正弦函数和余弦函数的图象与性质

PAGE15/15第3课正弦函数、余弦函数的图象与性质区庄陈龙【教学目标】一、知识目标1、理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法；2、理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法；3、掌握并学会求正、余弦函数的定义域和值域、周期和最小正周期；4、理解并掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间．二、能力目标通过本节的学习培养学生的化归能力、转化思想．三、情感目标通过本节的学习了解三角函数图象的对称美与曲线美．【教学重点】正弦函数和余弦函数的图象及其定义域和值域、周期、奇偶性与对称性以及单调性．【教学难点】1、利用正弦线画出函数,的图象，利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线，周期函数与最小正周期意义的理解；2、正弦函数和余弦函数的图象与性质的初步运用．【知识点梳理】一、正弦、余弦函数图象二、正弦函数和余弦函数的性质1、周期函数的定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．（1）若周期为，则，也是的周期．因为：．（2）一般结论：函数及函数，的周期．2．定义域和值域、奇偶性、对称性、单调性图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．奇偶性奇函数偶函数对称性对称中心：函数图象与x轴交点；对称轴：（通过函数图象最高（低）点）对称中心：函数图象与x轴交点；对称轴：（通过函数图象最高（低）点）单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．【典型例题】题型一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图例题1：画出下列函数的简图：（1），；（2），．【解析】（1）按五个关键点列表0010－1012101利用五点法作出简图：请说出函数与的图象之间有何联系？答：函数，的图象可由，的图象向上平移1个单位得到．（2）按五个关键点列表010－101－1010－1利用五点法作出简图：，与，的图象有何联系？答：它们的图象关于轴对称．【点评】三角函数作图中五点作图法最常用，要牢记五个关键点的选取特点．变式1：（1）在同一直角坐标系下，用五点法分别作出下列函数的图象：①，；②，．（2）你能判断函数和、和的图象有何关系吗？（3）画出下列函数的简图：①，；②，；③，．【解析】（1）（2）将函数的图象的x轴以下部分向上翻折得到的图象；和这两个函数相等，图象重合．（3）例题2：观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的的区间．（1），（2），（3），（4），（5）．【解析】（1），，

（2），，（3），，

（4），（5），即

．在一周期上符合条件的角为，∴符合条件的角为．【点评】由正弦曲线和余弦曲线得一周期的解再加2kπ．题型二、定义域与值域例题3：求函数的定义域．【解析】由题意得：，解得，即．由于的周期都是，所以先在内求出不等式组解集交集后，再加上．【点评】解三角不等式时，一般是将相位视为一个整体，利用相关函数图象（由函数名决定），可先画出相关曲线，确定相位的值或相应的取值范围，列方程或不等式，最后解出自变量的值或取值范围即可．变式2：求下列函数的定义域、值域：（1）；（2）；（3）．【解析】（1），；（2）由（）又∵，∴∴定义域为（），值域为．（3）由（），又由∴∴定义域为（），值域为．【点评】求值域应注意用到或有界性的条件．例题4：函数的最大值是3，最小值是1，求函数的最大值和最小值及相应的的取值．【解析】因为，则（1）当时，，即；（2）当时，，即，故，(1)，当时，最大值，当时，最小值；（2），当时，最大值，当时，最小值．【点评】最值问题应注意用到或有界性的条件．变式3：已知函数，求函数y的值域．【解析】．将其看做关于的二次函数，注意到，∴当时，，当时，，∴．【点评】或的函数，一般利用换元法（令或）化为二次函数，利用二次函数的相关知识求解，但需注意中间变量的取值范围．例题5：比较大小：（1）；（2）．【解析】（1）；（2）．【点评】比较大小时注意脱周--化锐，再利用函数的单调性比较变式4：比较大小：（1）；（2）【解析】（1）；（2）．例题6：要使下列各式有意义应满足什么条件？（1）；（2）．【解析】（1）由，，∴当时，式子有意义．（2）由，即∴当时，式子有意义．题型三、三角函数的奇偶性例题7：判断下列函数的奇偶性：1、；2、【解析】1、的定义域为R，又，为偶函数．2、由得，又，故此函数的定义域为，关于原点对称，此时，既是奇函数，又是偶函数．【点评】判断函数的奇偶性，一般是利用相关公式以及诱导公式将三角函数式化简，进而判断对应函数的奇偶性，一般地，函数是奇函数，函数是偶函数．变式5：（1）函数是（）A．奇函数B．偶函数C．既奇且偶函数D．非奇非偶函数（2）函数是（）A．奇函数B．偶函数C．既奇且偶函数D．非奇非偶函数【解析】（1）D；（2）A．题型四、三角函数的性质（周期性、奇偶性、对称性与单调性）例题8：已知函数，（1）求函数的定义域；（2）求函数的值域；（3）求函数的周期；（4）求函数的最值及相应的值集合；（5）求函数的单调区间；（6）若，求的取值范围；（7）求函数的对称轴与对称中心；（8）若为奇函数，，求；若为偶函数，，求．【解析】（1）函数的定义域；（2）函数的值域，；（3）；（4）的最大值为2，此时的取值集合为，的最小值为-2，此时的取值集合为；（5）的增区间；的减区间；（6），；（7）的对称轴为，对称中心；（8）当，或，或，或，为奇函数，当，或，或，或，为偶函数．【点评】求复合型的三角函数的单调区间，一般先将三角函数式化为或的结构，在，，利用复合函数的单调性将放在正弦函数或余弦函数的单调区间内（由三角函数的名称决定），再解出自变量的取值范围作为对应函数的单调区间；若对自变量的取值有限制，可以先求出的取值范围，再利用复合函数的基本性质与三角函数的图象确定所需的的取值范围，并解出自变量的范围作为对应函数的单调区间，求对称中心坐标或对称轴方程，对称中心的横坐标满足，，即，对称中心的坐标为；对称轴方程满足，，即对称轴方程为．【方法与技巧总结】1、三角函数作图中五点作图法最常用，要牢记五个关键点的选取特点；2、函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(2π,|ω|)；3、三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式；4、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：（1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝xk(其中ωxk＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z)成轴对称图形．（2）函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形．5、求三角函数值域(最值)的方法：（1）利用sinx、cosx的有界性；（2）形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；（3）换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．※题库题目仅供选择使用【训练题组A】1．用和分别表示函数的最大值和最小值,则等于（）A.B. C. D.2．下列函数,在上是增函数的是（）A. B. C. D.3．下列区间中,函数的递减区间是（）A.B.C.D.4．下列函数中是奇函数,且最小正周期是的函数是（）A. B.C. D.5．若函数的图象相邻两条对称轴间距离为,则等于（）A. B. C.2 D.46．的值域是（）A.B.C.D.7．下列叙述中正确的个数为（）①在上是增函数②的图象关于点成中心对称图形③的图象关于直线成轴对称图形④正弦、余弦函数、的图象不超出两直线、所夹的范围.A.1个B.2个C.3个D.4个8．已知函数f(x)=2sinx(>0)在区间[,]上的最小值是－2，则的最小值等于（）A.B.C.2D.39．使函数递减且函数递增的区间是（）A. B.C.D.10．如果,则函数的定义域为（）A.B.C.D.11．已知函数、的最小正周期分别为、，则．12．若为奇函数，且时，，则时，．13．关于x的函数有以下命题：①对任意的，都是非奇非偶函数；②不存在，使既是奇函数，又是偶函数；③存在，使是奇函数；④对任意的，都不是偶函数．其中一个假命题的序号是，因为当=时，该命题的结论不成立．14．求函数的单调递减区间；1，3，5151，3，5【训练题组B】1．下列叙述中正确的个数为（

）①作正弦、余弦函数图象时，单位圆的半径长与x轴上的单位可以不一致．②的图象关于点成中心对称图形．③的图象关于直线成轴对称图形．④正弦、余弦函数的图象不超出两直线所夹的范围．A．1B．2C．3D．42．使成立的x的一个区间是（

）A．B．C．D．3．函数的最小正周期是（

）A．B．C．D．4．若是周期为的奇函数，则可以是（

）A．B．C．D．5．若函数的图象和直线围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为（

）A．4B．8C．D．6．在函数、、、中，最小正周期为的函数的个数为（

）A．1个B．2个C．3个D．4个7．已知函数（其中），当自变量x在任何两个整数之间（包括整数本身）变化时，至少会有一个周期，则最小的正整数k是（

）A．60B．61C．62D．638．若，则函数的值域是（

）A．B．C．D．9．求函数的定义域．10．已知函数,．（1）当时,求的最大值和最小值;（2）若在上是单调函数,且,求的取值范围【训练题组C】1．若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则（）2．已知，函数为奇函数，则a＝（）A．0B．1C．－1D．±13．已知函数在区间上的最小值是，则的最小值是．4．方程sinx=lgx的实根有（）A．1个 B．3个 C．2个 D．无穷多个5．的单调递减区间是（）A．[kπ－,kπ](k∈Z) B．(kπ－,kπ+)(k∈Z)C．[kπ－,kπ+](k∈Z)D．(kπ－,kπ+)(k∈Z)【参考答案】【训练题组A】1．D2．A3．B4．D5．C6．A7．C8．B9．D10．C11．12．13．①，kπ(k∈Z)；或者①，+kπ(k∈Z)；或者④，+kπ(k∈Z)．当=2kπ,k∈Z时，f(x)=sinx是奇函数．当=2(k+1)π,k∈Z时，f(x)=－sinx仍是奇函数．当=2kπ+,k∈Z时，f(x)=cosx，或当=2kπ－,k∈Z时，f(x)=－cosx，f(x)都是偶函数．所以②和③都是正确的．无论为何值都不能使f(x)恒等于零，所以f(x)不能既是奇函数又是偶函数．①和④都是假命题.14．思路解析：题目所给解析式中x的系数都为负，把x的系数变为正数，解相应不等式求单调区间．【解析】（1）由得，由得又x∈[-π,π],∴-π≤x≤,,.∴函数x∈[-π,π]的单调递减区间为[-π，]，[，]，[，π]．15.【解题思路】将余弦化为正弦，再换元处理.【解析】设，则所以故当即时，，当即时，．【点评】若函数出现既有一次项又有二项，一般都要利用二次函数的思想．【训练题组B】1．C

2．A

3．D

4．B

5．D