常微分方程的应用

关于常微分方程的应用第一页，共八十六页，2022年，8月28日1、找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:(1)根据物理规律列方程；解微分方程应用题的方法和步骤机动目录上页下页返回结束(2)利用微元法列方程；比例关系牛顿第二定律确定定解条件(个性)初始条件边界条件可能还要衔接条件4、分析解所包含的实际意义2、利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.3、求通解,并根据定解条件确定特解.第二页，共八十六页，2022年，8月28日解：机动目录上页下页返回结束第三页，共八十六页，2022年，8月28日代入上式解得机动目录上页下页返回结束则100年后镭的质量为：第四页，共八十六页，2022年，8月28日机动目录上页下页返回结束解：第五页，共八十六页，2022年，8月28日机动目录上页下页返回结束第六页，共八十六页，2022年，8月28日可得OMA=OAM=例3：探照灯反射镜面设计解:

设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线绕

x

轴旋转而成.过曲线上任意点M(x,y)

作切线MT,由光的反射定律:入射角=反射角取x

轴平行于光线反射方向,从而AO=OM要求点光源的光线反射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.而AO机动目录上页下页返回结束在制造探照灯反射镜面时，第七页，共八十六页，2022年，8月28日利用曲线的对称性,不妨设

y>0,积分得故有得

(抛物线)于是方程化为(齐次方程)

机动目录上页下页返回结束于是得微分方程:第八页，共八十六页，2022年，8月28日顶到底的距离为

h,说明:则将这时旋转曲面方程为若已知反射镜面的底面直径为d

,代入通解表达式得机动目录上页下页返回结束第九页，共八十六页，2022年，8月28日解:机动目录上页下页返回结束（1）分析、简化利用微元法求解第十页，共八十六页，2022年，8月28日(2)列方程

机动目录上页下页返回结束第十一页，共八十六页，2022年，8月28日机动目录上页下页返回结束盐的改变量=流入的盐量–流出的盐量第十二页，共八十六页，2022年，8月28日解：例5：

某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有的,为了降低车间内空气中的含量,用一台风量为每分钟2000立方米的鼓风机通入含的的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内的百分比降低到多少?设鼓风机开动后时刻的含量为在内,的通入量的排出量机动目录上页下页返回结束第十三页，共八十六页，2022年，8月28日的通入量的排出量的改变量6分钟后,车间内的百分比降低到机动目录上页下页返回结束第十四页，共八十六页，2022年，8月28日

例6：有一盛满水的漏斗，高为10厘米。顶角为600,漏斗下有一横截面积为0.5平方厘米的小孔。问：水全部流完需要多长时间？解由力学知识得,水从孔口流出的速度为设在微小的时间间隔水面的高度由h降至,则漏斗内水的体积的改变量为机动目录上页下页返回结束第十五页，共八十六页，2022年，8月28日又在时间间隔从小孔流出的水的体积为解得机动目录上页下页返回结束第十六页，共八十六页，2022年，8月28日机动目录上页下页返回结束解：设鱼雷的运动轨迹为并设经过时间t鱼雷位于点P(x,y)，乙舰位于点Q(1,v0t)第十七页，共八十六页，2022年，8月28日则即由题意由(1),(2)消去v0t得机动目录上页下页返回结束上式两边求导并整理得并有初始条件第十八页，共八十六页，2022年，8月28日(3)式是不显含y的，令机动目录上页下页返回结束(3)式化为初始条件为解得(4)式左端分子有理化得第十九页，共八十六页，2022年，8月28日(4)式+(5)式得初始条件为解得即乙舰航行到点时，被鱼雷击中。

机动目录上页下页返回结束第二十页，共八十六页，2022年，8月28日解：垂直方向上的力重力：阻力：机动目录上页下页返回结束第二十一页，共八十六页，2022年，8月28日水平方向上的力阻力：利用牛顿第二定律得两个初值问题解得机动目录上页下页返回结束第二十二页，共八十六页，2022年，8月28日例9：人造卫星发射问题

解:欲向宇宙发射一颗人造卫星，为使其摆脱地球引力，初始速度应不小于第二宇宙速度，试计算此速度。设人造地球卫星质量为m,地球质量为M,卫星的质心到地心的距离为h,由牛顿第二定律得:②(G

为引力系数)则有初值问题:又设卫星的初速度机动目录上页下页返回结束③第二十三页，共八十六页，2022年，8月28日代入原方程②,得两边积分得利用初始条件③,得因此注意到机动目录上页下页返回结束第二十四页，共八十六页，2022年，8月28日为使上式成立，因为当h=R(在地面上)时,引力=重力,即④代入④即得这说明第二宇宙速度为机动目录上页下页返回结束第二十五页，共八十六页，2022年，8月28日利用牛顿第二定律求解方程的一些问题另一端离钉子12m,如不计钉子对链条所产生的摩擦力,求链条滑下来所需的时间.解：建立坐标系如图.设在时刻

t

,链条较长一段下垂

xm,又设链条线密度为常数此时链条受力由牛顿第二定律,得机动目录上页下页返回结束例10：一链条挂在一钉子上，启动时一端离钉子8m，第二十六页，共八十六页，2022年，8月28日由初始条件得故定解问题的解为解得当x=20m

时,(s)微分方程通解:思考:

若摩擦力为链条1m

长的重量,定解问题的数学模型是什么?机动目录上页下页返回结束第二十七页，共八十六页，2022年，8月28日摩擦力为链条1m

长的重量时的数学模型为不考虑摩擦力时的数学模型为此时链条滑下来所需时间为：机动目录上页下页返回结束第二十八页，共八十六页，2022年，8月28日从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求需确定仪器的下沉深度

y

与下沉速度v

之间的函数关系设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉，在

下沉过程中还受到阻力和浮力作用，设仪器质量为

m，体积为B

,海水比重为

,仪器所受阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k>0),试建立y与v

所满足的微分方程,并求出函数关系式y=y(v).(98考研)建立坐标系如图.质量m体积B由牛顿第二定律重力浮力阻力机动目录上页下页返回结束例11：解:设时刻t

，仪器下沉了y(t)第二十九页，共八十六页，2022年，8月28日初始条件为用分离变量法解上述初值问题得质量m体积B得机动目录上页下页返回结束注意:第三十页，共八十六页，2022年，8月28日机动目录上页下页返回结束第三十一页，共八十六页，2022年，8月28日解：由牛顿第二定律，得机动目录上页下页返回结束设经过

t

小时,飞机的滑行距离为x(t)公里第三十二页，共八十六页，2022年，8月28日例13：质量为

m

的质点受力F

的作用沿ox

轴作直线运动,在开始时刻随着时间的增大,此力F

均匀地减直到t=T

时F(T)=0.如果开始时质点在原点,解:

据题意有t=0

时设力F仅是时间t

的函数:F=F(t).小,求质点的运动规律.初始速度为0,且对方程两边积分,得机动目录上页下页返回结束第三十三页，共八十六页，2022年，8月28日利用初始条件于是两边再积分得再利用故所求质点运动规律为机动目录上页下页返回结束第三十四页，共八十六页，2022年，8月28日例14：设河边点O的正对岸为点A,

河宽OA

=h,

一鸭子从点

A

游向点为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O,如图所示建立坐标系，设时刻t鸭子位于点P(x,y)，设鸭子(在静水中)的游速大小为b求鸭子游动的轨迹方程.O

,水流速度大小为a,两岸机动目录上页下页返回结束解：鸭子游速为：则由题意第三十五页，共八十六页，2022年，8月28日定解条件由此得微分方程即(齐次方程)机动目录上页下页返回结束第三十六页，共八十六页，2022年，8月28日代入前方程得机动目录上页下页返回结束分离变量得两边积分得两式相加得第三十七页，共八十六页，2022年，8月28日机动目录上页下页返回结束鸭子游过的轨迹方程为第三十八页，共八十六页，2022年，8月28日例15：绳索仅受重力作用而下垂,解:

取坐标系如图.考察最低点A到(

:密度,s:弧长)弧段重力大小按静力平衡条件,有故有设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?任意点M(x,y)

弧段的受力情况:

A点受水平张力HM

点受切向张力T两式相除得机动目录上页下页返回结束第三十九页，共八十六页，2022年，8月28日则得定解问题:原方程化为两端积分得则有两端积分得故所求绳索的形状为悬链线机动目录上页下页返回结束第四十页，共八十六页，2022年，8月28日则得定解问题:原方程化为两端积分得则有两端积分得故所求绳索的形状为悬链线机动目录上页下页返回结束第四十一页，共八十六页，2022年，8月28日当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例16：质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻

t

物体位移为x(t).(1)自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.机动目录上页下页返回结束第四十二页，共八十六页，2022年，8月28日据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受到位移则得有阻尼强迫振动方程:机动目录上页下页返回结束方向上的铅直外力（干扰力）第四十三页，共八十六页，2022年，8月28日例17：求物体的运动规律.解:

问题归结为求解无阻尼强迫振动方程当p

≠k

时,齐次通解:非齐次特解形式:上例中若设物体只受弹性恢复力f和铅直干扰力代入（*）可得:（*）机动目录上页下页返回结束第四十四页，共八十六页，2022年，8月28日当干扰力的角频率p

≈固有频率k

时,自由振动强迫振动当

p

=k

时,非齐次特解形式:代入（*）可得:方程（*）的解为机动目录上页下页返回结束因此原方程（*）之解为第四十五页，共八十六页，2022年，8月28日若要利用共振现象,应使p

与k

尽量靠近,随着

t

的增大,强迫振动的振幅这时产生共振现象.可无限增大,若要避免共振现象,应使p

远离固有频率k

;或使p=k.自由振动强迫振动对机械来说,共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起有利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理.机动目录上页下页返回结束第四十六页，共八十六页，2022年，8月28日例18：解:由例16知,位移满足质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律立坐标系如图,设t=0

时物体的位置为取其平衡位置为原点建因此定解问题为自由振动方程,机动目录上页下页返回结束第四十七页，共八十六页，2022年，8月28日方程:特征方程:特征根:利用初始条件得:故所求特解:方程通解:1)无阻尼自由振动情况

(n=0)机动目录上页下页返回结束第四十八页，共八十六页，2022年，8月28日解的特征:简谐振动A:振幅,:初相,周期:固有频率机动目录上页下页返回结束(仅由系统特性确定)第四十九页，共八十六页，2022年，8月28日方程:特征方程:特征根:小阻尼:

n<k这时需分如下三种情况进行讨论:2)有阻尼自由振动情况大阻尼:

n>k临界阻尼:

n=k解的特征解的特征解的特征机动目录上页下页返回结束第五十页，共八十六页，2022年，8月28日(n<k)小阻尼自由振动解的特征:由初始条件确定任意常数后变形运动周期:振幅:衰减很快,随时间t

的增大物体趋于平衡位置.机动目录上页下页返回结束返回第五十一页，共八十六页，2022年，8月28日(n>k)大阻尼解的特征:1)无振荡现象;此图参数:2)对任何初始条件即随时间t

的增大物体总趋于平衡位置.机动目录上页下页返回结束返回第五十二页，共八十六页，2022年，8月28日(n=k)临界阻尼解的特征:任意常数由初始条件定,最多只与t

轴交于一点;即随时间t

的增大物体总趋于平衡位置.2)

无振荡现象;机动目录上页下页返回结束返回第五十三页，共八十六页，2022年，8月28日在闭合回路中,所有支路上的电压降为0例19：有一电路如图所示,电阻

R

和电∼解:

列方程.已知经过电阻R的电压降为Ri

经过L的电压降为因此有即初始条件:由回路电压定律:其中电源求电流感L

都是常量,机动目录上页下页返回结束第五十四页，共八十六页，2022年，8月28日∼解方程:由初始条件:得利用一阶线性方程解的公式可得机动目录上页下页返回结束第五十五页，共八十六页，2022年，8月28日暂态电流稳态电流∼因此所求电流函数为解的意义:机动目录上页下页返回结束第五十六页，共八十六页，2022年，8月28日例20：人口预测问题：1)Malthus人口模型(1798年)基本假设：人口作为时间t的函数x(t)，其变化率与当时的人口数成正比，比例系数r称为人口增长率，其数学模型为：1、Malthus人口模型；2、阻滞增长模型（Logistic模型）。机动目录上页下页返回结束第五十七页，共八十六页，2022年，8月28日实际应用时，把时间离散化，以年为单位，这模型对有的国家或地区吻合较好，有的却不行，其原因是自然资源，环境条件等因素对人口增长起着重大的阻滞作用，为此，对上述模型做合理的修正。人口以指数形式增长。机动目录上页下页返回结束第五十八页，共八十六页，2022年，8月28日2)阻滞增长模型(Logistic模型)假设：人口增长率是人口的函数

r(x)。设它为线性函数：机动目录上页下页返回结束第五十九页，共八十六页，2022年，8月28日解此初值问题得:Logistic函数机动目录上页下页返回结束第六十页，共八十六页，2022年，8月28日机动目录上页下页返回结束分析：第六十一页，共八十六页，2022年，8月28日机动目录上页下页返回结束第六十二页，共八十六页，2022年，8月28日作业第三节目录上页下页返回结束习题5-8(P432)

1；4；6；13；16；19；25；28第六十三页，共八十六页，2022年，8月28日解例1通解机动目录上页下页返回结束备用题：第六十四页，共八十六页，2022年，8月28日机动目录上页下页返回结束第六十五页，共八十六页，2022年，8月28日例2：有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米(如图)。开始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律。解：由力学知识得,水从孔口流出的流量为流量系数孔口截面面积重力加速度机动目录上页下页返回结束第六十六页，共八十六页，2022年，8月28日设在微小的时间间隔水面的高度由h

降至,比较(1)和(2)得:机动目录上页下页返回结束第六十七页，共八十六页，2022年，8月28日即为未知函数的微分方程.可分离变量所求规律为机动目录上页下页返回结束第六十八页，共八十六页，2022年，8月28日例3.

已知某车间的容积为的新鲜空气问每分钟应输入多少才能在30分钟后使车间空的含量不超过0.06%?设每分钟应输入

t时刻车间空气中含则在内车间内两端除以并令与原有空气很快混合均匀后,以相同的流量排出)得微分方程(假定输入的新鲜空气输入,的改变量为机动目录上页下页返回结束解:第六十九页，共八十六页，2022年，8月28日t=30时解定解问题因此每分钟应至少输入250

新鲜空气.初始条件得机动目录上页下页返回结束

k=?第七十页，共八十六页，2022年，8月28日速度大小为2v,方向指向A

,设t时刻

B位于(x,y),

如

图

所示,则有去分母后两边对

x

求导,得又由于设物体

A

从点(0,1)出发,以大小为常数v例4：的速度沿y轴正向运动,物体B

从(–1,0)

出发,试建立物体B

的运动轨迹应满足的微分方程及初始条件.①机动目录上页下页返回结束解:第七十一页，共八十六页，2022年，8月28日代入①式得所求微分方程:其初始条件为机动目录上页下页返回结束第七十二页，共八十六页，2022年，8月28日解：(1)模型假设设敌机以匀速v1作直线飞行，导弹的飞行方向始终指向敌机，其速度为v2，(2)模型构成如图建立坐标系：初始时刻敌机在原点，导弹在A(a,0)，时刻t，导弹在P(x,y)，敌机在Q(0,v1t)机动目录上页下页返回结束第七十三页，共八十六页，2022年，8月28日设导弹的飞行路线为则即两端对x求导得又导弹的速度为v2，机动目录上页下页返回结束由题意第七十四页，共八十六页，2022年，8月28日代入(1)得得初值问题机动目录上页下页返回结束(2)式两端对x求导得第七十五页，共八十六页，2022年，8月28日(3)模型求解模型是不显含y的，解得x=0时导弹击中目标，此时则导弹击中目标所用时间为机动目录上页下页返回结束第七十六页，共八十六页，2022年，8月28日M

:地球质量m

:物体质量例6：静止开始落向地面,求它落到地面时的速度和所需时间(不计空气阻力).解:

如图所示选取坐标系.则有定解问题:代入方程得积分得一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由机动目录上页下页返回结束第七十七页，共八十六页，2022年，8月28日两端积分得因此有注意“－