运动观点认识几何体如图1-1-2所示，请画出①②③中线段AB绕着直线l旋转一周形成的空间图形.【导学号：90662019】图1-1-2［思路探究］线的运动可以形成平面或曲面，观察AB和l的位置关系及旋转的方式和方向，可以尝试画出形成的图形.［解］［规律方法］.点、线、面运动形成怎样的图形与其运动的形式和方向有关，如果直线与旋转轴平行，那么形成圆柱面，如果与旋转轴斜交，那么形成圆锥面..在判断点、线、面按一定规律运动形成的几何体的形状时，可以借助身边的实物来模拟.［跟踪训练］.本例假设改为AB与l有如图1-1-3所示的关系，请画出旋转一周形成的几何图形.图1-1-3［解］长方体中基本元素之间的关系[探究问题]射线运动后的轨迹是什么？[提示] 水平放置的射线绕顶点在水平面内旋转一周，可形成平面．其它情况，可形成曲面．如图 1-1-4所示，该几何体是某同学课桌的大致轮廓，请你从这个几何体里面寻找一些点、线、面，并将它们列举出来．图1-1-4[提示]面可以列举如下：平面 A1A2B2B1，平面 A1A2D2D1，平面 C1C2D2D1，平面 B1B2C2C1，平面 A1B1C1D1，平面 A2B2C2D2.线可以列举如下：直线AAi,直线BBi,直线CCi,直线DDi,直线A2B2,直线C2D2等；点可以列举如下：点A,点Ai,点B,点Bi,点C,点Ci,点D,点Di,点A2,点B2,点C2,点D2.它们共同组成了课桌这个几何体．在长方体ABCD-A'B'C'D'中，把它的i2条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这 i2条直线与6个平面中,【导学号：90662019】(1)与直线B'C'平行的平面有哪几个？(2)与平面BC'平行的平面有哪几个？［思路探究］观察图形，结合定义，利用运动的观点来分析图形中的线面位置关系.［解］(1)与直线B'C平行的平面有平面ABCD,平面ADD'A'.(2)与平面BC'平行的平面为平面AD'.母题探究：1.(1)与直线B'C'垂直的平面有哪几个?(2)与平面BC'垂直的平面有哪几个？［解］(1)有平面AB',平面CD'.(2)有平面AB',平面A'C',平面CD',平面AC..本例中与棱A'D'相交的棱有哪几条？它们与棱A'D'所成的角是多少？［解］有A'A,AB',D'D,D'C,由于长方体六个面都是矩形，所以它们与棱 AD'所成角都是90：.本例中长方体的12条棱中，哪些可以用来表示面A'B与面D'C之间的距离？［解］A'D',B'C',BC,AD的长均可以表示.［规律方法］.平行关系的判定⑴直线与直线的平行关系：如图1-1-5,在长方体的12条棱中，分成'、长〃'、宽〃'、高〃三组，其中'、高〃AA1,BB1,CC1,DD1相互平行；'、长〃AB,DC,A1B1,D1C1相互平行;'、宽〃AD,BC,A1D1,B1C1相互平行.图1-1-5⑵直线与平面的平行关系：在长方体的12条棱及表面中，假设棱所在的直线与某一平面不相交，就平行.(3)平面与平面的平行关系：长方体的对面相互平行..垂直关系的判定(1)直线与平面的垂直关系：在长方体的棱所在直线与各面中，假设直线与平面有且只有一个公共点，那么二者垂直.(2)平面与平面的垂直关系：在长方体的各表面中，假设两平面有公共点，那么二者垂直.［当堂达标一双基］.以下命题中正确的个数为( )①书桌面是平面；②9个平面重叠起来，要比7个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50m,宽是20m；④平面是绝对平的、无厚度的、可以无限延展的抽象的数学概念.A、1 B、2 C、3 D、4A［由平面的概念知，只有④正确.］.如图1-1-6所示的是平行四边形ABCD所在的平面，有以下表示方法：①平面ABCD;②平面BD;③平面AD;④平面ABC;⑤AC;⑥平面a其中不正确的选项是()【导学号：90662019】图1-1-6TOC\o"1-5"\h\zA、④⑤ B、③④⑤C、②③④⑤ D、③⑤D［③中AD不为对角线，故错误；⑤中漏掉''平面〃两字，故错误.］.以下结论正确的个数有( )①曲面上可以存在直线；②平面上可存在曲线；③曲线运动的轨迹可形成平面；④直线运动的轨迹可形成曲面；⑤曲面上不能画出直线.A、3个B、4个C、5个D、2个B［只有⑤不正确.］4.线段AB长为5cm,在水平面上向右移动4cm后记为CD,将CD沿铅垂线方向向下移动3cm后记为C'D',再将CD'沿水平方向向左移动4cm后记为A'B',依次连接构成长方体ABCD—A'B'CD'.(1)该长方体的高为;【导学号：90662019】(2)平面A'B‘BA与平面CDD'C'间的距离为;(3)点A到平面BCC'B'的距离为.［解析］如图，在长方体ABCD—A'B'C'D'中，AB=5cm,BC=4cm,CC'=3cm,长方体的高为3cm；平面A'B'BA与平面CDD'C