概率统计 山大本科考试题库及答案

概率统计模拟题1一、填空A、B、C同时发生的事件可表示为o答:ABC(或ACIBDC)一袋中有10个球，其中白球6个，黑球4个，现随机从中抽取2个，则此二球均为白球的概率为o答：P(A)=l/3设X是一随机变量，则事件的概率被定义为随机变量X的分布函数。答：P(gax)n重贝努利试验中，事件A出现k次的概率为o答：设X是一随机变量，E(X)存在，则X的方差就是随机变量的数学期望。答：离差平方，记为D^=E^-E^设连续型随机变量X的概率密度函数为p(x),若积分绝对收敛，则可将式子定义为X的数学期望E(X)o答：(X)^xp(x)dx；⑵砖=匸设仏也…,XJ來自正态总体的一个简单随机样本，则总体标准差为_o答：b设(X“X：,…,XJ来自正态总体X〜N(p,云)的一个简单随机样本，p,/未知，则检验假设H。：p二山所用的统计量为,它服从分布，自由度为o答：T=兰申;t分布；n-l。Sl4n二、X服从参数为2,p的二项分布，己知P{X>1}=|,那么成功率为p的4重贝努利试验中至少有一次成功的概率是多少？解：设g〜亦,p),则P(D=C：内—0,1,…/)已知p{x>1}=p{x=1}+p{x=2}=C\p(l-/?)+C;p2(1-p)°=-,得〃=_,p=-舍去93\3〜耳4,丄、P{x>1}=1-p{x=0}=1-C°p°(l-pY-=—«0.802

I3丿I3丿81三、设总体X服从“0-1”分布:P{X=x}=px(l-p)1-\x=0,1,求参数P的极大似然估计。解：因为厶(”)=匸［/八(1一卩)1'=厂(1一〃)Z1=1山L(p)=工耳Inp+(/?一工兀Jln(l-〃)/=!/=!

求导d\nL(p)

求导d\nL(p)

dp专一=入解方程可得P的极大似然估计为p=X四、为了估计灯泡使用时数的均值H,测试10个灯泡，得x=1500小时，S=20小时，如果己知灯泡使用时数是服从正态分布的，求卩的置信区间(置信度为0.95)O(〃付：/0.05(9)=1-833,/005(10)=1.8125,r0025(9)=2.2622,/0025(10)=2.2281)要特别注意t分彳j表的构造方式：P{t(n)>ta}=a解：・.・x=1500,s=20,it=10,n由自由度/?-1=9及7=0.025的临界值025(9)=2.2622所以p的置信度为0.95的置信区间为—s—S(X_—j=tQQ25(9),+-j=ZO.O25(9))»即yjny/n(1500—20X2.2622,1500+20X(1500—20X2.2622,1500+20X2.2622)=(1484.92,1515.08)五、若连续型随机变量五、若连续型随机变量X的概率密度为已知：EX二0.5,DX=0.15,求系数a、b、c□2a+3b+6。=65=12匚处肚=1解：由条件<珍)=匚押(讪=0.5,得<3d+4b+6(?=6,解得<b=-nD(X)=口.丫-E(x)]2处川=0.154o+5b+10c=18c=3ax2+bx+cM=\°0<x<l其他五、若连续型随机变量X的概率密度为/z[ax2+bx+c0<x<l0門0其他已如1：EX=0・5,DX=0.15,求系数a、b、c。f(p(x)dx=1解节，・•.[(ax2+bx+c)dx=1Jo⑶⑶(3)/&)=")=(1)・•.[x(ax2+bx+(1)・•.[x(ax2+bx+c)dx=0.5Jo11,1-a+-b+—c=0.、432・・・Eg=0.5(2)•••Df=0.15Eg=0.5^x2(ar2+bx+c)dx=^ci+^b+^c=0.4(3)、(2)、(3)式所组成的关于a、b,c的方程组，得到:a=12a=12b=-12概率统计模拟题2一、填空设X是一随机变量，其分布函数定义为F(X)二o答：PG<X)100个产品中有3个次品，任取2个，则没有次品的概率是.答：0.941A、B、C是三个随机事件，则A、B、C至少有一个发生的事件可表示为o答：A+B+C(或4UBUC)4.设随机变量X服从参数为n,p的二项分布,则E(X)=；D(X)=。答：np,npq设X服从正态分布N(-2,3),则X的分布函数为o答：F(x)=[e分dt=fte6dt设A、B为独立二事件，且P(AUB)二0.6,P(A)二0.4,则P(B)二设随机变量X的分布函数为1A<0设随机变量X的分布函数为10<x<lX>1试求(1)常数a；(2)P{0.5<X<10}；(3)X的概率密度函数f(x)。解：⑴F(l)=l=Innax2=af=(2)P{0.5yXy10}=f(l)-F(0.5)=1—(0.5)'=0.75X->1J2x、0Wxy1[0,其它三、X服从参数为2,P的二项分布，已知P{Xni}=#，那么成功率为p的4重贝努利试验中至少有一次成功的概率是多少？解：54P{X>1}=-,1-P{X>1}=P{X=O}=-/.P{至少有一次成功}=1-C；(1)°(-)4=!-—=—«0.802338181四、已知随机变量X服从二项分布，E(X)=12,D(X)=8,求p和n。解：・.•EX=12=>np=12DX=8=>??p(l—p)=8解方程组Jnp=nl"(l-")=8得p=-,n=363五、从一批灯泡中抽取16个灯泡的随机样本，算得样本均值%=1900小时，样本标准差s=490小时，以a=l%的水平，检验整批灯泡的平均使用寿命是否为2000小时？(附：to.os(15)=2.131,to.oi(15)=2.947,to.oi(16)=2.921,to.os(16)=2.120)解：(1)做假设仏：“=2000;构造统计量：—_2警并算出|什0.816;S/>Jn定临界值：由<1=0.01以及自由度n-1二15知临界值为to.w(15)=2.947；作判断：因为|/0|=0.816</001(15)=2.947,故接受原假设，即认为整批灯泡的平均使用寿命是2000小时。概率统计模拟题3一、填空1、设A、B是二随机事件，则A、B同时发生的事件可表示为o答：AB(或AQB)2、n重贝努利试验中，事件A出现k次的概率为o答：p“(k卜3、设A、B是二随机事件，如果等式成立，则称A、B为相互独立的随机事件。答：P(AB)=P(A)P(B)

4、设f(x)^O,当f(x)满足条件时，则称f(x)为某一随机变量X的密度函数。答：r/(x)ja=iJ—oc5、如果随机变量X〜2(0,2)则X的分布函数F(x)为o答：「.1e~7dt6、设随机变量X服从参数为X的指数分布,则E(X)二_；D(X)=_o答：1/兄，1/才二、设随机变量X的概率分布为X012P1-^££333分别求f(X)、D(X)；并问当p=?时，使得max｛D(X)｝达到最大。解：•••｝狩牛严恒等，"叔，E(解：•••｝狩牛严恒等，"叔，E(X)=0x(l一年卜Ex2=02x£>(X)=Ex2-(Ex)1=+_p'.1一込1一込0由]3化03得03諾，令D(X)=?—2p=0,当卩壬时，P(XL„=||Z5o30设随机变量X的分布函数为x<0x<0O<A<1X>1F(x)=<ax21试求(1)常数a；(2)P{0.3<X<0.7}；(3)X的概率密度函数f(x)。解：(1)limax2=a=lim1=1得a=1XT广XT广(2)P{0.3<X<0.7}=F(0.7)一F(0.3)=0.72-0.32=0.40(3)(3)J\x)=<2x00<x<1x<x>1四、设(XhXyXn)来自正态总体X的一个简单随机样本，X的密度函数为1「刖10<x<102]0其他(0>0)试求0的极人似然估计量。解：设X“…,X,,为来自总体的一个样本，则似然函数为厶（0=口（&严）"口（彳为取似然函数In厶(&)=〃lne+(e_l)》In兀求导得解得d